Chapitre 5 - Performances Des Systèmes Asservis

7/24/2019 Chapitre 5 - Performances Des Systmes Asservis

1/24

eivd Rgulation automatique

Chapitre 5

Performances des systmes asservis

5.1 Introduction

Ce chapitre est ddi ltude des performances des systmes asservis. Pourvaluer et comparer des systmes asservis, on peut se baser sur les 4 critressuivants :

leur stabilit (notamment le degr de stabilit) ( 5.2) ; leur prcision (notamment en rgime permament) ( 5.3page191) ; leur rapidit (5.4 page197) ; la qualit de lasservissement (5.5 page201).

Ltude de ces 4 critres de comparaison constitue lessentiel du prsent cha-

pitre. La notion de retard pur est dfinie au 5.4.3page200 alors quun dernierparagraphe traite des systmes dynamiques ples dominants ( 5.6 page202).

5.2 Stabilit

5.2.1 Dfinition

Dans le cadre de ce cours de base, on adopte la dfinition suivante pour lastabilit :

Un systme dynamique linaire est stable si, et seulement si, cart de sa posi-

tion dquilibre par une sollicitation extrieure, le systme revient cette position

dquilibre lorsque la sollicitation a cess.

La stabilit en boucle ferme dun systme de rgulation automatique estune condition imprative. Pour que les systmes soient utilisables en asservisse-ment, il est en effet absolument ncessaire que toutes les fonctions de transfert enboucle ferme (BF), par exemple Gw(s)(rgulation de correspondance) et Gv(s)

Chapitre 5 183 mee \cours_ra.tex\27 novembre 2004


2/24


Fig.5.1 Illustration de la dfinition de la stabilit ( fichier source).

(rgulation de maintien),

Gw(s) = Y(s)

W(s)=

Go(s)

1 +Go(s)

Gv(s) = Y(s)

V(s)=

Ga2(s)

1 +Go(s)

soient stables, sans quoi lon se verrait dans limpossibilit de grer leur quilibre !Ceci nimplique toutefois pas que les fonctions de transfert en boucle ouverte

Go(s)ou celle du systme rgler Ga(s)soient elles-mmes stables ! Cest en effetlune des proprits majeures de la technique de la contre-raction que de pouvoirstabiliser des systmes intrinsquement instables comme le pendule invers (fi-gure5.2page ci-contre), le segway (figure1.39page49), la fuse, les lvitation etsustentation magntiques rencontres dans les applications SwissMetro et paliersmagntiques (figure1.40page50).

5.2.2 Etude de la stabilit par la rponse impulsionnelle

En appliquant mot pour mot la dfinition de la stabilit, on propose dcarter

le systme dynamique linaire G(s) de sa position dquilibre initiale en lex-citant ici par une impulsion de Dirac (figure 5.3 page 186). Ce signal a pouravantage notable de considrablement allger les calculs (puisque L{(t)} = 1)tout en ayant la caractristique mentionne dans la dfinition "dapparatre puisde disparatre".

Mathmatiquement, on a

Y(s) =G(s) U(s)L{(t)}

=G(s)

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_04.eps


3/24


Fig. 5.2 Pendule invers : il sagit dun systme intrinsquement instable(fichier source).

G(s) est une fraction rationelle en s :

G(s) = Y(s)

U(s)=

bm sm +bm1 sm1 +. . .+b1 s+b0

sn +an1 sn1 +. . .+a1 s+a0

On admet pour ce qui suit que : G(s) a plus de ples que de zros, i.e. son degr relatifd= n m >0 (on

dit aussi que G(s)est strictement propre) ; tous les ples s1, s2, . . . , sn de G(s)sont simples.

Dans ce cas, la dcomposition de G(s)en lments simples prend la forme

Y(s) =G(s) =

C1

s s1 +

C2

s s2 +. . .+

Cn

s sn =

n

i=1

Ci

s si

o C1 Cn sont les rsidusassocis aux ples s1 sn. Il sagit de nombres relsou complexes.

