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Teneur de coupure optimale :
théorie de Taylor et Lane
Septembre 2008
2
Plan
� Définitions
� Facteurs influençant la teneur de coupure
� Théorie de Taylor et Lane� Définition des variables� Teneur de coupure limite� Teneur de coupure d’équilibre� Teneur de coupure optimale
� Coût d’opportunité
� Influence des différents paramètres
� Biais conditionnel
3
Plan (suite)
� Résumé
� Compléments d’information� Coût d’opportunité� Taxation� Fonctions de récupération� « Loi » de Lasky� Durée de vie d’une mine� Mine à ciel ouvert� Programmes pour le TP
4
Définitions
� Teneur de coupure optimale : Teneur de coupure permettant de maximiser le profit net par tonne de matériau minéralisé
� Matériau minéralisé :Volume de roche susceptible de contenir du minerai
� Minerai :Portion économiquement rentable du matériau minéralisé
5
Facteurs influençant la t.c.
� Coûts fixes et variables; si coûts ↑ t.c. ↑� Prix du métal: si ↑ t.c. ↓ (normalement)
� Type d’opération� + ou – sélective
� Dimensions des installations
� Besoins du concentrateur � Doit fonctionner normalement à pleine capacité
� Teneurs les + homogènes possibles pour maximiser la récupération du métal
� Facteur temps� Valeur des $ dans le temps: exploiter zones riches en premier
� Fournir le concentrateur
6
Facteur temps
« Breakeven »
7
Théorie de Taylor et Lane
� Définition des variables
c: teneur de coupure
xc: proportion du matériau minéralisé sélectionné (minerai) (fct de « c »)
gc: teneur moyenne du minerai (fonction de « c »)
y: taux de récupération du concentrateur
=> Note: xc gc y représente la quantité de métal récupéré par tonne minéralisée
8
1 tonne matériau minéralisé
xc tonne minerai
qc=xc gc tonne de métal
gc= teneur du minerai
9
p: prix d’une tonne de métal
k: coût de mise en marché d’une tonne de métal
=>Note: xc gc y (p-k) représente le revenu brut obtenu de la vente du métal
m: frais variables de minage d’une tonne de matériau minéralisé (développement)
h: frais variables de traitement d’une tonne de minerai(forage, sautage, concassage, remontée, concentration)
=> Note: xc h + m représente le total des coûts variables
10
f: frais fixes (administration, ingénierie, frais de capital)
F: coûts d’opportunité: valeur actualisée du gisement x taux d’intérêt spécifié.
M: capacité de minage (matériau minéralisé)
H: capacité de traitement (minerai sélectionné)
K: capacité du marché (métal)
Notes:
- H tonnes de minerai extraites => H/xc t. matériau minéralisé développées
- K tonnes de métal => K/(xcgcy) t. matériau minéralisé développées
- (f+F)/M frais fixes par t. matériau minéralisé, production limitée par la mine
- (f+F)/(H/xc) frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le traitement
- (f+F)/ {K/(xcgcy)} frais fixes par t. minéralisée, production limitée par le marché
11
Si la mine est le facteur limitatif
v= (p-k)xcgcy – xch - m - (f+F)/M
Si le traitement est le facteur limitatif
v= (p-k)xcgcy – xch - m - (f+F)xc/H
Si le marché est le facteur limitatif
v= (p-k)xcgcy – xch – m - (f+F)xcgc y/K
Note : - seul le terme lié aux frais fixes change- v est fonction de « c » (ou de xc) et maximum unique.- on trouve ce maximum unique en dérivant par rapport à xc
en utilisant le résultat :d(xcgc)/dxc= c
(en abaissant « c » de dc => dxc minerai supplémentaire; d(xcgc) métal supplémentaire. La teneur du matériau supplémentaire est égale à « c » par construction).
