Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #12: Commande des systèmes échantillonnés...

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #12: Commande des systèmes échantillonnés

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 12

Fin du dernier cours: Retour sur le théorème de la fréquence d’échantillonnage Fonctions de transfert pulsées:

Éléments en cascade Éléments en boucle fermée

Stabilité d’une fonction de transfert pulsée

Commande des systèmes échantillonnés Lieux des racines Test de stabilité de Jury Erreur en régime permanent

2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 12

Type d’une fonction de transfert pulsée Équivalent discret d’un contrôleur continu:

Équivalent discret d’un contrôleur PID: Différence arrière Transformation bilinéaire Réponse invariante à l’échelon

Réponse basée sur le système de deuxième ordre Présentation d’intérêts d’étudiants:

Photographie (I) Application au domaine de l’aéronautique(II)

3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours #12

Choix d’une fréquence d’échantillonnage

Théorème d’échantillonnage de Nyquist-

Shannon Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème

d’échantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire:

De façon plus formelle (tirée de [8]) : “Soit un signal continu qui possède un spectre de fréquence maximale Fmax, il est possible d’échantillonner (discrétiser) ce signal sans perte d’information si la fréquence d’échantillonnage Fs est choisie telle que le théorème d’échantillonnage soit respecté”.

maxmax

2s sf f Tf

Shannon

Tiré de [7]

Shannon À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence

maximale (source image - wikipédia) :

Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable.

Fonction de transfert pulsée (I)

Éléments en cascade

Fonction de transfert pulsée (II)

Éléments en boucle fermée

Fonction de transfert pulsée (III)

Éléments en boucle fermée

Fonction de transfert pulsée (IV)

Exemple I

Fonction de transfert pulsée (V)

Exemple I

Fonction de transfert pulsée (VI)

Exemple I

Fonction de transfert pulsée (VII)

Stabilité

Fonction de transfert pulsée (VIII)

Stabilité

Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (I)

Q: Quel est l’intérêt du bloqueur d’ordre 0? R: Le bloqueur d’ordre 0 est fréquemment utilisé en tant que convertisseur

digital à analogique. C’est un système qui interpole grossièrement les échantillons.

Il peut d’ailleurs précisément reproduire un signal analogique, tant et aussi longtemps que la période d’échantillonnage « T » est petite en comparaison à la période de temps associée à la phase transitoire dudit signal. Plus particulièrement, la fréquence d’échantillonnage doit respecter le

théorème de Shannon-Nyquist:

Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence contenu dans le signal à échantillonner.

Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (II)

La fonction de transfert d’un bloqueur d’ordre 0 (nous l’avons développé au dernier cours) est:

En général, lorsque nous effectuerons l’analyse d’un système dans le domaine discontinu, nous considérerons souvent le schéma général suivant:

1 1sT ste eG s

Entrée = référence(digital)

Ordinateur Convertisseurdigital à analogique Actuateur Procédé

CapteurConvertisseur

analogique à digital

Sortie(analogique)

(digital)

(analogique) (analogique)

(analogique)

Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (III)

Ou encore:

En considérant un contrôleur de proportionnel:

D z Bloqueur d'ordre 0 pG s+

- pG z

R s Y s

Y z D z G z

R z D z G z

Y z KG z

R z KG z

Commande des systèmes échantillonnés (I)Lieu des racines

Donc, similairement au lieu des racines dans le domaine de

Laplace, le lieu des racines sera du système en boucle

fermée, dans le domaine échantillonné, sera déterminé par:

De plus, puisque z est complexe, le lieu des racines du

système en boucle fermée est sujet aux règles d’Evans

(exactement les mêmes), tout comme dans le domaine de

Laplace.

1 0KG z

Commande des systèmes échantillonnés (II)Lieu des racines

Remarques:

Les techniques montrées précédemment pour « placer les pôles » du système en utilisant les relations d’angle et d’amplitude s’appliqueront.

La région d’intérêt sera maintenant l’intérieur du cercle unitaire (centré à l’origine) et non la partie gauche du plan complexe.

Pour un G(z) avec n − m > 0, il y aura toujours au moins une asymptote qui sortira du cercle unitaire et le gain K sera donc donc toujours borné supérieurement.

