6 centre de gravité

Le centrede gravité

Conception de structuresAutomne 2011

R. Pleau

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On a déjà dit que l’on pouvait remplacer un ensemble de plusieurs forces par une force résultante équivalente à condition que :

2Centre de gravité: définition

1 - La force résultante soit égale à l’addition vectorielle des forces individuelles.

Lorsqu’il s’agit de forces de gravité, la force résultante est toujours verticale et dirigée vers le bas et elle s’applique sur un point de l’espace appelé le centre de gravité.

2 - La force résultante soit placée le long d’un axe qui fait en sorte que le moment qu’elle exerce sur un point donné soit le même que la somme des moments exercés par les forces individuelles.

3Centre de gravité: définition

Par extension on parlera de centre de forces lorsque les forces impliquées ne sont pas des forces de pesanteur.

Par définition, le centre de gravité est donc le point d’application des forces de pesanteur quel que soit l’orientation de l’objet. Cela correspond au point où le moment de flexion causé par l’ensemble des forces de pesanteur est nul (Σ M = 0)

Si l’on suspend un objet à un fil, son centre de gravité est toujours situé à la verticale du point de suspension (cette droite est appelée ligne directrice). Si on suspend un objet à divers points, le centre de gravité est donc situé à l’intersection des lignes directrices.

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bras de levier

W

T

W

cg

T

W

cg

T

Position du centre de gravité

5Exemple

Lorsque l’on se penche en avant, notre corps prend instinctivement une posture qui fait en sorte que notre centre de gravité soit situé à la verticale de notre point d’appui : nos pieds.

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On constate que, selon de la posture adoptée, le centre de gravité peut être situé à l’extérieur du corps.

Lorsqu’un danseur se tient en équilibre sur une jambe, il se place instinctivement de manière à ce que son centre de gravité soit situé à la verticale de son point d’appui.

6Exemple

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7Exemple

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La figure ci-contre montre un exemple spectaculaire du fait que le centre de gravité d’un objet peut être situé dans le vide.

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point d’appui

À première vue on a l’impres-sion que l’ensemble formé par la cuillère et la fourchette «flotte» dans les airs puisque tout son poids semble situé à gauche du point d’appui et n’est équilibré que par un tout petit bout de cure-dent (de poids négligeable) à droite du point d’appui.

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Un examen plus attentif montre cependant que le centre de gravité de l’ensemble «cuillère-fourchette» est situé exac-tement au-dessus du point d’appui ce qui assure l’équilibre statique de l’ensemble.

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Ce jouet en plastique illustre le même principe

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Lorsqu’une structure repose sur un seul appui rotulé, l’équilibre statique des forces n’est possible que si le centre de gravité (ou plus généralement le centre de forces) est situé à la verticale du point d’appui.

P

P

10Équilibre instable

On parle alors d’équilibre instable ....

cg

... car si le centre de gravité se déplace latéralement, ne serait-ce que très légère-ment, l’équilibre statique est rompu.

La force P exerce alors un moment de flexion p/r à l’appui (M = P x e) qui rompt l’équilibre statique et initie un moment de rotation atour du point d’appui.

11Équilibre instable

P

P

e

M = P x e

cgcg

Par contre, si le centre de gravité est situé en-dessous de l’appui, on obtient un équilibre stable car, même si le centre de gravité est excentré p/r à l’appui, le mouvement de rotation aura pour effet de ramener le centre de gravité dans l’axe de cet appui.

12Équilibre stable

équilibrestable

cgcg

Équilibre statique instable

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Les funambules utilisent généra-lement une longue perche pour garder leur équilibre. Comme la masse de la perche est située loin du centre de gravité, un dépla-cement latéral de la perche de quelques cm permet de toujours ramener le centre de gravité du funambule directement au-dessus du fil pour préserver son équilibre.