- F dans Taylor vaut 0. C’est le seul élément distinguant les 2 théories.
v: profit net généré par t. de matériau minéralisé
12
Les teneurs où sont atteints les maximums de « v » sont appeléesteneurs de coupure limites:
Mine :
Concentrateur :
Marché :
ch
y p k1 =
−( )
ch f F H
y p k2 =
+ +−
( ) /
( )
[ ]c
h
p k f F K y3 =
− − +( ) ( ) /
t.c.« breakeven »
Les frais fixes n’interviennent pas
Note : ces teneurs de coupure sont indépendantes de la distribution des teneurs !
13
Exemple (gisement d’uranium, p. 7 des notes de cours)
y=0.87
p-k=60$/kg
h=3.41$/t
m=1.32$/t
f=11.9M$
F=15.2M$
M=12Mt (matériau minéralisé)
H=3.9Mt (minerai)
K=0.9Kt (métal)
t/kg198.0kg/$60*87.0
Mt9.3/$)M2.15$M9.11(t/$41.3
)kp(y
H/)Ff(hc2 =
++=
−++
=
[ ] [ ]t/kg131.0
87.0*Kt9.0/$)M2.15$M9.11(kg/$60
t/$41.3
yK/)Ff()kp(
hc3 =
+−=
+−−=
t/kg065.kg/$60*87.0
t/$41.3
)kp(y
hc1 ==
−=
14
Note: on a toujours c1<(c2,c3). Une mine rentable montre c3<c2
0 0.005 0.01 0.015 0.02
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3
Mine
Concentrateur
Marché
%
Si l’on opère à c=0.005,quel profit par tonne minéraliséepourra-t-on obtenir?
Que représente une intersection de 2 courbes?
R. La valeur minimale des
3 courbes, soit environ –0.35$/t
=> Les courbes sont obtenues en supposant la capacité atteinte.On ne peut donc se situerau-dessus d’aucune de ces courbes
Solutions impossibles
15
Teneurs de coupure d’équilibre
� Si H = M xc la mine et le concentrateur sont à pleine capacité (équilibre).Les frais fixes par tonne minéralisée sont égaux pour les 2 courbes.⇒ intersection (mine-concentrateur) sur le graphe précédent.
� Si K = M xc gc yla mine et le marché sont à pleine capacité (équilibre).⇒ intersection sur le graphe précédent.
� Si K = H gc yle concentrateur et le marché sont à pleine capacité (équilibre).=> intersection sur le graphe précédent.
Note : i. elles dépendent uniquement de la distribution des teneurs ! ii. Pour M,H et K donnés, il se peut que les teneurs d’équilibre n’existent pas
16
Teneur optimale
2 situations possibles
� Le maximum est atteint àune coupure limite
� Le maximum est atteint àune teneur d’équilibre
Cette situation est celle recherchée!
0 0.005 0.01 0.015 0.02
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3
c12
c23
MineConc.Marché
0 0.005 0.01 0.015 0.02
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1c2
c3
c12
MineConc.Marché
17
Influence des différents paramètres
� Diminuer « m »- Les 3 courbes sont translatées vers le haut. - Le profit $/t augmente.
- Les teneurs de coupure demeurent les mêmes.=> La t.c. optimale est indépendante des coûts de développement !
