LES NOMBRES DECIMAUXCycle 3

Poix de Picardie - Picquigny 28 mars 2012

Réussites et difficultés des élèves

Objectifs de cette formation

Se mettre dans la peau des élèves qui découvrent ces nouveaux nombres et qui doivent ainsi modifier radicalement leurs représentations.

Aider à construire une programmation pour l'apprentissage des nombres décimaux sur les 3

années du cycle 3. Identifier les principaux obstacles, les difficultés

récurrentes pour l'élève à propos des décimaux. Trouver des manières d'aborder les notions pour

lever les obstacles.

Rallye mathématique

Rallye mathématique

4 personnes désirent se partager 3 baguettes. Quelle part reçoit chacune d'entre elle ?

Rallye mathématique

Mise en situation : rallye mathématique

Cette mise en situation permet de préciser :

la définition de la fraction et du nombre décimal (Exercices 1, 2, 9, 13)

la détermination des différents sens de la fraction (partition de l’unité, partition de la pluralité, proportion entre des unités différentes, division partage / division groupement) (Exercices 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14)

le rôle d'un nombre décimal (donner une valeur approchée d’une mesure ou de la mesure d’une grandeur continue quelconque) (Exercices 4, 9, 11, 13, 15)

Connaissances à maîtriser – Ce que l’enseignant doit savoirQu'est-ce qu'un nombre décimal ? Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient décimal, c’est-à-dire d’un quotient d’un nombre entier par une puissance de 10. C’est donc un nombre fractionnaire particulier. Cette définition met en évidence :

la globalité du nombre : 4,25 c'est un seul nombre. On évitera donc de parler trop tôt de partie entière et de partie décimale.

l'identité du nombre décimal avec un quotient décimal : 4,25 = 425 : 100

le fractionnement de l'unité en dixièmes, centièmes, millièmes.

Toute écriture a,b (a virgule b), sans nom d'unité explicite, où a et b sont des nombres entiers est un nombre décimal. Attention : un nombre décimal utilisé comme valeur approchée d'une fraction ne donne pas à cette fraction le statut de nombre décimal (dire que 0,33 est une valeur approchée de 1/3 ne signifie pas que 1/3 soit un nombre décimal).

Connaissances à maîtriser – Ce que l’enseignant doit savoirUn nombre entier est un nombre décimal car il peut toujours s'écrire sous forme d'une fraction décimale.

Une fraction est un nombre décimal si le quotient du numérateur par le dénominateur est constitué d'un nombre fini de chiffres (le reste est égal à 0). Par exemple, 11/4 est un nombre décimal car 11 : 4 = 2,75. en revanche, 4/7 n'est pas un nombre décimal car le quotient de 4 par 7 est 0,57142815714281571428 ... Le reste ne sera jamais égal à 0, la division ne s’arrête pas. On peut également vérifier, après avoir simplifié la fraction, que le dénominateur est un diviseur de 10n c'est-à-dire qu'on peut le décomposer en facteurs premiers tous égaux à 2 ou à 5 (qui sont les seuls diviseurs de 10). Par exemple, 11/4 = 11/2x2, c’est donc un nombre décimal.

Types de difficultés rencontrés par les élèves

DIFFICULTÉS LIÉES À LA RUPTURE AVEC LES NOMBRES ENTIERS

Un même nombre peut avoir plusieurs écritures / plusieurs écritures peuvent désigner un même nombreLes nombres décimaux ne se comptent pas dans l’ordreAdaptation de certaines techniques opératoires

Types de difficultés rencontrés par les élèves

DIFFICULTÉS LIÉES À L’ÉCRITURE ET À LA LECTURE DES NOMBRES Dans la dénomination des chiffres, il n’y a pas de parallélisme : le premier chiffre avant la virgule s ’appelle « unité » et celui après la virgule s’appelle « dixième ».Exemple : 324,58La lecture de la « partie décimale » ne correspond pas à la dénomination des chiffres Exemple : 324,582

LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESQUELQUES THÉORÈMES « ÉLÈVES »

Erreurs fréquemment rencontrées qu’il convient de détecter :

Le suivant de 3,6 est 3,7Entre 5,12 et 5,13 il n’y a aucun nombreQuand on multiplie, cela augmenteQuand on divise, cela diminueSi on doit diviser, on divise le plus grand

nombre par le plus petit

LES CONCEPTIONS DES ÉLÈVESRÈGLES DE COMPARAISON

On ne tient pas compte de la virgule21,5 < 4,01 car 215 < 401

La comparaison ne porte que sur les « parties décimales »