On peut alors calculer la rponse y(t) la sollicitation u(t) = (t), i.e. larponse impulsionnelle g(t), en calculant la transforme de Laplace inverse :

y(t) = L1{Y(s)} =g(t) =C1 es1t +C2 es2t +. . .+Cn esnt =ni=1

Ci esit

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05_20.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05_20.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_20.eps


4/24


Fig. 5.3 Application de la dfinition de la stabilit pour le cas ou u(t) = (t)

(fichier source).

On voit que la rponse impulsionnelle y(t) =g(t)est forme de la superpositionde ntermes de type Ci e

sit, appels modesdu systme G(s). A chaque ple siest associ le mode temporel Ci e

sit. Lanalyse modale consiste mettre en vi-dence les modes dun systme dynamique et par suite les proprits dynamiques(rapidit, oscillations, etc) de celui-ci. Dans ce but, il faudrait idalement exciterle systme avec une impulsion de Dirac ou lobserver lorsquil retrouve son tatdquilibre alors que ses conditions initiales sont non-nulles (cest alors sa rponselibrequi serait observe). Dans ces cas, lavantage est que le signal dentre nin-fluence que peu celui de sortie, lequel tant alors essentiellement constitu de lasuperposition desn modes que lon cherche observer.

Mode apriodique

Un mode apriodique est un mode associ un ple rel.

Ci

s si Ci e

sit

On voit quil sagit dun mode ayant lallure dune exponentielle dont le taux de

croissance ou dcroissance ne dpend que du ple lui-mme.



5/24


Fig.5.4 Mode apriodique : influence de la position du ple sur la rapidit dumode (fichier source).

0 1 2 3 4 50

0.5

1

g(t)

Mode apriodique

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

g(t)

0 1 2 3 4 50

50

100

150

t [s]

g(t)

2 0 2

10

0

10

Configuration plezro

Re

Im

2 0 2

10

0

10

Re

Im

2 0 2

10

0

10

Re

Im

Fig. 5.5 Mode apriodique : influence du signe du ple sur le mode temporel(fichier source).

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_rap.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_exp.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_exp.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_exp_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_rap.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_rap_1b.eps


6/24


Mode oscillatoire

Un mode oscillatoire est un mode associ une paire de ples complexes

conjugus.

k

(s+)2 +20=

Ci

(s si)+

Ci

(s si) Ci e

t sin(0 t)

o = {si}0 = {si}

Le mode oscillatoire est constitu dun terme sinusodal pondr par une ex-ponentielle. La pulsation de la sinus est gale la partie imaginaire (en valeurabsolue) 0 des ples et le paramtre de lexponentielle est donn par leur partie

relle.



7/24


0 1 2 3 4 55

0

5

g(

t)

Mode sinusodal

0 1 2 3 4 510

5

0

5

10

g(t)

0 1 2 3 4 5

20

10

0

10

20

t [s]

g(t)

1.5 1 0.5 0 0.5

20

10

0

10

20


Re

Im

1.5 1 0.5 0 0.5

20

10

0

10

20

Re

Im

1.5 1 0.5 0 0.5

20

10

0

10

20

Re

Im

Fig.5.6 Mode oscillatoire : influence de la position des ples sur la rapidit dumode (fichier source).

0 1 2 3 4 510

5

0

5

10

g(t)

Mode sinusodal

0 1 2 3 4 520

10

0

10

20

g(t)

0 1 2 3 4 52000

1000

0

1000

t [s]

g(t)

2 0 2

10

0

10


Re

Im

2 0 2

10

0

10

Re

Im

2 0 2

10

0

10

Re

Im

Fig.5.7 Mode oscillatoire : influence du signe de la partie relle des ples surle mode temporel (fichier source).

