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M1 MEEF Maths Lyon 1
2014-2015
Géométrie plane
1
Une confusion commune
2
Des problèmes
Exemples
3
Un problème de mesure
Dans une pièce « rectangulaire » on
souhaite tendre un fil entre deux sommets
opposés du plafond de cette pièce.
Comment déterminer la longueur du fil ?
4
Trois modes de résolution
Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…
Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation
des objets
(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour
mesurer)
Résolution plus mathématique, avec mesurage et
utilisation de propriétés issues de la théorie
géométrique (théorème de Pythagore)
5
Un problème de construction
Tracer un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.
6
7
8
9
Deux modes de résolution
Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du
compas et constat :
Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.
Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe
bien.
Résolution mathématique :
7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de
l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.
10
Un problème d’identification
Exercice
Quelle est la nature du
quadrilatère EFGH ?
- ABCD est un carré
- AE = BF = CG = DH
11
Trois modes de résolution
Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je
vois bien que c’est un carré
Résolution pratico-mathématique : mesurage
des côtés et des angles, utilisation des propriétés
géométriques du carré
Résolution mathématique : raisonnement
(démonstration)
12
Différentes démarches pour résoudre
un problème
Résolution pratique : elle met en œuvre la perception et des actions et des compétences purement spatiales
Résolution pratique qui s’appuie sur des modélisations de l’espace qui nous entoure et qui utilise des propriétés du modèle théorique (pratico-mathématique)
Résolution par un raisonnement théorique mathématique (démonstration)
13
Les problématiques
14
« Où » est posé le problème ?
Et « où » se valide la solution ?
Dans l’espace sensible :
L’espace qui nous entoure
L’espace de la feuille de papier
L’écran de l’ordinateur
Ou bien c’est un problème interne
à la théorie
15
Sur quels objets ?
Des objets de la vie courante
Des « objets graphiques »
représentations d’objets de la vie courante
dessins (géométriques)
représentations d’objets théoriques (« figures »)
Des « objets » théoriques : des concepts
16
Dessin et figure
Dessin : un objet du monde sensible, objet
graphique sur la feuille de papier, dont les
propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation
des instruments
Figure : une représentation graphique d’un objet
idéal, d’un concept géométrique, dont les
propriétés sont établies par déduction.
17
Avec quelles connaissances ?
Connaissances spatiales :
elles permettent à chacun de contrôler ses
rapports à l’espace par la perception
Connaissances géométriques :
elles sont associées à des définitions et
propriétés géométriques utilisées
explicitement ou implicitement
18
Les niveaux de géométrie
Houdement et Kuzniak
19
Intuition
Fournit au sujet: - Une théorie première basée sur un lot
d’évidences- Un socle pour le raisonnement
Est une source de découvertes. Peut être vue comme un ensemble de strates qui se
superposent et font oublier les premières intuitions.
Non stable, évolue grâce aux expériences.
Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »
20
Expérience
Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.
Lieu: espace mesurable.
Outil: perception, instruments.
Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat»
SommeAnglesTriangle.ggb
21
Déduction
Permet d’atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.
Fondée sur le raisonnement.
Permet de réorganiser les apports de l’expérience.
22
Exemple: la somme des angles d’un
triangle
On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les
angles alternes – internes.
23
Liens entre Intuition, Expérience,
Déduction
Expérience Intuition
nourrit
structure
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
1)
2)
3)Évidence renseignement
issue de l’intuition # issu de l’expérience
Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement24
Gonseth illustre le lien entre ces trois aspects par
cette affirmation :
25
« être géomètre c'est ne pas confondre une
évidence issue de l'intuition avec un
renseignement issu de l'expérience et le
résultat d'une expérience avec la conclusion
d'un raisonnement ».
Paradigme
26
Ensemble des croyances, des techniques
et des valeurs que partage un groupe
scientifique, mais aussi des exemples
particulièrement significatifs auxquels on
peut se référer .
27
Catherine HOUDEMENT et Alain KUZNIAK ont créé trois
paradigmes géométriques:
La géométrie naturelle
La géométrie axiomatique naturelle
La géométrie axiomatique formaliste
Dans chaque paradigme se retrouvent les trois aspects :
intuition, expérience, déduction.
Géométrie naturelle (ou géométrie I)
La déduction s’exerce sur des objets matériels.
Preuve dynamique et mécanique.
Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).
Source de validation: monde réel, sensible.
Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
28
Géométrie axiomatique naturelle (ou
géométrie II)
Géométrie comme schéma de la réalité.
Importance de la déduction logique et de la démonstration
au sein d’un système axiomatique précis.
Présence des trois pôles.