4,15 < 3,21 car 15 < 21

A partie entière égale, le plus grand est celui qui a le plus de chiffres après la virgule

5,043 > 5,15

Traitement des « parties décimales » comme si cela était des nombres entiers

5,15 > 5,8 car 15 > 8

LES PRINCIPALES DIFFICULTÉSLa signification de la partie décimale

La signification des chiffres dans l’écriture à virgule d’un décimal

Les calculs sur les décimaux

La comparaison

L’intercalation d’un nombre entre deux décimaux (densité de l’ensemble des décimaux)

Ce que disent les programmes…B.O n° 3 du 19 juin 2008Les nombres décimaux et les fractions :- Fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;- Nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.

Pré-requis à maîtriser au CE2

Les fractions et les nombres décimaux n’apparaissent pas dans la progression en CE2, mis à part « connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié ou demi, triple, quart d’un nombre entier ». Pour autant, un certain nombre d’approches ou de notions abordées au CE2 facilitent l’introduction des fractions et des nombres décimaux dans la suite du cycle :

une bonne compréhension de notre système de numération (décimale et de position) ; les décompositions et recompositions additives des nombres ;

la valeur d’un chiffre dans un nombre entier suivant sa position ;

l’utilisation systématique, ou du moins régulière, de la droite numérique graduée comme moyen de visualisation (en variant les échelles et les tâches : placer, intercaler...), comme medium permettant de visualiser et de donner du sens aux notions de comparaison, d’intercalation, d’ordre de grandeur ;

une première connaissance du tableau de conversion des unités de mesures ;

la rencontre régulière de situations de la vie quotidienne où l’élève peut être confronté à la nécessité de mobiliser d’autres nombres que les nombres entiers pour résoudre des problèmes de mesure.

Ce que disent les programmes…CM1 CM2

Fractions

-Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième.

- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

Fractions

- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs.

- Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1

Ce que disent les programmes…CM1 CM2

Nombres décimauxConnaître la valeur de chacun des

chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème).

Savoir :- les repérer, les placer sur une droite graduée,

- les comparer, les ranger,- les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,

- passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.

Nombres décimauxConnaître la valeur de chacun des

chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème).

Savoir :- les repérer, les placer sur

une droite graduée en conséquence,

- les comparer, les ranger,- produire des

décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

- Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

Les attendus du Socle communPalier 2 – Compétence 3Nombres et calculÉcrire, nommer, comparer et utiliser les

nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples

Utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier)

EVALUATIONS NATIONALES CM2Résultats 2011- Analyse des résultats départementaux au niveau des domaines, des compétences / connaissances et des items

65 43.50 %Ecrire et nommer les nombres entiers, décimaux et les fractions

66 60.10 %

Passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement67 51.99 %

68 25.16 %

EVALUATIONS NATIONALES CM2

Exercice 1 : Dictée de nombres

Item 65 dans la case D, écrivez vingt huit unités et sept

centièmes (laisser 10 secondes) ; dans la case E, écrivez trente-cinq centièmes (laisser

10 secondes) ; dans la case F, écrivez trois dixièmes (laisser 10

secondes). »

EVALUATIONS NATIONALES CM2Exercice 2

Item 66Item 66

A/ Entoure la fraction égale à 6,02

60/2 62/10 602/100 620/100

Item 67Item 67

B/ Entoure le nombre à virgule égal à 3/10

3,10 - 0,3 - 0,03 - 30,00 - 3,0 - 3,00

Item 68Item 68

C/ Écris 1/4 sous forme de nombre à virgule :

¼ =

Proposition de programmation et de progression de la fraction au nombre décimal

CM1Période 1 : Notion de partagePériode 2 : les fractions décimalesPériode 3 : formalisation du nombre à virgule composer,

décomposerPériode 4 : comparer, ranger, encadrerTout au long de l’année : - Travail sur les fractions- Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou

de codage de mesure de grandeur

Notion de partage

Items Objectifs

Nommer des fractions simples en utilisant le vocabulaire: demi, tiers, quart

Appréhender le sens des fractions simples : ½, 1/3, ¼, 2/4, 2/3…Faire remarquer la nécessaire égalité des parts (l’écriture fractionnaire n’a de sens que si toutes les parts sont égales.Lexique : demi, tiers, quart, entier, partager, parts égales, partage équitable.

