Modélisation « Multi-Paradigme(s)

Modélisation « Multi-Paradigme(s) »

Modélisation des systèmes

Cécile Hardebolle cecile.hardebolle@supelec.fr

Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides

17/02/11 Modélisation des systèmes 2

Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides

17/02/11 Modélisation des systèmes 3

1.  Système hybride 2.  Automate hybride 3.  Modèle modal 4.  Modèle mixte 5.  Automate temporisé 6.  En résumé

Système hybride

17/02/11 Modélisation des systèmes 4

Système hybride

17/02/11 Modélisation des systèmes 5

}  Dynamique discrète (machine à états finis)

}  Dynamique continue (temps continu ou temps discret…)

}  Système hybride

saut

flux

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Exemple : Thermostat

17/02/11 Modélisation des systèmes 6

}  Variables }  Température : variable continue T à valeurs réelles }  Mode : variable discrète M à valeurs dans {on, off}

}  Flux dans chacun des modes }  Mode ON [si (M = on) ∧ (T < 82°)] : dT/dt = K×(100 – T) }  Mode OFF [si (M = off) ∧ (T > 68°)] : dT/dt = – K×T

}  Sauts entre les modes (instantanés) }  ON OFF si (M = on) ∧ (T ≥ 80°) }  OFF ON si (M = off) ∧ (T ≤ 70°)

saut

flux

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Exemple : Dynamique du thermostat

17/02/11 Modélisation des systèmes 7

t

T 82

80

70

68

on off

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Autres exemples de systèmes hybrides

17/02/11 Modélisation des systèmes 8

}  Systèmes naturels présentant différentes phases de comportement }  Balle rebondissante }  Croissance de cellules

}  Systèmes avec contrôle numérique }  Thermostat }  Contrôleur d’un système de production

d’énergie }  Régulateur de vitesse de voiture }  Pilote automatique d’avion

Exemple : Pendule de Furuta

17/02/11 Modélisation des systèmes 9

Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides

17/02/11 Modélisation des systèmes 10

1.  Système hybride 2.  Automate hybride 3.  Modèle modal 4.  Modèle mixte 5.  Automate temporisé 6.  En résumé

Automate hybride

17/02/11 Modélisation des systèmes 11

}  Automate hybride = modèle formel pour les systèmes hybrides }  Différents modes (états), transitions déclenchés par des événements }  Comportement dans chaque mode décrit par des équations différentielles

(ou des équations aux différences si temps discret…)

}  Définition formelle

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Exemple : Thermostat

17/02/11 Modélisation des systèmes 12

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Mode

Invariant

Equation différentielle (flux)

Transition = condition de garde / reset

off T > 68°

on T < 82°

T ≤ 70° / T := T

T ≥ 80° / T := T

T

•

= −KT T

•

= K(100−T )

Transition initiale

Une des exécutions possibles de l’automate

Exemple : Balle rebondissante

17/02/11 Modélisation des systèmes 13

}  Comment passer à la modélisation ? }  Variables continues ? }  Modes ? }  Transitions ?

}  Position, vitesse }  En vol }  Rebond

}  Garde : arrivée au sol en descente (x = 0 et v ≤ 0)

}  Reset : modification de la vitesse (inversion + amortissement)

Position verticale x

x(t) ? v(t) ?

x ≥ 0

x•

= v

v•

= −g

Exemple : Balle rebondissante

17/02/11 Modélisation des systèmes 14

x = 0 & v ≤ 0 / v := –Cv

x•

= v

v•

= −g

EnVol x ≥ 0

x := P v := 0

Position verticale x

x(t) ? v(t) ?

x ≥ 0

x•

= v

v•

= −g

Exécution(s) possible(s) : x(t), v(t) ?

x, v

t

Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides

17/02/11 Modélisation des systèmes 15

1.  Système hybride 2.  Automate hybride 3.  Modèle modal 4.  Modèle mixte 5.  Automate temporisé 6.  En résumé

Modèle modal

17/02/11 Modélisation des systèmes 16

Modèle modal discret

Modèle continu du mode 1

Modèle continu du mode 2

Exercice : Equations différentielles

17/02/11 Modélisation des systèmes 17

}  Objectif = modéliser les équations différentielles de la balle rebondissante en utilisant des schéma-blocs

}  Eléments de modélisation à disposition : }  Constante : émet un signal constant continu

}  Intégrateur : produit en sortie le signal intégrale du signal d’entrée ‣  Prend en paramètre la valeur initiale du signal de sortie

(s0)

}  Relation : égalité entre deux signaux

s

•

(t) s(t)

x•

= v

v•

= −g

s(t) u(t) = s(t)

c(t)

Exemple : Balle rebondissante

17/02/11 Modélisation des systèmes 18

Modèle continu du mode « free »

Modèle modal discret

Exemple : Balle rebondissante, simulation

17/02/11 Modélisation des systèmes 19

?

Exemple : Balle rebondissante, simulation

17/02/11 Modélisation des systèmes 20

???

Comportement « Zénon »

17/02/11 Modélisation des systèmes 21

}  Comportement Zénon = comportement dans lequel un nombre infini d’actions discrètes est effectué en un temps fini

}  Comportement Zénon = comportement possible théoriquement mais impossible dans la simulation

}  Manifestation d’un manque de réalisme du modèle }  Apparition d’erreurs numériques dans la simulation

« H

ybri

d Sy

stem

s, Pa

rt I 

», L

ee &

Ses

hia,

UC

Ber

kele

y

Exemple : Balle rebondissante, correction

17/02/11 Modélisation des systèmes 22

Correction de l’effet Zénon

Modèle continu du mode « free »

Modèle modal (discret)

Autre exemple : « Sticky masses »

17/02/11 Modélisation des systèmes 23