Passages “micro-macro” dans les polycristaux

Ph. Pilvin : pilvin@univ-ubs.fr

Michel ClavelX. Feaugas

Dominique FrançoisC. Prioul

E. AndrieuG. Cailletaud

S. Forest

A. Pineau

D. Carron

Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles

D'après [Fivel, Forest, 2004]

p.3Ecole MétaMéca – 26 octobre 2016 - Porquerolles

Mécanismes de déformation plastique : Ok ?

Passage au polycristal : un problème de transition d’échelles ?

Vers une meilleure connaissance du comportement sous sollicitations complexes (multiaxial, fatigue, rochet, DSA)

Plasticité des métaux

[Rautenberg, 2009] [Rautenberg, 2009]

[Micrographie EBSD Zy-4] [Micrographie MET Zy-4]

Objectif : Relier contrainte et déformation à l’échelle macroscopique

Σ Evp

σϕ ε ϕ

Modélisation micro-mécanique =

mécanismes de déformation + texture cristallographique

Modélisation macroscopique

Modélisation micromécanique

Modélisation en micro-mécanique

> grand nombre de « phases » : tous les grains de même #> désordre relatif (chaque phase « voit » toutes les autres) > isotropie de la distribution des phases (ou pas)> joints de grains « idéaux » (par hypothèse)

Polycristal = milieu continu hétérogène spécifique

Milieu Homogène

EquivalentPolycristal (VER)

Choix d’une échelle élémentaire représentative grain (considéré comme un milieu continu)

Polycristal monophasé « phase » = grains de même orientation cristalline

(FDOC = angles d'Euler et fraction vol. : ϕ1,Φ, ϕ2, fg)

Comportement mécanique de chaque phase Systèmes de glissement associés à la structure cristalline

Autres modes de déformation possibles (pas ici...)

Polycristal : milieu continu hétérogène « simplifié »> Description incomplète…> A priori non périodique

Milieu Homogène

EquivalentPolycristal (VER)

+…=+MHE

ΣMEVP

- Le reconnaissez-vous ?

Inclusion ellipsoïdale avec déformation « libre » uniforme dans l’inclusion (volume: VI) noyée dans un milieu infini de (matrice) sans déplacement ni contrainte imposés à la frontière

Solution du problème de l’inclusion ellipsoïdale d’Eshelby

=4/3π a1a

SE(x) est le tenseur d’Eshelby

Cijkl0

a1, a2, a3: demi-axes de l’ellipsoïde

Les résultats d’Eshelby (1957,1959) et le tenseur d’Eshelby

En considérant l’inclusion Ω :

Le tenseur d’Eshelby des points intérieurs à Ω est :

Le tenseur d’Eshelby SE dépend de la morphologie et des propriétés C0 du milieu infini homogène (matrice)

Les contraintes sont alors uniformes à l’intérieur de Ω :

E E Eijkl jikl ijlkS =S =SavecS

ijklE =P

ijmnΩ C

Eshelby, J.D., Proceedings of the

Royal Society London A 241 (1957) 376–396.

Eshelby, J.D., Proceedings of the

Royal Society London A 252 (1959) 561–569

σijΩ = - C

ijkl0 I

klmn- S

klmnE( )εmn

Expression du tenseur d’Eshelby :

Dans le cas d’une déformation libre incompressible :

Inclusion sphériqueen élasticité isotrope

SijklE =

avec α=1

1+ν 0

1-ν 0; β=

4-5ν 0

1-ν 0

εijΩ = βε

σijΩ = −2µ 1− β( )εij

ν = 0,33 alors β ≈ 0,5⇒σijΩ ≈ −µε

Règles de transition d’échelle Modèle de Sachs [1929] (« isoS » : contrainte uniforme)

Modèle de Lin [1957] (« isoE » : déformation uniforme, plasticité incompressible)

Modèle de Kröner-Weng [1961]

• Hypothèse : accommodation élastique des interactions avec la matrice (Eshelby !)

Approche de Berveiller-Zaoui [1979]

• Hypothèses : trajets de chargement monotones et radiaux et « isotropie »

> Approche heuristique (sollicitations complexes)> Introduction de variables internes « d'accommodation » > Lois d'évolution ? Forme ? Signification physique ?

Règles de transition d’échelle

Calculs d'agrégats polycristallins

Approches mises en œuvre + récemment : 2000-2010

I. Description des calculs EF

II. Estimation de la réponse moyenne d’une « phase »

III. Confrontation avec modèles champs moyens

Depuis 2010, analyses via FFT...

Comment effectuer la transition d’échelle ?