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_rap2.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_sin.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_sin.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_sin_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_rap2.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_moderap2_1.eps


8/24


5.2.3 Condition fondamentale de stabilit

Se rfrant la dfinition de la stabilit du 5.2.1page183ainsi qu lex-

pression gnrale de la rponse impulsionnelle calcule au 5.2.2 page 184, onvoit que la rponse dun systme dynamique linaire excit par une impulsion deDirac

y(t) =g(t) =ni=1

Ci esit

ne revient son tat initial y(0) = 0 si et seulement si tous les ples s1 sn dela fonction de transfertG(s)sont parties relles ngatives, i.e. sont situs dansle demi-plan complexe gauche. Do la condition fondamentale de stabilit :

Un systme dynamique linaire est stable si et seulement si tous les ples de sa

fonction de transfert sont partie relle ngative :

{si}


9/24


elle ne dpend que de ses paramtres (a1, a2, . . ., an, i.e. Ra, J, CL, etc) maisaucunement de lexcitation u(t).

Il est donc absolument faux de dire "le signal dexcitation a rendu le systmeinstable" : il faudrait dans ce contexte l plutt dire que "le signal dentre a excitlun des modes instables du systme" ou encore "le signal dentre a amorc lundes modes instables du systme".

Il en va tout autrement dans le cas de systme non-linaires (qui ne sonttudis que sporadiquement dans le cadre de ce cours), dont les proprits sonttypiquement dpendantes du signal dentre : il est alors envisageable dutiliserle langage mentionn plus haut.

Cas particuliers

Si un systme possde un ou plusieurs ples partie relle positive, il est instable; aucun ple partie relle positive, il est stable; un ple situ lorigine du plan complexe (si = 0 [s

1]), ou une ou plusieurspaires de ples imaginaires purs, il est marginalement stable.

5.3 Prcision en rgime permanent

La prcision dun systme asservi est obtenue en chiffrant la valeur de lerreure(t). On se limite ici ltude de la prcision en rgime permanent, i.e.

e= limt e(t)

Avant mme ltude du prsent paragraphe, il a t montr dans le cadre deplusieurs exercices (amplificateurs oprationnels, moteur DC asservi en vitesse,etc) que les erreurs dun systme asservi dpendent essentiellement du gain deboucle Go(s), plus prcisment de sa valeur permanente Ko lorsque lon se res-treint ltude des performances de prcision en rgime permanent :

e 1

1 +Ko

1

Ko

Plus Ko est lev, meilleure sera la prcision do lintrt de rendre le gain deboucle Go(s) aussi lev que possible, comme dja relev aux 4.1.3et4.1.4. Cersultat va tre dmontr ici dans le cas gnral, tenant compte des configurationspossibles du systme de rgulation automatique :

nombre dintgrateurs dans Go(s) ; emplacement des intgrateurs dans Go(s) ; valeur du gain permanent de boucle Ko; mode de rgulation : correspondance ou maintien ; type de signal dentre : saut, rampe, etc.



10/24


5.3.1 Forme des fonctions de transfert

Afin de faciliter les calculs, toutes les fonctions de transfert sont mises sous

forme de Bode :

Ga1(s) = Ka1

sa1 Ra1(s) Ra1(0) = 1

Ga2(s) = Ka2

sa2 Ra2(s) Ra2(0) = 1

Gc(s) = Kc

sc Rc(s) Rc(0) = 1

Go(s) = Ko

s Ro(s) Ro(0) = 1

o les termesRk(s)(i.e.Ra1(s),Ra2(s),Rc(s)et Ro(s)) sont des fractions ration-nelles en s,

1 +b1 s+b2 s2 +. . .+bm s

m

1 +a1 s+a2 s2 +. . .+an sn

quivalentes aux fonctions de transfert sans les (ventuels)k ples ens = 0 [s1]

et sans le gain permanent Kk.

Fig.5.9 Schma fonctionnel universel, avec mention des types , i.e. du nombredintgrateurs, de chacun des blocs (fichier source).

