NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX - ac-lyon.fr

NOMBRES ENTIERS

ET DECIMAUX

De la Maternelle au CM2

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

1

Sur les enjeux d’apprentissage

La résolution de problèmes joue un rôle

essentiel dans l’activité mathématique. Elle est

présente dans tous les domaines et s’exerce à

tous les stades des apprentissages. (programme, 2008)

L’acquisition des mécanismes en mathématiques

est toujours associée à une intelligence de leur

signification. (programme, 2008)

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

2

Rola

nd

Ch

arn

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20

14

3

- 30 000

Tablette sumérienne

- 3 500

- 300 400 (avec 0)

800

1 585 Stevin

1 592 Magini 19,178

°19178

1 595 Bürgi

Les limites de

L’APPRENTISSAGE A COUP DE

REGLES

Enseigner des règles ou aider à

comprendre ?

L’exemple de la multiplication par 10, 100…

Rola

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Ch

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20

14

4

Multiplier par 100

Règle pour les nombres entiers :

Écrire deux 0 à droite

24 x 100 = 2 400Règle pour les nombres décimaux :

Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite

2,345 x 100 = 234,5

2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)

4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule, et …

apparition de 0 !)

Rola

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5

Résultats et difficultés

2,3 x 10 (évaluation 6e)

23 64 %20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 %

La virgule "frontière" et "écrire un 0"

230 5 %La virgule "absente" et "écrire un 0"

35,2 x 100 (évaluation 6e)

3 520 47 %3500,2 ou 35,200 ou 3 500,20015 %

La virgule "frontière"

352 15 %Que faire quand la virgule "disparaît" ?

Rola

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20

14

6

Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ?Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ?

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes

Savoir que multiplier 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes

par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient :

20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmesSavoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)

Rola

nd

Ch

arn

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20

14

7

En résumé (dans le tableau de numération)

pour 20,45 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

2

0

0

4

4

5

5

Rola

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20

14

,

La virgule n’a pas changé de place !

8

en réalité…

Quand on multiplie un nombre par 10,chaque chiffre prend une valeur "10 fois plusgrande"

Ce n'est pas la virgule qui se déplace, maisles chiffres qui "changent" de valeur… doncde place (déplacement vers la gauche)

C'est la même chose pour les entiers quepour les décimaux !

Rola

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Ch

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20

14

9

En résumé (dans le tableau de numération)

pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

3

2

0

3

7

0

0

4

7

0

0

4

4

5

4

5

Rola

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14

,

10

Avec d’autres systèmes de numération

(exemple du système romain)

MMCD (2 400)

11

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2014

Multiplier XXIV par C (24 par 100)

Méthode :

Remplacer chaque symbole par un symbole de

valeur cent fois supérieure.

12

Rola

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Ch

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2014

TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS

Enseignement centré sur…

Multiplier par 10, 100…

Tâche

Déplacement de la virgule

ou des chiffres

Technique

MECANISME

Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois

supérieure

Justification

COMPREHENSION

Avec du matériel

Exemple de 12 x 10R

ola

nd

Ch

arn

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2014

12

120

13

10 fois 12 ?

Avec du matériel

Exemple de 0,12 x 10R

ola

nd

Ch

arn

ay -

2014

1

0,12

1,2

14

10 fois 0,12 ?

Un triple code pour représenter

les nombres.

15

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2014

Triple code et « petits nombres »

16

Rola

nd

Ch

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2014

quatre 4

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

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Ch

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2014

1

174 cent soixante-quatorze

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres17

Rola

nd

Ch

arn

ay -

2014

1,74

Un, sept dixièmes et quatre centièmes

Un et soixante-quatorze centièmes

1

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

18

Rola

nd

Ch

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ay -

20

14

19

MAITRISER

LES

NOMBRES

Des problèmes

qu’ils permettent

de résoudre

Des résultats,

des techniques

Des propriétés

Des

désignations

PLAN

Des repères sur

l’enseignement…

des premières connaissances sur les

nombres

des nombres décimaux

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20

14

20

Premières connaissances

sur les nombres,

de la maternelle au CP

21

Rola

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Ch

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20

14

Quels problèmes ?