Calculs EF en champ complet d’agrégats

Objectifs

Construction de solutions de référence

Confrontation aux résultats prédits des modèles à champ moyen

Processus d’estimation de la réponse moyenne d’une phase

Analyse des champs mécaniques moyens dans un grain

Réponse moyenne d'une phase

[Champ de contrainte dans un grain]

[Voisinage d’un grain]

[Estimation EF de la réponse moyenne d’une phase]

Description des calculs EF

Maillage des agrégats sous CAST3M

[collaboration S. Pascal, CEA]

• Découpage d’un cube unitaire en cellules de Voronoï

• Discrétisation par triangulation de Delaunay

• Distance de répulsion isotrope entre germes Obtention d’une microstructure équiaxe

Orientations cristallines des grains

• Aléatoire ou distribuée suivant une texture

cristallographique

Sollicitations (CL variées...)

• Cyclique

• Non proportionnelles

• ...

[Maillage d’un grain]

[Représentation EBSD]

Démarche en élasticité cubique

Traction isochore / N réalisations indépendantes / 343 grains

Calcul de l’estimation auto-cohérente de la réponse moyenne d’une phase

Comparaison avec différentes approches

Validation en élasticité anisotrope

Estimation par EF des champs moyens… (voir atelier 3 !)

[Convergence de l’estimation EF]

Loi de plasticité cristalline

• Cristallo => systèmes de glissement

• Tenseur d’orientation :

• Cission résolue :

• Taux de cisaillement :

• Écrouissage : Loi d’Orowan avec seuil

• Vitesse de déformation viscoplastique :

Source animations :DD, Micromégas

M. Fivel et al.

[Production de boucles]

[Arbres de la forêt]

[Cisaillement d’un monocristal]

Règles de transition d’échelle

Modèle de Kroner-Weng [1961]

• Hypothèse : accommodation élastique de la matrice

Modèle de Berveiller-Zaoui [1979]

• Hypothèses : trajets de chargement monotones et radiaux et isotropie

Comparaison avec d’autres modèles … (Brenner et al, Masson et al.)

>> travaux en cours…

Intérêts des calculs d'agrégats

Analyse de la transition d’échelle dans les polycristaux par calculs EF (ou FFT) d’agrégats

Possibilité d’étalonnage pour modèles à champs moyens

Versatilité des lois de comportement intragranulaire

Grandeurs moyennes et distribution des champs mécaniques

Mais... joints de grains « idéaux »

Effet de forme

Impact de la forme polyhédrique des grains ?

Utilisation du tenseur d’inertie pour caractériser la forme

Nécessité d’un schéma itératif sur la forme des grains centraux pour estimer la réponse

moyenne d’une phase (grains équiaxes)

Modèles polycristallins à champ moyen

Exemples d'application (industrielle ?)

I. Mise en forme de tôles en acier inoxydable CFC

II. « pause » => domaine d'élasticité initial

III. Alliages de zirconium (HCP) avec défauts d'irradiation

IV. Modélisation du rochet pour un acier AISI 316L

A polycrystalline model for stress-strain behaviour of SS 316L

Ph. Pilvin1, S. Gallée2

1Université de Bretagne-Sud, Lorient (France)

2UBS PhD (2005), now at ESI-France, Lyon (France)

Outline:

• Material, Exp. tests

• Polycrystal modelling

• Hydraulic bulging

Context:

• Forming process (deep drawing)

• Constitutive equations for austenitic stainless steel

• No 3D yield functions...

Material : AISI 316L Stainless Steel

• Thin sheet: 500 mm x 500 mm x 0.8 mm

• Mean grain size: 40 µm

• Rolled annealed plate

>>> 20 grains in the thickness <<<10x10x10 grains

>>> (initial) orthotropic sheet

> Crystallographic texture: X-ray diffraction

>>> ODF : 1593 orientations

> Texture description: Vector method [Ruer and Vadon, 1982]

> Vector of 2016 orientations for FCC polycrystals

Pole figure <111>

> need all orientations?> huge CPU time for FE !

