BRGMinfoterre.brgm.fr/rapports/RR-39049-FR.pdf · hypothèses de base et les principaux concepts théoriques de la géostatistique. ... calcul de la probabilité de dépasser un seuil

Potentiel dfapplication de la géostatistiqueen géoingénierie

B. Bourgine

Août 1996R 39049

BRGMiHiunni *u UIVKI M m um

Potentiel d'application de la géostatistique en géoingéniene

Mots clés : Géostatistique, Guide méthodologique.

En bibliographie, ce rapport sera cité de la façon suivante :

Bourgine B. (1996) - Potentiel d'application de la géostatistique en géoingénierie (France). Rap. BRGM R 39049, 70 p, 26 fig, 1 ann.

© BRGM, 1996, ce document ne peut être reproduit en totalité ou en partie sans l'autorisation ejqjresse du BRGM.

Rapport BRGM R 39049


Synthèse

Ce document est un guide méthodologique destmé plus particulièrement aux ingénieurs de la branche géoingénierie. Il dresse un inventaire aussi large que possible des applications de la géostatistique dans ce domaine. Il comporte cinq chapitres et une annexe.

Le premier chapitre permet de fixer le cadre de travail. Pour ce faire il rappelle les hypothèses de base et les principaux concepts théoriques de la géostatistique.

Le deuxième chapitre dresse ensuite un inventaire des applications de la géostatistique aux métiers de la géoingénierie. Cet inventaire est classé par type de problème au sens géostatistique : conception d'un plan d'échantillonnage, interpolation, etc..

Le troisième chapitre présente trois exemples d'application réels. Pour chacune de ces trois applications on définit quels étaient les objectifs à atteindre et pourquoi on a fait appel à la géostatistique. Pour chaque application on décrit les principales étapes de travail et on commente les résultats obtenus.

Le quatrième chapitre est consacré aux outils logiciels de géostatistique disponibles au BRGM : avantages et inconvénient de chacun, type d'utilisateur concerné et investissement financier et de formation nécessaire.

Vient ensuite un court chapitre "technico commercial" destiné à montrer ce que la géostatistique peut apporter de plus par rapport à d'autres outils, mais aussi quelles en sont les limitations. Ce chapitre donne également des ordres de grandeur de coûts de prestations.

Enfin, une annexe liste les principales références d'études géostatistiques réalisées par le BRGM, classées par métier : géotechnique, hydrogéologie, environnement,...

Ce document a été réalisé dans le cadre du projet de recherche SOI "Aide à la décision".


Potentiel d'application de la géostatistique en géoingénierie

Sommaire

Introduction 7

1. Les méthodes de la géostatistique 9

1.1. La géostatistique classique 9

1.2. La géostatistique avancée 20

2. Types de problèmes pouvant être résolus par géostatistique 23

2.1. Analyse et compréhension d'un phénomène 23

2.2. Conception d'un plan d'échantillonnage ou d'un réseau de surveillance 24

2.3. Quantification des erreurs, optimisation de l'interpolation 25

2.4. Evaluation du risque de dépassement d'un seuil donné 26

2.5. Simulations géostatistiques 2-d ou 3-d 27

2.6. Relations physiques entre variables 27

2.7. Simulation de réseaux de fractures 28

3. Exemples d'applications 31

3.1. Modélisation des dépôts argileux du site du palais de Médine, pour guider la conception et l'implantation de l'auscultation des confortements géotechniques 31

3.2. Cartographie de perméabilité à l'aide de données de perméabilité et de données de débit spécifique 36

3.3. Implantation d'un réseau de piézomètres 44



4. Outils géostatistiques disponibles au BRGM 53

4.1. GDM 53

4.2. ISATIS 54

5. Eléments pour la vente de produits géostatistique 57

5.1. Avantages de la géostatistique 57

5.2. Limitations de la géostatistique 57

5.3. Ordre de grandeur des coûts de prestation 58

Conclusion 59

Bibliographie 61

Annexe 63

Liste des figures 69



f I I I i t I t I

Introduction

La géostatistique est née au BRGM au début des années 60. Après l'avoir appliquée à l'évaluation de nombreux gisements miniers, le BRGM l'emploie aussi, depuis le début des années 80, dans les divers domaines des Sciences de la Terre : grands travaux de génie civil, fracturation, géophysique, géothermie, hydrogéologie, géologie pétrolière, environnement. Les réalisations fédèrent les compétences de géostatisticiens confirmés et celles de spécialistes des disciplines concernées : géologues, géotechniciens, hydrogéologues, géochimistes.

La géostatistique : principes de base...

D'une façon extrêmement résumée, on peut définir la géostatistique comme une discipline basée sur l'analyse statistique des corrélations spatiales d'un phénomène. Considérons par exemple la puissance d'un horizon géologique. La géostatistique essaie de mettre en évidence la relation statistique qui existe entre la puissance observée en un point X et celle observée en un point y pour une distance h donnée entre ces deux points. En comparant tous les couples de points disponibles on peut faire varier la distance h et en déduire la loi statistique de variation du phénomène en fonction de h. La mise en évidence expérimentale de cette loi puis sa modélisation par une fonction de corrélation permettent ensuite de résoudre toute une gamme de problèmes dont les grands axes sont résumés ci-dessous.

... pour mieux connaître les phénomènes,...

L'analyse de la fonction de corrélation permet tout d'abord la compréhension physique de la structure spatiale du phénomène : comment varie-t-il dans l'espace, quantification des amplitudes de variation, des directions préférentielles,...

... pour interpoler de façon optimale et quantifier les erreurs associées

La connaissance de la loi de variation spatiale d'un phénomène permet d'interpoler de façon optimale une variable en un point où elle n'est pas mesurée. L'interpolation est optimale dans la mesure où elle prend en compte cette loi de variation et minimise ainsi l'erreur. De plus, ce qui est un point essentiel, la géostatistique est capable de fournir une quantification de l'erreur d'estimation. On est donc bien loin des méthodes usuelles d'interpolation qui ne tiennent pas compte de la structure du phénomène et ne donnent aucune idée sur la précision de l'estimation. Au contraire on est ici en mesure de quantifier le risque lié à toute estimation et de fournir des éléments pour toute prise de décision concernant la gestion de ce risque (proposition de resserrement de la maille d'échantillonnage pour arriver à une précision donnée, sélection des zones à



moindre risque, étude de sensibilité pour mesurer l'influence des erreurs, simulation de la variabilité de détail, calcul de la probabilité de dépasser un seuil donné ...)•

Présentation du plan de ce guide

La définition et les objectifs de la géostatistique qui viennent d'être donnés ne sont bien sûr qu'un raccourci rapide. C'est pourquoi nous nous proposons maintenant de reprendre ces points en les développant selon le plan suivant :

- un premier chapitre résume les méthodes et les fondements de la géostatistique (sans entrer dans les détails théoriques) ;

-un deuxième chapitre fait un inventaire de la gamme de problèmes que la géostatistique peut aider à résoudre, avec des références bibliographiques permettant de s'y rapporter ;

-le chapitre suivant fournit des exemples d'applications classés par thème (géotechnique, eau,...) ;

- viennent ensuite deux chapitres plus pratiques :

• le premier fait le point sur les logiciels de géostatistique disponibles au BRGM ; • le deuxième explique comment vendre une prestation incluant de la géostatistique,

c'est à dire quels sont les apports fondamentaux de la géostatistique, et quels sont les coûts des prestations associées.

En annexe, et dans la bibliographie, une liste des principales études géostatistiques du BRGM fournit au lecteur intéressé les clés pour approfondir certains points.

Ce guide a été réalisé dans le cadre du projet de recherche SOI "Aide à la décision". f

8 Rapport BRGM R 39049

Potentiel d'application de la géostatistique en géoingénien'e

1. Les méthodes de la géostatistique

1.1. LA GEOSTATISTIQUE CLASSIQUE

La géostatistique classique utilise 3 outils fondamentaux :

- le variogramme ; - le krigeage ; - les simulations conditionnelles.

Le variogramme

Dans un phénomène naturel comme la topographie, les cotes mesurées en différents points, bien que variables d'un point à l'autre, ne sont pas indépendantes de leur localisation. La différence de cote Z entre deux points x et x+h est d'autant plus faible que la distance h qui les sépare est petite. D'un point de vue statistique, il y a une corrélation spatiale entre les données. Cette corrélation est d'autant plus forte que les points expérimentaux sont rapprochés et que le phénomène est continu et régulier. Pour quantifier le degré de corrélation spatiale, ou plutôt la détérioration de cette corrélation avec la distance, la géostatistique fait appel à la fonction variogramme y(h). Cette fonction donne, en fonction de la distance h qui sépare deux points, la valeur moyenne de l/2[Z(x+h)-Z(x)]2. La figure 1 illustre ce calcul.

