M1 MEEF Maths Lyon 1

2014-2015

Géométrie plane

1

Une confusion commune

2

Des problèmes

Exemples

3

Un problème de mesure

Dans une pièce « rectangulaire » on

souhaite tendre un fil entre deux sommets

opposés du plafond de cette pièce.

Comment déterminer la longueur du fil ?

4

Trois modes de résolution

Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…

Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation

des objets

(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour

mesurer)

Résolution plus mathématique, avec mesurage et

utilisation de propriétés issues de la théorie

géométrique (théorème de Pythagore)

5

Un problème de construction

Tracer un triangle dont les côtés mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.

6

7

8

9

Deux modes de résolution

Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du

compas et constat :

Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.

Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe

bien.

Résolution mathématique :

7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de

l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.

10

Un problème d’identification

Exercice

Quelle est la nature du

quadrilatère EFGH ?

- ABCD est un carré

- AE = BF = CG = DH

11

Trois modes de résolution

Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je

vois bien que c’est un carré

Résolution pratico-mathématique : mesurage

des côtés et des angles, utilisation des propriétés

géométriques du carré

Résolution mathématique : raisonnement

(démonstration)

12

Différentes démarches pour résoudre

un problème

Résolution pratique : elle met en œuvre la perception et des actions et des compétences purement spatiales

Résolution pratique qui s’appuie sur des modélisations de l’espace qui nous entoure et qui utilise des propriétés du modèle théorique (pratico-mathématique)

Résolution par un raisonnement théorique mathématique (démonstration)

13

Les problématiques

14

« Où » est posé le problème ?

Et « où » se valide la solution ?

Dans l’espace sensible :

L’espace qui nous entoure

L’espace de la feuille de papier

L’écran de l’ordinateur

Ou bien c’est un problème interne

à la théorie

15

Sur quels objets ?

Des objets de la vie courante

Des « objets graphiques »

représentations d’objets de la vie courante

dessins (géométriques)

représentations d’objets théoriques (« figures »)

Des « objets » théoriques : des concepts

16

Dessin et figure

Dessin : un objet du monde sensible, objet

graphique sur la feuille de papier, dont les

propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation

des instruments

Figure : une représentation graphique d’un objet

idéal, d’un concept géométrique, dont les

propriétés sont établies par déduction.

17

Avec quelles connaissances ?

Connaissances spatiales :

elles permettent à chacun de contrôler ses

rapports à l’espace par la perception

Connaissances géométriques :

elles sont associées à des définitions et

propriétés géométriques utilisées

explicitement ou implicitement

18

Les niveaux de géométrie

Houdement et Kuzniak

19

Intuition

Fournit au sujet: - Une théorie première basée sur un lot

d’évidences- Un socle pour le raisonnement

Est une source de découvertes. Peut être vue comme un ensemble de strates qui se

superposent et font oublier les premières intuitions.

Non stable, évolue grâce aux expériences.

Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »

20

Expérience

Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire.

Lieu: espace mesurable.

Outil: perception, instruments.

Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est un angle plat»

SommeAnglesTriangle.ggb

21

Déduction

Permet d’atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l’expérience.

Fondée sur le raisonnement.

Permet de réorganiser les apports de l’expérience.

22

Exemple: la somme des angles d’un

triangle

On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les

angles alternes – internes.

23

Liens entre Intuition, Expérience,

Déduction

Expérience Intuition

nourrit

structure

« La déduction avance mais ne voit pas.

L’intuition voit mais n’avance pas. »

1)

2)

3)Évidence renseignement

issue de l’intuition # issu de l’expérience

Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement24

Gonseth illustre le lien entre ces trois aspects par

cette affirmation :

25

« être géomètre c'est ne pas confondre une

évidence issue de l'intuition avec un

renseignement issu de l'expérience et le

résultat d'une expérience avec la conclusion

d'un raisonnement ».

Paradigme

26

Ensemble des croyances, des techniques

et des valeurs que partage un groupe

scientifique, mais aussi des exemples

particulièrement significatifs auxquels on

peut se référer .

27

Catherine HOUDEMENT et Alain KUZNIAK ont créé trois

paradigmes géométriques:

La géométrie naturelle

La géométrie axiomatique naturelle

La géométrie axiomatique formaliste

Dans chaque paradigme se retrouvent les trois aspects :

intuition, expérience, déduction.

Géométrie naturelle (ou géométrie I)

La déduction s’exerce sur des objets matériels.

Preuve dynamique et mécanique.

Importance de la construction et la perception (pliage, superposition).

Source de validation: monde réel, sensible.

Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.

(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)

28

Géométrie axiomatique naturelle (ou

géométrie II)

Géométrie comme schéma de la réalité.

Importance de la déduction logique et de la démonstration

au sein d’un système axiomatique précis.

Présence des trois pôles.

29

Géométrie axiomatique formaliste (ou

géométrie III)

Indépendance entre la géométrie et la réalité

L’axiomatisation vise à être complète

Vision algébrique de la géométrie

Elle a émergé avec la naissance des géométries non –

euclidiennes

30

Comparaison des Géométries

Géométrie I Géométrie II Géométrie III

IntuitionSensible et

perceptiveLiée aux figures

Interne aux

mathématiques

ExpérienceLiée à l’espace

mesurable

Schéma de la

réalitéDe type logique

Déduction

Proche du réel et

liée à l’expérience

par la vue

Démonstration

basée sur des

axiomes

Démonstration

basée sur des

axiomes

Type

d’espace

Espace intuitif et

physique

Espace physico-

géométrique

Espace abstrait

euclidien

31

La géométrie de l'école au collège

C1 et C2

Géométrie de la perception

Est vrai ce qui est "vu" comme tel

Boîte à outils : l’œil

Fin C2 et C3 et 6ème

Géométrie instrumentée

Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments

Boîte à outils : instruments

Collège (à partir de fin 5ème)

Géométrie déductive

Est vrai ce qui est démontré

Boîte à outils : théorèmes

Passage d’une géométrie de

niveau I à une géométrie de

niveau II32

33

ABCD est un carré de 7 cm de côté.

