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Paul Drijvers, Institut Freudenthal Université d’Utrecht, Pays-Basp.drijvers@uu.nl

www.fi.uu.nl/~pauld2011-10-15

Des approches Franco-Hollandaises en didactique des mathématiques

L’exemple des recherches relatives aux TICE

Fil ‘rouge’ L’école Française en didactique des maths L’école Hollandaise en didactique des maths Des cultures différentes… Approches différentes : Instrumentation Approches différentes : Orchestration Conclusion

FR ConcCult OrchNL Inst

L’école Française en didactique des mathématiques

En général : une école impressionnante !

TSD, TAD

Pour les TICE en particulier: • Genèse instrumentale • Orchestration instrumentale• Genèse documentaire

Tendance à publier aussi en Anglais

Intérêt à d’autres approches:

Kuzniak, A., Parsyzs, B., & Vivier, L. (Réd.)(2008). Cahier de DIDIREM 58. Du monde réel au monde mathématique – un parcours bibliographique et didactique. Paris : Université Paris-Diderot.

L’école Hollandaise en didactique des mathématiques

Très influencé par la théorie de l’enseignement réaliste des mathématiques (Realistic Mathematics Education, RME)

Méthode de recherche : design research

Méthode de plus en plus complétée par des méthodes quantitatives

ve, C. &

Drijvers, P. (in press). E

ffects of a digital intervention on the developm

ent of algebraic expertise. C

omputers &

Education.

w.fi.uu.nl/dw

o/dpict

Des cultures différentes…

www.edumatics.eu

Des cultures de thèse différentes…

Une thèse Française:• > 600 pages• En Français• Monographe

• References à la littérature Française

Une thèse Neerlandaise:• < 200 pages• En Anglais• Des articles publiés dans

des journaux internationaux• References à la littérature

internationale

Approche instrumentale Idée très forte ! Artefact et instrument Schème et technique Genèse instrumentale Relation en deux sens : • instrumentation • instrumentalisation

Trouche 2000

Artigue 2002

Lagrange 2000

Techniquetype de tâches schème mentale

résoudre une équation

Instrument

artefact

Approche Hollandaise Trouver des exemples de schèmes Concrétiser l’idée:

Quels aspects conceptuels derrières les techniques?

Une équation doit avoir un signe =

Indiquer l’inconnu

Une solution peut être une expression

Se rendre compte de la portée du signe racine

‘Résoudre pour x’ = ‘Exprimer x en terme de b’

Variables : lettres ou mots ?

1. Schème Résoudre CAS

Substituer dans une autre expression

Substituer une forme isolée

Comprendre la barre verticaleColler l’expression pour chaque instance de la variable

2. Schème Substitution CAS

3. Schème Intersection CG solution d’une équation = intersection des graphs

x obligatoire comme variable, point au lieu de virgule, entrée linéaire

déterminer la fenêtre

choisir le graph

solutions approximatives au lieu d’exactes

solution sur un intervalle ; il peut y en avoir plus

non applicable en cas de paramètres

choisir point de départ

4. Schème Déplacement DGS

Quel lieu, quelle relation avec la variable indépendante ?

Quel changement de l’objet dépendant par le déplacement de l’objet libre ?

Quels objets déplaçables et indépendants ?

Quel degré de libertépour quel objet ?

De quel objet dépendent s’agit-il ?

L’orchestration instrumentale Trouche (2004):

L’agencement systématique d’un ensemble d’artefacts pour la mise en œuvre d’une situationmathématique donnée.

Un modèle pour repérer despratiques d’enseignants

Configuration didactique

Mode d’exploitation

Performance didactique

Le chef d´un orchestre symphonique alors?Plutôt un ‘jazz band leader’...

Trouche, L. & Drijvers, P. (2010). Handheld technology: Flashback into the future. ZDM, The International Journal on Mathematics Education, 42(7), 667-681.

Le cas du Prof A: clip

Le cas du Prof A: analyse

Type d’orchestration : ‘Sherpa-at-work’ Configuration didactique :

Classe entière, ordinateur portable avec projecteur, élèves en positions traditionnelles

Mode d’exploitation : Un binôme d’élèves qui expliquent leur travail, un parlant et l’autre à l’ordinateur

Performance didactique:Professeur en position ‘marginale’, mais en gérant le processus. Ex. en s´adressant à l’élève à l’ordinateur pour lui dire d´illustrer les propos de son collègue.

Le cas du Prof B:

Le cas du Prof B: analyse

Type d’orchestration : ‘Link-screen-board’ Configuration didactique :

Classe entière, ordinateur de professeur avec projection à coté du tableau noir

Mode d’exploitation : Projeter le travail d’un élève ; utiliser le tableau noir pour transformer notation et technique applet en équivalents papier-crayon conventionnels.

Performance didactique :Profiter de l’interaction et du retour des élèves.