Rapport BRCM R 39049


5 r

xl

6 —r x2

4 — r x3

3 — r x4 x5 x6

7 <— valeurs mesurées en xi: Z(xi)

<— points de mesure xi (ici régulièrement espacés)

l i = l

y (A) = - . - S ^ 2 Nih)

avec : h = distance ; Z(x) = valeur au point x

et : N(h) = nombre de couples de points distants de h

à la distance h=l (5 couples de points distants de la distance 1) : Y(1) = 1/2 Moyenne[Z(xi+i)-Z(xi)]2

= 1/2 [ (Z(X2)-Z(Xi))2 + (Z(X3)-Z(X2))2 + ... +(Z(X6)-Z(X5))2 ] / 5 = 1/10 . [ (6-5)2 + (4-6)2 + .. +(7-5)2 ] = 1 4

à la distance h=2 (4 couples de points distants de la distance 2) : Y(2) = 1/2 Moyenne[Z(Xi+2)-Z(xi)]2

= 1/2 [ (Z(X3)-Z(Xi))2 + (Z(X4)-Z(X2))2 + (Z(X5)-Z(X3))2 +(Z(X6)-Z(X4))2 ] / 4

= 1/8 . [ (4-5)2 + (3-6)2 + (5^)2 +(7.3)2 ] = 3 375

etc..

Fig. 1 - Principe de calcul du variogramme.

Le variogramme est d'abord un outil d'analyse des phénomènes naturels. En effet, l'allure et le comportement du variogramme expérimental fournissent une image synthétique des principaux traits structuraux du phénomène étudié :

- continuité spatiale ; - portée (distance de corrélation), phénomène stationnaire - figure 2-a ; - anisotropic ; - imbrication d'échelles de variabilité ; - absence de portée finie - figure 2-b, dérive ou tendance régionale, phénomène non

stationnaire.

Mais c'est aussi un outil de décision :

- pour définir une taille de support convenable, en particulier lorsque les mesures portent sur un support de dimension variable (taille de l'échantillon pour les teneurs, surface ou longueur de station pour la densité de fracturation) ;



pour optimiser un réseau de mesure (campagne complémentaire ou réseau de surveillance) ; en effet, dans le cadre des modèles géostatistiques, la précision d'une estimation ne dépend que de la localisation des points expérimentaux et des caractéristiques structurales synthétisées par le variogramme ; on peut donc envisager plusieurs scénarios de réseau de mesure et prédire la précision qui découlera de chacun d'eux, ce qui permet de trouver la meilleure adéquation entre gain de précision et coût de l'opération.

Vaiiograinine de l'épaisseur d'une foimation

Vano

SO

40

30

20

10

0.

c n D °r,rrrif^

/o" 1

0.1 0.2 03 0.4 ''"''' ' 0.7 0 8

Distance (km)

2.a

ooQ ' vanogiamme expénineníal

_ ^ »modèle ajusté

Vahogramme de la cote du toit d'une fotmation

Vario

20.0

15.0

10.0 .

5.00

0. 0

> ^ o

0.100 0200 0.300 0.400 OiOO 0.<00

Distance (Ion)

2.b

Fig. 2 - Exemples types de variogrammes. A gauche, variable stationnaire avec portée visible. A droite, variable non stationnaire, sans portée.

Le krigeage

L'un des objectifs d'une campagne de mesure est de fournir une cartographie du phénomène étudié. Toute carte, qu'elle soit manuelle ou automatique, suppose une interpolation entre les points où l'information est connue (forages, profils géophysiques). Lorsqu'on a pour objectif l'obtention d'une carte de qualité, cette interpolation doit être une véritable interprétation des données, qui incorpore toute l'expérience et toutes les connaissances des spécialistes (géophysiciens, géologues, hydrogéologues, géotechniciens). Mais ces connaissances suffisent rarement, et leur mise en oeuvre est parfois trop lourde. De plus, il est très difficile d'évaluer la précision ou la qualité du résultat obtenu.

La méthode d'interpolation de la géostatistique est le krigeage. Par rapport aux autres méthodes d'interpolation automatique, le krigeage présente l'avantage de reposer sur une interprétation du phénomène : l'étude variographique préalable. Le krigeage présente un double intérêt :

1. Il remplace le dessin par un calcul qui permet d'estimer en tout point la valeur la plus probable du paramètre étudié. Cette interpolation prend en compte :

Rapport BRGM R 39049 11


- la densité et la répartition des données sur le domaine étudié ;

- la plus ou moins grande continuité spatiale modélisée par le variogramme ;

- les diverses erreurs de mesure et incertitudes associées aux données.

2. Il quantifie l'incertitude qui entache toute valeur interpolée. Cette incertitude, qui est une mesure de la qualité locale de la carte obtenue, est essentielle dans tous les projets où les risques encourus doivent être coimus, et minimisés le cas échéant par de nouvelles mesures.

Formalisme du krigeage "ordinaire"

Le krigeage le plus utilisé est le "krigeage ordinaire". Il s'agit d'une interpolation par combinaison linéaire des données de base Z(xj). La valeur interpolée au point x, notée Z*(x), est donnée par :

i=l,M

Le non biais est assuré à la condition que la somme des poids ou pondérateurs 7i[ soit égale à 1 :

i=l,n

Les pondérateurs sont alors choisis de façon à minimiser la variance d'estimation. Ceci conduit aux équations du krigeage ordinaire suivantes :

llX/ï(xi,xj) + \i = y{xi,x) Vi (néquations)

j=l,n

i=l,n

n = nombre d'informations disponibles i, j = indices des points de mesure ; i et j varient de 1 à n Xj, xj = points de mesure xj et x; Z(xi),Z(xj) = valeurs mesurées en x̂ et x; X = volume à estimer (point ou bloc) Xj (ou Xi) = pondérateur (ou poids) affecté à la valeur mesurée en x[ \i = paramètre de Lagrange y(xi,xj) = valeur du variogramme y(h) pour h=distance entre x[ et x; Y(XÍ,X) = valeur du variogramme y(h) pour h=distance entre xi et x,

si X est un volume, on prend la valeur moyenne de y entre xi et ce volume.

«12 Rapport BRGM R 39049


Enfin la variance de l'erreur d'estimation, appelée variance d'estimation ou variance de krigeage, vaut :

Sl= 'L'k{Yixi,x)-y{x,x) + [i

y(x,x) est la valeur moyenne du variogramme entre deux points appartenant au volume X. Si le volume se réduit à un point, la distance qui sépare ces points est nulle et on a y(x,x)=0.

Dans les expressions ci-dessus on voit que dans le krigeage interviennent :

- les positions des informations xj par rapport au volume ou au point à estimer x, par le biais des valeurs de Y(XÍ,X) ;

- la répartition des informations, par le biais des valeurs de y(xi,xj) ;

- la fonction structurale variogramme y.

Exemple de krigeage ordinaire avec 2 points

Pour une estimation d'un point x à partir de deux informations ponctuelles situées en X| et Xj, la valeur estimée au point x vaut Z*(x) = îZ(xi) + X̂ ^(^2) ^^ ^^ système s'écrit :

^1 Y(XI,XI) + ^2 Y(XI,X2) + \i = y(xi,x) h Y(X2,XI) + X2 y(X2,X2) + H = y(X2,x) ^1 + X2 = 1

y(xi,Xi) vaut 0 puisque la distance entre Xj et lui-même vaut 0. De même pour y(x2,X2). Par ailleurs, y(X'^,X2) et y(x2,Xi) sont égaux à la valeur de y(h) pour h = distance entre Xj etX2.

Le système se simplifie de la façon suivante :

^y(xi,X2) + H = y(xi,x) îY(xi,X2) + ^ = y(x2,x) Xi + X2 = 1

La variance de krigeage vaut :

Sk = ^1 Y(XI,X) + X2 Y(X2,X) + |x



Variantes du krigeage

Des variantes du krigeage ordinaire permettent de traiter des phénomènes présentant une tendance ou dérive (krigeage universel), d'estimer la probabilité de dépassement d'un seuil (krigeage d'indicatrice, krigeage disjonctif), ou sont adaptées à des distributions particulières (krigeage lognonnal).

De plus, les techniques de krigeage se sont enrichies pour tenir compte des interprétations des autres spécialistes : un exemple courant est celui de la prise en compte des failles et discontinuités reconnues. On verra d'autres exemples dans les méthodes géostatistiques avancées.