5.3.2 Calcul de lerreur

Lerreure(t)a pour expression :

e(t) =w(t) y(t)



11/24


12/24


si = 0, i.e. il ny a aucune intgration dans la boucle ( = 0, 1 = 0,2= 0), on a :

Ep= E= lims0

s+1s +Ko

1s +lim

s0Ka2 s1+1

s +Ko1

s

= lims0

s0

s0 +Ko

+lim

s0

Ka2 s

0

s0 +Ko

=

1

1 +Ko

+

Ka2

1 +Ko

=Ew +Ev

si = 1, 1 = 1, 2 = 0, i.e. il y a une intgration dans la boucle, lin-tgrateur tant situ avant le point dintroduction des perturbations, on

a :Ep= E= lim

s0

s+1

s +Ko1

s

+lim

s0

Ka2 s

1+1

s +Ko1

s

= lims0

s1

s1 +Ko

+lim

s0

Ka2 s

1

s1 +Ko

= [0] +[0]

=Ew +Ev

si = 1, 1 = 0, 2 = 1, i.e. il y a une intgration dans la boucle, lin-tgrateur tant situ aprs le point dintroduction des perturbations, ona :

Ep= E= lims0

s+1

s +Ko1

s

+lim

s0

Ka2 s

1+1

s +Ko1

s

= lims0

s1

s1 +Ko

+lim

s0

Ka2 s

0

s1 +Ko

= [0] +

Ka2

Ko

= [0] +

1

Ka1

=E

w +E

v

On observe que pour annuler une erreur statique, il faut une intgration dans laboucle, celle-ci devant imprativement se situer en amont du point dintroductiondes perturbations si lon veut annuler leffet de ces dernires.

5.3.4 Gnralisation : erreurs dordre suprieur

Les calculs effectus ci-dessus peuvent tre rpts dans dautres cas de fi-gures, par exemple pour diffrentes valeurs de et des signaux dentre w(t) et



13/24


v(t) dordres plus levs. Les rsultats sont obtenus selon le mme principe etcondenss dans le tableau des erreurs permanentes ci-dessous (tableau5.1).

Lorsque les signaux dentre w(t) et v(t) sont dordre 1 (rampe), lerreurpermanente quil provoquent est lerreur dordre 1 ouerreur en vitesse(figure5.10page suivante). De mme, pour des signaux dordre 2, lerreur permanente estnomme erreur dordre 2 ou erreur en acclration.

Erreur statique Erreur en vitesse Erreur en acclration(erreur dordre 0) (erreur dordre 1) (erreur dordre 2)

E Ev Ea1 2

Ew Ev Evw Evv Eaw Eav0 0 0 1

1+KoKa21+Ko

0 1 1 0 Ka2

Ko

1

Ko 1 0 1 0 0 1

Ko

Ka2Ko

1 1 2 0 0 0 Ka2Ko

1Ko

2 0 2 0 0 0 0 1Ko

Ka2Ko

2 1 3 0 0 0 0 0 Ka2Ko

Tab. 5.1 Tableau des erreurs permanentes.



14/24


Fig. 5.10 Erreurs permanentes en rgulation de correspondance (fichier source).

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_01.eps


15/24


5.4 Rapidit des systmes de rgulation automa-

tique

La rapidit dun systme de rgulation automatique peut tre value surla base de sa rponse indicielle en boucle ferme, par exemple en rgulation decorrespondance (figure 5.11). La dure de rglage Treg est la dure mesure

Fig. 5.11 Dfinition de la dure de rglage Treg 5%, du temps de monteTm et du temps de dpassement Tdp (fichier source).

entre linstant dapplication du saut de consignew(t)et linstant o la grandeurrgley(t)ne scarte plus dune bande de tolrance de 5%trace autour de savaleur finale y.

Le temps de monte Tm est la dure que met le signal y(t)pour passer de10 90% de sa valeur finale y.



