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CONSEIL NAflONAL DES EXAMENS AU RUTANDA

B.P. 3817 KIGALI - TELIFAX : 86871

EXAMEN NATIONAL DE FIN D'ETUDES SECONDAIRES2o/0L-20/0/2

EPRETIVE : MATHEMIITIQIIE I

OPTION : MATH-PI{YSI$I E

DITREE: 3 HEI]RES

INSTRUCTIONS :

Chaque candidat est invite i. repondre i. toutes les 15questions de la section A et i 3 questions de son choix de lasection B.Uusage des instruments de geometrie et des calculatrices estautorise.

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1.

SECTION A : 55pts

'*2Simplifiez l'expression suivante ' x-4 x2-16

3+ I+4

2. D6composez en fractions partiellesllx2 -23x

(2x -L)(x - 3)(x + 3)

3. Montrez que les points A(-6,3), B(3,-5) et C(-1,5) sont les sommets d'un trianglerectangle. 2pts

4. Soient les vecteurs rt-(|,Z,-l),i =(6,4,2) et ri '(9,2,7) appartenant tous e R 3.

Mettez le vecteur ri sous forme de combinaison lin6aire des vecteurs il' etil. 3pts

[5. 'Un fermier dispose de 3000m de fil de fer pour cldturer un terrain rectangulaire." Il d6cide de cldturer toute la surface du terrain et aussi de faire passer uneclOture au milieu divisant le terrain en deux parties. Quelles dimensions duterrain donneront la surface maximale ?

lg. On fait passer h 20 6ldves du Lyc6e de Kigali et 30 6lEves du Lyc6e Notre-Damede Citeaux un mOme examen de Math6matiques.I.es 6lBves du LDK ont obtenu une moyenne g6n6rale de 60 points avec un 6carttype de 7.0 alors que ceux du LNDC ont eu la moyenne de 50 points avec un6cart type de 10.0. Quel sera l'6cart type de tous les 6ldves mis ensemble ? 4pts

fi,f yadistance <<s>> parcourue par un objet rel6ch6 dans le vide prds de la surface dela terre varie directement avec le carr6 du temps mis t.Si s = 300m et t = 5sec, exprimer S en fonction de t et trouvez le temps que

2pts

3pts

4pts

j

liI

:l

meftra l'objet l0ch6 d'une hauteur de 1600m pour atteindre le sol.

8. R6solvez l'6quation log(x+2)=1-log(x-1).

9. Soit la fonction h(t) = t'*1, trouve zla ddivdepremitre h'(t).

10. Trouvezlaracine carrde ae -t+r6 i

2pts

3pts

4pts

Tpts

:

1l

{,lIII

tJ11.

12.

ks sommets d'une hyperbole sont (0,+6) et les 6quations des asymptotes sont2yt3x - 0 .Trouvez les coordonn6es des foyers et l'6quation de l'hyperbole. 3pts

Repr6sentez graphiquement la fonction f(x)=l-11-21 d6finie sur l'intervalle

[t,+] et trouvez les coordonn6es de son maximum. 3pts

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rF

I

il

t:IIii,i

i:i

::::

i,

|:i]i:I

ir

il{,i,t,

ilLi:ili1

il1j

ir.

lr,)ilili

l

t:

h.---r

I x+y+z=9

f3x+4y-z=13[2x-5y+32 =8

14.

15.

2

13. Calcule z l' int6gral" Jlr' - -la- . 5pts

-t

D6terminez le lieu g6om6trique des points P(x,y) si la distance lAPl est le doublede la distance lBPlet si A et B sont respectivement des points de cordonn6es(7,1) et (1,4). 5pts

Un homme a 8 cadeaux diff6rents i offrir i ses 3 enfants; Bukuru, Butoyi et Mbuyi.Il veut donner 3 cadeaux i Bukuru, 3 i Butoyi et?d Mbuy. De combien de

fagons diff6rentes peut-il octroyer ses cadeaux ? 5pts

SECTION B

16) (a) Utilisez la preuve par induction pour montrer que 22'-1 est divisible par 3. 6pts(b) En utilisant le's op6rations 6l6mehtaires sur les lignes, trouvez l'inverse de

la matrice

A=

111

^laJ +-I

2-53 {

Utilisez I'inverse pour r6soudre le systdme d'dquations lin6aires :

9pts

n{aTrouvez le volume du solide restant aprEs avoii p'erf. o16 un trou deTayon a cmdans le centre d'une sphEre de rayon r cm (>a). 8pts

b) Le rdglement du Service Postal Rwandais stipule que tout colis i Otre d6livr6par poste doit avoir une longueur et une circonfdrence n'exc6dant pas 84cm.Trouvez les dimensions du plus grand colis cylindrique pouvant 6treenvoy6 parposte. Tpts

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1{

JiII

{.{

.,-,i..j;

.. .ii,)"..

.,,:','

,*Ir.I

i"r, -

u-

*J16 (a) On choisit un nombre au hasard de tous les nombres entiers positifs i deux chiffres'

, - '''

Quelle est la probabilit6 que le nombre choisi ait

(i) un << 4 > dans la place des dizaines ?

(ii) au moins un << 4 >> ?

(iii) aucun << 4 >> 2

b) Bango est a116 faire un examen de Franqais sans I'avoir prepar6' L'examen

comprenait 20 questions << Vrai ou fauir. Il a trouv6l'examen trds difficile et

ddcide de choisir purement au hasard entre les r6ponses vraies ou fausses' Quelle

est la probabilitd que Bango aura exactement 5 .6pon."t vraies ? Spts

Tpts

Tpts

15pts

19) a) Trouvez le terme ind6pendant de x dans (2xz-!-''tz

b) I,e graphique d'6quation x2-xy+t'$ ieprdsente-une ellipse' Trouvez les tangentes-'

i"l;ellipselaux pointr d'inters'ection avec I'axe des ordonn6es et montrez que8Pts

les tangentes sont Parallbles'

f : R ,* R. :x 4> lnlx24x+1[

Etudiez eette fonction et faites sa repr6sentat-ion graphique dans-uU re E:e

orthonorm6.

f:iF\II:llrt

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