Le krigeage : interpolation optimale

Le paragraphe suivant rentre un peu plus dans les détails et montre, en s'appuyant sur les figures 3 et 4, en quoi l'interpolation par krigeage est optimale et donne ainsi de bons estimateurs. Le lecteur désireux d'avoir un aperçu rapide des différentes techniques géostatistiques peut, en première lecture, se reporter directement deux pages plus loin au paragraphe "Les simulations conditionnelles".

Sur la figure 3 la ligne supérieure correspond à une interpolation par krigeage et la ligne inférieure à une interpolation "classique" du type moyenne mobile ou inverse des distances.

La première colonne donne les résultats de l'interpolation pour 3 points disposés de façon homogène sur le cercle. Dans l'hypothèse d'une Isotropie du phénomène, chacun des 3 points reçoit le même poids, soit 1/3. Pour ce premier cas testé, l'interpolation par krigeage et par méthode conventionnelle sont équivalentes du fait que la répartition des points est homogène par rapport au point estimé, et du fait qu'il y a isotropic.

La deuxième colonne concerne un cas où les informations ne sont plus réparties de façon homogène : les 3 points sont localisés dans la moitié inférieure du cercle. L'interpolation conventionnelle ne prend pas en compte la position des points les uns par rapport aux autres. Aussi les poids de chacun des points sont-ils toujours égaux à 1/3. En revanche, le krigeage module les poids et attribue un poids de 0,259 au point inférieur, et un poids de 0,371 à chacun des deux points situés de part et d'autre du centre. Cette pondération est plus logique que la pondération attribuant un poids constant de 1/3, dans la mesure où les deux points symétriques synthétisent l'information sur une surface proportionnellement plus grande que le point inférieur.



Enfin la troisième colonne illustre ce qui se passe dans le cas d'informations redondantes. En effet, deux points sont situés à faible distance l'un de l'autre, et diamétralement opposés au troisième point. Dans la cas d'une estimation conventionnelle par l'inverse des distances, chaque point reçoit toujours le même poids 1/3. Par contre par krigeage le point isolé reçoit une valeur voisine de 0,5 : 0,487, tandis que les deux points proches reçoivent des poids de 0,257, dont la somme est également voisine de 0,5.

Tous les calculs ont été effectués pour un variogramme "sphérique^" de portée 3.r, r étant le rayon du cercle. La géostatistique permet de calculer les variances d'estimation fournies par le krigeage et par la méthode conventionnelle^. La figure 3 permet d'illustrer les variations de la variance d'estimation en fonction de la répartition des points : elle varie de 0,45 à 0,526 pour le krigeage, et de 0,45 à 0,565 pour l'interpolation conventionnelle. Ceci montre que le krigeage conduit à une erreur minimale, même si la différence n'est ici pas significative. Ceci montre également qu'à nombre de données égal, il est possible d'optimiser la répartition de ces données pour avoir une variance minimale.

De même on peut faire varier le nombre de données pour atteindre une certaine précision, c'est à dire ne pas dépasser une certaine variance d'estimation. On imagine donc bien ainsi que la géostatistique peut aider à la conception d'une campagne de mesure ou d'un réseau de surveillance.

^ Le schéma sphérique est un polynôme de degré 3 qui a comme expression : Y(h) = C(3/2 d -1/2 d )̂ d<l Y(h) = C d>l

avec C = palier, a = portée et d = h/a

2 la connaissance du variogramme permet de calculer la variance de l'erreur d'estimation associée à toute inteipolation par combinaison linéaire des données, sous la seule condition que la somme des poids vaut 1. Cette variance est appelée variance d'estimation. On peut ainsi calculer la variance d'estimation associée à une méthode d'interpolation conventionnelle comme "l'inverse des distances", ou bien la variance d'estimation du krigeage, que l'on appelle plus simplement variance de krigeage.



0,333

Interpolation par krigeage

0,371

0 , 2 5 7 ^ _ ^ 0 , 2 5 7

0,333 0,333

0,259

S\ = 0,478

Interpolateur conventionnel

),333/ \ o .

0,487

S\ = 0,526

0,333 0,333

333

0,333

S 2 E = 0,45

0,333

S2E = 0,483

0,333

S 2 E = 0,565

Fig. 3 - Conôraison des poids et de la variance d'estimation associée dans le cas du krigeage et d'une interpolation conventionnelle, (d'après Rivoirard, 1984). S^jç = variance d'estimation par krigeage S^£ = variance d'estimation par interpolation conventionnelle Calcul effectué avec un variogramme sphérique déportée 3r.

La figure 4 montre comment l'interpolation par krigeage prend en compte les effets d'une anisotropic. A gauche est représenté le cas d'un phénomène isotrope avec un variogramme de portée égale à 3 fois le rayon du cercle. Chacun des 2 points utilisés pour l'estimation du point central reçoit un poids de 0,5. La variance d'estimation est de 0,636. Avec la même configuration d'estimation, mais un phénomène de portée 6.r selon X et 3.r selon Y, donc plus continu selon l'axe des X, les poids sont différents. Le poids du point situé sur l'axe des X reçoit un poids de 0,72 et l'autre un poids de 0,28. La variance de krigeage est égale à 0,41. Une méthode par inverse des distances aurait donné les mêmes poids aux 2 points, avec une variance de 0,46.



variogramme isotrope variogramme amsotrope Portée = 3 r Portée selon x = 6.r

Portée selon y = 3.r

0,72

Fig. 4 - Evolution des poids de krigeage et de la variance d'estimation selon la structure spatiale du variogramme.

Les simulations conditionnelles

Certains phénomènes peuvent présenter des fluctuations locales importantes, qui faute d'avoir été observées ou mesurées ne peuvent être restituées par le krigeage. En effet, comme tout interpolateur, le krigeage lisse la réalité entre les points expérimentaux et masque les fluctuations potentielles ; plus les points expérimentaux sont rares, plus on risque alors de conclure à tort à une grande continuité du phénomène.

La géostatistique met en oeuvre des techniques originales et spécifiques qui permettent de construire des simulations conditionnelles dont l'objectif n'est pas l'estimation la plus précise possible mais la création d'un modèle qui mime la réalité. Une simulation conditionnelle reproduit tout ce qu'on connaît d'un phénomène, y compris son style de variabilité locale (régulier ou erratique). Plus précisément elle possède les propriétés suivantes :

- même variabilité spatiale que le phénomène étudié, c'est-à-dire même variogramme ;

- même distribution statistique, c'est-à-dire même histogramme ;

- même valeur numérique aux points de mesure : la simulation est alors dite "conditionnelle".

Une simulation n'est pas la réalité (qui reste inconnue), mais en constitue une image possible. Dans la pratique on construit souvent plusieurs simulations conditionnelles qui permettent d'obtenir différentes versions de la réalité, et donc d'apprécier le degré de liberté que laissent les données. Ces simulations géostatistiques sont souvent le point d'entrée de simulations de processus physiques (écoulement et transport par exemple).



Comparaison entre simulation et krigeage

La figure 5 illustre la différence entre simulation et krigeage. Une coupe obtenue par krigeage est représentée en haut. Cette coupe est lissée par rapport à la réalité. Le lissage observé est provoqué par l'algorithme de krigeage. Loin d'être un inconvénient lorsqu'il s'agit d'une interpolation, le lissage est nécessaire pour obtenir un estimateur qui minimise l'erreur d'interpolation. Une autre propriété du krigeage est qu'il constitue un interpolateur exact. En d'autres termes, la valeur interpolée en un point de mesure est égale à la valeur mesurée. Dans le cas de la figure 5, cela signifie que les épaisseurs krigées au droit des sondages sont égales aux épaisseurs observées le long de ces sondages.

La figure 5 donne également la coupe simulée à partir des mêmes informations. Il est clair que cette coupe fait apparaître d'importantes fluctuations à petite échelle. Ces fluctuations donnent une image de la variabilité réelle du phénomène, variabilité qui était "gommée" par le lissage du krigeage. Imaginons un instant que nous soyons exploitant de nickel. Exploiter les couches de gamiérite (minerai de nickel) de la coupe krigée ne paraît pas poser de problème majeur. Par contre, exploiter le gisement de la coupe simulée est un tout autre problème : les épaisseurs de minerai varient rapidement d'un point à l'autre, de même que le toit et le mur du minerai. L'exploitation d'un tel gisement va donc nécessiter des sondages de reconnaissance à maille resserrée pour détecter ces variations, des engins relativement petits de manière à pouvoir trier le minerai du stérile. Il est probable également que l'on ne pourra pas récupérer économiquement tout le minerai situé dans des poches étroites et profondes. En résumé, le gisement simulé est nettement moins facile à exploiter que le gisement krigé.