16/24


5.4.1 Cas particulier o Gw(s) est dordre 1 fondamental

Si, en rgulation de correspondance, on a

Gw(s) = Y(s)

W(s)=

Kw

1 +s Tf

= Kw

Tf

1

s (1

Tf)

sf

= kf

s sf

i.e. si la fonction de transfert en boucle ferme, rgulation de correspondance, ala forme dun systme fondamental dordre 1, la dure de rglage T

reg peut se

calculer trs facilement. On a pour la rponse indicielle :

y(t) =Kw

1 e t

Tf

On a

y= limt

y(t) =Kw

et lon peut crire :

y(Treg) = 0.95 y= Kw

1 eTreg

Tf

= 0.95 Kw

soit encore :

Treg= Tf log (1 0.95) 3 Tf

On en dduit la dure de rglage Treg :

Treg = 3 Tf=

3

|sf| =

3

|{sf}|

Considrant la configuration ple-zro de 2 systmes asservis (figure 5.12 pageci-contre), par exemple

Gw1(s) = Y(s)W(s)

= Kw11+sTf1

Gw2(s) = Y(s)W(s)

= Kw21+sTf2on peut en dduire facilement lequel est le plus rapide.



17/24


Fig. 5.12 La configuration ple-zro montre que le systme asservi 2 est plusrapide que le systme asservi 1 (fichier source).

5.4.2 Cas particulier o Gw(s) est dordre 2 fondamental

Lorsquen rgulation de correspondance, on a

Gw(s) = Y(s)

W(s)=

Kw

1 + 2n

s+ 12n

s2=

kw

(s+)2 +20

les ples en boucle ferme sont sf1,2 =j 0 (figure5.13page suivante) etla rponse indicielle a pour expression :

y(t) =Kw

1

11 2

et sin(0 t+)

Il ny a malheureusement pas de solution analytique fournissant Treg, maisune rsolution numrique montre que lon a approximativement

Treg3

=

3

|{sf}|

On remarquera que cette relation est identique celle obtenue prcdemmentpour le cas o Gw(s)est fondamentale dordre 1.



18/24


Fig. 5.13 Configuration ple-zro dun systme dordre 2 fondamental

(fichier source).

5.4.3 Systmes temps mort (retard pur)

Un temps mort, ou retard pur, est lintervalle de temps Tr compris entrelinstant o lon provoque une variation de la grandeur dentre u(t)dun systmeet celui o dbute la variation corrlative de la grandeur de sortiey(t)(figure5.14page ci-contre). Le retard pur se traduit au niveau des fonctions de transfert dessystmes dynamiques par le terme

esTr

car

L {u(t Tr} =U(s) esTr

Un exemple de systme retard pur est celui de la douche ( 1.5.1page30). Leretard pur observ est d au temps de transport dans la conduite.



19/24


Fig. 5.14 Rponse indicielle dun systme possdant un retard pur Tr(fichier source).

5.5 Qualit

Lorsquun systme de rgulation automatique satisfait le cahier des charges

des points de vue

stabilit prcision rapidit

il faut encore procder certaines vrifications, comme le montre la figure 5.15page suivante, o le dpassement de y2(t) peut tre inacceptable pour lappli-cation. Pour dpartager "objectivement" 2 systmes, on peut calculer lun oulautre des critres dintgrale (fonction cot) suivants :

ISE : "integral of square of error"

JISE=

Treg0

e()2 d

"ITSE" : integral of time multiplied by square of error

JITSE=

Treg0

e()2 d



20/24


Fig.5.15 Rponses indicielles de 2 systmes asservis, ayant les mmes perfor-mances en stabilit, prcision et rapidit (fichier source).

Il est galement possible de prendre en compte lnergie ncessaire pour effectuerlasservissement en calculant par exemple

J=q

Treg0

e()2 d JISE

+r

Treg0

u()2 d JISU

o les coefficients q et r font office de facteurs de pondration, permettant depnaliser plus ou moins les systmes ayant un faible JISEmais un fort JISU.

