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SUR UNE CATI~GORIE D'I~QUATIONS FONCTION•ELLES.
Par M. Cyparissos St6phanos, ~ Ath~nes.
Communication fattc ~. la sfiancc du 12 aofit 13o 4 de la section d'Arlthmfittque et Alg~bre
du l l Ie C o ~ o ~ s I~TERNAZiO~AL nES MATaE~ATXCXZNS (Heidelberg)
Adunanza del 28 agosto i9o 4.
Si l'on se pose le probl~me suivant:
Quelle est la condition ngcessaire et "sufisante pour qu'une fonction de deux variables F(x , y) soit reprgsentabh par une formule tdh que:
F (x, y) = Z ~, (x) +, (y) (i = ~, 2 . . . . m),
on arrive ~ ce r6sultat, que: la condition en question consiste dam l'dva- nouissement identique du dgterminant :
3 F F
3 x
3 F & F 3y 3 x 3y
3 " F " ' " 3 x "
3 "+' F �9 "" O x " 3 y
�9 ~ �9 �9 �9 ~ �9 ~ ~ �9 . . . . �9 ~ ~ ~
3" F 3 "+' F 3 2" F 3 y " 3 x 3 y " "'" 3 x " 3 y 'n
Voici quelques r6sultats de l'application de cette proposition g6n&ale des probl6mes particuliers.
I. Si l 'on se demande quelles sont les fonctions f ( x ) d o n n a n t lieu
/ t u n e formule d'addition telle que:
f ( x -[- y) - - )-- % (x) +, (y) ( i - - x, 2 . . . . m),
on trouve que ces s doivent ~tre telles que
& f O4f O"~f Z • f Ox, Ox4 "'" Ox" = ~
SUR UNE CAT~GORIE D't~QUATIONS FONCTIONNELLES. 361
c'est-k-dire qu'elles doivent satisfaire ~i une 6quation diff&entielle homo- g~ne ~ coefficients constants.
On voit par 1~, qu'en dehors des polyn6mes entiers et des expo- nentielles e ~ , les seules fonctions ayant la propri&~ en question (pour quelque valeur convenable de m), sont celles de la forme:
f~.e"~-~- f~.e"2~-~-- . . . + fo.e~o ~, off les f~, f~, . . . fo d&ignent des polyn6mes entiers en x.
2. D'autre part, si l'on consid6re une fonction rationnelle
f (x) = f~ (x ) : f~ (x),
qui soit le quotient de deux polyn6mes d'ordre m, on reconnalt ais6ment
que le quotient f ( x ) - - f ( y ) est toujours exprimable par une somme x - - y
de m produits ?, (x)+, (y). L'examen du probl6me inverse conduit au r~sultat suivant: En dehors des fonctions rationnelles, form&s par le quotient de
deux polyn6mes d'ordre m, il n 'y a pas d'autres fonctions f ( x ) , qui
soient telies que le quotient f ( x ) - - f ( y ) soit exprimable par une somme x - - y
de m produits ,% (x) +, (y). On se rend compte par 1~ dans quel cas peut avoir lieu une relation
de la forme:
y ~ x , J ~
3. fltant donn& une fonction rationnelle f ( x ) = s (x) :f~ (x) dont les deux termes soient des polyndmes d'ordre m, et que i'on suppose:
L ( x ) = ( x - - . . . ( x -
on peut d~montrer qu'on a la formule *):
- - ( x - - y ) ' - ' f ( X ) x _ y f ( y ) = ~- + ' ( x - a I ) ( x - a = ) . . . ( x - - a ) ( i=~, 2 . . . . m),
oCa
+, __ +, (y) = y - - a 0' [ f ( y ) (y - - a ) (y - - a2) . . . (y - - at_i) ] it Oy'
*) C'est en partant de cette formule que l 'auteur a &6 conduit aux rhsultats de
la pr4sente Communication.
t{,nd. C~r~. Matem. Palermo, t. XVIII (1904). - - Stampato Jl 3 novembre x9o 4. 46
362 CYP&RI~,SOS STI~PHANOS.
R~ciproquement, si l'on demande quelle dolt ~tre une fonction f ( x ) , pour que l'on ait:
f ( x ) - - f ( y ) = ~.. ~, (x) +, (y) (x - - y) ' - ' (i = ~, 2 . . . . m), x ~ y
on reconnalt, d'apr~s les r&sultats du n ~ 2, que la fonction f ( x ) ne
peut dtre que le quotient de deux polyn6mes d'ordre m ( m + I ) a u plus. 2
Si l 'on cherche, en particulier, dans quel cas le d6veloppement de
, f ( x ) - - f (y ) par la formule de LAGRAlqG~ conduit ~t une expression ~t x - - y
m termes :
f ( x ) - - f (y) X d~ (x - - y) ' - ' x - - - y - - " ' [ ~ - ( x - ~ ({ ' - - - 1 , 2 . . . . m),
o/1
a'-' U, (y) ~ @)'] +, = +, (Y) = -V. Oy , - , '
on trouve que cela ne peut arriver que dans le cas oil f ( x ) est le quotient d'un polyndme d'ordre m, divis6 par la puissance m '~me d'un bin6me a x -it- b.
4. Les r~sultats d u n ~ 2 peuvent ~tre g~n~ralis~s pour des fonctions F(x, y) satisfaisant fi l%quation diff~rentielle bien connue:
o _ r oF , o'F ~,~ - ~ - + (x y) O--~--y o,
e.t exprimables par une somme de m produits q~,(x)d?, (y).
Heidelberg, 12 aofit I9o4.
CYPARISSOS ST~PHANOS.
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