Or le gisement simulé est celui qui reproduit le mieux le gisement réel. Tout projet d'exploitation destiné à mettre au point la méthode d'exploitation, à évaluer les coûts ou les taux de récupération du minerai devra donc se baser sur un modèle simulé et non un modèle krigé.

Le problème serait le même si on devait évaluer le taux de récupération dans un gisement de pétrole, calculer des écoulements dans un aquifère, estimer les performances d'un procédé de dépollution, le tout dans un milieu naturel présentant des hétérogénéités locales d'épaisseur de formation, de concentration en polluant ou en hydrocarbure, de perméabilité, de faciès,...

Notons par ailleurs que pour reproduire par simulation des fluctuations à petite échelle, il faut que ces fluctuations aient été observées. Cela signifie que l'on doit disposer d'un resserrement local de maille d'échantillonnage. Ce resserrement sert à caler le variogramme aux petites distances.



Ciel

Couverture

560

540

500

480

460

440

0 100

Coupe krigéeGisement de Tiébaghi

,

• ; ' • • • _ . ' • " " •

200 300 400

560

. • . . • • •

500

480

460

440

500 600

ODM sottwar» BRGM

Légende

560

540

520500 t^fefcEJÊM440

0 100

Coupe simuléeGisement de Tiébaghi

f ' 1

200 300 400

f Tf

500

560

—^í^t - íH ™°

^ ^ X 2 i 620500

480

460

440

600

GDH software BRGM

Gamiérite 1

Garaiéritc2

Latérite 1

Latérite 2

Latérite+ gamiérite

Bedrock

Fig. 5 - Comparaison simulation et krigeage.



Enfin, pour terminer la comparaison simulation-krigeage, remarquons que :

- sur la coupe simulée de la figure 5, les épaisseurs de formation au droit des sondages sont les mêmes que pour la coupe krigée : elles coïncident avec les épaisseurs mesurées. La simulation effectuée est donc "conditionnelle" : elle respecte les points de mesure ;

- les surfaces totales occupées par chaque formation sur les coupes sont les mêmes pour la simulation et le krigeage. En d'autres termes les épaisseurs moyennes sont les mêmes : la simulation, comme le krigeage, assure le non biais global ;

- on peut montrer qu'en moyenne l'estimation par krigeage est deux fois plus proche de la valeur réelle que ne l'est la valeur simulée. Pour une estimation locale ou une cartographie, il est donc préférable d'utiliser le krigeage, plus précis. Par contre, toute étude qui doit prendre en compte les conséquences de fluctuations à petite échelle doit se faire sur la base de valeurs simulées.

1.2. LA GEOSTATISTIQUE AVANCEE

Les développements plus récents mais déjà opérationnels concernent des contextes plus difficiles, notamment :

- cas multivariable ; - krigeage avec dérive externe ; - variabilité dans l'espace et dans le temps ; - analyse de risque.

Géostatistique multivariable

Les études portent fréquemment sur plusieurs paramètres córreles statistiquement (ex. : toits de deux horizons géologiques successifs) ou liés par des relations physiques (ex. : toit et pendage d'une couche géologique, topographie des deux épontes d'une fracture). La théorie géostatistique se généralise aisément au cas multivariable. Les outils correspondants sont les variogrammes croisés, le cokrigeage, les simulations multivariables.



Krigeage avec dérive externe

La mise en oeuvre des méthodes de cokrigeage ne va pas de soi dès que le nombre n de variables est élevé. Il faut en effet modéliser de façon cohérente un grand nombre de variogrammes directs et croisés : n(n+l)/2 variogrammes. De plus les systèmes de cokrigeage peuvent atteindre des dimensions prohibitives. Même dans le cas bivariable, on peut rencontrer des problèmes pratiques : inadéquation du modèle dans le cas non stationnaire, artefacts dus à une hétérogénéité des données. Aussi utilise-t-on fréquemment un modèle avec dérive externe, où im paramètre sert d'ébauche à la cartographie d'un autre paramètre. Un exemple typique est celui d'une campagne sismique où les données des profils, nombreuses, donnent une image détaillée du toit en temps sismique, et où les mesures en forage, rares, permettent de caler ces temps et de les transformer en profondeurs (le calage se fait localement, et incorpore implicitement une variation de la vitesse moyenne).

Interpolation spatio-temporelle

Certains paramètres évoluent avec le temps. C'est le cas de la piézométrie ou de la concentration en polluants par exemple. La théorie géostatistique se développe dans R" et s'applique donc aux problèmes spatio-temporels. Mais ici aussi, les applications ne sont pas aussi simples, car le comportement d'un phénomène dans le temps et son comportement dans l'espace sont de nature très différente, et l'échantillonnage peut être très divers : quelques situations mesurées en un grand nombre de stations de mesure, ou au contraire quelques stations mesurées en continu sur une grande période de temps, ou encore des stations mobiles mesurées à un pas discontinu (dans le temps), ou tout autre cas. On adapte la démarche à chaque cas particulier. Par exemple, pour le suivi de la piézométrie d'un site à partir de quelques dizaines de piézomètres de contrôle, alors que quelques situations passées sont connues avec beaucoup plus de détail, on emploie la méthode de la dérive externe, celle-ci étant prise égale à la moyenne des situations bien connues (voir exemple d'application 3.3).

Analyse de risque

L'objectif d'une estimation n'est pas toujours la connaissance de la valeur la plus probable d'un phénomène, mais peut être la probabilité qu'un seuil donné soit dépassé. Dans les cas simples (stationnarité), le krigeage disjonctif permet de répondre à la question. Des adaptations sont nécessaires pour les cas plus complexes. De telles études sont souvent couplées à des études de sensibilité à certains paramètres difficiles à caler avec précision.



Simulation de réseaux de fractures

La modélisation et la simulation de réseaux de fractures relèvent plus de méthodes probabilistes au sens large que de géostatistique. Des outils géostatistiques particuliers et une méthodologie originale ont néanmoins été développés au BRGM et appliqués à des milieux variés (granite, gneiss, calcaire, grès).



2. Types de problèmes pouvant être résolus par géostatistique

L'objet de ce chapitre est de lister les différentes catégories de problèmes que la géostatistique peut contribuer à résoudre, et de montrer en quoi la géostatistique apporte un "plus". Pour chaque catégorie de problèmes, quelques références bibliographiques sont fournies. Une autre classification, basée sur les métiers, est proposée en annexe.

2.1. ANALYSE ET COMPRÉHENSION D'UN PHÉNOMÈNE

Nous avons vu au chapitre précédent que le variogramrae était un des outils fondamentaux de la géostatistique. Il représente la fonction de corrélation spatiale des données. Le calcul puis l'interprétation du variogramme permettent d'analyser et de quantifier la structure spatiale du phénomène étudié.

En particulier on peut caractériser :

- le comportement du variogramme à petite distance ; - le comportement du variogramme aux "grandes" distances ; - le comportement du variogramme selon la direction de calcul.

Comportement à petite distance

En théorie le variogramme Y(h) = 1/2 Moyenne [Z(x+h)-Z(x)]2 tend vers 0 lorsque h tend vers 0. En pratique la courbe expérimentale ne suit pas toujours ce comportement (voir fig. 2.b), et ceci pour 2 raisons principales :

- d'une part une erreur de mesure ou d'analyse qui fait que l'on peut obtenir deux valeurs différentes au même point x ;

- d'autre part l'existence d'une variabilité à courte échelle, ou du moins à une échelle inférieure aux distances minimales entre points de mesure. Le variogramme permet de mesurer la part de variabilité du phénomène qui échappe à notre connaissance du fait de la maille d'investigation.

Comportement du variogramme aux "grandes" distances

Le variogramme peut soit atteindre un palier, au-delà d'une certaine distance dite "portée" (fig. 2.a), soit continuer à croître (fig. 2.b).



Dans le cas où le variogramme atteind un palier le phénomène est dit stationnaire. La portée correspond à la distance maximum de corrélation entre deux points. Deux points séparés d'une distance inférieure à la portée sont córreles. Le degré de corrélation dimimue quand la distance augmente. Deux points séparés d'une distance supérieure à la portée ne sont plus córreles : les valeurs mesurées en ces points sont indépendantes. La portée est liée à une caractéristique physique du phénomène : diamètre d'une lentille en milieu sédimentaire par exemple.

Dans le cas où il n'y a pas de palier on peut être en présence d'une dérive. Le degré de dérive renseigne sur l'échelle de variabilité du phénomène. Une dérive "moyenne" peut être soustraite, de façon à obtenir un résidu qui lui peut présenter un comportement stationnaire avec un palier et une portée.