� Diminuer « h », ou « k » ou augmenter « p »- 3 courbes translatées vers le haut d’une quantité diminuant selon « c ». - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée
� Diminuer « f » ou « F »- translation vers le haut d’une quantité différente pour chaque courbe et diminuant selon « c » (sauf la courbe mine). - Le profit $/t augmente. - La t.c. optimale diminue ou demeure inchangée
18
Influence des différents paramètres (suite)
� Augmenter la capacité de minage « M »- la courbe « mine » translatée vers le haut- profit $/t peut augmenter- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » augmentent
- La t.c. optimale reste inchangée ou augmente
0 0.005 0.01 0.015 0.02
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1c2
c3
c12
MineConc.Marché
0 0.005 0.01 0.015 0.02
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3
c12
MineConc.Marché
M 2MAugmenter M a augmenté la t.c. optimale
19
0 0.005 0.01 0.015 0.02
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1c2
c3
c12
MineConc.Marché
0 0.005 0.01 0.015 0.02
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3
c12
MineConc.Marché
H 1.2 HAugmenter H a diminué la t.c. optimale
� Augmenter la capacité de traitement « H »- la courbe « traitement » est translatée vers le haut
- profit $/t peut augmenter
- les teneurs d’équilibre « mine-traitement » et « mine-marché » diminuent
- la teneur limite « traitement » diminue
- La t.c. optimale reste inchangée ou diminue
20
Effet de la distribution des teneurs
� MoyenneSi la moyenne diminue, pour fournir la même quantité de minerai au concentrateur, on devra diminuer la t.c.
0 0.5 1 1.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3
c12
c13
c23
MineConc.Marché
0 0.5 1 1.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
c1
c2
c3c
12c
13c
23
MineConc.Marché
Moy=1% Moy =0.9%
La t.c. optimale diminue => teneur « breakeven »
21
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5P (c ) lognorm ale m =1% , σ 2=4% 2
Teneur de coupure (% )
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
M ineConc.M arché
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5P(c ) lognorm ale m =1% , σ 2=2% 2
Teneur de coupure (% )P
rofit
/t m
inér
alis
é ($
)
M ineConc .M arché
2σ = 4 2σ = 2
Plus la variance plus le profit
� Variance
Le minerai se retrouve concentrédans un nombre moindre de blocs + riches
22
Remarques importantes
� Coût d’opportunité « F » est difficile à déterminer. Il dépend du type de gisement, du mode d’opération, de la t.c. utilisée. Taylor implicitement pose F=0. C’est probablement la pratique la plus courante
� Au fur et à mesure que l’on exploite le gisement, la distribution des teneurs du matériau restant à être exploité change=> facteur temps
� Connaît pas la distribution des teneurs dans le gisement => teneurs d’équilibre mal définies
� Dans la pratique on opère sur des estimations⇒ Utiliser la distribution des teneurs estimées pour déterminer les
teneurs d’équilibre⇒ Utiliser un estimateur sans biais conditionnel
23
Biais conditionnel (p. 12 des notes)
Estimation
Réel
Sans biaisconditionnel
Avec biaisconditionnel
24
Absence de biais conditionnel
On récupère la teneur prévue
On réalise les profits prévus
=> Dans Lane, on peut utiliser la distribution des valeurs estimées comme si c’était celle des vraies teneurs !
25
Pour un estimateur sans biais conditionnel
Variance (estimateur) < Variance ( teneur réelles)
=> Profit moindre (effet information)
Plus un estimateur sans biais conditionnel est précis,
+ grande est la variance des valeurs estimées
+ grand est le profit réalisé
Pour un estimateur avec biais conditionnel, généralement
Profit réalisé < profit prévu
Profit réalisé < profit réalisé avec un estimateur sans biais
26
Exemple
� Deux estimateurs ont une corrélation de 0.9 avec les vraies valeurs (inconnues). Distribution lognormale
vraies valeurs (Z) => moy=1.5, var=2
� Estimateur 1 est sans biais conditionel:Z1
* => moy=1.5, var=1.6, E[Z|Z1*] = Z1*
� Estimateur 2 a un biais conditionnelZ2
* => moy=1.5, var=4, E[Z|Z2*] = 0.54+0.64Z2*
27
4.20.69Estimateur 2 avecbiais réalisé
6.80.69Estimateur 2 avecbiais prévu
5.40.95Estimateur 1 sansbiais cond.
5.70.89Réel
V optim.t.c.
On n’obtient pas ce qui est prévu !