22

Rola

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arn

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20

14

Les nombres

pour exprimer, mémoriser, communiquer…

Rola

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Ch

arn

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20

14

…des quantités aspect cardinal

Prendre une quantité de

valeur donnée

Réaliser une quantité

égale (plus importante,

moins importante) qu’une

quantité donnée

Modifier une quantité

pour la rendre égale à

une quantité donnée

Comparer des quantités

… des rangsaspect ordinal

Indiquer une position

Replacer un objet à sa

position

Comparer des

positions

23

Les nombres pour anticiper…R

ola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

Sur des quantités

aspect cardinal

Résultat d’une

augmentation ou d’une

diminution

Valeur de la

transformation

Etat avant

transformation

Résultat d’un partage

Sur des rangs

aspect ordinal

Position après un

déplacement (en avant

ou en arrière)

Valeur du déplacement

Position avant

déplacement

24

Exemple de l’utilisation des

nombres pour exprimer et

mémoriser les quantités

dans le but de …

réaliser des quantités

identiques

de la PS au CP

Rola

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Ch

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20

14

25

Rola

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20

14

26

La situation "de référence"

Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille.

Collections prochesPlacer les bouchons : respect de la contrainte.

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2014

27

-Activité pratique (possibilité de placer un

bouchon à côté de chaque bouteille)

-Pas d’activité mathématique

Bouchons à proximité, plateauPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer.

Vérifier ensuite par un placement effectif.

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14

28

-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités

-Procédures-Correspondance un à un ou par paquets

-Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par

comptage ou décomposition pour plus de 4 ou 5 bouteilles)

-Variables : - bouteilles déplaçables ou pas

- nombre de bouteilles

Collections éloignéesAller chercher les bouchons en plusieurs fois, puis en une seule

fois.Vérifier ensuite par un placement effectif.

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29

-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités

-Procédures

-Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts…)

-Utilisation des nombres

-Variables : - nombre d’essais autorisés

- nombre de bouteilles

Collections éloignées, bouchons donnés par paquetsPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placer.

Vérifier ensuite par un placement effectif.

Rola

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30

-Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités

-Procédures

-Décomposer la quantité de bouteilles en paquets

-Composer des paquets pour atteindre la quantité de bouteilles

-Variables : - nombre d’essais autorisés

- nombre de bouteilles

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14

31

Juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robot

Un problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après

Cap maths CP)

Aller chercher, à distance,

juste assez de gommettes pour

réparer le robot (allers-retours

possibles)

Aller chercher, à distance, en

une seule fois, juste assez de

gommettes pour réparer le

robot

Les demander oralement

Les commander par écrit

Rola

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Ch

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20

14

32

Le travail

sur fiche

ne remplace pas

l'expérience…

mais peut

la prolonger.

Rola

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Ch

arn

ay -

20

14

33

ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation

RéelIl favorise

l’appropriation de la

situation et du problème

Anticipation

Incite à

l'expérience mentale

Il Permet la validation de

la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des

procédures

Quelles techniques

de dénombrement ?

34

Rola

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20

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20

14

35

SubitizingReconnaissance immédiate

Capacité précoce permettant d’évoquer et de comparer de petites

quantités dès la PS :

-par des quantités témoins (doigts)

-par des mots-nombres

Et de développer une première arithmétique.

Rola

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Ch

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20

14

36

Reconnaissance rapide de quantités repères : constellations, doigts…

Capacité à développer dès la MS pour exprimer des quantités :

-par des quantités témoins (constellations, doigts d’une main)

-par des mots-nombres

Et d’étendre l’arithmétique précédente.

Rola

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20

14

37

Comptage un par un (3 principes importants)

un

deux

trois

huit

un

deux

trois

Etiqueter chaque objet

par un mot nombre

Identifier le dernier

mot-nombre comme

cardinal de la collection

Comprendre que les

objets peuvent être

comptés dans n’importe

quel ordre

Une comptine qui numérote et qui dénombre

Rola

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Ch

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ay -

20

14

38

un deux

trois quatre

un deux

trois quatre

un deux

trois quatre

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20

14

Importance de la "comptine" orale et du dénombrement

L'acquisition de la chaîne numérique verbale et son usage dans les processus de quantification est déterminante (…). Ces habiletés verbales constituent en réalité les éléments à partir desquels s'édifient les acquisitions ultérieures…

Conclusion d'une synthèse de P. Barouillet et V. Camos

39

REPERES

pour l’enseignement

DES NOMBRES DECIMAUX

40

Rola

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Ch

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20

14

Connaissance fondamentale…

41

Rola

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Ch

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20

1424,509

La virgule indique le rang

des unités

On groupe par 10

d’un rang à l’autre

On fracture en 10

d’un rang à l’autre

Travail préalable

sur les fractions

Des entiers aux décimaux…

Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux

fonctionne donc comme le système d’écriture des nombres

entiers :

Le rang détermine la valeur.

Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur

des groupements par dix ou des partages en dix).

Pour les nombres décimaux, la virgule sert à repérer le rang

des unités.