D'autre part un variogramme peut montrer plusieurs portées qui traduisent des phénomènes jouant à des échelles de distances différentes. Un exemple est visible sur la figure 2.a. Les différentes portées se traduisent par des ruptures de pente du variogramme expérimental.

Comportement du variogramme selon les directions

Le variogramme peut être calculé dans chaque direction de l'espace et mettre en évidence une différence de comportement selon les directions. En pratique, le géologue connaît les directions contrôlant le phénomène observé. Par contre, il est plus difficile de quantifier a priori les anisotropies : amplitude de variation selon les directions, portées, degré de dérive. Le variogramme peut répondre à ces questions.

Toutes les caractéristiques du phénomène mises en évidence par le variogramme : comportement aux petites distances, aux grandes distances, anisotropies, peuvent être prises en compte pour concevoir un plan d'échantillonnage, construire une interpolation optimale, quantifier l'incertitude liée à une estimation. Nous allons détailler ces différents points dans les deux sections suivantes.

2.2.CONCEPTION D'UN PLAN D'ÉCHANTILLONNAGE OU D'UN RÉSEAU DE SURVEILLANCE

Supposons qu'une première campagne d'échantillonnage a permis de caractériser la structure spatiale du phénomène par l'intermédiaire du variogramme.

On peut être amené à se poser les questions suivantes :

- dans l'hypothèse d'une reconnaissance d'une zone voisine ayant a priori les mêmes caractéristiques structurales, combien de points de mesure faut-il implanter et selon quelle disposition, si on veut arriver à connaître le phénomène avec une précision donnée ?



- dans l'hypothèse d'un resserrement local de maille pour mieux connaître le phénomène : combien de points de mesure implanter et où les implanter ?

- dans l'hypothèse de la surveillance d'un phénomène dont la forme est déjà connue, par exemple une cote piézométrique, combien de points surveiller et à quel emplacement, pour assurer une précision donnée ?

L'utilisation du variogramme et des techniques de krigeage permet de résoudre ces différents problèmes. Les références données ci-dessous en donnent quelques exemples. L'exemple d'application 3.3 "Implantation d'un réseau de piézomètres" aborde également ce problème.

Etudes réalisées : optimisation des campagnes sismiques complémentaires pour les ouvrages spéciaux du tunnel sous la Manche, défmition du réseau piézométrique de surveillance d'un site de stockage, définition du schéma d'échantillonnage d'un site contaminé.

2.3. QUANTIFICATION DES ERREURS, OPTIMISATION DE L'INTERPOLATION

L'utilisation du variogramme et des techniques de krigeage apportent un avantage primordial par rapport aux autres méthodes d'interpolation : on peut calculer la fourchette d'erreur de l'interpolation. En effet, le krigeage fournit la variance de cette erreur, que l'on appelle "variance d'estimation".

En outre, l'interpolation par géostatistique est optimale dans le sens où :

- l'interpolation minimise l'erreur d'estimation ; - l'interpolation tient compte de la répartition des informations ; - l'interpolation prend en compte la variabilité spatiale du phénomène.

Intérêt de quantifíer les erreurs d'interpolation

Le premier intérêt est bien sûr d'avoir une idée de la précision avec laquelle on peut interpoler ou cartographier une variable. Par exemple la cote du toit d'une formation en un point inconnu est-elle interpolée à 1 m, 5 m, 10 m près ? Il est bien évident que le fait de connaître la marge d'erreur permet de relativiser l'interprétation des résultats. Par ailleurs, connaître la précision d'une estimation permet de maîtriser les risques liés à la connaissance partielle du phénomène étudié. Dans le cas du tunnel sous la Manche, il était extrêmement important que les tunneliers creusent dans la craie, sans rencontrer les argiles qui se trouvent en-dessous. Le krigeage du toit des argiles a donné leur cote probable, et l'écart-type de krigeage a permis de définir une marge de sécurité. Si le projet de tunnel atteignait cette marge, les concepteurs du tunnel pouvaient modifier son tracé, ou effectuer des reconnaissances complémentaires permettant de préciser la position exacte du toit des argiles ou de réduire la marge d'erreur.



Un autre exemple est l'établissement de cartes piézométriques et le calcul de l'erreur sur la carte piézométrique. Même si les techniques actuelles de géostatistique ne permettent pas de prendre en compte certaines conditions aux limites, on peut toutefois fournir un ordre de grandeur de l'erreur liée aux données. L'amplitude de ces erreurs fournit un guide au modélisateur qui, à l'aide d'un modèle hydrodynamique, essaie de retrouver la piézométrie : il peut savoir à quelle précision caler son modèle.

Enfin, il existe une autre application liée à la quantification de l'erreur. Cette application est indirecte et a déjà été signalée : il s'agit de l'optimisation d'un réseau de mesure ou de surveillance. On peut en effet calculer l'erreur à laquelle on aboutit avec une configuration de points de mesure. Par comparaison de différentes configurations, on peut alors choisir celle qui donne le meilleur compromis précision/coût.

Intérêt d'une interpolation optimale

Bien souvent le coût d'acquisition des données est élevé. Il est donc important d'en tirer le meilleur profit possible et d'utiliser une méthode d'interpolation qui tienne compte au mieux des caractéristiques physiques du phénomène et de la répartition des données. C'est ce que propose le krigeage.

Il est bien évident que le krigeage, comme les autres méthodes d'interpolation d'ailleurs, ne prend pas en compte toutes les caractéristiques physiques. C'est le cas par exemple pour les conditions aux limites lors de l'interpolation d'une piézométrie. Toutefois le krigeage est moins aveugle que les autres méthodes d'interpolation automatique, comme on l'a montré à la section 1.1.

Etudes réalisées mettant à profit le calcul de l'erreur d'interpolation : tunnel sous la Manche : estimation de la cote du toit des formations géologiques sous la Manche, avec calcul de l'écart-type associé, 1986-1987 ; Semapa : cartographie des toits et puissances des couches géologiques sous Paris 13è, 1992 ; Projet Tigron : interpolation de 13 interfaces géologiques sous Paris pour évaluer le risque lié à des dégradations d'égoûts, étude Antea Paris pour le compte de la mairie de Paris, 1995 ; nombreuses études minières durant les 10 dernières années.

2.4. EVALUATION DU RISQUE DE DEPASSEMENT D'UN SEUIL DONNE

Dans le cas simple d'une variable relativement régulière, il est possible de calculer la probabilité pour qu'un seuil donné soit dépassé. Selon le cas, sous-produit d'un simple krigeage, ou krigeage d'indicatrice, ou krigeage disjonctif : application à la délimitation des zones où la concentration en polluant excède un seuil réglementaire donné (réponse en continu et non en 0/1).

Références d'études : étude d'un site pollué en métaux lourds suite à des retombées de fumées d'usine.



2.5. SIMULATIONS GEOSTATISTIQUES 2-D OU 3-D

Une interpolation ou une estimation donne de la variable étudiée une image lissée, et ce d'autant plus que le nombre de données est faible. Une simulation au contraire donne une image dont la variabilité de détail est semblable à celle du phénomène réel, sans être cependant la réalité. Lorsqu'on utilise un modèle numérique construit par géostatistique comme entrée d'un calcul de processus physiques (calcul d'écoulement à partir d'un modèle numérique de la perméabilité par exemple), on doit partir d'un modèle simulé plutôt que d'un modèle estimé.

Etudes réalisées : simulation géostatistique de la perméabilité dans une mine de charbon du Mexique, 1982 ; simulation de la topographie d'épontes de fractures, 1987 ; modélisation géométrique 3D d'un réservoir géothermique stratifié par simulation géostatistique, 1994.

2.6. RELATIONS PHYSIQUES ENTRE VARIABLES

Le "krigeage avec dérive externe" permet de prendre la cartographie d'un paramètre bien renseigné comme ébauche de la cartographie d'un autre paramètre. Par exemple :

- dans une campagne sismique les dormées des profils sont nombreuses et donnent une image détaillée du toit en temps sismique : il s'agit de l'ébauche. Les mesures en forage, rares, permettent de caler ces temps et de les transformer en profondeur. Le calage se fait localement et incorpore implicitement une variation de la vitesse moyenne. Les variables profondeur et temps sismique sont liées par la relation : Z(x) = 1/2 . V . t(x) (avec Z = profondeur, v = vitesse sismique, t = temps aller et retour) ;

- en géothermie les mesures de profondeur sont plus nombreuses que celles de température et peuvent servir d'ébauche à la cartographie de la température, sachant que les 2 variables sont reliées par la relation : T(x) = a . P(x) (avec P = profondeur, T = température, a = gradient géothermique) ;

- une autre application est la cartographie d'une piézomètrie à un instant t en utilisant un faible nombre de mesures et en se calant sur une situation de référence connue elle par un grand nombre de mesures.