Characterization tests: AISI 316L

> R-values to 10 % plastic strain

> Tensile and shear tests

Characterization tests: AISI 316L

>>> Large database for identification

> Shear tests

> Cyclic shear tests (Bauschinger)

Polycrystalline modelling: FCC alloy

> 12 slips systems> Finite transformation using local objectives frames> Texture evolution (rotation of lattice frames)

[1] Forest and Pilvin, 1999

Crystal constitutive equations:

Dislocations glide => Schmid law (FCC)

Kinematic hardening

Parameter identification:

> Isotropic elasticity> 10-12 parameters> Validation of localization rule with FE

> influence of the number of orientations (NbOr)> good description for all tests

> strong influence of the NbOr for strain anisotropy> Evolution of R-values needed full ODF

Nominal transverse strain vs Nominal axial strain

UT test along DD (45°/RD)

Evolution of R-values:

> strong influence of the number of orientations

Hydraulic bulging tests:

> Large strain : log(e0/e) = 0.4> post-mortem X-ray diffraction (near the pole)>

FE analysis for hydraulic bulging:

> ABAQUS standard + UMAT (Runge-Kutta integration)> Huge number of Internal Variables (SDV)3744 SDV to 96 orientations (CPU time : 2 weeks in 2005)9360 SDV to 240 orientations (2 weeks in 2011)66088 SDV to 1593 orientations (3 weeks in 2016)> C3D8R elements, 3-5 elts in the thickness

Conclusing remarks:

> Other applications for forming processes > Improve physical description of crystal plasticity (DD codes)> Use (Finite Element)2 for thin sheets

7x7x7 grains

Rôle de la texture (FDOC) => anisotropie

> Méthode vectorielle [Ruer and Vadon, 1982]

> 2016 orientations for FCC polycrystals> visualisation de surfaces de charge

Pole figure <111>

Modélisation du comportement EVP des alliages de zirconium

recristallisés

Ph. Pilvin, X. Feaugas, C. Prioul

Travaux co-financés par AREVA-CEA-EdF

Doctorats de F. Onimus (2003) et M. Priser (2011)

Les alliages de Zr dans l’industrie nucléaire

Confinement du combustible tenue mécanique de la gaine

Assemblage combustible

Gaine en alliage de Zr

Pastille de combustible

Internes

Cœur du REP

Assemblages

Centrale nucléaire : Réacteur à Eau Pressurisée (REP)

Origine de l’anisotropie des tubes

=[Maille hexagonale] [Laminage à pas de pèlerin]

[Figures de pôles]

[Robinet, 1995]

HCP + Texture cristallographique

Mécanismes Micro

Mécanismes de déformation des alliages de Zr non irradiés

τP < τπ1<a> < τB < τπ1<c+a>

4 familles de systèmes de glissement :

Douglass (1971), Tenckhoff (1988), Geyer (1999), Ferrer (2000)

Pyramidal Π1

Basal B

Prismatique P

Pour des conditions standard de sollicitationsglissement des dislocations

P <a> 1010 1/3<1120>

Π1 <a> 1011 1/3<1120>

B <a> 1010 1/3<1120>

Π1 <c+a> 1011 1/3<1123>

Comportement Macro

Observations MET [Rautenberg, 2011]

Glissement prismatique des dislocations vis

Activation non négligeable des systèmes ππππ1<a>

Glissement dévié des dislocations des plans prismatiques P<a> vers les

plans pyramidaux ππππ1<a>

Mécanismes en fluage multiaxial à 400°C

Courbes isovitesses à 400°C (Zy-4 recristallisé) [Grosjean, 2009]

Surfaces équipotentielles

Normalité des vecteurs d’écoulement aux surfaces

isovitesses

Forte anisotropie de comportement en fluage

Figures de pôles inverses & facteurs de Schmid

Distribution des facteurs de Schmid prismatiques Glissement majoritaire

Distribution des facteurs de Schmid pyramidaux Glissement dévié

[Distribution des facteurs de Schmid dans le triangle standard et texture cristallographique]

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8%

Déformation circonférentielle

) M5-0ni-1M5-0i-1

Non irradié

Irradié

Eclatement à 350°C sur M5

•Durcissement induit par l’irradiation

Effets de l’irradiation sur le comportement mécanique des alliages de Zr

Comportement Macro Mécanismes Micro

Effets de l’irradiation sur la microstructure

Amas lacunaire

Plans d’habitat des boucles

11201010

<1120>

Boucle de dislocation

Cascade de déplacements

Neutrons rapides

Pastille d’oxyde d’uraniumGaine en alliage de Zr

Neutrons rapides

200 nm

Non irradié

Irradié

Observation de canaux (Coleman (1972), Williams (1974), Onchi (1977, 1980))

Pression interne canaux B (Pettersson (1982))

Traction sens travers canaux P et Π1 (Adamson (1982, 1985))

Traction sens travers canaux B et Π1 (Régnard (1998, 2000, 2002))