Mais certaines propriétés sont différentes :Idée de successeur non pertinente pour un nombre décimal.

Intercalation toujours possible pour les nombres décimaux

(avec une infinité de solutions).

Conclusion

Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux ne peut

être compris que si celui des entiers l’est en profondeur.

Rola

nd

Ch

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20

14

42

Les fractions à l’école

primaire…

… pour aider à comprendre

les nombres décimaux

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

43

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

Fractions de l’école au collège

Exprimer des mesures, à partir du

partage de l'unité5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité

École

primaire

Cette signification correspond à la lecture cinq quarts.

Elle permet de comprendre tout ce qui est appris à l’école

primaire sur les fractions.

1 ou

unité de longueur

44

S’assurer que c’est le même résultat que :

On est passé de cinq quarts au quart de cinq.

Rola

nd

Ch

arn

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20

14

Fractions de l’école au collège

Expression du partage d'une grandeur5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4)

45

1

5/4

5

Collège

2/3 est solution de 3x = 2,

équation qui n’a pas de solution décimale

Expression de rapports5 pour 4 ; 25 pour 100

Trois moments clés pour

l’apprentissage des fractions

Rola

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Ch

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ay -

20

14

46

1. Problématiser l’intérêt des fractions d'après Cap Maths CM1

47

Rola

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ay -

2014

bande blanche : unité de longueur

Activité

-Choisir 2 bandes (une bleue et une verte) et les mesurer avec la

bande-unité.

-Écrire leur mesure pour permettre leur identification par

d’autres élèves.

Pour informationA : 1 u + 1/2 uB : 1 u + 1/4 uC : 1/2 uD : 2 uE : 1/4 u

F : 3/4 u

D

48

Rola

nd

Ch

arn

ay -

2014

2. Comparer des fractions

en s’appuyant sur la signification de a/b

Il s’agit donc de comparer : 2u + 1/2 u 1u + 3/2 u 7/4 u 5/2 u

Ro

lan

d C

ha

rn

ay

-2014

1u + 3/2 u,

c’est donc :

2 demi-unités plus 3

demi-unités,

c’est 5 demi-unités,

donc 5/2 u

Appui sur le langage verbalAppui sur le

« matériel »

1 unité,

c’est 2 demi-unités

Exemple : 1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ?

49

Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement…

Rola

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20

14

Exemple : placer 11/2 :

- Impossible de compter 11 demis à partir de 0. Donc…

- Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter

encore 5 demis : 11/2 = 3 + 5/2

- Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi

après 5 : 11/2 = 5 + 1/250

3. Décomposer des fractions (partie entière)

en s’appuyant sur la signification de a/b

Décimaux

à l’école primaire

Quelques moments clés

pour l’apprentissage

Rola

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Ch

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14

51

1. les fractions décimales

Des fractions comme les autres… qui utilisent les

"bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100…

Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir

des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des

millièmes)

Deux points importants :Egalités, comme 7/10 = 70/100 (car avec 1 dixième on a

10 centièmes)

Décomposition 234/10 = 23 + 4/10 (partie entière)

234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres)

34/100 = 3/10 + 4/100 (idem)

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

52

2. Les écritures à virguleune autre écriture des fractions décimales

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes

une signification : image mentale

53

s’écrit aussi 1,45

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

3. Comparer en raisonnant

Matériel disponible

- des unités

- des dixièmes

- des centièmes54

1

Fondamentalement, la comparaison des

nombres décimaux et celle des nombres

entiers reposent sur les mêmes

connaissances

Pourquoi 2 560 > 987 ?Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités

En effet 2 milliers = 2 000 unités

Pourquoi 856 > 839 ?Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités

En effet 5 dizaines = 50 unités

Pourquoi 7,8 > 7,56 ? Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56 centièmes

En effet 8 dixièmes = 80 centièmes

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

55

D’où une même règle possible pour

comparer

des nombres entiers ou décimaux !

Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre, on

parcourt leurs chiffres de gauche à droite.

Dès qu’on trouve 2 chiffres différents, on peut

conclure.

78 758

9 896

987 658

983 899

5,7

5,368

25,3

8,9856

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

56

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

4. Multiplication par 10, 100…

Cf. Les limites

de l’apprentissage

à coup de règles

57

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

5. Nombres décimaux et ligne graduée

58

- Identifier le pas de la graduation.

- Interpréter l’écriture à virgule.

- S ’appuyer sur la partie entière.

Rola

nd

Ch

arn

ay -

20

14

6. Intercalation à l’infini

Remettre en cause l'idée de "nombre suivant"

59