D'autre part il est possible de prendre en compte des relations fonctionnelles telles que dérivée ou gradient. Par exemple on peut interpoler le toit d'une couche à partir de données de toit et de données de pendage, ou une piézomètrie à l'aide de cotes piézomètriques et des directions de ligne de courant.

Etudes réalisées : sismique et mesures en forage : Tunnel sous la Manche ; profondeur et température : étude pour la SNEAP, 1990 ; piézomètrie et ébauche : voir l'exemple d'application de la section 3.3 ; prise en compte de gradient pour l'étude de rugosité d'une fracture; prise en compte de directions de foliations pour cartographier un granite.



2.7. SIMULATION DE RESEAUX DE FRACTURES

Si la grande fracturation peut en général être modélisée de façon déterministe, par contre la petite fracturation n'est connue que partiellement (affleurements, forages, parois de galeries) et sa modélisation relève de méthodes probabilistes. L'approche géostatistique standard n'est pas directement applicable. Des méthodes d'analyse appropriées ont été développées, notamment dans le cadre d'une collaboration entre BRGM et LBL (Lawrence Berkeley Laboratory). Elles permettent de caractériser et de modéliser la distribution spatiale des fractures (taille et orientation des fractures, regroupement en salves, type de terminaison, régionalisation de la densité de fracturation, structure hiérarchique), et d'engendrer des simulations de réseaux de fractures. Ces simulations peuvent être contraintes à respecter les observations effectuées en forage ou en galerie. Les méthodes ont été mises au point pour des granites, des gneiss, des calcaires et des grès.

La simulation d'un réseau de fractures peut être couplée à une modélisation des fractures individuelles (topographie des épontes, chenaux défmis par le vide interstitiel) et servir d'entrée à des études d'écoulement et de transport de polluants.

Des exemples de simulation de réseaux de fractures en terrain cristallin et en terrain sédimentaire sont montrés figures 6 et 7.

Etudes réalisées : modélisation de la petite fracturation du massif granitique de Fanay-Augères (en collaboration avec le Lawrence Berkeley Laboratory - 1987), des gneiss du Cézallier (1987), des calcaires de Comblanchien (1993) ; simulation conditionnelle du réseau de fractures du site de Stripa (Suède) (pour l'ANDRA, 1992) ; études de fractures naturelles sur des supports décimétriques relevés en laboratoire (en collaboration avec le Lawrence Berkeley Laboratory) et de fractures métriques relevées in situ, travaux de recherche en cours (programme européen 1996-1998) pour la modélisation 3-D de réseaux de fractures en milieu sédimentaire (calcaire, grès).


IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


f

Fig. 6 - Simulation d'un réseau de fractures dans des granites (d'après Loiseau, 1987).

Fig. 7- Simulation d'un réseau de fractures contrôlées par la stratification en milieusédimentaire et où les fractures de la famille secondaire buttent contre cellesde la famille principale.



3. Exemples d'applications

L'objet de ce chapitre est de présenter quelques applications de la géostatistique à des problèmes de géo-ingénierie.

3.1. MODÉLISATION DES DÉPÔTS ARGILEUX DU SITE DU PALAIS DE MÉDINE, POUR GUIDER LA CONCEPTION ET L'IMPLANTATION DE L'AUSCULTATION DES CONFORTEMENTS GÉOTECHNIQUES

Cette étude a été effectuée en 1988. Elle avait pour but la cartographie détaillée du toit et de l'épaisseur d'une formation argileuse pour aider à résoudre des problèmes de nature géotechnique. Le site étudié est le palais de Médine (Arabie Saoudite). Ce palais est construit sur un entablement basaltique qui repose lui même sur une couche d'argile gonflante (voir coupe géologique simplifiée fig. 8). Le basalte étant très fracturé, l'eau provenant de l'arrosage des jardins et des fuites des canalisations peut s'infiltrer et imprégner les argiles ou ruisseler à leur surface. Le gonflement des argiles ainsi que leur lessivage par l'eau met en péril la stabilité des bâtiments ainsi que celle de la route d'accès.

palais, jardins

route d'accès basalte fracturé i argile gonflante

Fig. 8 - Coupe géologique simplifiée du site de Médine (nb : les échelles ne sont pas respectées)



La géostatistique a été utilisée pour 2 raisons :

- en premier lieu on souhaitait obtenir une cartographie de qualité pour bien visualiser les zones à risque, ceci pour les 2 principales variables d'étude : le toit des argiles et leur épaisseur ;

- d'autre part on voulait évaluer les incertitudes sur les positions des interfaces, incertitudes liées à la fois à l'interprétation géologique et au fait que des informations de qualités différentes étaient utilisées : sondages destructifs, sondages carottés, affleurements.

On a ainsi cartographie :

- le toit des argiles, de façon à bien identifier les thalweg où l'eau peut s'écouler, et provoquer une instabilité au niveau de l'interface basalte/argile, notamment au niveau des affleurements ;

- l'épaisseur des argiles, de façon à repérer les zones où des phénomènes de gonflement importants pouvaient se produire. En effet, les argiles sont microfissurées et peuvent s'imprégner d'eau sur toute leur épaisseur.

Les deux cartes obtenues sont destinées à faciliter l'implantation optimale des appareils d'auscultation, ainsi qu'à dimensionner les dispositifs de confortement des infrastructures existantes : murs de soutènement ancrés par tirants passifs ou précontraints, béton projeté ancré.

1. Etude du toit des argiles

Le toit des argiles est reconnu par 134 sondages parmi lesquels 118 ont atteint le toit. La localisation des sondages est visible figure 9.

Royal Diwan Médine - Positum des mlonnatioiu

Fig. 9 - Localisation des sondages de reconnaissance.



Le calcul du variogramme du toit des argiles montre que cette variable présente une bonne continuité à l'origine. Aux grandes distances on observe une dérive (fig. 10).

Le modèle de variogramme ajusté au variogramme expérimental est la somme d'un schéma sphérique^ de palier 0.4 m^ et de portée 20 m, et d'un schéma linéaire'* de pente 0.18 mVm:

Y(h) = 0.4 Sph(20 m) + 0.18 h

A partir de ce variogramme, on peut procéder à l'interpolation de la cote du toit des argiles. Le résultat est fourni figure 11. La cote du toit est représentée par des isolignes, et l'écart-type d'estimation par des plages de couleur. On note la présence d'un thalweg au sud de la zone d'étude, vers X = 340. Cette zone est la mieux reconnue. L'écart-type d'estimation y varie de 1,2 à 1,5 m. Il existe également deux thalweg moins marqués. Le premier se situe au sud, vers X — 240. Le second est localisé au nord, vers X = 60. On a d'ailleurs constaté un glissement de terrain au nord. Toutes ces zones sont à surveiller et à conforter. On peut remarquer également que les zones les moins bien reconnues (écart-type supérieur à 2,5 m) sont situées sous des bâtiments et ne présentent pas de danger car on n'y observe pas de thalweg.

Vario.

25.0

20.0

15.0

10.0

/ ^

Vanogramme de la cote du toit des argiles

1 1

/îf

O

1 ° - -

o

• - F l

" ^^'' Z--^^^^

pas = 10 m

pas = 5 m

- O ^

25.0 75.0 100. 125.

Distance (m)

Copynght BROM-GEOMATH1984-95

Fig. 10 - Variogramme de la cote du toit des argiles.

^ Le schéma sphérique est un polynôme de degré 3 qui a comme expression Y(h) = C(3/2 r - 1/2 r3) r<l Y(h) = C r>l avec C = palier, a = portée et r = h/a

'' Le schéma linéaire a comme expression Y(h) = k.h



CO

ceGO

œGCDO)

œ0)QCD

£H

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Ooce

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m

a,

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I 1

I I

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I1IIî

34R

apport BR

GM

R

39049


2. Etude de l'épaisseur d'argile

L'épaisseur d'argile est connue en 104 points. Elle varie de 0 à 17 m, pour une moyenne de 4,7 m et un écart-type de 3.9 m. Le variogramme (fig. 12) fait apparaître un effet de pépite lié :

- en partie à l'erreur de détermination des cotes début et fin pour les sondages destructifs ;

- en partie à l'interprétation géologique : il n'est pas toujours aisé de savoir exactement où commence et où finit la couche d'argile, d'autant plus que certaines formations intermédiaires sont parfois rattachées aux argiles.