29
Géométrie axiomatique formaliste (ou
géométrie III)
Indépendance entre la géométrie et la réalité
L’axiomatisation vise à être complète
Vision algébrique de la géométrie
Elle a émergé avec la naissance des géométries non –
euclidiennes
30
Comparaison des Géométries
Géométrie I Géométrie II Géométrie III
IntuitionSensible et
perceptiveLiée aux figures
Interne aux
mathématiques
ExpérienceLiée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalitéDe type logique
Déduction
Proche du réel et
liée à l’expérience
par la vue
Démonstration
basée sur des
axiomes
Démonstration
basée sur des
axiomes
Type
d’espace
Espace intuitif et
physique
Espace physico-
géométrique
Espace abstrait
euclidien
31
La géométrie de l'école au collège
C1 et C2
Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils : l’œil
Fin C2 et C3 et 6ème
Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils : instruments
Collège (à partir de fin 5ème)
Géométrie déductive
Est vrai ce qui est démontré
Boîte à outils : théorèmes
Passage d’une géométrie de
niveau I à une géométrie de
niveau II32
33
ABCD est un carré de 7 cm de côté.
Le cercle est de centre B et de rayon 4
cm.
Quelle est la longueur du segment
[BH] ?
Calcule la longueur du segment [HC].
Explique ton raisonnement.
Un exercice posé en sixième
Des réponses d’élèves
34
Elève 1 : c’est que le B n’est pas au centre et pas de rayon BH. Comme c’est fait à la main levée, le centre B est mal fait et le rayon aussi est mal fait ; il faut faire au compas, c’est plus pratique.
Elève 2 : (pour la valeur BH) Elle fait 3,2 cm. J’ai mesuré avec la règle graduée. HC mesure 1,9 cm et j’ai aussi mesuré à la règle graduée. Mais on ne peut pas mesurer.
Elève 3 : 2,5. J’ai mesuré avec la règle graduée et j’ai trouvé 2,5. (pour BH).
Elève 4 : la longueur est de 4 cm parce que H est dans le rayon BH et que la mesure du rayon est de 4 cm. La longueur de HC est 2 cm puisque c’est la moitié.
Elève 5 : l’élève fait au propre la construction et mesure les segments puis trouve HC = 3,1 cm.
Dans les programmes
6ème 5ème 4ème
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance
- dessin/objet matériel
- raisonnement, déduction
- démonstration
- dessin/outil-représentant
Géométrie pratique Géométrie théoriqueDualité
35
Dans les programmes
Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème
Consolider « une
première expérience
des figures et des
solides en passant
d’une reconnaissance
perceptive à une
connaissance prenant
appui sur quelques
propriétés vérifiées à
l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des
figures dessinées,
parfois à main levée.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Entretenir la pratique
des constructions
géométriques et des
raisonnements sous –
jacents qu’elles
mobilisent..
Elaboration, rédaction
d’une démonstration.
Initier les élèves à la
démonstration.
36
La géométrie au collège:
difficile transition de la géométrie I à la
géométrie II
•Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur
espace de travail attaché à la géométrie I
•L’espace de travail attendu par les enseignants de
collège est celui de la géométrie II
• Malentendus, puis rupture en 4ème.
•A qui est confiée la phase de transition ?
37
LA GEOMETRIE A L'ECOLE PRIMAIRE :
une forme inachevée de la géométrie I
38
Le professeur doit comprendre la difficulté et
accompagner l'élève dans son apprentissage.
Les élèves et le maître travaillent tous deux dans
un espace de travail dépendant du même
paradigme géométrique : la Géométrie I.
La figure aura un statut de validation, la
perception sera très présente et permettra
d'entamer un raisonnement.
Programmes
Ecole primaire
CYCLE 1
Dessiner un rond, un carré, un triangle
39
CYCLE 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière
d’orientation et de repérage.
Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes.
Ils utilisent des instruments et des techniques pour
reproduire ou tracer des figures planes.
Ils utilisent un vocabulaire spécifique.
40
Reconnaître un triangle;
Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un
triangle rectangle;
Utilisation de la règle, de l’équerre, du gabarit d’angle droit;
Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe de
symétrie, égalité de longueurs
Mesurer des segments, des distances.
Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer
des longueurs
41
Exemples (évaluation CE2 2006):
- construire un rectangle Exercices\CE2 2006 rectangle.pdf
- reconnaître un alignement Exercices\CE2 2006
alignement.pdf
- Reconnaître un angle droit Exercices\CE2 2006 angle
droit.pdf
-Tracer un segment Exercices\CE2 2006 segment.pdf
42
CYCLE 3L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du
CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer
progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets
à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et
de mesure.
43
Les relations et propriétés géométriques :alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.
Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle .
Description, reproduction, construction.
Agrandissement et réduction de figures planes.
44
Les longueurs, les masses, les volumes : mesure,
estimation, unités légales;
Périmètre d’un polygone;
Formule du périmètre du carré et du rectangle, de la
longueur du cercle.
Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités
usuelles ;
Formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.
Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de
l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
45
Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010):
Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf
Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf
Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf
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COLLEGE Passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par la
vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ;
Isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ;
Découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ;
Se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser.
Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes étudiées.
47
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