Équilibre statique stable

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Les figures ci-contre montre des exemples de jouets dont l’équilibre semble précaire, mais qui en fait sont en condition d’équilibre statique stable car leur centre de gravité est situé en-dessous du point d’appui

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cg

Exemple

L’Université de Lille a produit un vidéo qui donne un exemple intéressant.Vous pouvez visionner ce vidéo à l’adresse suivante :http://www.canal-u.tv/video/science_en_cours/acrobaties_autour_du_centre_de_gravite.5682

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Passerelle de Laroin

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Force résultantedans les tirants

Tension dansle câble

La construction de la passerelle piétonne de Laroin a été achevée en 2002 dans les Pyrénées. Cette structure à haubans fait 110 m de portée et le tablier est constitué de dalles de béton préfabriqué de 10 cm d’épaisseur. Les mâts font 20 m de hauteur et sont constitués de deux tubes en acier de 630 mm de diamètre et 15 mm d’épaisseur.

Compressiondans les poteaux

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En ramenant l’analyse structurale à sa plus simple expression, i.e. l’équilibre statique de trois forces au sommet du mât, on visualise facilement l’impact qu’aurait une modification de géométrie.

Par exemple, si l’inclinaison du câble situé à la droite des mâts était ramenée plus près de la verticale, les efforts internes dans ce câble, ainsi que dans les mâts, seraient considérablement augmentés.

Alamillo Bridge

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Conçu par S. Calatrava, le pont Alamillo a été inauguré en 1992 pour l’exposition universelle de Séville. Le tablier de 142 m de portée est supporté par un mât de 134 m de hauteur incliné a 58° p/r à l’horizontale. Ce mât est constitué d’un caisson en acier rempli de béton pour augmenter son poids. La section du mat varie de 44 m2 au sommet à 110 m2 à la base.

Alamillo bridge 19

cg

WT

C

WC

T

Alamillo bridge 20

cg

Wmat

P

T

T

P

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Alamillo bridge 21

cgT

cg

WmatP

P

T

WCC

Wmat + W

Alamillo bridge 22

cgT

Wmat

P

T

W

P

M

Sundial Bridge

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Calatrava, a conçu un autre pont du même type, le Sundial bridge construit en Californie et inauguré en 2004. La portée principale de 150 m se compare à celle du Pont Alamillo. Du point de vue structural, plutôt que d’utiliser le poids du mat pour contrebalancer le poids du tablier, il a préféré faire travailler le mat (de 65 mde hauteur) en flexion ce qui explique sa forme très effilée.

diagrammede moment

Sundial Bridge

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Sundial Bridge

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Les images ci-dessus montre un autre exemple plus récent (2011) où Calatrava a construit un ouvrage très spectaculaire en maîtrisant les notions de force résultante, de centre de force et d’équilibre statique.

Jerusalem Bridge

ErasmusBridge

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Inauguré en 1996, le pont Erasmus est un pont à haubans de 802 m de portée. Il est devenu l’emblème de la ville de

Rotterdam grâce à la forme particulière de son pylône central haut de 139 m qui lui a valu le surnom «le cygne».

Erasmus Bridge

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Erasmus Bridge 29

Stade olympique de Montréal

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anneau de compression

W

cg

Stade olympique de Montréal

W2

W2

console console

Le stade olympique est constitué d’une série de consoles en béton armé disposées symétriquement de part et d’autre d’un axe central et unies par un anneau de compression. Le poids de la structure peut être remplacé par une force résultante W qui passe par le centre de gravité et transmet la même charge verticale (W/2) à chacun des deux appuis.

vue en coupe du stade

32Stade olympique de Montréal

cg

W

W

console

Durant la construction cependant, chaque console doit supporter son propre poids jusqu’à ce que l’anneau de compression soit construit. La forme de la console a donc été soigneusement étudiée pour que son centre de gravité soit situé juste au-dessus du point d’appui afin d’éviter de transmettre des efforts de flexion à la fondation.

33Stade olympique de Montréal

Stade olympique de Montréal

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le centre de gravité d’un rectangleest situé au centre géométrique

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le centre de gravité d’un triangleest situé au tiers des côtés

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Deux petites règles bien utiles