Mécanismes de déformation des alliages de Zr irradiés

Observation des canaux sur une lame

Lame mince Canal

0 50000 100000 150000 200000 250000 300000Temps (s)

a) M5ni-2

Irradié

Non irradié0

0.0% 0.2% 0.4% 0.6% 0.8% 1.0% 1.2%Déformation plastique circonférentielle

Analyse du comportement mécanique

-0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%

Déformation plastique circonférentielle

) Zy-4ni-1Zy-4i-1

Irradié

Non irradié

Zy-4 et M5 en pression interne à 350°C

300 MPa

100 MPa

Canalisation Augmentation rapide de XTaux d’écrouissage élevé

Irradié

X<225 MPa

Etude du comportement mécanique

Etude des mécanismes de déformation

MHEPolycristal

(1) Théorie des dislocations(2) Calculs EF d’un grain

(3) Modèle polycristallin

Durcissement :

N : densité de boucles (m-3)d : diamètre des boucles (m)αi : force d’obstacle

Adoucissement :Ndbc αiµτ =τ0

& &NHb

N ss B

= −∈∑ γ

Comportement dans le canal

vNHN ρ−=&

vbργ =&

si γ=cst.

Simulation à l’échelle du grain

Densité initiale de boucles d’irradiation aléatoire (N)

& &N Hb

= −s B∈∑ γ

Ndbc αµτ =τ0+Milieu Environnant

Comportement élasto-visco-plastique macro Loi cristalline EVP

<N>= 5.1022 m-3 et 1.4 1022<N <8.6 1022m-3

Simulation à l’échelle du grain

Loi de comportement adoucissante à l’échelle du grain Localisation de la déformation dans des canaux B

Glissement plastique cumulé Densité de boucles

8.1022 m-3

4.1020 m-3

> Ecrouissage à l'échelle des grains

> Structures de dislocations

> Variables d'écrouissage

-600-500

-400-300

-200-100

100200300

400500

600700

16 17 18 19 20

Contrainte

Déformation

Modélisation du rochet cyclique

(MPa))

Doct. Ch. Gaudin (UTC, 2001) Dir. X. Feaugas

DésignationZ2 CND 17-12 316 L X2CrNiMo 18-14-3

Structure Cristallographique : CFCTaille de grains : Ø 53 µmEnergie de défaut d’empilement : 30 mJ.m-2

Densité de dislocations init.: 10+10 m-2

Polycristal sans texture

Système de glissement

Grains

VolumeElémentaireReprésentatifdu matériau

Intergranulaire

Intragranulaire

Contraintes interne X et effective ΣΣΣΣef

Interactions à longue distanceContrainte polarisée cinématique

Interactions à courte distanceContrainte non-polarisée isotrope

ΣΣΣΣef

Champ de contrainte

Distance parcourue par la dislocation mobile

Dislocation

Contrainte

Déformation

Domained'élasticité

ΣΣΣΣ ef

Domaine visco-plastique

Domaine visco-plastique en "retour"

Déformation

Contrainte

Contraintes internes inter et intragranulaires

Modèle « biphasé »

eλf w=

Densité de dislo. phase dure

Densité de dislo. phase molle

Fraction surf. phase durefw

τ=fw⋅τw+(1f

w)⋅τ

αs=α

w=α= 0,4

τ i=αi⋅µ⋅b⋅√ ρi

Σ=M⋅τ=M⋅τs+M⋅f

w⋅(τ

=Σef+Χ

∀ ∈i s w,

Χ int ra=M⋅f g⋅f w⋅α⋅µ⋅b⋅(√ ρw√ ρs )

Χinter=Χ

macroΧ

int ra

Paramètres caractérisant le rochet

Sollicitation imposée

Réponse du matériau

ΣΣΣΣmax : contrainte maximaleΣΣΣΣm : contrainte moyenne

εεεεr : déformation plastique de rochetεεεεa : amplitude de déformation plastique

f = 0,05 Hz

Σmεr

εpinitiale

εpmin

εpmax

Réponses observées (316L – 300K)

-80-60

-40-20

120140

160180

-0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1

Contrainte

Déformation

0 100 200 300 400 500

Nombre de cycles

Vitesse de rochet 1E-07

0 100 200 300 400 500

Nombre de cycles

Vitesse de rochet

IR IIR

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Contrainte

Déformation

0 100 200 300 400 500

Nombre de cycles

Vitesse de rochet

-600-500

-400-300

-200-100

100200300

400500

600700

16 17 18 19 20

Contrainte

Déformation

Domaine de non-rochet R0 : Echelle microstructurale

100 200 300

Stade I

Σmax (MPa)

dεr / dt (s-1)

Statique

Cyclique

A l’issue du premier ¼ de cycle

Après rochet

280 nm

454 nm

Histoire : Stade I d’écrouissage en traction

ΣΣΣΣmax/ΣΣΣΣm=180/50

95 % Glissement

planaire

5 % Amas

Domaines d’accélération cyclique (RI/RII) : Déstabilisation des structures de dislocations

