Précision des systèmes asservis continus

Précision des systèmes asservis continus

Définition 1 : La précision d’un système asservi est définie à partir de l’erreur entre la grandeur de consigne et la grandeur de sortie.

Il existe deux types de précision : - Précision statique qui caractérise le régime permanent : - Précision dynamique est liée au régime transitoire :e(t)=c(t)-y(t)

)(lim tet

Transitoire

Permanent

Structure d’un système asservi

C(s)

H(s)

G(s)yc(t)

w(t)

u(t) yy1(t)y2(t)

-+

+

+

Fonction de transfert en boucle fermée

)()()(1

)()()(1 sYsGsC

sGsCsY cSi w(t)=0 alors

Si yc(t)=0 alors )()()(1

)()(2 sWsGsC

sHsY )()()( 21 sYsYsY

• Écart dynamique

Précision des systèmes asservis

On suppose que

)()()( sYsYsE c )()()(1

)()()(1

1)( sWsGsC

HsYsGsC

sE c

)()()()(

sDsN

sKsGsC avec

)()(

)(sDsN

sK

sHw

ww avec 1

)0()0(

DN

1)0()0(

DN

IN,

Écart statique dû à la consigne (w(t)=0)

)s(sElim)t(elime0st

)s(G)s(C1)s(Y

slim c

0s

sK1

)s(Yslim c

0s Ks

)s(Yslim c

1

0s

En pratique, on intéresse essentiellement à l’erreur en position,en vitesse et en accélération qu’on note (ep, ev, ea)

On appelle constante d’erreur en position )s(G)s(ClimK0sp

On appelle constante d’erreur en vitesse

On appelle constante d’erreur en accélération

)s(G)s(sClimK0sv

)s(G)s(CslimK 2

0sa

Précision statique

Erreur en position : (consigne est un Echelon yc(t)=1) s1)s(Yc

0 KKp K1kep

1 pK 0epSi

Si

Alors

Alors

Erreur en Vitesse : (consigne est une rampe yc(t)=t) 2c s1)s(Y

0 0Kv ve

1 KKv K1ev

Si

Si

Alors

Alors

2 vK 0evSi AlorsErreur en accélération : (consigne est une parabole yc(t)=t2/2)

1 0Ka ae

2 KKa K1ea

Si

Si

Alors

Alors

3 aK 0eaSi Alors

3c s1)s(Y

Précision statique

Précision statique

Consigne : Echelon Consigne : Rampe

Perturbation

10t010t2

)t(w

Précision statique

Consigne : Parabole yc(t)=t2/2

Perturbation

Perturbation

2t02t2

)t(w

Précision statique

=0 =1 =2 =3Erreur en

position

Erreur en

Vitesse

Erreur en

Accélération

Précision statique

=0 =1 =2 =3Erreur en

position 0 0 0

Erreur en

Vitesse 0 0

Erreur en

Accélération 0

pK11

vK

1

aK

1

Erreur en vitesse = Erreur de traînage

C(s)

H(s)

G(s)yc(t)

w(t)

u(t) yy1(t)y2(t)

-+

+

+

Écart statique dû à la perturbation (yc(t)=0)

)s(W)s(G)s(C1

)s(H)s(Y

)s(G)s(C11)s(E c

)()()()(

sDsN

sKsGsC avec )(

)()(

sDsN

sK

sHw

ww avec 1

)0()0(

DN

1)0()0(

DN

Si yc(t)=0 alors )s(W)s(G)s(C1

)s(H)s(Y)s(Y)s(E c

Ecart statique dû à la perturbation est défini par : ))t(y)t(y(lim)( ct

Ecart dû à la perturbation ))t(y)t(y(lim)( ct

)s(sElim))s(Y)s(Y(slim0sc0s

)s(W))s(G)s(C1

)s(Hs(lim

0s

Si la perturbation est constante : w(t) =1s1)s(W

)s(G)s(C1)s(H

lime0sp

Ks1

sKlim w

0s

Si – 1 alors ep= 0Si et sont nuls alors ep= K1Kw

Si la perturbation est une rampe : w(t) =t 2s1)s(W

s1

)s(G)s(C1)s(H

lime0sv

s1

Ks1

sKlim w

0s

Si - =0 alors ev=- Si – =1 alors ev= KKw

Si - =0 alors ep= KKw

Si – 2 alors ev= 0

Exemple

Précision dynamique

Le comportement dynamique d’un système asservi peut-être entièrement caractérisé par :

- la réponse indicielle- la réponse fréquentielle

Caractérisation par comparaison avec les comportements des systèmes du premier ou second d’ordre.

Comparaison à un système de 1e ordre

Si C(s)G(s)= ou C(s)G(s) = la FTBF :sK

s1K s1

K

f

f

L’écart dynamique e(t)=yc(t)-y(t)=1-Kf(1-e-t/f)

sKCas FTBO = Kf=1 et f=1/K

Cas FTBO =s1

K Kf=K/(1+K) et f=/(1+K)

Comparaison à un système de 1e ordre

Erreur indicielle Comportement Fréquentiel

Comparaison à un système de 2e ordre

)s1(skFTBO

2nn

2

2n

wsw2s

wFTBF

Pour les pôles sont réels et l’écart a un comportement ss 1e ordre1

Pour les pôles sont complexes 1

)twsin(Ae)t( ptw n 2/12)1/(1A

/)1()(tg 2/122/12np )1(ww

Erreur indicielle

nw3

rt21e%D

))cos(ar(t

2n 1w

1m

tm

D

tr n%

n %

Comportement fréquentiel

2/12nr )21(ww

2/12)1(21Q

Qlog20MdB