L'amplitude de l'effet de pépite est de 4 m?, ce qui signifie que si on suppose que l'épaisseur en un point est égale à l'épaisseur mesurée en un point voisin, situé à moins de 5 m, on commet en moyenne une erreur de 2 m. Cette erreur étant due à la fois à l'erreur de détermination des cotes mesurées (sondage destructif) et aux fluctuations intrinsèques de la variable mesurée (l'épaisseur). L'erreur est toutefois réduite si on utilise plusieurs points de mesure pour estimer l'épaisseur en un point où on ne dispose pas de mesure.

Lorsque la distance augmente, le variogramme montre une bonne continuité, et présente un palier correspondant à une portée de 100 m environ.

Le modèle de variogramme ajusté au variogramme expérimental comprend un effet de pépite de 4 m^ et un schéma cubique^ de palier 15 m̂ et de portée 120 m.

^ Le schéma cubique a comme expression :

Y(h) = C (7 r̂ - 8,75 r̂ + 35 r̂ - 0,75 r̂ ) si r<l, et y(h) = C pour r>l avec C = palier, a = portée, et r = h/a. Ce modèle caractérise une variable bien régulière



Vario.

20.0

15.0

lO.O

5.00

C 0.

Vadogramme de l'épaisseur des argiles

Ä>^ ^̂ ^ -^

yî

jT sa

o -o Pas-lOm

25.0 50.0 75.d lOo! 125

Distance (m)

Copyright BRGM-GEOMATH1984-95

Fig. 12 - Variogramme de l'épaisseur d'argile

La carte des épaisseurs d'argile et des écarts-type d'estimation (fig. 13) montre que les épaisseurs importantes d'argile sont localisées au centre et dans le coin Nord-Est de la zone d'étude.

3.2.CARTOGRAPHIE DE PERMEABILITE A L'AIDE DE DONNEES PERMÉABILITÉ ET DE DONNÉES DE DÉBIT SPÉCIFIQUE

DE

Ce cas d'étude montre un exemple d'application de la géostatistique à l'hydrogéologie. Il est tiré de la thèse d'Alexis GUTIERREZ, 1994. Il s'agit d'interpoler les perméabilités aux noeuds d'une grille servant de données d'entrée à un modèle hydrodynamique de l'aquifère.

Pour établir la carte des perméabilités on dispose de (cf. localisation des données fig. 14) :

- 44 mesures de perméabilité ; -108 mesures de débit spécifique.

La géostatistique est utilisée ici car elle permet d'interpoler la perméabilité en prenant en compte à la fois les données de perméabilité et celles de débit spécifique, grâce à une caractérisation des corrélations spatiales propres à chaque variable prise isolément, ainsi que des corrélations spatiales entre ces deux variables. Seule la géostatistique permet ce calcul. Ainsi on peut obtenir des valeurs dans les zones où la perméabilité n'a pas été mesurée et où on dispose de données de débit spécifique. La technique utilisée est celle du "cokrigeage" (krigeage combinant deux variables).



a a

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a

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I [

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I I

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Rapport B

RG

M R

3904937


Position des informations :

80000

o = mesure de permcabilité

+ = mesure de débit spécifique

76000 .

72000

68000

64000

80000

76000

72000

68000

64000

40000 44000 48000 52000 56000 60000

GDM software BRGM

Fig. 14 - Localisation des données de perméabilité et de débit spécifique.

Nous allons maintenant détailler les phases du travail qui sont :

1. Etude de la variable perméabilité ; 2. Etude de la variable débit spécifique et du couple (perméabilité, débit spécifique) ; 3. Cartographie de la perméabilité par cokrigeage.

1. Etude de la variable perméabilité.

Pour cela on utilise les 44 valeurs de perméabilité disponibles. La position des points correspondants est codée par un "o" sur la figure 14. Les valeurs observées varient de 2. 10"̂ à 8 130 . 10'^ m/s. Pour limiter l'influence des quelques fortes valeurs, et du fait que l'histogramme des perméabilités présente une allure lognormale, on travaille sur le logarithme népérien des perméabilités, noté Log(K).

Les hypothèses hydrogéologiques permettent de considérer l'aquifère comme isotrope. Le variogramme moyen toutes directions confondues peut donc être calculé. L'ajustement du variogramme est montré figure 15. Il comprend un effet de pépite non négligeable : 1/3 du palier total, et une composante sphérique de palier 2/3 du palier total.



Vario

3.50

3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

0.500

0.

C

Variogramme du logarithme des pennéabilités

7 -tr /

/

/

/

1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. Distance (m)

CopvriÄht BRGM-GEOMATH 1984-95

Fig. 15 - Variogramme et ajustement pour la variable Log(K).

Les logarithmes des perméabilités sont alors interpolés par krigeage aux noeuds d'une grille coïncidant avec le maillage du modèle hydrodynamique. Pour interpoler un noeud de grille, on va chercher les informations dans un voisinage de 10 km autour de ce noeud. Ce voisinage est choisi assez grand de façon à pouvoir estimer tous les noeuds de la grille. Pour ne pas trop lisser les valeurs interpolées, le nombre de points de données utilisés pour interpoler chaque noeud est limité à 12, et ces points sont choisis avec une répartition aussi homogène que possible autour du noeud interpolé (technique de recherche du voisinage dite "par octant"). Le passage à l'exponentiation permet de revenir aux valeurs de perméabilité "naturelles". Le résultat est fourni figure 16. Les écarts-types d'interpolation sont représentés figure 17. On note que les écarts-types maximum sont localisés bien évidemment là où les mesures de perméabilité sont éloignées. Ainsi, les valeurs interpolées sur le pourtour de l'île le sont avec une précision très médiocre.



76000

72000

68000

61000

-

1-

38000

76000

72000

68000

S4000

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-

38000

1

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1

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1

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76000

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-

F

76000

72000

68000

64000

62000

10 '• ./.

H1-,.»

l . »

U

Fig. 16 - Cartes des perméabilités estimées.- en haut : krigeage direct de log (K) ;- en bas : cokrigeage (log (K), log (Qs)).



80000

76000

72000

68000

64000

80000

76000

72000

68000

64000

40000 44000 48000 52000 56000 60000

40000 44000 48000 52000 56000 60000

80000

76000

72000

68000

64000

80000

76000

72000

64000

4cait-type

Fig. 17. Cartes des écarts-types d'estimation de Log(K).- en haut ; krigeage direct de log (K) ;- en bas : cokrigeage (log (K), log (Qs)).



2. Etude de la variable débit specifíque et du couple (perméabilité, débit specifíque).

Le débit spécifique Qs est obtenu en divisant le débit Q à un puits de production par le rabattement s observé à ce puits : Qs - Q/s. Ce débit spécifique est lié à la perméabilité. Le coefficient de corrélation entre ces deux variables est de 0,867. Toutefois, les débits spécifiques sont plus hétérogènes, du fait qu'ils n'ont pas été corrigés des pertes de charge et des rabattements induits, très variables d'un puits à l'autre. C'est pourquoi le variogramme des logarithmes de débits spécifiques Log(Qs) montre un effet de pépite important (fig. 18).

Vario.

2.50

2.00

1.50

1.00

0.500

Variogramme du logarithme des débits spécifiques

/ -

H 1 1 H 0. 1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000.

Distance (m)

Copyright BRGM-GEOMATH 19S4-95

Fig. 18 - Variogramme expérimental et son ajustement pour la variable L0g(Qs).

Enfin, on peut calculer le variogramme croisé des deux variables Log(K), Log(Qs) par la formule :

yK,Qsih)= Y.{Log{K,x)-Log{K,x + h)).{Log{Qs,x)-Log{Qs,x + K)



Le variogramme croisé obtenu ainsi que son ajustement sont représentés figure 19.

Vario.

3.00 .

2.50 .

2.00 .

1.50 ,

1.00 .

0.500 .

0.

0

Variogramme croisé (Log(K)Xog(Qs))

/ 1 / f

/ 1 / '

/ ^ — — -^

/

1000. 2000. 3000. 4000. 5000. 6000. 7000. 8000. Distance (m)

Copyright BRGM-GEOMATH 1984-95

Fig. 19- Variogramme croisé (LogÇK), Log(Qs)) et son ajustement

Cartographie de la perméabilité par cokrigeage

Le cokrigeage fonctionne de manière similaire au krigeage. On forme l'estimateur :

Log(K,x)* = S ?4 Log(K,xi) +Z ßj Log(Qs,Xj)

Les Xi et x; sont les points situés à l'intérieur du voisinage retenu pour l'estimation du point X. Les xj et x: peuvent être confondus ou être différents. En d'autres termes on peut utiliser des points où soit K seul est connu, soit Qs seul est connu, ou soit K et Qs sont connus tous les deux. De la même façon que pour le krigeage, on peut calculer les poids ^ et ßj qui minimisent l'erreur d'interpolation.