Activités et exercices proposés : partage d’unitéPliages de bandes de papier (outils individuels de l’élève)Partage de disque (horloge, tarte)Il est nécessaire de produire des affiches dans la classeLe rituel des fractions, le disque des fractions

Affichage possible

Travail sur les fractions

Items Objectifs

Nommer des fractions simples en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quartUtiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

Travail expérimental de pliage de bandes pour mettre en évidence les égalités remarquables telles que : ½+½=1 ; ¼+¼=½Travail sur les fractions supérieures à 1 5/4=1(4/4)+1/4

Activités et exercices proposés :Mesures de bandes à partir d’une bande unitéTracer des segments de longueur en référence à une unité (3u+1/2U)Proposer des exercices sur les aires

Il est nécessaire de produire des affiches dans la classe concernant les égalités remarquables

Travail sur les égalités remarquablesAffichage dans la classe : du pliage de bande vers la droite

graduée

2/3= 1/3 + 1/3

Les fractions décimales

Items Objectifs

Nommer des fractions décimales en utilisant le vocabulaire: dixième, centième.

Prolongement des activités précédentesChoisir des bandes pour permettre un partage en 10 ou en 100Ecriture fractionnaire d’une fraction décimale : 3/10, 2/100Ecriture d’égalités telles que : 13/10=1(10/10)+3/10

Activités et exercices proposés : Mesures de bandes à partir d’une bande unité (expérimentation)Réalisation d’affichesBandelettes, monopoly des décimaux, jeu de casino

Exemple d’affichage sur les équivalences de fractions

Formalisation du nombre à virgule composer et décomposer

Items Objectifs

Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu'au 1/100ème).Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement

Mesures de bandesEx: mesurer une bande de2,46m (enseignant) avec les bandes construites précédemment (1m pliée en 10 et en 100)246/100=2u+4/10u+6/100u=2,462: chiffre des unités4: chiffre des dixièmes6: chiffre des centièmesLa présentation sous forme d’addition est une anticipation pour l’enseignement de l’addition des nombres décimaux.

Activités et exercices proposés :Travail expérimentalConstruction de tableau du type

Fabrikadécimaux, le nombre secret, le jeu des familles de décimaux

Ecriture avec une seule fraction

Décomposition Ecriture avec une virgule

246/100 2+4/10+6/100 2,46

Comparer, ranger, encadrer

Items Objectifs

Savoir repérer les nombres décimaux et les placer sur une droite graduée.Les comparer, les ranger.Les encadrer par deux nombres entiers consécutifs.

Comparaison raisonnée des fractions par rapport à des entiers, recours au sens de l’écriture décimaleIntroduction de la droite graduée en se limitant à des nombres entiers

Activités et exercices proposés :Le rituel des cibles, Le nombre secret

Proposition de programmation et de progression de la fraction au nombre décimal

CM2TOUTE L’ANNEEReprise et poursuite du travail sur les

fractionsConnaissance du nombre à virguleComparer, ranger, encadrer

Reprise du travail sur les fractions

Items Objectifs

• Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs

  • Écrire une fraction sous

forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.

 

Reprendre les activités du CM1 avec les bandes de papier pour :- Revoir les fractions simples- Mesurer des bandes à partir d’une bande unité- Tracer des segments de longueurs données (ex: 3U+1/2U)Comparer la longueur du segment à un nombre entier d’unitésEx : 3U˂3U+1/2U˂4UPassage à la droite graduée pour placer des fractions supérieures à l’unité

Activités et exercices proposésUtilisation de bandes de papier (construites au CM1)Utilisation de la droite graduée comme outil individuel (systématiquement en début d’apprentissage)Le rituel des fractions (sup. à 1), les cocktails des fractions

Exemple d’affichage sur les équivalences de fractions en référence à la mesure d’aire

Travail sur les fractions

Items Objectifs

• Écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.

• Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur

Aborder la somme de fractions décimales ou simples dans des situations concrètes (lien avec « Grandeurs et mesures »)PAS DE TECHNIQUE OPERATOIRETravail visuel pour avoir des représentations mentalesEx: 1/8+5/8 d’une tarte c’est égal à 6/8 de tarteTravail sur des exercices plus techniques : écrire 5/4 comme la somme de…

Activités et exercices proposésMathou matheux (Volume – Coktail)

Connaissance du nombre à virgule

Items Objectifs

Nombres décimaux:Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu'au 1/10000ème).

