Série de Fourier

Série de FourierUne série de Fourier est une série du type :

s(t) =

avec :

et pour :

Les nombres an et bn sont appelés

coefficients de Fourier

1

0 )2sin()2cos(n

nn tnbtnaa

dttfT

aT

00 )(

1

1n

dttntfT

aT

n 0

)cos()(2

dttntfT

bT

n 0

)sin()(2

Théorème 1 (Lejeune-Dirichlet)

Toute fonction f, T périodique, C1 par morceaux est décomposable en série de Fourier. On a :

si f est continue au point t.

Et plus généralement :

1

0 )sin()cos()(n

nn tnbtnaatf

1

0 )sin()cos(2

)()(

n

nn tnbtnaatftf

Analyse harmonique ou spectrale

composition fréquentielle du signal

a0 représente la moyenne f sur une période :

dttfT

aT

00 )(

1

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

1 2 3 4 5 6

123456

a0

Analyse harmonique

est le fondamental :

c ’est l ’harmonique le plus important : il donne le

rythme du signal.

-5-2.5 2.5 5 7.5 1012.5

123456

fHxL

)2sin()2cos( 11 tbta

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

2

3

4

5

Analyse harmonique

2n )sin()cos( tnbtna nn Et pour sont les harmoniques de rang n.

Ils représentent les détails du signal et sont de moins en moins importants, au fur que n augmente.

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52

harmonique de rang 2

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52

harmonique de rang 3

1 2 3 4 5 6

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52harmonique de rang 4

Synthèse harmonique

La somme de la moyenne, du fondamental et de toutes les harmoniques reconstituent le signal :

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

2

3

4

5

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5

1

2

3

4

5

6

Représentation spectrale

On représente la composition spectrale du signal par un diagramme en bâton qui matérialise l ’amplitude de chaque harmonique : 22

nnn baA

2 4 6 8

0.5

1

1.5

2Spectre de f

Propriétés des coefficients

Dans certains cas on saura, sans faire les calculs, que des coefficients s ’annulent.

• Cas où f est paire : tous les bn sont nuls.

avec et pour

tnaafS nn

cos)(1

0

2/

00 )(2 T

dttfT

a

1n 2/

0)cos()(

4 T

n dttntfT

a

Propriétés des coefficients

• Cas où f est impaire : tous les an sont nuls..

avec pour

tnbfS nn

sin)(1

1n

2/

0)sin()(

4 T

n dttntfT

b

Propriétés des coefficients

• Si f est impari-symétrique, elle ne contient que des fréquences impaires :

))12sin(())12cos(()( 12121

tnbtnafS nnn

0220 nn baa

2/

012 ))12cos(()(4 T

n dttntfT

a

et

2/

012 ))12sin(()(4 T

n dttntfT

b

Propriétés des coefficients

• L’amplitude des hautes fréquences diminue de plus en plus

0limlim nn

nn

ba

EXEMPLE

• sur • f paire, -périodique

[,0[

2xxf )(

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

EXEMPLE

• f paire :

et pour

1,0 nbn

2

100

xdxa

0cos

2nxdxxan

1n

EXEMPLE

1)1(

2

sin2sin2

2

00

n

n

n

dxn

nx

n

nxxa

pairest si

pair imest n si

0

4,1 2nan n

EXEMPLE

• On a donc :

et comme f est continue sur IR :

12)12(

)12cos(4

2)(

n n

xnfS

21 )12(

)12cos(4

2)(

n

xnxf

n

-10 -5 5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ecriture complexe des séries de Fourier

En utilisant les formules d’Euler on obtient:

Où :

tinn

n

necfS

)(

T tin

n dtetfT

c0

)(1

00 ca

)(2

1)(

2

1nnnnnn ibacetibac

L’égalité de Parseval

• On montre que l’énergie du signal est

égale à la somme des énergies des

harmoniques et de la valeur moyenne au

carré

1

22200

2

2

1)(

1

kkk

Tbaadttf

T