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Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides
17/02/11 Modélisation des systèmes 2
Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides
17/02/11 Modélisation des systèmes 3
1. Système hybride 2. Automate hybride 3. Modèle modal 4. Modèle mixte 5. Automate temporisé 6. En résumé
Système hybride
17/02/11 Modélisation des systèmes 4
Système hybride
17/02/11 Modélisation des systèmes 5
} Dynamique discrète (machine à états finis)
} Dynamique continue (temps continu ou temps discret…)
} Système hybride
saut
flux
« H
ybri
d Sy
stem
s, Pa
rt I
», L
ee &
Ses
hia,
UC
Ber
kele
y
Exemple : Thermostat
17/02/11 Modélisation des systèmes 6
} Variables } Température : variable continue T à valeurs réelles } Mode : variable discrète M à valeurs dans {on, off}
} Flux dans chacun des modes } Mode ON [si (M = on) ∧ (T < 82°)] : dT/dt = K×(100 – T) } Mode OFF [si (M = off) ∧ (T > 68°)] : dT/dt = – K×T
} Sauts entre les modes (instantanés) } ON OFF si (M = on) ∧ (T ≥ 80°) } OFF ON si (M = off) ∧ (T ≤ 70°)
saut
flux
« H
ybri
d Sy
stem
s, Pa
rt I
», L
ee &
Ses
hia,
UC
Ber
kele
y
Exemple : Dynamique du thermostat
17/02/11 Modélisation des systèmes 7
t
T 82
80
70
68
on off
« H
ybri
d Sy
stem
s, Pa
rt I
», L
ee &
Ses
hia,
UC
Ber
kele
y
Autres exemples de systèmes hybrides
17/02/11 Modélisation des systèmes 8
} Systèmes naturels présentant différentes phases de comportement } Balle rebondissante } Croissance de cellules
} Systèmes avec contrôle numérique } Thermostat } Contrôleur d’un système de production
d’énergie } Régulateur de vitesse de voiture } Pilote automatique d’avion
Exemple : Pendule de Furuta
17/02/11 Modélisation des systèmes 9
Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides
17/02/11 Modélisation des systèmes 10
1. Système hybride 2. Automate hybride 3. Modèle modal 4. Modèle mixte 5. Automate temporisé 6. En résumé
Automate hybride
17/02/11 Modélisation des systèmes 11
} Automate hybride = modèle formel pour les systèmes hybrides } Différents modes (états), transitions déclenchés par des événements } Comportement dans chaque mode décrit par des équations différentielles
(ou des équations aux différences si temps discret…)
} Définition formelle
« H
ybri
d Sy
stem
s, Pa
rt I
», L
ee &
Ses
hia,
UC
Ber
kele
y
Exemple : Thermostat
17/02/11 Modélisation des systèmes 12
« H
ybri
d Sy
stem
s, Pa
rt I
», L
ee &
Ses
hia,
UC
Ber
kele
y
Mode
Invariant
Equation différentielle (flux)
Transition = condition de garde / reset
off T > 68°
on T < 82°
T ≤ 70° / T := T
T ≥ 80° / T := T
T
•
= −KT T
•
= K(100−T )
Transition initiale
Une des exécutions possibles de l’automate
Exemple : Balle rebondissante
17/02/11 Modélisation des systèmes 13
} Comment passer à la modélisation ? } Variables continues ? } Modes ? } Transitions ?
} Position, vitesse } En vol } Rebond
} Garde : arrivée au sol en descente (x = 0 et v ≤ 0)
} Reset : modification de la vitesse (inversion + amortissement)
Position verticale x
x(t) ? v(t) ?
x ≥ 0
x•
= v
v•
= −g
Exemple : Balle rebondissante
17/02/11 Modélisation des systèmes 14
x = 0 & v ≤ 0 / v := –Cv
x•
= v
v•
= −g
EnVol x ≥ 0
x := P v := 0
Position verticale x
x(t) ? v(t) ?
x ≥ 0
x•
= v
v•
= −g
Exécution(s) possible(s) : x(t), v(t) ?
x, v
t
Modélisation hétérogène – Systèmes hybrides
17/02/11 Modélisation des systèmes 15
1. Système hybride 2. Automate hybride 3. Modèle modal 4. Modèle mixte 5. Automate temporisé 6. En résumé
Modèle modal
17/02/11 Modélisation des systèmes 16
Modèle modal discret
Modèle continu du mode 1
Modèle continu du mode 2
Exercice : Equations différentielles
17/02/11 Modélisation des systèmes 17
} Objectif = modéliser les équations différentielles de la balle rebondissante en utilisant des schéma-blocs
} Eléments de modélisation à disposition : } Constante : émet un signal constant continu
} Intégrateur : produit en sortie le signal intégrale du signal d’entrée ‣ Prend en paramètre la valeur initiale du signal de sortie
(s0)
} Relation : égalité entre deux signaux
s
•
(t) s(t)
x•
= v
v•
= −g
s(t) u(t) = s(t)
c(t)
Exemple : Balle rebondissante
17/02/11 Modélisation des systèmes 18
Modèle continu du mode « free »
Modèle modal discret
Exemple : Balle rebondissante, simulation
17/02/11 Modélisation des systèmes 19
?
Exemple : Balle rebondissante, simulation
17/02/11 Modélisation des systèmes 20
???
Comportement « Zénon »
17/02/11 Modélisation des systèmes 21
} Comportement Zénon = comportement dans lequel un nombre infini d’actions discrètes est effectué en un temps fini
} Comportement Zénon = comportement possible théoriquement mais impossible dans la simulation
} Manifestation d’un manque de réalisme du modèle } Apparition d’erreurs numériques dans la simulation
« H
ybri
d Sy
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s, Pa
rt I
», L
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hia,
UC
Ber
kele
y
Exemple : Balle rebondissante, correction
17/02/11 Modélisation des systèmes 22
Correction de l’effet Zénon
Modèle continu du mode « free »
Modèle modal (discret)
Autre exemple : « Sticky masses »
17/02/11 Modélisation des systèmes 23