Reprise du travail expérimental proposé au CM1Passage par le tableau pour retrouver la valeur des chiffres

Activités et exercices proposésMesure du temps jusqu’au centième en course de vitesse à exprimer sous forme de fraction décimale puis de nombre à virguleEx: 5’62 c’est 562/100 donc 5 s, 6 dixièmes et 2 centièmes ou 5+6/10+2/100Mesures de longueursJeu de paires de décimaux, jeux de loto des décimaux, domino des décimaux

Partie entière Partie décimale

Dizaines Unités DixièmesCentième

sMillième

s

Comparer, ranger, encadrer

Items Objectifs

Nombres décimaux:Savoir les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence.Savoir les comparer, les ranger.

Faire le lien avec le placement des fractions décimales sur une droite graduée

Activités et exercices proposésJeu des étiquettes en variant la difficulté notamment en modifiant la précision des nombres et la précision de la droite graduée : dixième, centième…Jeux des étiquettes, Jeu de bataille, Labyrinthe des décimaux, Le jeu de dés des décimaux

Comparer, ranger, encadrer

Items Objectifs

Nombres décimaux:Savoir produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10; 100; 1000 .... et 0,01; 0,001....

Savoir décomposer un nombre à virgule en utilisant des écritures fractionnaires

Activités et exercices proposésProblèmes : combien de centièmes, millièmes…dans X unitésAddition de nombres exprimés sous forme de décompositionFabrikadécimaux, Jeu des familles des décimaux, Le nombre secret

Comparer, ranger, encadrer

Items Objectifs

Nombres décimaux:Donner une valeur approchée à l'unité près, au dixième ou au centième près.

Maîtriser les ordres de grandeurs

Activités et exercices proposés

Attendus du collègea) Le sens de l’écriture fractionnaire s’élargit :

À l’école, les fractions sont introduites en vue d’aider à la compréhension des nombres décimaux. Elles sont définies en référence au partage de l’unité sur une ligne graduée régulièrement

Au collège, dès la sixième, L’écriture fractionnaire est utilisée comme l’expression d’un quotient. a/b devient le nombre qui multiplié par b donne a.

Il s'agit de distinguer le nombre a/b et « a/b de... » qui désigne une fraction d'une quantité.

 b) L’usage des fractions se diversifie :

En effet, les fractions peuvent être conçues comme des nombres qu’on pourra comparer et sur lesquels on pourra calculer (+, -, x, : ). Un travail est également effectué sur les désignations (écritures fractionnaires égales, rendre une fraction irréductible).

Ensemble des jeux prêts à l'utilisation

http://www.ac-grenoble.fr/ien.grenoble5/spip.php?article498

Synthèse sur l’écriture fractionnaire

nlvm.usu.edu.edu.fr

Le rituel des fractions http://sylvain.obholtz.free.fr/crbst_27.html

Le disque des fractions http://www.animath.fr/old/UE/fromentin99/Castelle-Cousin03.pdf

Le domino des fractions http://sylvain.obholtz.free.fr/crbst_27.html

Les cocktails des fractions http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/fractions/CM2/cocktailCM1.htm#CM2

Le fabrikadécimaux http://jeuxpourlaclasse.free.fr

Le jeu des familles des décimaux

http://jeuxpourlaclasse.free.fr

Composer/Décomposer en ligne http://www.scalpa.info/logiciels_news.php

Le jeu des paires des décimaux http://www.enseignons.be/fondamental/enseignement-20-3198.html

Le loto des décimaux http://ienthon.edres74.ac-grenoble.fr/IMG/pdf/jeux_maths.pdf

Les dominos des décimaux http://ienthon.edres74.ac-grenoble.fr/IMG/pdf/jeux_maths.pdf

Le jeu des étiquettes http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/

Le nombre secret Euro Maths – CM2 . A portée des maths – CM2 JF Quilfen – groupe départemental mathématiques 77 http://www.ien-mee.ac-creteil.fr/guppy/file/jfrancois/rallyemaths/rallye20092010/rallye_calcul_mental_77_jfquilfen.pdfEn ligne : http://www.scalpa.info/logiciels_news.php