Le cas du Prof C: clip

Le cas du Prof C: analyse

Type d’orchestration : ‘Technical-demo’ Configuration didactique :

Classe entière, ordinateur du professeur connecté au TBI, élèves en positions traditionnelles

Mode d’exploitation : Les élèves écoutent et suivent la démonstration des techniques applet par le professeur

Performance didactique :Le professeur reste assis et n’utilise pas les options TBI

Sept types d’orchestration :1. Technical-demo2. Explain-the-screen3. Link-screen-board4. Discuss-the-screen5. Spot-and-show6. Sherpa-at-work7. Work-and-walk-by

1-2-3 ‘teacher-centred’ : le prof dirige la communication

4-5-6-7 ‘student-centred’ : communication interactive, les ´voix´ des élèves comptent

Drijvers, P. (2011). From ’work-and-walk-by’ to ’sherpa-at-work’. Mathematics Teaching, 222, 22-26.

Drijvers, P., Doorman, M., Boon, P., Reed, H., & Gravemeijer, K. (2010). The teacher and the tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom. Educational Studies in Mathematics, 75(2), 213-234.

Table d’orchestration profs ABC

Profil du professeur A : Priorité aux orchestrations ‘student-centred’ L’apprentissage est un processus interactif, dans lequel

les élèves ont une voix La technologie est un véhicule pour arriver à cela

”…alors on peut avoir des discussions avec les élèves par les images qu’ils ont vu sur l’écran, alors ça devient plus vivant”

Profil du professeur B : Priorité aux orchestrations ‘teacher-centred’ Considère le contenu mathématique comme principal Voit la technologie comme un véhicule pour enseigner

cela Fait attention aux liens entre le travail technologique et

les mathématiques papier-crayon / tableau noir “… prendre de la distance par rapport à l’environnement technologique spécifique; sinon, les expériences restent trop lier à la technologie”

Profil du professeur C : Priorité aux orchestrations ‘teacher-centred’ Considère important de donner des explications et

instructions claires Est concerné par les difficultés des élèves en apprenant

les mathématiques, et en utilisant la technologie

”En tant que professeur, il faut être clair avec les élèves sur ce qu’ils peuvent faire avec la technologie.”

Bref, On a identifié sept types d’orchestration, une collection ni

complète ni très originale On a trouvé des liens entre les orchestrations que les

professeurs exploitent et leurs idées sur l’enseignement des mathématiques ainsi que sur le rôle des nouvelles technologies là-dedans

L’orchestration et la formation des professeurs• La ‘carte d’orchestration’

• Les blogs des professeurs dans le projet DPICT

ConclusionLes approches Françaises et Hollandaisesen didactique des mathématiques …

• … sont bien différentes• … sont bien complémentaires• … sont puissantes à combiner

Paul Drijvers, Institut Freudenthal Université d’Utrecht, Pays-Basp.drijvers@uu.nl

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Merci!

A didactical configuration is an arrangement of artefacts in the environment, a configuration of the teaching setting and the artefacts involved in it.

Cf. the musical metaphor:• choosing the musical instruments to include in the

orchestra• arranging them in space and time to achieve harmony

(= convergence of mathematical discourse).

Didactical configuration

Exploitation mode

Didactical performance

Exploitation mode

An exploitation mode is the way the teacher exploits the didactical configuration for her didactical intentions: decisions on the way a task is introduced and worked, on the possible roles of the artefacts, and on the schemes and techniques to be developed.

Cf. the musical metaphor:• determining the partition for each of the musical

instruments involved.

Exploitation mode

A didactical performance involves the ad hoc decisions taken while teaching, on how to actually perform in the chosen didactic configuration and exploitation mode: what question to pose now, how to do justice to (or to set aside) student input, how to deal with an unexpected aspect of the task or the tool?

Cf. the musical metaphor: • the actual musical performance

Exploitation mode

SchemesA scheme is an invariant organization of activity for a given class of situations (Vergnaud, 1996). More informally, a scheme is a more or less stable way to deal with specific situations or tasks, guided by developing knowledge. When using an artefact, a student develops a scheme of instrumented action, for example a scheme of equation solving using a graphing calculator. Such a scheme is made of gestures for using the given artefact, rules of action, and conceptual elements, both piloting the activity, and developed by this activity.

Techniques

Pragmatic stance: Techniques are the observable part of the students’ work on solving a given type of tasks (i.e., a set of organized gestures) and schemes as the cognitive foundations of these techniques that are not directly observable, but can be inferred from the regularities and patterns in students’ activities.

“A technique is a manner of solving a task and, as soon as one goes beyond the body of routine tasks for a given institution, each technique is a complex assembly of reasoning and routine work” (Artigue 2002, p. 248). Techniques are seen as carriers of knowledge and have both pragmatic and epistemic value (Lagrange 2000).

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