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Introduction à l’automatisation
-ELE3202-
Cours #8: Le modèle d’état
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Cours # 8
Retour sur le sondage du dernier cours
Fin de la matière portant sur les systèmes continus:
Le modèle d’état
Ses différentes formes: forme canonique commandable, forme
canonique observable, forme canonique diagonale, forme canonique
de Jordan
Sa solution: la matrice de transition
2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Cours # 8
Conception à l’aide du modèle d’état:
Critères de commandabilité / Observabilité d’un système
Commande par retour d’états
Régulation par placements de pôles
Observateurs d’états (Prochain cours)
Conception pour le suivi de consigne (Prochain cours)
Application de ces notions par l’exemple du contrôleur
d’Astolfi
3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Retour sur le sondage du dernier cours (I)
Retour sur le sondage du dernier cours
(II)
Points à améliorer selon vos commentaires:
Présentations Powerpoint plus colorées
“Plus d’exemples pratiques”, “Plus d’exemples provenant de
l’industrie”, “Plus d’exercices faits par les étudiants plutôt que par
le professeur.”
Faire plus de liens entre les exercices provenant des notes de
cours et ceux présentés en classe.
“Passer plus de temps sur la théorie.”
Poser plus de questions aux étudiants sur la matière.
Conflits avec le cours MEC3300 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Cours #8
Modèle d’état (I)
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Pour faire l’analyse d’un système et/ou la conception d’un contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle d’état du système
Question: Qu’est-ce que le modèle d’état? R.: Tout comme la fonction de transfert, le modèle d’état permet
de représenter un système. Une des principales différences est que contrairement à la fonction de transfert, le modèle d’état concerne le domaine temporel.
Le principe du modèle d’état est de représenté une équation différentielle d’ordre n par un système d’équations différentielle du premier ordre.
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Modèle d’état (II)
Exemple 1: Système masse-ressort avec
friction
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Par exemple, considérons un système masse-ressort avec frottement, où u(t) est la force verticale appliquée au système):
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Figure tirée de “Modern Control Systems”, Bishop & Al.
L’équation de la dynamique de ce système est:
qui est une équation différentielle d’ordre 2. En posant:
On peut ré-écrire l’équation de la dynamique tel que:
2
2
d y t dy tM b ky t u t
dt dt
1 2 et x y t x y t
2 2 1Mx bx kx u t
Modèle d’état (III)
Exemple 1: Système masse-ressort avec
friction
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
9
2
2
d y t dy tM b ky t u t
dt dt
1 2 et x y t x y t
2 2 1Mx bx kx u t
Et on peut donc directement ré-écrire les équations de la dynamique en un système
d’équations différentielles de premier ordre:
1 2
2 2 1
1
x x
b kx x x u t
M M M
Modèle d’état (IV)
Exemple 1: Système masse-ressort avec
friction
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Par ailleurs, ce système d’équations différentielles du premier ordre peut évidemment
se ré-écrire sous format matricielle:
1 2
1 1
2 22 2 1
0 1 0
11
x xx x
u tk bb kx xx x x u t
M M MM M M
x xBA
Supposons que la sortie est la position de la masse, alors on pourrait aussi écrire:
Les équations générales du modèle d’état sont donc:
x est le vecteur d’état, u est le vecteur des entrées et y est le vecteur des sorties
1 0 0y x u t D
C
x Ax Bu
y Cx Du
Modèle d’état (V)
Exemple 2: Pendule inversé sur chariot
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Soit le système suivant: Les équations de la dynamique de ce
système (une fois linéarisé) se résument à:
On veut stabiliser le pendule ET le chariot, les sorties de ce système sont donc l’angle du pendule ϴ(t) et la position x(t).
Dynamique du pendule
Dynamique du chariot
F t M m g t Ml t
F t Mx t mg t
1
2
( )y t t
y t x t
Modèle d’état (VI)
Exemple 2: Pendule inversé sur chariot
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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En posant:
On obtient les équations du système sous forme de modèle d’états:
1
2
( )y t t
y t x t
1 2 3 4, , , et x t x t x x t x x t u t F t
Dynamique du pendule
Dynamique du chariot
F t M m g t Ml t
F t Mx t mg t
1 11 2 3 4
2 2
2 13 3
4 4
4 1
1 1
2 3 1
2
0 1 0 0 0
10 0 0
00 0 0 1
10 0 0
x xx x x x M m gx x MlMlM m g u u t A Bx x x xMl Mlx xmgmg u
x xMMM M
y x
y x y
y
x x u
1
2
3
4
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
x
xu t C D
x
x
y x u
Modèle d’état (VII)
Dernier exemple: Circuit RLC
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Au tableau...
Modèle d’état (VIII)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (IX)
Définition: L’état d’un système est l’ensemble des variables (dites les variables d’états) dont les valeurs, jumelées aux valeurs des entrées ainsi qu’aux équations de la dynamique d’un système, déterminent l’état futur ainsi que la sortie du système.
Elles décrivent la configuration d’un système à un moment précis et peuvent être utilisées pour déterminer la réponse future de ce système, étant donné la connaissance du signal d’entrée et des équations décrivant la dynamique.
Note importante: Les variables d’états qui décrivent un système ne sont pas un ensemble unique, plusieurs ensembles de variables d’états peuvent généralement être choisies.