On prévoit plus que ce qu’il est possible d’obtenir
L’effet information
28
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Estimation sans biais conditionnel
Valeurs estimées
Val
eurs
vra
ies
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Estimation avec biais conditionnel
Valeurs estiméesV
aleu
rs v
raie
s
8863Réalisé
8870Prévu
8910Réalisé
9769Prévu9.6%0%
À basse teneur de coupure
29
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Estimation sans biais conditionnel
Valeurs estimées
Val
eurs
vra
ies
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Estimation avec biais conditionnel
Valeurs estiméesV
aleu
rs v
raie
s
6679Réalisé
6680Prévu0%
6379Réalisé
7954Prévu25%
À haute teneur de coupure
Le biais systématique a aussi des effets
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Sous-estimation de 10%
Valeurs estimées
Val
eurs
vra
ies
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Surestimation de 10 %
Valeurs estimées
Val
eurs
vra
ies
6559Réalisé
6059Prévu
6802Réalisé
7304Prévu
-On ne réalise pas ce qui était prévu;
-Ici, la surestimation a été payante; pas une règle générale
0 2 4 6 8 10 120
2
4
6
8
10
12Estimation sans biais conditionnel
Valeurs estimées
Val
eurs
vra
ies
6679Réalisé
6680Prévu
31
Effet d’une augmentation du prix du métal sur la t.c. optimale
Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;moy=1;s2=1;
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=2000 $/t
c1
c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=2500 $/t
c1
c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
4
6
8
10
12
14
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=3000 $/t
c1
c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
6
8
10
12
14
16
18
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=3500 $/t
c1c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
10
12
14
16
18
20
22
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=4000 $/t
c1 c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
12
14
16
18
20
22
24
26
28
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=4500 $/t
c1 c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=5000 $/t
c1 c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
20
25
30
35
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=5500 $/t
c1 c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
20
25
30
35
40
Teneur de coupure
Pro
fit/t
min
éral
isé
($)
Prix=6000 $/t
c1 c2
c3
c12
Mine
Conc.
Marché
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Lim. mine Équilibre Limite concentrateur
Prix du métal
T.c
. opt
imal
e
T.c. optimale en fonction du prix du métal
32
Effet d’une augmentation de la moyenne sur la t.c. optimale
Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=4000;k=0;h=10;f=20;F=0;M=4;H=3;K=9999;s2=1;
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Lim. mine Équilibre Lim. concent.
Teneur moyenne
T.c
. opt
imal
e
T.c. optimale en fonction de la teneur moyenne
temps
33
Effet du coût d’opportunité (frais fixe) sur la t.c. optimale
Paramètres utilisés: Distribution lognormale avec: m=5;y=0.9;p=3000;k=0;h=10;f=50;M=10;H=3;K=9999;moy=1;s2=1
temps
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
Limite concentrateur Équilibre
Coût opportunité
T.c
. opt
imal
e
T.c. optim. vs coût d'opportunité
34
En résumé
� T. coupure limites: indépendantes des distributions� T. coupures d’équilibre: indépendantes des prix et des coûts� T. coupure optimale: une des t.c. limites ou d’équilibre (celle ayant « v »
max et réalisable=> t.c. optimale varie de façon discrète-continue en fonction de paramètres qui eux varient de façon continue
� Taylor : coût d’opportunité F=0� Le coût d’opportunité (F>0) permet
� Décroissance graduelle dans le temps de la t.c. optimale� Stratégie d’exploiter zones riches en premier � Stratégie + agressive si l’on peut récupérer le minerai délaissé� Stratégies temporaires (e.g. hausser t.c. quand prix augmentent)
� Estimateur sans biais conditionnel requis� Tenir compte des changements dans le temps de la distribution
35
Compléments d’information
36
Coût d’opportunité
� On peut voir F comme la pénalité encourue de ne pas toucher tout de suite toute la valeur du gisement => Le gisement est comme une obligation négociable.