Le cercle est de centre B et de rayon 4

cm.

Quelle est la longueur du segment

[BH] ?

Calcule la longueur du segment [HC].

Explique ton raisonnement.

Un exercice posé en sixième

Des réponses d’élèves

34

Elève 1 : c’est que le B n’est pas au centre et pas de rayon BH. Comme c’est fait à la main levée, le centre B est mal fait et le rayon aussi est mal fait ; il faut faire au compas, c’est plus pratique.

Elève 2 : (pour la valeur BH) Elle fait 3,2 cm. J’ai mesuré avec la règle graduée. HC mesure 1,9 cm et j’ai aussi mesuré à la règle graduée. Mais on ne peut pas mesurer.

Elève 3 : 2,5. J’ai mesuré avec la règle graduée et j’ai trouvé 2,5. (pour BH).

Elève 4 : la longueur est de 4 cm parce que H est dans le rayon BH et que la mesure du rayon est de 4 cm. La longueur de HC est 2 cm puisque c’est la moitié.

Elève 5 : l’élève fait au propre la construction et mesure les segments puis trouve HC = 3,1 cm.

Dans les programmes

6ème 5ème 4ème

- expérience, intuition

- construction, reconnaissance

- dessin/objet matériel

- raisonnement, déduction

- démonstration

- dessin/outil-représentant

Géométrie pratique Géométrie théoriqueDualité

35

Dans les programmes

Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème

Consolider « une

première expérience

des figures et des

solides en passant

d’une reconnaissance

perceptive à une

connaissance prenant

appui sur quelques

propriétés vérifiées à

l’aide d’instruments »

Prendre appui sur des

figures dessinées,

parfois à main levée.

Expérimenter,

conjecturer, justifier.

Entretenir la pratique

des constructions

géométriques et des

raisonnements sous –

jacents qu’elles

mobilisent..

Elaboration, rédaction

d’une démonstration.

Initier les élèves à la

démonstration.

36

La géométrie au collège:

difficile transition de la géométrie I à la

géométrie II

•Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur

espace de travail attaché à la géométrie I

•L’espace de travail attendu par les enseignants de

collège est celui de la géométrie II

• Malentendus, puis rupture en 4ème.

•A qui est confiée la phase de transition ?

37

LA GEOMETRIE A L'ECOLE PRIMAIRE :

une forme inachevée de la géométrie I

38

Le professeur doit comprendre la difficulté et

accompagner l'élève dans son apprentissage.

Les élèves et le maître travaillent tous deux dans

un espace de travail dépendant du même

paradigme géométrique : la Géométrie I.

La figure aura un statut de validation, la

perception sera très présente et permettra

d'entamer un raisonnement.

Programmes

Ecole primaire

CYCLE 1

Dessiner un rond, un carré, un triangle

39

CYCLE 2 Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière

d’orientation et de repérage.

Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes.

Ils utilisent des instruments et des techniques pour

reproduire ou tracer des figures planes.

Ils utilisent un vocabulaire spécifique.

40

Reconnaître un triangle;

Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un

triangle rectangle;

Utilisation de la règle, de l’équerre, du gabarit d’angle droit;

Percevoir et reconnaître: alignement, angle droit, axe de

symétrie, égalité de longueurs

Mesurer des segments, des distances.

Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer

des longueurs

41

Exemples (évaluation CE2 2006):

- construire un rectangle Exercices\CE2 2006 rectangle.pdf

- reconnaître un alignement Exercices\CE2 2006

alignement.pdf

- Reconnaître un angle droit Exercices\CE2 2006 angle

droit.pdf

-Tracer un segment Exercices\CE2 2006 segment.pdf

42

CYCLE 3L’objectif principal de l’enseignement de la géométrie du

CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer

progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets

à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et

de mesure.

43

Les relations et propriétés géométriques :alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.

L’utilisation d’instruments et de techniques : règle, équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé, pliage.

Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers, le cercle .

Description, reproduction, construction.

Agrandissement et réduction de figures planes.

44

Les longueurs, les masses, les volumes : mesure,

estimation, unités légales;

Périmètre d’un polygone;

Formule du périmètre du carré et du rectangle, de la

longueur du cercle.

Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités

usuelles ;

Formule de l’aire d’un rectangle et d’un triangle.

Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de

l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.

45

Exemples (évaluations CM2 2009 et 2010):

Exercices\Eval CM2 reconna perp - parall.pdf

Exercices\Eval CM2 recon carré.pdf

Exercices\Eval CM2 tracer - reproduire.pdf

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COLLEGE Passer de l’identification perceptive (la reconnaissance par la

vue) de figures et de configurations à leur caractérisation par des propriétés (passage du dessin à la figure) ;

Isoler dans une configuration les éléments à prendre en compte pour répondre à une question ;

Découvrir quelques transformations géométriques simples : symétries : symétries axiales et centrales ;

Se constituer un premier répertoire de théorèmes et apprendre à les utiliser.

Connaître et utiliser les périmètres, aires des figures planes étudiées.

47