En effet, revisitons l’exemple du circuit RLC (tableau)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (X)
Aussi, il est assez simple de passer du modèle d’état d’un système (dans le domaine
temporel) à la fonction de transfert du modèle (dans le domaine de Laplace) :
Modèle d’état:
En appliquant la transformée de Laplace de chaque côté des équations:
En ré-arrangeant et en considérant les conditions initiales nulles, pour les états:
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
0sX s x AX s BU s
Y s CX s DU s
1
:
sX s AX s BU s sI A X s
Donc X s sI A BU s
Modèle d’état (XI)
Donc, en substituant cette expression dans l’équation de la sortie:
La fonction de transfert est donc:
Par ailleurs,
Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!!
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1 1
Y s CX s DU s
Y s C sI A BU s DU s C sI A B D U s
1X s sI A BU s
1Y s
G s C sI A B DU s
Q sG s
sI A
Modèle d’état (XII)
Exemple d’un système de deuxième
ordre
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XIII)
Exemple d’un système de deuxième
ordre
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XIV)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XV)
Vous voyez donc bien qu’un système n’a pas une représentation unique. Lorsque l’on fait un tel changement de variable, on peut ré-écrire le système sous cette forme:
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Modèle d’état (XVI)
Nous pouvons d’ailleurs nous convaincre que le nouveau système est le même que l’ancien en retrouvant la fonction de transfert:
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XVII)
Bien qu’il existe une infinité de représentations d’état pour une même fonction de transfert, l’utilisation de certaines formes « standards » est privilégiée :
La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan
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Modèle d’état (XVIII)Forme canonique
commandable Soit une fonction de transfert qui s’écrit telle que:
Une telle fonction peut se ré-écrire :
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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10 1 1
11 1
...
...
n nn n
n nn n
Y s b s b s b s bG s
U s s a s a s a
11 1 0 1 1 0 0
0 11 1
...
...
nn n n n
n nn n
Y s b a b s b a b s b a bG s b
U s s a s a s a
10 1 1
11 1
1 10 1 1 1 1 0 1 1 0 0
11 1
10 1 1 1 1
11 1
En effet:
...
...
... ...
...
...
...
n nn n
n nn n
n n nn n n n n n
n nn n
n nn n
n nn n
Y s b s b s b s bG s
U s s a s a s a
b s a s a s a b a b s b a b s b a b
s a s a s a
b s a s a s a b a
s a s a s a
10 1 1 0 0
11 1
11 1 0 1 1 0 0
0 11 1
...
...
...
...
nn n n n
n nn n
nn n n n
n nn n
b s b a b s b a b
s a s a s a
b a b s b a b s b a bb
s a s a s a
Modèle d’état (XIX)Forme canonique
commandable
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Modèle d’état (XX)Forme canonique
commandable
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XXI)Forme canonique
observable
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XXII)Forme canonique
observable
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XXIII)Forme canonique
observable
Note:Jean-Philippe Roberge - Mars
201129
. . . . . . . . . . . .T T T
can obs can com can obs can com can obs can comA A B C C B
Modèle d’état (XXIV)Forme canonique
diagonale
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Modèle d’état (XXV)Forme canonique
diagonale
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XXVI)Forme canonique de
Jordan
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Modèle d’état (XXVII)Forme canonique de
Jordan
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Solution des équations d’état par Laplace (I)
Il est possible de trouver aisément la solution des équations d’état en utilisant Laplace. En effet, soit le système d’état suivant (domaine temporel):
En prenant la transformée de Laplace des deux côtés:
Donc, la solution:
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x Ax Bu
y Cx Du
0sX s x AX s BU s
Y s CX s DU s
1 1
0
0
0
sX s AX s x BU s
sI A X s x BU s
X s sI A x sI A BU s
Solution des équations d’état par Laplace (II)
On peut écrire ce dernier résultat :
Où:
En prenant la transformée inverse de Laplace:
La solution générale des équations d’état est:
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1 10X s sI A x sI A BU s
0X s s x s BU s
1s sI A
11t sI A L
0
0t
x t t x t BU d
Propriété 8: convolution temporelle
0
0t
y t C t x C t BU d
Matrice de transition
Solution des équations d’état par Laplace (III)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Solution des équations d’état par Laplace (IV)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
37
Solution des équations d’état par Laplace (V)
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (I)
Commandabilité
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (II)
Observabilité
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (III)
Exemple – système masse-ressort avec friction
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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1 21 1
2 22 2 1
0 1 01
1 2 1
x xx x
u tb kx xx x x u t
M M M
Bx xA
1 0 0y x u t D
C
Commandabilité:
Observabilité:
0 1| | 2
1 2rang B AB rang
1 0| | 2
0 1T T Trang C A C rang
Conception à l’aide du modèle d’état (IV)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (V)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (VI)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (VII)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
45
Conception à l’aide du modèle d’état (VIII)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
46
Conception à l’aide du modèle d’état (IX)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (X)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Conception à l’aide du modèle d’état (XI)
Commande par retour d’états
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Application de ces notions- Exemple du contrôleur d’Astolfi -
Contrôleur d’Astolfi (I) [5]
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Dynamique
Distance et angles (Pose) par rapport au but
Dynamique de la pose par rapport au but
Contrôleur d’Astolfi (II) [5]
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
52
Dynamique de la pose par rapport au but
Contrôleur d’Astolfi (III) [5]
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Contrôleur d’Astolfi (IV) [5]
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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Prochain cours
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
55
Observateurs d’états
Début de la matière concernant le domaine non-continu
(discret):
Échantillonnage
Transformée en z
Choix d’une fréquence d’échantillonnage
Bloqueur d’ordre 0
Références
56
[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
[5] Exponential Stabilization of a Wheeled Mobile Robot Via Discontinuous Control – A. Astolfi, March 1999
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
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