arithmétique: divisibilité dans Z et identité de Bezout

ArithmétiqueDivisibilité dans ℤ & identité de BézoutProgramme de la 4ème maths

Plan de la leçon:• Divisibilité dans ℤ ( division euclidienne)• PGCD de deux entiers(algorithme d’Euclide)• Théorème de Bézout• Résolution d’équation diophantienne du type: ax + by =c• Évaluation

Prérequis et préparatif

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Fichier Excel pour le calcul du PGCD & série d’exercicesLiens: Le PGCDLa Série

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Division euclidienne

Division dans ℤ

Division euclidienne dans IN

Division euclidienne dans ℤ

• Théorème:

Soit a et b deux entiers relatifs avec b non nul. Il existe un unique couple ( q,r) tel que:

a = bq+r et 0 r < |b| b est le quotientr est le reste

• Auto évaluation:

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PGCD de deux entiers « algorithme

d’Euclide »

• On ré effectue la division euclidienne• a’=b’q+r’

a=bq+r

L’algorithme avec Excel

• On a partagé sur OneDrive un fichier Excel où la procédure de calcul du PGCD moyennant l’algorithme d’Euclide est déjà programmée

Lien http://1drv.ms/1HstBdt

Propriétés du PGCD de deux entiers

Noter bien …a et b deux entiers non nul: • Si b divise a alors: ab = |b|• Si b ne divise pas a et r le reste modulo b de a

alors ab = br

• ab = ba• Pour tout entier k: kakb =|k|(ab)• a(bc) = a(bc) • a et b deux entier et d = ab soit a’ et b’ tel que

a=da’ et b=db’ alors a’ b’ =1

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QCM sur les PGDC

Théorème de Bézout

Équations diophantiennes du type: ax +by =c

Lemme de Gaussa , b et c trois entiers non nuls. Si a b =1 et a divise bc alors a divise c

Théorème ( Identité de Bézout)Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux , si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que: au + bv = 1

La procédure de la résolution de l’équation:

ax+by=C

Déterminer le PGCD d=a b• Vérifier si d

divise c • Si d ne divise

pas c alors l’ensembles des solutions dans ℤ est ²

Si d\c on simplifie l’équation par d • La nouvelle

équation devient:

• a’x +b’y=c’ où a’b’= 1

Déterminer une solution particulière• Par le biais de

l’algorithme d’Euclide une solution particulière est déterminée

Une solution de l’équation homogène

moyennant le lemme de

Gauss

Exemples à suivre …Trouver les

coefficients de Bézout

Résoudre une équation

diophantienne

Applications…I. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x=11yII. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 5x+12y=1III. Déterminer tout les couples (x,y) solutions de l’équation: 198x+75y=4

I. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de GaussII. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de BézoutIII. Soit (S) Résoudre le système (S).

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