� F comprend 2 parties:� Intérêt non-gagné sur la valeur du gisement
� Fluctuation de la valeur du gisement
� Exemple
Un gisement de Zn vaut 150M$ avec un scénario du prix du zinc de 750$/t Zn. Le taux d’intérêt est de 15%
Le coût d’opportunité est : F=150M$*0.15=22.5M$
� Le prix du Zn tombe à 650$. Cette baisse est anticipée temporaire (1 an) après quoi le prix revient à 750$. Le manque à gagner pour la prochaine année dû à la baisse du prix du Zn est de 14.7M$
37
Coût d’opportunité (suite)
� La valeur présente du gisement est donc 150M$-14.7M$/1.15=137.2M$
L’intérêt sur cette « obligation » rapporterait 137.2M$*0.15=20.8M$
La variation de la valeur de l’obligation durant l’année est 137.2-150= -12.8M$
Le coût d’opportunité est donc:
F=20.8 + (-12.8) = 7.8M$ Comme F est beaucoup moindre que dans le cas précédent (7.8 vs 22.5), la t.c. peut diminuer
Si la baisse des prix est considérée permanente, alors F=20.8M$, la diminution de F sera plus que compensée par la baisse du prix et la t.c. optimale va augmenter
Seul le terme F permet d’incorporer ces stratégies dans la détermination de la t.c. optimale
38
Coût d’opportunité (suite)
Exemple: le concentrateur est limitatif
h=6.5$/t; f=15M$; H=1.3Mt/an; y=0.81;k=0;
Cas 0: le prix du Zn reste stable à 750$; F=22.5M$
c2=(6.5+(15+22.5)/1.3)/(0.81*750)=5.82% Zn
Cas 1: le prix du Zn revient à 750$ après un an : F=7.8M$
c2=(6.5+(15+7.8)/1.3)/(0.81*650)=4.57% Zn
Cas 2: le prix du Zn reste stable à 650$ : F=20.8M$
c2=(6.5+(15+20.8)/1.3)/(0.81*650)=6.46% Zn
Diminution de la t.c. suite àune diminution de prix!
39
Taxation (p. 13)
� 3 types principaux
a) Taxe foncière : frais fixe, augmente la t.c. optimale1
b) Royauté : $/tonne minerai; frais variable, augmente la t.c.1
(très peu utilisé au Canada)
c) Impôt sur les profits et droits miniers : aucun impact sur la t.c.
- 1(sauf si t.c. optimale = t.c. d’équilibre (indépendante des coûts))
40
Fonctions de récupération (p.18)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Courbes tonnage-teneurLoi lognormale, m=1, σ2=4
Teneur de coupure
Ton
nage
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ten
eurT(c)
Q(c)
m(c)
41
« Loi » de Lasky (p. 15)
� La teneur du gisement varie linéairement avec la t.c.
m(c) = a - b ln T(c) (T(c) : proportion)=> m(c) = b + c
� Vrai pour la loi exponentielle (alors a=b=m(0))
� Approximativement vrai pour la loi lognormale; dans ce cas une meilleure approximation est :
m(c) = e + f c
(e et f des constantes spécifiques au gisement)
42
Exemple
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 01
1.5
2
2.5
3
3.5Loi lognormales
Log10(T(c))
m(c
)σ2=0.5
σ2=1
σ2=2
σ2=4
σ2=4
σ2=0.5
0 0.5 1 1.51
1.5
2
2.5
3
3.5
4Relations de Lasky; loi lognormale (m=1)
Coupure
m(c
) σ2=1
σ2=2
σ2=4
43
Durée de vie d’une mine
� Approximation rapide (Taylor)
25.0T 5.6années'd Nombre ≈
0 50 100 150 2005
10
15
20
25
Tonnage (Mt)
Ann
ées
Durée de vie
Ici, T: tonnage de matériau minéralisé
44
2
β -
c
mln
β
1 F T = T(c) o
2
β +
c
mln
β
1 F T m = Q(c) o
Loi lognormale
où :
f : fonction de densité d’une loi N(0,1) =>
F : fonction de répartition (cumulative) d’une loi N(0,1)
c : teneur de coupure
m : moyenne de la population
β : écart-type du logarithme des teneurs (population)
/2y2
e2π
1f(y) −=
Fonctions de
récupération
lognormale
1m
σlnβ
2
22
+=
45
Exemple: Gisement de cuivre, distribution lognormale de moyenne 0.9% et de variance 3%2
Si c=0.8%, Quelle tonnage est disponible et à quelle teneur moyenne?