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08

Σ (MPa) A

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

|X| (MPa)

Traction Continue

Décharges en retour

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

|Σef| (MPa)

Traction Continue

Décharges en retour

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

|Xintra| (MPa)

Traction Continue

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

|Xinter| (MPa)

Traction Continue

Destruction puis formation de nouvelles structures polarisées

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

Homogène

Cellules

Pourcentage de grains

Synthèse

Le glissement planaire est défavorable au rochet cyclique

La déformation progressive est le résultat de fluctuations des états de contraintes internes lors des cycles

Seules les fluctuations de Xintra associées à la déstabilisation des structures de dislocations polarisées sont favorables au rochet.

Les structures dipolaires restent stables lors du trajet de chargement inverse.

Vers une simulation du rochet cyclique

Prise en compte des 2 échelles d’hétérogénéités

Description de l’écoulement plastique des 12 systèmes de glissement de la structure CFC

Prise en compte des 3 populations de dislocations

Polarisées MobilesDipolaires

Description des étapes de changement d’échelles

Σ = ⋅∑ fgg

gσ & &E fp

gp= ⋅∑ ε

& &ε γgp

sm= ⋅∑ [ ]m n l l ns s s s s= ⋅ ⊗ + ⊗1

Xinter

[ ]σ β βg gB= + ⋅µ⋅ − ⋅ −Σ 2 1( )

Grains

1.E+13 1.E+14 1.E+15 1.E+16

tract ion 300K (charge oudécharge)

tract ion 623K

essais de fat igue 300K

τ σs g sm= :

= ⋅+

τ τ τµsi

,= − −

ms⋅b⋅ν

√∑s= 1

⋅exp[ ∆HO

kB⋅T ]⋅sh( τ si⋅V )

∀ ∈i c w,

Ecrouissage latent

τµ,si =α⋅µ⋅b⋅(∑

asj⋅|ρ

Χ sc=f w⋅( τµ,s

w τµ,sc ) Χ s

w=(1f w )⋅( τµ,sw τµ,s

eλf w=

Plan de glissement

Système de glissement

Lois d’évolution des densités de dislocations

dρsdip=[ 2⋅(d dip

. ye)b ]ρsc|dγ sc|

dρspw=[ βφb ]⋅√ρsc⋅dγ sc[ 2⋅ysb ]⋅|ρspw|⋅dγ sw

dρsc=[ 2

ρsc[ 2⋅(ddip ye)b ]⋅ρsc⋅|dγsc|

Densité de dipôles

Densité de dislocations polarisées

Densité de dislocations

mobiles

0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5

74 dipôles coinsétudiés

hmin = 1,2 nm

hmoyen = 4,7 nm

hmax = 9,6 nm

Nombre de dipôles

Taille des dipôles coins, h (nm)

dρsw=dρ s

dip+dρs

0 50 100 150 200 250 300

Expérience

Simulation

Σm (MPa)

dεr / dt (s-1

Σmax=350 MPa

Efficacité du modèle à décrire le rochet cyclique

Polarisée

Dipolaire

Polarisée

Dipolaire

0 100 200 300 400 500 600 700

Expérience

Simulation

Σmax (MPa)

dεr / dt (s-1

Σm=50 MPa

Paramètres et identification du modèle

25 coefficients au total dont 19 sont estimés expérimentalement

Echelle et type Coefficients Valeurs

0,33195

399,30,838,68

1,64 eV

Densité de dislocation initiale 10-10

0,0681

7,2512,2519,31,6

3,2 10-5

Densité de dislocations dans les chenaux 1,5 10-7

5,7415 nm

2,189,6 nm1,2 nm

Fraction de zone dure

Flux de dislocations mur/chenal

Formation des dipôles

Elasticité

Règle de localisation

Taux de cisaillement du système (s)

Écrouissage latent

−Φβ

dipP 6 coefficients à identifier

modèle

expérience

En guise de synthèse...

>> Modèles polycristallins à champs moyens : vision simplifiée mais> bonne description de l'anisotropie (élastique et plastique) ;> variables d'écrouissage à base plus physique ;> prévision améliorée sous chargements multiaxiaux complexes ;> utilisables dans les codes de calcul de structures (Aster, Cast3M, ZéBuLoN).

>> Calculs d'agrégats EF ou FFT (très à la mode)> approches complémentaires ;> accès aux champs complets (hétérogénéité) ;> à cours terme, chaînage avec les approches DD ;> à moyen terme, utilisable en calculs de structures « pointus » (EF2).

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