Commande des systèmes échantillonnés (III)

Test de stabilité de Jury

Lorsque nous étions dans le domaine de Laplace nous utilisions

la table de Routh-Hurwitz afin de déterminé la stabilité ou

l’instabilité d’un système. Le test de Jury vise le même objectif et passe par la création du

« tableau de Jury » Il y a une analogie évidente à faire entre Routh-Hurwitz (Laplace –

systèmes continus) et Jury (transformé en z – systèmes discontinus) Pour déterminer si tous les pôles d’un polynômes en z sont à l’intérieur

du cercle unitaire, il faudra utiliser le test de stabilité de Jury. Considérons le polynôme caractéristique d’un système (boucle fermée): 1

0 1 1...n nn nP z a z a z a z a

Commande des systèmes échantillonnés (IV)

Il faut alors vérifier si tous les pôles du polynôme en z sont à

l’intérieur du cercle unitaire centré à l’origine. Pour ce faire, on

construit le tableau de Jury:

10 1 1...n n

n nP z a z a z a z a

Commande des systèmes échantillonnés (V)

Commande des systèmes échantillonnés (VI)

Finalement:

Commande des systèmes échantillonnés (VII)

Erreur en régime permanent

La notion de l’erreur en régime permanent, tout comme pour les systèmes dans le domaine de Laplace, utilisera évidemment le théorème de la valeur finale. Soit le système suivant:

Alors, la fonction de transfert du système est donnée par:

L’erreur de suivi, quant à elle est donnée par:

Donc, l’erreur en régime permanent:

C z G z

R z GH z

R zE z R z E z GH z E z

1 1E.R.P.= lim 1 lim 1

R zz E z z

Commande des systèmes échantillonnés (VIII)

Erreur en régime permanent – entrée échelon

Ainsi, pour une entrée échelon, on a:

1E.R.P. lim 1

11 1 1

E.R.P. lim 1 lim1 1 1z z

GH z GH z K

1E.R.P.

K GH z

Commande des systèmes échantillonnés (IX)

Erreur en régime permanent – entrée rampe

Ainsi, pour une entrée rampe, on a:

Propriété des limites: La limite de produit est aussi égal au produit des limites:

1E.R.P. lim 1

1E.R.P. lim 1 lim

1 1 1z z

Tzz Tz

zGH z z GH z

1E.R.P.

1limvz

z GH zK

1 11 1

1E.R.P. lim lim

1 1 1z zv

Kz GH z z GH z

Commande des systèmes échantillonnés (X)

Erreur en régime permanent – entrée parabole

Ainsi, pour une entrée rampe, on a:

T z zR z

1E.R.P. lim 1

31 2 1 1 21

2 21 1 1 1

2 1 1E.R.P. lim 1 lim

1 2 1 1 1 1

z T z z Tz

GH z z GH z z GH z

Kz GH z

1E.R.P.

1limaz

z GH zK

Commande des systèmes échantillonnés (XI)

Type d’une fonction de transfert pulsée

Le « type » d’une fonction de transfert pulsée correspond au nombre de pôle situé en z=1.

Tout comme dans le domaine de Laplace, il existe un lien direct entre le type d’une fonction de transfert pulsée et l’erreur en régime permanent pour une entrée connue (e.g.: un échelon, une rampe ou une parabole).

Commande des systèmes échantillonnés (XII)

Type d’une fonction de transfert pulsée VS E.R.P

Commande des systèmes échantillonnés (XIII)

Équivalent discret d’un contrôleur continu

Le contrôleur PID du domaine continu (Laplace) possède son équivalent dans le domaine discret, et il est en fait assez facile de passer de la forme continue à discret. Il existe en effet plusieurs transformations qui permettent d’obtenir l’équivalent discret. En effet, soit l’équation d’un contrôleur PID :

Cette équation peut être approximée en remplaçant l’intégrale par une règle trapézoïdale et la dérivée par une différence arrière pour obtenir:

Rappel & démonstration au tableau …

de tc t K e t K e t dt K

e h T e hT Km kT K e kT K T e kT e k T

Commande des systèmes échantillonnés (XIV)

À partir de cette approximation, attardons-nous maintenant à trouver la fonction de transfert pulsée du contrôleur PID. Commençons par trouver la fonction de transfert pulsée de

l’approximation trapézoïdale de l’intégrale de l’erreur:

On cherche F(z). En soustrayant des deux côtés, on obtient:

e h T e hTf kT T

( 1)f k T

1 2 11

e h T e hT e h T e h Tf kT f k T T T

e k T e kTf kT f k T T

E z z zF z z T F z T E z

Commande des systèmes échantillonnés (XV)

Donc, la fonction de transfert pulsée du contrôleur PID:

Commande des systèmes échantillonnés (XVI)

Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la différence arrière. En effet, puisqu’en approximant la dérivée par une différence arrière, nous avons approximé

« s » par:

En utilisant cette approximation pour « s », l’intégrale peut par conséquent être approximée par:

Ce qui donne l’approximation par différence arrière du contrôleur PID:

Commande des systèmes échantillonnés (XVII)

Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la transformation bilinéaire où l’on approxime l’intégrale par une règle trapézoïdale. En effet;

Ce qui donne l’approximation par transformation bilinéaire du contrôleur PID:

Cette approximation est habituellement plus précise que celle uniquement par différence arrière…

1 2 11

T z zs

s z T z

Commande des systèmes échantillonnés (XVIII)

Réponse invariante à l’échelon

Une dernière façon d’approximer la fonction de transfert d’un contrôleur se base sur une méthode par laquelle on souhaite obtenir la même réponse temporelle à un échelon dans le domaine discret et dans le domaine continu. Plus précisément, soit G(s) une fonction de transfert d’un

compensateur et Gd(z) son approximation en discret, on souhaite:

Commande des systèmes échantillonnés (XIX)

Réponse invariante à l’échelon

Commande des systèmes échantillonnés (XIX)

Résumé – Fonction de transfert du premier ordre

En résumé:

1 Tse aZ

Commande des systèmes échantillonnés (XX)

Réponse basée sur le système de 2ième ordre

Commande des systèmes échantillonnés (XXI)

Commande des systèmes échantillonnés (XXII)

Commande des systèmes échantillonnés (XXIII)

Commande des systèmes échantillonnés (XXIV)

Commande des systèmes échantillonnés (XXV)

Exemple

Commande des systèmes échantillonnés (XXVI)

Exemple

Commande des systèmes échantillonnés (XXVII)

Exemple

Commande des systèmes échantillonnés (XXVIII)Exemple

Intérêt #1 : Photographie

Présentation d’intérêts d’étudiants (I)

Photographie - Références

[1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970

[2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010.

[3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002.

[4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967.

[5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007.

[6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.

Présentation d’intérêts d’étudiants (II)

Photographie

Application #1 : le robot photographe (tiré de [2])

Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon)

a) Plateforme mobile b) Système de vision c) Contrôleur

Présentation d’intérêts d’étudiants (III)

Photographie

Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)

Photographie

2ième application (tiré de [6]): Stabilisateur d’image pour caméra

digitale portable. Basé sur la lecture de gyroscopes et

de capteur d’accélération linéaire, l’algorithme de contrôle évalue les vibrations subies par l’appareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à l’aide d’un moteur de type « voice coil ».

Présentation d’intérêts d’étudiants (V)

Photographie

Présentation d’intérêts d’étudiants (VI)

Photographie

Présentation d’intérêts d’étudiants (VII)

Photographie - Résultats

Présentation d’intérêts d’étudiants (VIII)

Photographie - Résultats

Présentation d’intérêts d’étudiants (IX)Photographie - Résultats

Intérêt #2 : Aéronautique

Références

[1]Lateral and Longitudinal Guidance and Control Design of a UAV in Auto Landing Phase– Muhammad Ilyas Salfi , Umair Ahsun and Haider Ali Bhatti, 2009.

[2] Research and Applications of Immune PID Adaptive Controller in Anti-skid Braking System for Aircraft – Haibin Song, Bin Fang, Pu Wang, 2009.

[3] NASA - Control of a Human-Powered Helicopter in Hover– Joseph J. Totah and William Patterson, 1988

[4] Autonomous Path Tracking and Disturbance Force Rejection of UAV Using Fuzzy Based Auto-Tuning PID Controller – Theerasak Sangyam, Pined Laohapiengsak, Wonlop Chongcharoen, and Itthisek Nilkhamhang, 2007.

[5] Design and Simulation of the Longitudinal Autopilot of UAV Based on Self-Adaptive Fuzzy PID Control, Yang Shengyi, Li Kunqin, Shi Jiao, 2009.

2ième application (I)Système anti-dérapage (tiré de [2])

Des systèmes anti-dérapage équipent aujourd’hui la plupart des avions de lignes modernes. Ceux-ci revêtent une importance primordiale lors du décollage et surtout lors de l’atterrissage:

Analyse des forces de l’avion lorsque celui-ci se meut à l’aide de ses roues (tiré de [2])

Analyse des forces affectant une roue

2ième application (II)Système anti-dérapage (tiré de [2])

Coefficient de glissement dépendamment de la condition du tarmac:

2ième application (III)Système anti-dérapage (tiré de [2])

Architecture du système de contrôle:

2ième application (IV)Système anti-dérapage (tiré de [2])

65Jean-Philippe Roberge - Mars

2ième application (V)Système anti-dérapage (tiré de [2])

66Jean-Philippe Roberge - Mars

2ième application (VI):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Qu’est-ce qu’un UAV? UAV = « Unmaned Air Vehicle ». Ici, il s’agira d’un hélicoptère

téléguidé à quatre rotors modélisé de cette façon:

2ième application (VII):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Le UAV a ici quatre rotors (actuateurs) et 6 variables d’états qui décrivent complètement la dynamique du véhicule:

Le but de la recherche est de comparer la performance d’un contrôleur PID classique VS un contrôleur PID à gains ajustables pour commander le système de manière à ce qu’il soit apte a suivre un ensemble d’états désirés.

2ième application (VIII):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Contrôleur PID classique:

2ième application (IX):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Contrôleur PID à gains ajustables:

2ième application (X):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Résultats:

2ième application (XI):Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré

de [4])

Résultats (suite):

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

[5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, 1994.

[6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.

[7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours #1 2007.

[8] Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen : http://www.greyc.ensicaen.fr/~gbinet/LeL1/L1_Sig3.pdf

Références

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