Problèmes inverses en géodésie et EEG

Plan Probleme inverse en geodesie Probleme inverse en EEG Perspectives

Problemes inverses en geodesie et EEG

A.-M. Nicu, A. Karoui, J. Leblond

INRIA, Sophia Antipolis, France et Universite de Carthage, Bizerte, Tunisie

19 novembre 2010

Plan Probleme inverse en geodesie Probleme inverse en EEG Perspectives

1 Probleme inverse en geodesieBase de Slepian calculee par deux methodes

2 Probleme inverse en EEGCalcul des coefficients des harmoniques spheriques

3 Perspectives

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Potentiel gravitationel

La loi universelle de la gravitation (Isac Newton) :

V (y) = G

∫B

ρ(x)

|x − y |dx

ou V peut etre donne a la surface de la terre, ∇V , Hess V surdifferentes orbites satellitaires, G est la const. gravitationnelle,ρ ∈ L2(B) la densite de la terre (en generale inconnue).

∆V =

−4πρ(x) si x ∈ B (Poisson equation);

0 si x ∈ R3 \ B (Laplace equation).

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Le pb. direct : etant donne ρ (une distribution de N pointsmasses parametrisee selon leur positions ξ∈ R3 et leur massesm ∈ R), trouver VN .Le pb. inverse : etant donne V sur S (∇V , Hess V ou lesdeux dans meme temps), trouver ρ (dans une certaine classede fonctions L2/L1)t.q. la difference en norme L2(Ω),Ω ⊂ Sentre le potentiel V et VN soit minimale.D’apres les conditionds de Hadamard, le pb. est mal pose si onn’impose pas des contraintes.

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Resoudre le probleme inverse ⇔ minξ∈R3,m∈RN

F (ξ,m) :

ou

F (ξ,m) = 12

∫S|V (1, θ, φ)− VN(1, θ, φ)|2dσ = ‖V − VN‖2

L(S)

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Potentiel electrique

U(X ) = h(X ) +M∑

k=1

< pk ,X − Ck >

4π‖X − Ck‖3

ou h est harmonique dans B, X ∈ S, Ck , pk les positions dessources, resp. des moments des sources, M le nombre dessources.

∆U = −M∑

k=1

pk · ∇Ck︸ ︷︷ ︸ρm

sur B, ρ = ρm discrete ici

∂U∂n|S = φ, u|S = g

φ-flux de courant, g sont les mesures sur le bord (electrodes),n-la normale a S.

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Etude du probleme

Dans les deux cas, pour l’etude du probeme on utilise ledeveloppement en harmoniques spheriques du potentiel dansR3 \ B.Pot. gravitationel :

V (r , θ, φ) =GM

r

∞∑n=0

n∑m=−n

cnm(a

r)nYnm(θ, φ), r > 1

et le potentiel VN(r , θ, φ) genere par N points masses est :

G

r

N∑k=1

mk

∞∑n=0

n∑m=−n

cnm(rkr

)n 4π

2n + 1Ynm(θ, φ)Ynm(θk , φk)

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Base de Slepian

Si Ω ⊂ S : la base des harmoniques spheriques :(Ynm),m = −n . . . n, n = 0 . . . ,∞ la base de Slepian :(Ynm),m = −n . . . n, n = 0 . . . , LProprietes :

orthogonale sur la region etudiee Ω

orthonormale sur la sphere entiere

la region etudiee peut etre un continent, une calotespherique, etc.

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Figure: Exemples des region etudiees

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Construction de la base

1ere methode

∀f ∈ L2(S) , f (θ, φ) =L∑

n=0

n∑m=−n

fnmYnm(θ, φ) (1)

On introduit l’operateur de Sturm-Liouville :

S =ddx

[(1− x2)(b − x)

ddx

]− L(L + 2)x − m2(b − x)

1− x2

et on resout le probleme aux valeurs propres

D(f )(θ, φ) :=

∫Ω

D((θ, φ), (θ′, φ′))f (θ′, φ′)dσ = µf (θ′, φ′) ou

avec D une matrice de (L + 1)2 × (L + 1)2,f = (f00, . . . , fnm, . . . , fLL)T les coefficients des harmoniquesspheriques. L’operateur D commute avec l’operateur deSturm-Liouville S et donc ils ont les meme fonctions propres(les fonctions de Slepian).

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Gauss-Legendre methode

Sur [a, b] : ∫ b

a

f (x)dx 'N∑

i=1

wi f (xi)

avec xi les racines du polynome de Legendre PN(x) et wi lespoids donnees par :

wi = −aN+1

aN

1

PN+1(xi)P′N(xi)

Sur S : ∫S

f (θ, φ)dw(θ, φ) 'D∑

d=1

wd f (θd , φd)

(θd , φd) ∈ χS = θj , j = 0, . . . , S × φk , k = 0, . . . , 2S + 1-ensemble des noeuds avec φk = kπ

S+1, φk ∈ [0, 2π], S ∈ N

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Base de Slepian calculee par deux methodes

θj et φk-co-latitudinal et longitudinal noeuds.

WS = wd = wj ,k , j = 0, . . . , S , k = 0, . . . , 2S + 1

avec wj ,k = 2π2S+1

wj∫ 2π

0

∫ π

0

f (θ, φ) sin θdθdφ =

∫ 2π

0

∫ 1

−1

f (arccos x , φ)dxdφ

'2S+1∑k=0

S∑j=0

2πwj

2S + 2f (arccos xj , φk)

ou arccos xj sont les zeros de PS+1(x).