On calcule:
T(0.8)=T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)-1.244/2) = T0 F(-0.527) = 0.3 T0
Q(0.8)= 0.9%T0 F(1/1.244 ln(0.9/0.8)+1.244/2) = 0.9%T0 F(0.717)
= 0.9% 0.763 T0
Teneur= Q/T= 0.9% (0.763/0.3) = 2.29%
244.119.0
3ln
2=
+=β
46
Cas d’une mine à ciel ouvert
2 problèmes: a) Quels blocs doit-on remonter? => optimisation
b) Le bloc remonté doit-il être traité ou jeté? => t.c.
Pour a) on doit fournir la valeur « nette » de chaque bloc.
valeur du bloc : v = max [ v1,v2],
v1= valeur du métal récupérable – coûts traitement –coûts de minage et remontée
v2= - coûts minage et remontée
Pour b), on traite le bloc si:
valeur de métal récupérable > coût de traitement � v = v1
47
X3X
0.421.1
X1X
111
X0.7X
0.50.50.5
X1.3X
-0.50.5-0.4
X1.3X
-0.50.5-0.4
v. métal récupérable
Coût de traitement
Coût de minage+remontée
Valeur nette
jeté
traité
Fosse optimale
mine à ciel ouvert (suite)
Notel l’optimisation se fait par l’algorithme de Lerch-Grossman ou, mieux, par maximisation du flux
48
Programme « lane »
>>help lanesyntaxe: [clim,ceq,coptim,voptim]=lane(m,y,p,k,h,f,F,M,H,K,moy,s2)fonction pour tracer les courbes de profit et déterminer
les teneurs de coupure limites d'équilibre et optimales sous hypothèse lognormaleDescription des paramètres Entrées:
m: coûts de minage exprimés en $/ty: taux de récupération en fractionp: prix payé pour le métal en $/t de métalk: coût pour la fonderie, mise en marché, transport etc. $/t de métalh: coût de traitement (sautage, remontée, concentration) $/t de mineraif: frais fixes annuels M$F: coût d'opportunité (intérêt sur valeur résiduelle) M$M: capacité de minage (développement des accès aux sites minéralisés) Mt (de roche minéralisée)H: capacité de traitement du minerai Mt (de minerai)K: capacité du marché Mt (de métal produit)moy: moyenne de la distribution lognormale s2: variance de la distribution lognormale
49
Programme « lane » (suite)
…moy: moyenne de la distribution lognormale (%)s2: variance de la distribution lognormale (%^2)
Sorties:clim: vecteur 1x3 des t.c. limites [mine, concentrateur, marché]ceq: vecteur 1x3 des t.c. d'équilibre [mine-traitement, mine-marché, traitement-marché]coptim: coupure optimalevoptim: profit/t. minéralisée à la t.c. optimale
50
Programme « reserve »
>> help reserveSyntaxe: [xc,qc,gc]=reserve(moy,s2,c,itype)
fonction qui calcule les reserves pour une loi normale ou lognormale
Description des paramètres
Entrée: moy et s2: moyenne et variance de la distribution (s2 a les unités de moy au carré)
c: coupure (peut être un vecteur)
itype: 0: loi normale; 1 loi lognormaleSortie:
xc: proportion du tonnage au-dessus de la t.c. (fraction)
qc: xc x gc (quantité de métal au dessus de c) ()
gc: teneur du minerai pour la teneur de coupure considérée (mêmes unités que moy)
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