8/18/2019 Var Infinie s

1/5

   

 

 

 

 

 

   X 

   X 

 

 X 

 

   

 

 

 

   

(An)    (Ω, T  , P )         ∀n ∈ N    An ⊂  An+1        ∀n ∈ N    An+1 ⊂  An

 

 (An)    P 

+∞n=0

An

= limn→+∞

P (An)

 (An)    P 

+∞n=0

An

= lim

n→+∞P (An)

   100 000

 

 

50  

     100 000

 

 An  

  n    (An)  

 n + 1

   n

   p =

  1

501 000  

P (An) = (1 −  p)n

 

  P 

+∞n=0

An

 = lim

n→+∞P (An) = 0    p >  0    1 −  p <  1  

     

 1

         

   1

       

 A

 

  Ω    

A  

 A

 

8/18/2019 Var Infinie s

2/5

 

 

       X 

   Ω

 

 X   : Ω → Z

       

 

    X   

 6

   

  X   

 X (Ω) = {2;3; . . .}

       X   =  i

   X    i

 

   X 

   Y 

   Ω

   X  +  Y 

   XY 

 

max(X, Y )  

  min(X, Y )

   X 

   Ω

   g   :   Z   →   Z  

g(X ) : ω  → g(X (ω))  

  g(X ))

 

   X 

       X 

 

 P (X  = k)

   k

   X (Ω)

       

    P (X  = k) =

5

6

k−1×

 1

6

   X  = k

   k

 

1

3  

  k−1  

 (k − 1)

2

3

k−2×

 1

3  

P (X  = k) = (k − 1)1

32

2

3k−2

   

k∈X (Ω)

P (X  = k) = 1

 

+∞k=1

5

6

k−1×

 1

6 =

 1

6

+∞k=0

5

6

k=

  1

6 ×

  1

1 −   56= 1

   

+∞k=2

(k −

1)

1

3

223

k−2=

 1

9

+∞

k=1k

2

3

k−1=

  1

9 ×

  1

1 −   232

  = 1

 

8/18/2019 Var Infinie s

3/5

 

       X 

 

F X   : R → R    F X (x) = P (X   x)

 

 

F X   

 

   X 

   

kP (X  = k)        X    E (X ) =k∈X (Ω)

kP (X  = k)

   

 6

   

E (X ) =

+∞k=2

k(k − 1)

1

3

223

k−2=

 1

9 ×

  21 −   23

3   = 19  × 54 = 6    

X     Y 

 

 Ω

   X  + Y 

   E (X  + Y ) = E (X ) + E (Y )

   X 

   E (X )

0  

  X    Y 

   X     Y 

 

E (X ) E (Y )

   X 

   g   :   R  →   R

 

 g(X )

   E (g(X )) =

k∈X (Ω)

g(k)P (X  = k)

   X 

   r

   X 

   

r    X r

 mr(X ) = E (X 

r)

   X 

     m

 (X  − m)2

 V  (X ) = E ((X  − m)2)

   X 

   X 

   X 2

 

 

 

   X 

     p ∈  [0; 1]

 X (Ω) = N

   ∀k ∈ N∗

 P (X  = k) = p(1 − p)k−1

 X  ∼ G ( p)

   

 

 

 n

 

   X  ∼ G ( p)

   X 

   E (X ) =

 1

 p    V  (X ) =

 1 − p

 p2

 

8/18/2019 Var Infinie s

4/5

   

 E (X ) =

+∞k=1

 pk(1 −  p)k−1 =   p ×  1

(1 − (1 − p))2  =

  p

 p2  =

  1

 p  

E (X )2 =  1

 p2  

  X (X  − 1)  

 E (X (X − 1)) =

+∞k=1

 pk(k − 1)(1 − p)k−1 = p(1 − p)  2

(1 − (1 − p))3  =

  2(1 − p)

 p2  

V  (X ) = E (X (X  − 1)) + E (X ) − E (X )2 = 2(1 − p)

 p2  +

 1

 p −

  1

 p2  =

  2(1 − p) + p − 1

 p2  =

 1 − p

 p2

   X  ∼ G ( p)

   ∀(n, m) ∈ N∗2

 P X>n(X >

n + m) = P (X > m)

   P (X > m) =k>m

P (X  = k) =+∞

k=m+1

 pq k−1 = p+∞ j=0

q  j+m =

 pq m+∞ j=0

q  j =  p   q m

1 − q   =  q m   P (X > n) =  q n   P (X > n + m) =  q n+m  

P X>n(X > n + m) =  P (X > n + m)

P (X > n)  = q m

 

   X 

     λ ∈ R+

 X (Ω) = N    ∀k ∈ N    P (X  = k) = e−λ

λk

k!  

  X  ∼ P (λ)

       

  1    P (X  = k)    0    k    

+∞

   

   X  ∼ P (λ)

   X 

   E (X ) = V  (X ) = λ

 E (X ) =

+∞k=0

ke−λλk

k!  = λe−λ

+∞k=1

λk−1

(k − 1)! = λe−λeλ = λ

   E (X (X −1)) =

+∞k=0

k(k − 1)e−λ

λk

k!   =  λ2

+∞k=2

λk−2

(k − 2)!   =  λ2   V  (X ) =  E (X (X  − 1)) + E (X ) − E (X )2 =

λ2 + λ − λ2 = λ

       

 

 

 

 n

   p

 

   λ ∈  R

+    (X 

n)

   X 

n ∼ B n, λ

n

  ∀k ∈ N    limn→+∞

P (X n =  k) = e−λλ

k

k!

 

8/18/2019 Var Infinie s

5/5

   k ∈

N    X n ∼ B 

n,

 λ

n

 

  n k  

  P (X n =

k) =

n

k

λ

n

k 1 −

 λ

n

n−k

 

λk

nk  

 

n

k

=

  n!

k!(n − k)!  =

  n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)

k!  

 n

   k

 

 n

   nk

 nk

 

n

k

∼

 nk

k!  

1 −

 λ

n

n−k=   e(n−k) ln(1−

λ

n)

 lim

n→+∞

λ

n  = 0

 

 ln

1 −

 λ

n

  ∼ −

λ

n  

  (n  −  k) ln

1 −

 λ

n

  ∼

  n − k

n  (−λ)   →

n→+∞−λ  

limn→+∞

1 −  λ

n

= e−λ

 P (X n =  k) ∼   n

k

k! × λk

nk × e−λ ∼ e−λλk

k!