5.6 Ples dominants

Un systme dynamique linaire dordren, i.e. possdantnples, est dit plesdominants lorsque son comportement dynamique est largement influenc par unnombre limit, i.e. infrieur n, de ples appels alors ples dominants. Dans cescas, on peut alors reprsenter le systme de manire suffisamment fidle par sesples dominants, ce qui prsente lavantage de simplifier les calculs, notamment



21/24


ceux ncessaires lobtention des rponses temporelles (figures5.16et 5.17pagesuivante).

0

0.5

1

5

0

5

Im

0

0.5

1

5

0

5

Im

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t [s]

10 5 05

0

5

Re

Im

Fig.5.16 Rponses indicielles dun systme dordre 3 : progressivement, le 3me

ple, rel, est loign des 2 autres et lon observe la diminution de son effet surle rgime transitoire. En pointill, la rponse indicielle des 2 ples dominantsseuls, mettant clairement en vidence linfluence de plus en plus faible du plenon-dominant (fichier source).

5.6.1 Ples dominants des systmes asservisDans le cas des systmes de rgulation automatique, on obtient souvent de

manire naturelle (rgle no 5 du trac du lieu dEvans, 7.6 page262), en boucleferme, des systmes possdant 1 ple ou une paire de ples dominants. La ques-tion discute ici est de savoir quelles sont les caractristiques de ces ples.

Les 5.4.1page198et5.4.2page199ont montr que la dure de rglage Tregtait directement dpendante de la partie relle des ples. Partant du cahier descharges (initial) dun systme asservi, on peut ainsi en dduire directement

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_dom_02_1.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_dom_02.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_dom_02.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_dom_02_1.eps


22/24


0

0.5

1

10

5

0

5

10

Im

0

0.5

1

10

5

0

5

10

Im

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t [s]

20 15 10 5 010

5

0

5

10

Re

Im

Fig.5.17 Rponses indicielles dun systme dordre 3 : progressivement, la pairede ples complexes, est loigne du ple restant et lon observe la diminutionde son effet sur le rgime transitoire. En pointill, la rponse indicielle du pledominant seul, mettant clairement en vidence linfluence de plus en plus faibledes ples non-dominants (fichier source).

la position du ple dominant (cas dun systme 1 seul ple dominant) :

sf= 3

Treg

la partie relle de la paire de ples dominants (cas dun systme 1 pairede ples dominants)

{sf1,2} = 3

Treg

Concernant la partie imaginaire des ples, elle peut tre obtenue sachant quuncomportement oscillatoire optimal (i.e. environ une oscillation complte avant sta-bilisation) est obtenu pour des taux damortissementde lordre de0.5 . . . 0.707 =

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_dom_03.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///mode_dom_03.mhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_mode_dom_03_1.eps


23/24


22 . Ceci implique que parties relles et imaginaires, lies par la relation

= sin () =

n=

2 +20 =const.soient telles que les ples dominants soient situs sur 2 demi-droites issues delorigine et formant un angle = arcsin () avec laxe imaginaire (figure 5.18).Ces demi-droites, correspondant un taux damortissement donn ( = 30 []pour = 0.5, = 45 [] pour = 0.707, voir figure5.19page suivante), portentle nom de courbes qui-amortissement.

Fig.5.18 Partant de la dure de rglage Treg qui fixe la partie relle des plesdominants, leur partie imaginaire est dtermine en imposant un taux damortis-sement , i.e. en recherchant lintersection entre la droite verticale dabcisse et la courbe qui-amortissement correspondant (fichier source).

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_12.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_12.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_12.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_12.epshttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_12.eps


24/24


Fig. 5.19 Courbes qui-amortissement correspondant plusieurs valeurs de (fichier source).

http://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/matlab///f_05.dsfhttp://iai.eivd.ch/profs/mee/cours/cours_ra/chap_05/Figures/f_05_13.eps

Documents

Chapitre 5 - Performances Des Systèmes Asservis