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SUITESARITHMETIQUES
Un bureau d’étude a en charge le projet deconstruction d’unepyramide du stylede celle du Louvre(base carrée).
Combien de plaques de verre, toutes identiques, et ayant la forme de triangleséquilatéraux sont-elles nécessaires pour la réalisation de la base d’une tellepyramide ?
ACTIVITE PREPARATOIRE
ACTIVITE PREPARATOIRE
Un comptage systématiquedes plaques s’avérant long et fastidieux, nous vous proposons une méthodede calcul.
Pour cela, on note :
u1 , le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ;u2 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 2ème) ;u3 , le nombre de plaques du niveau suivant (le 3ème) ;
un , le nombre de plaques du niveau suivant (le nème).
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
ACTIVITE PREPARATOIRE
11 u
11 u
32 u
11 u
32 u
53 u
11 u
32 u
53 u
74 u
11 u
32 u
53 u
74 u
95 u
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ?
ACTIVITE PREPARATOIRE
11 u 32 u 53 u 74 u 95 u
+ 211 u
32 u
53 u
74 u
95 u
212 uu
+ 2
+ 2
+ 2
223 uu
234 uu
245 uu
1°) Déterminer u1 , u2 , u3 , u4 , u5 .
2°) Quelle est la relation permettant de calculer u2 à partir de u1 ? u3 à partir de u2 ... ?
3°) Exprimer le nombre de plaques un du niveau n en fonction de un-1 .
ACTIVITE PREPARATOIRE
11 u 32 u 53 u 74 u 95 u
212 uu
223 uu
234 uu
245 uu
21 nn uu
4°) Exprimer u2 en fonction de u1 ; u3 en fonction de u1 ; un en fonction de u1 …
ACTIVITE PREPARATOIRE
212 uu
223 uu 221 u
234 uu 231 u
245 uu 241 u
21 nn uu 2)1(1 nu
5°) Calculer le nombre de plaques constituant le niveau de base, sachant que la pyramide est constituée de 12 niveaux.
ACTIVITE PREPARATOIRE
2)1(1 nuun
211112 uu
211112 u
2312 u
Il faut donc 234 = 92 triangles pour former la base de la pyramide.
A RETENIR
Une suite arithmétique est une suite de nombresdont chaque terme est obtenu à partir du précédent en ajoutant un nombre constant appelé raison r.
Chacun des termes est désigné par un n indiquant le rang dans la suite.
ruu nn 1 rnu )1(1
EXEMPLESLes premiers termes d’une suite de nombres sont :2; 5; 8; 11; 14;...
• Montrer que cette suite est arithmétique
• Déterminer u1 et la raison r
• Calculer u6
31114 3811 358 325 La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 3donc la suite est arithmétique
u1= 2 et r = 3
u6 = u5 + r = 14 +3 =17
• Calculer u20
u20 = u1 +19 r = 2 +193 = 59
APPLICATION
CHUTE D’UNE BILLE
Lors de la chute libre d’une bille, la distance parcourue dest relevée en fonction de la durée t de la chute.
t (s) d (m)
1 4,9
2 19,6
3 44,1
4 78,4
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
4,9 m
19,6 m
44,1 m
78,4 m
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
u1 4,9 m
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
9,41 u
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
- La deuxième seconde soit u2
9,41 u
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
u1
u2
4,9 m
19,6 m
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
9,41 u
7,149,46,192 u
- La deuxième seconde soit u2
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
- La troisième seconde soit u3
9,41 u
7,149,46,192 u
- La deuxième seconde soit u2
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
u1
u2
u3
4,9 m
19,6 m
44,1 m
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
9,41 u
7,149,46,192 u
5,246,191,443 u
- La deuxième seconde soit u2
- La troisième seconde soit u3
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
- La quatrième seconde soit u4
9,41 u
7,149,46,192 u
5,246,191,443 u
- La deuxième seconde soit u2
- La troisième seconde soit u3
t = 0
t = 1 s
t = 2 s
t = 3 s
t = 4 s
u1
u2
u3
u4
4,9 m
19,6 m
44,1 m
78,4 m
a) déterminer les distances parcourues pendant : - La première seconde soit u1
9,41 u
7,149,46,192 u
5,246,191,443 u
3,341,444,783 u
- La quatrième seconde soit u4
- La deuxième seconde soit u2
- La troisième seconde soit u3
b) Montrer que les nombres u1 , u2 , u3 , u4 forment une suitearithmétique; en préciser la raison :
9,41 u
7,142 u
5,243 u
3,344 u
8,99,47,1412 uu
8,97,145,2423 uu
8,95,243,3434 uu
La différence entre les termes consécutifs est constante et égale à 9,8donc la suite est arithmétique de raison r = 9,8.
c) Calculer dans ses conditions u5 :
d) En déduire la distance totale parcourue par la bille au coursd’une chute de cinq secondes :
ruu nn 1
ruu 45
8,93,345 u
1,445 u
m 122,51,444,78 d
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