Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes 158- Smith II.8. Labaque de Smith Outil de...

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

1- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes

vues sur une ligne de transmission

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2- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.a. Rappels

Im

Re

T

O

rv

rv

1

T’ri

ri

Ro

rzZc

Zr

ri

rv

rirv

ri

ri

rv

rv

OT

OT

'

Impédance réduite

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3- Smith

II.8. L’abaque de Smith

10 RIm

O1 Re

Im

O1 Re

Onde progressiveOP

Tout est concentré sur 1

Onde stationnaireOS

Cercle maximum

Onde pseudo stationnaireOPS

Valeurs intermédiaires

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4- Smith

II.8. L’abaque de Smith

r

rj

r

r

i

ieRo

V

V R

γy2γy2

r

r

xeeR

Rv

v

)2(2R

yjy

xeeRo

Rx

RxZcZx

1

1

R

RZcZr

1

1

Impédance réduite :Rx

Rxzx

1

1

R

Rzr

1

1

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5- Smith

II.8. L’abaque de Smith

1

1

x

xx z

zR

Sans pertes :)2(

Ryj

xeRo

jeRoxzxz

1

1

Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un

point de la ligne

II.8.b. Construction en impédance

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6- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Ox

MjeRo

xzxz

1

1

Ro

Représentation polaire

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7- Smith

II.8. L’abaque de Smith

O

M

jqpjeRo

Représentation cartésienne

Im

Re

q

p

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8- Smith

II.8. L’abaque de Smith

jqpjeRo Im

O

M

Re

q

p

Ro

sin

cos

Roq

Rop

On pose l’impédance réduite sous la forme :

jurzx

jeRoxzxz

1

1 jur

jurjqp

1

1

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9- Smith

II.8. L’abaque de Smith

22

2

1

1

1

rq

r

rp

On arrive à :

Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r)

Cercle r=0 correspond à une impédance purement imaginaire

Cercle r=1 correspond à Zx=Zc

Cercle r=infini correspond au point de partie réelle 1

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10- Smith

II.8. L’abaque de Smith

5

21

0,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0Axe des réels

Axe p=1

0,2 0,5 1 2

Valeur de r

Valeur de u

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11- Smith

II.8. L’abaque de Smith

5

210,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

II.8.c. Utilisation de l’abaque

Si on connaît l’impédance

Calcul de l’impédance réduite

Exemple : zx=0.5-j0.6

zx

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12- Smith

II.8. L’abaque de Smith

5

21

0,6

0,3

- 0,6

- 0,3

- 1- 2

- 5

0 0,2 0,5 1 2

zx

Déduction du coefficient de

réflexion

Ro

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13- Smith

II.8. L’abaque de Smith

On trouve alors :

Rx = 0.48 e-j108°

1

1

x

xx z

zR

On peut vérifier :

Rx = -0.15 - j.0.46

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14- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Si la ligne est à pertes négligeables

csteRoRx

Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un

cercle de rayon |Ro|

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15- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Le déplacement autour de l’abaque est gradué en

fraction de longueur d’onde

Tour complet : /2

Demi-tour : /4

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16- Smith

II.8. L’abaque de SmithII.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque

Zi

ei

ZrRZc=50

Ligne 50 fermée sur une impédance Zr=25 +j75

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17- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) :

zr=25/50+j.75/50zr=0.5+1.5j

r=0.5

u=1.5

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18- Smith

II.8. L’abaque de SmithDétermination directe du

coefficient de réflexion au niveau de la charge :

R=0.75 ej64°

r=0.5

u=1.5

Lecture de

Lecture de |Ro|

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19- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Zi

ei

ZrRx1

Zc=50

On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à /4 de la charge

Zx1 /4

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20- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la chargePour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du

point de la charge, et on parcourt 0.25 vers le

générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport

au centre)

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21- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx1=0.75 e-j116°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx1 = 0.2 - 0.6j

D’où une impédance ramenée:

Zx1 = 10 - 30j

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22- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Zi

ei

ZrRx2

Zc=50

Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de

0.1vers la charge

Zx2 /4

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23- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Point précédent à 0.088 vers la charge

déplacement jusqu’au point à 0.188 vers la charge

Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|

Impédance de la charge

Impédance à /4 de la charge

Déplacement de 0.1 vers la charge

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24- Smith

II.8. L’abaque de SmithOn trouve alors directement

le nouveau coefficient de réflexion :

Rx2=0.75 e-j45°

De même on trouve la nouvelle impédance réduite :

zx2 = 0.9 - 2.1j

D’où une impédance ramenée:

Zx2 = 45 - 105j

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25- Smith

II.8. L’abaque de Smith

On va détailler les autres données que l’on peut

extraire de la représentation sur l’abaque

II.8.e. Autres grandeurs

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26- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Zi

ei

ZrZc=50 R

Représentation des tensions et courants :

y

xv

xv 2jeRo1

xRxv

xv

xv

xv 1Tension :

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27- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la charge

rv

rv

Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point

sur l’abaque

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

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28- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la chargeOn peut suivre alors le long

de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xv

xv

xv

xv

maxmin

xv

xv

1+|R|

1-|R|

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29- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la charge

On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le

point diamétralement opposé

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

Détermination du courant

ri

ri

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30- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la charge

xi

xi

On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de

passant par des valeurs min et max

xi

xi

1+|R|

1-|R|

xi

xi

v et i toujours en quadrature

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31- Smith

II.8. L’abaque de SmithReprésentation des admittances :

Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance

ZxxY

1 x

YZccYxY

xy .

admittance normalisée

Rx

Rxxy

1

1On a alors

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32- Smith

II.8. L’abaque de Smith

jeRo

jeRoxz

1

1

jeRo

jeRoxy

1

1

Si on compare :

Ajout de à

yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque

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33- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Impédance de la charge

Admittance de la charge

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34- Smith

II.8. L’abaque de SmithAutres grandeurs :

R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR

R

R

i

i

1

1

min

max

minvmax

vρ

Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant

par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S.

À l’origine, TOS=100Vr/Vi

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35- Smith

II.8. L’abaque de Smith

ROS

ROS dB=20 log ROS

Coefficient de réflexion en dB : Return loss

valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la

puissance réfléchie

RxPx

Pxlog20log10

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36- Smith

II.8. L’abaque de Smith

Pertes d’adaptation en dB : Reflected lossvaleur négative correspondant au rapport entre la puissance

arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise

21log10log10 Rx

Px

Px

Coefficient de réflexion en puissance :

Px

Px

Atténuation en dB : y

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37- Smith

II.8. L’abaque de Smith

A avoir en tête, les ordres de grandeurs :

ROS Return loss (dB)

Puissance transmise (%)

Puissance réfléchie (%)

|R|

1

1.5

2

3

0

0.2

0.33

0.5

- infini

-14

-10

-6

100

96

90

75

0

4

10

25