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Base de Slepian calculee par deux methodes

2eme methode -elle est basee sur la methode de quadrature deGauss-Legendre qu’on applique pour le probleme suivant :

Kψn,m(x) =

∫Ω

K (m, x , y)ψn,m(y)dy = µnψn,m(x),∀x ∈ R

(2)

K (m, x , y) =L∑

n=|m|

2n + 1

2π

(n − |m|)!

(n + |m|)!Pm

n (x)Pmn (y) (3)

avec Pmn , les fonctions associees aux pol. de Legendre, K le

noyau de l’operateur K. Cet operateur commute aussi avecl’operateur S dans les espaces Hm de fcts. de la forme e imφ.

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Sur Hm′ pour Ωc : 0 ≤ θ ≤ arccos(Θ), 0 ≤ φ ≤ 2π si on prendg(u) = f (cosθ)e im′φ = f (x)e im′φ et on applique l’operateur Kon obtient :

(Kf )(u) =

∫Ωc

L∑n=0

Pn(< u, u′ >)g(u′)du′

=

∫Ωc

( L∑n=0

n∑m=−n

Ynm(u)Ynm(u′))f (x ′)e im′φ′dx ′dφ′

=

∫ 2π

0

∫ 1

Θ

( L∑n=0

n∑m=−n

Ynm(x , φ)Ynm(x ′, φ′))f (x ′)e im′φ′dx ′dφ′

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Base de Slepian calculee par deux methodes

∫ 2π

0

∫ 1

Θ

( L∑n=0

n∑m=−n

2n + 1

4π

(n −m)!

(n + m)!Pm

n (x)e imφPmn (x ′)e−imφ′

)f (x ′)e im′φ′

dx ′dφ′

=

∫ 1

Θ

L∑n=0

n∑m=−n

2n + 1

4π

(n −m)!

(n + m)!Pm

n (x)Pmn (x ′)f (x ′)

(e imφ

∫ 2π

0

e iφ′(−m+m′)dφ′)dx ′

= e im′φ

∫ 1

Θ

L∑l=|m′|

2n + 1

2π

(n − |m|)!

(n + |m|)!Pm

n (x)Pmn (x ′)f (x ′)dx ′

Le rang de K est L− |m|+ 1 et donc il admet L− |m|+ 1valeurs et fonctions propres (concentrees dans Ω, les autressont zeros).

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Pour la discretisation de (2) on a :

Theorem

Soit n ≥ 0, 0 < ε < 1,m > 0 et

Kε = inf k ∈ N,√

2c(k!)4

(2k+1)(2k)4k+ 32 π2

< ε|µn(m)|.Pour ∀N assez grand on a : :

supx≤b|ψn,m(x)− 1

µn(m)

N∑j=1

wjK (m, x , yj)ψn,m(yj)| ≤ ε (4)

yj ∈ R et wj ∈ R sont les noeuds resp. les poids.

Demonstration :On utilise :∫ b

a

f (x)dx =n∑

k=1

wk f (xk) +1

a2n

f (2n)(η)

(2n)!

∫ b

a

P2n (x)dx , a ≤ η ≤ b

et la formule de Stirling : (2N)! ≥√

2π(2N)2N+ 12e−2N

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Theorem

Soient K > 1,m > 0, µi(m)0≤i≤N−1 les valeurs propres de K,xi ∈ [a, b],wi ∈ R les noeuds et les poids. Si

sup0≤n≤N−1

sup1≤l≤N

|ψn,m(xl)−1

µn(c)

N∑j=1

wjeimxlxjψn(xj)| ≤ ε

Soit : AN = [wjK (m, xl , yj)]1≤l ,j≤N alors :

max0≤j≤N−1

|λj(AN)− λj(K )| ≤ 4ε(2√

N + Nε)

Demonstration :On utilise le theoreme de Weyl : Soient A et B deux matriceshermitiennes d’ordre N. Alors :

max0≤j≤N−1

|λj(A)− λj(B)| ≤ ‖A− B‖

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Simulations numeriques

Figure: Fonctions propres de K pour L = 3 et m = 1, 2, 3, 4

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Base de Slepian calculee par deux methodes

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Base de Slepian calculee par deux methodes

Figure: Functions de Slepian

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Calcul des coefficients des harmoniques spheriques

Formule de quadrature Gauss-Legendre pour EEG

resolution du pb. inverse de l’EEG calcule des coeff. desharm. sph.1ere methode : pseudo-inverse Moore-Penrose

fnm = U · pinv(A)

ou A est la matrice associee aux harm. sph., U le potentielelectrique nb. de conditionnement tres eleve problememal condionne2eme methode : Gauss-Legendre pb. bien conditionne.

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Perspectives

- resolution du probleme inverse de la geodesie : demontrerqu’on peut intervertir les variables du prob. inverse.

- lien entre Slepian et pbs. extremaux bornes en 3D : pbsd’approx. sous contrainte dans les espaces de Hardy deboule unite B.

- points sur sphere (Ed Saff, Hardin).

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References

A. Karoui,Recent developments in fractal and related fields, Appliedand Numerical Harmonic Analysis, 2010.

L. Miranian,Slepian functions on the sphere, generalized Gaussianquadrature rule, Inverse Problems 20, 2004.

J. Keiner, D. Potts,Fast evaluation of quadrature formulae on the sphere,Mathematics of computation, 2007.

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