Le résultat du cokrigeage est représenté au bas de la figure 16 pour les valeurs de K et au bas de la figure 17 pour les écarts-types d'estimation en unités logarithmiques. En ce qui concerne les écarts-types, il apparaît que le gain de précision le plus net est obtenu au centre de l'île. Sur les pourtours, on observe encore une zone importante présentant un écart-type élevé, du fait de l'absence de données de perméabilité comme de débit spécifique. L'aspect de la carte des perméabilités est sensiblement modifié, grâce à la prise en compte des données de débit spécifique là où aucune donnée de perméabilité


Potentiel d'application de la géostatistique en géoingénierje

n'était disponible. La carte obtenue par cokrigeage permet ainsi de mieux valoriser l'ensemble des données disponibles.

3.3. IMPLANTATION D'UN RESEAU DE PIEZOMETRES

Cette étude a été réalisée en 1989 pour le compte de l'ANDRA. Elle vise à optimiser l'implantation d'un réseau permanent de piézomètres permettant la surveillance du site de stockage de l'Aube pendant son exploitation.

Ce site a fait l'objet de mesures piézomètriques détaillées à l'occasion de son aménagement : on dispose ainsi d'environ 200 piézomètres. Des mesures piézomètriques effectuées à différents instants permettent de connaître 4 situations de basses eaux et hautes eaux en 1986.

La question posée est la suivante : pour suivre l'évolution de la piézomètrie de façon suffisamment "fiable", combien utiliser de piézomètres et où les implanter ? En effet, il n'est pas envisageable d'entretenir la totalité des piézomètres et on ne souhaite en garder qu'un nombre limité.

Pour cela la démarche suivante est adoptée :

L Réalisation de cartes piézomètriques de référence

Des cartes piézomètriques "détaillées" sont calculées pour chacune des 4 situations de 1986. Ces cartes utilisent l'ensemble des 200 piézomètres disponibles.

2. Optimisation du réseau de surveillance

Pour cela on sélectionne, parmi les 200 piézomètres initiaux, un certain nombre de piézomètres. Par exemple 30. Avec ces 30 piézomètres seuls, on établit les cartes piézomètriques des 4 situations. On compare ensuite ces cartes aux cartes "détaillées". Par essais successifs, on fait varier le nombre et l'emplacement des piézomètres sélectionnés, jusqu'à obtenir un résultat acceptable. Bien évidemment, le résultat est moins précis qu'avec la totalité des piézomètres.

3. Amélioration de la carte résultant du réseau de surveillance seul

Pour améliorer la carte obtenue avec les n piézomètres sélectionnés, on fait l'hypothèse que globalement la piézomètrie suit une forme générale correspondant à la moyenne des basses eaux et des hautes eaux de 1986. On calcule alors une nouvelle carte qui tient compte à la fois de la forme générale (ébauche) et des n piézomètres sélectionnés. On valide en comparant à la carte obtenue avec l'ensemble des piézomètres.



La géostatistique est indispensable ici pour les raisons suivantes :

- une cartographie fine est demandée ;

- en ce qui concerne l'optimisation du réseau de surveillance, c'est la seule technique capable de fournir un écart-type d'estimation permettant de comparer 2 réseaux et de valider le réseau retenu. D'autre part, sur la partie d'aquifère étudié, il n'y a pas de conditions aux limites qui limiteraient les possibilités d'emploi de la géostatistique ;

- enfin la cartographie à partir d'une ébauche et d'un sous-ensemble de piézomètres est rendue possible par une technique particulière de géostatistique : le kigeage avec dérive externe.

Nous allons maintenant détailler les 3 phases de l'étude.

1. Réalisation de cartes piézomètriques de référence

La zone d'étude est un carré d'environ 1 400 m de côté. On dispose de piézomètries mesurées à 4 instants différents :

- situation 1 : basses eaux du 20/03/1986 - 177 données ; - situation 2 : hautes eaux du 25/04/1986 - 193 données ; - situation 3 : basses eaux du 04/09/1986 - 89 données ; - situation 4 : hautes eaux du 23/10/1986 - 196 données.

A partir de ces données on calcule une carte piézomètrique de chaque situation. La figure 20 représente la carte obtenue pour la situation 1 du 20/03/86. Cette carte montre une dérive. La méthode d'interpolation utilisée pour obtenir cette carte est un type particulier de krigeage appelé krigeage universel, qui permet de prendre en compte la dérive. Des cartes peuvent être calculées également pour les autres situations, mais ne sont pas représentées ici.

On peut de plus calculer des cartes d'écart-type représentant l'erreur d'estimation de la piézomètrie. La carte correspondant à la situation du 20/03/86 est représentée figure 21. Cette carte montre en particulier que les erreurs les plus fortes sont localisées dans la zone de forte variation de la piézomètrie, au nord-ouest et au sud de la carte.

Rapport BRGI\/I R 39049 45


Fig. 20 - Krigeage direct de la situation 1 à partir de l'ensemble des piézomètres.

Fig. 21 - Ecart-type d'estimation du krigeage direct de la situation 1 à partir de l'ensemble des piézomètres.



2. Optimisation du réseau de surveillance

Rappelons que l'objectif est d'obtenir une carte piézomètrique acceptable à partir d'un nombre limité de piézomètres. D'un point de vue géostatistique, le terme "acceptable" peut être traduit de 2 façons :

- soit de façon purement quantitative : si un réseau de n piézomètres est choisi, on peut calculer les écarts-types d'estimation associés. La géostatistique permet ce calcul même si les points choisis ne sont pas les mêmes que les points de mesure de 1986. On peut se fixer une limite sur l'écart-type maximum, éventuellement zone par zone, et modifier la configuration du réseau jusqu'à satisfaire les contraintes fixées.

Une autre alternative consiste à comparer sur une grille 2 valeurs de piézomètrie interpolées :

- la piézomètrie interpolée à partir de l'ensemble des piézomètres, que l'on considère comme "exacte" : ZQ •

- la piézomètrie interpolée à partir d'un sous ensemble de n piézomètres : Z*o.

Des statistiques sur Z*o-Zo permettent ensuite de juger de la qualité de l'estimation obtenue à partir du sous-ensemble de piézomètres :

- soit de façon plus qualitative : on compare "à l'oeil" les 2 cartes et on vérifie que la carte obtenue avec le réseau reproduit bien les grands traits de la piézomètrie. Cette approche est plus naturaliste dans la mesure où on peut vérifier que les caractéristiques importantes au sens hydrogéologique sont bien reproduites.

C'est cette deuxième approche qui a été retenue dans le cas présent.

La procédure d'optimisation est alors la suivante :

- l'hydrogéologue sélectionne les piézomètres à retenir. Cette sélection se fait sur la base de considérations hydrogéologiques et de facilité d'accès ;

- une carte piézomètrique est interpolée à partir des mesures de ces piézomètres ;

- cette carte est comparée à la carte piézomètrique de référence interpolée à partir de l'ensemble des piézomètres ;

- par itération, on modifie le nombre et/ou la localisation des piézomètres jusqu'à obtenir un résultat satisfaisant.

Ce travail peut être fait pour chacune des situations de référence. Le modèle géostatistique utilisé pour l'interpolation à partir d'un réseau réduit est celui calé à partir de l'ensemble des piézomètres (même variogramme et même hypothèse de dérive).

Rapport BRGNIR 39049 47


Fig. 22 - Krígeage direct de la situation 1 à partir de 30 piézomètres.

eo.5 - . 80.s

79.5

Fig. 23 - Ecart-type d'estimation du krígeage direct de la situation 1 •à partir de 30 piézomètres.



La figure 22 montre la carte piézomètrique calculée à partir de 30 piézomètres, pour la situation du 20/03/1986. Par rapport à la figure 20, il est clair que la piézomètrie est mal reproduite sur les bordures ouest et sud du domaine. La carte des écarts-types, figure 23 fait apparaître dans cette zone des valeurs supérieures à 2 m, voire 3 m.

Différents tests ont été effectués, jusqu'à retenir un nombre final de 50 piézomètres. La carte piézomètrique obtenue à partir de ces piézomètres est donnée figure 24 pour la situation du 20/03/1986. Cette carte reproduit assez bien la piézomètrie de référence.

3. Amélioration de la carte par la technique de krigeage avec dérive externe

L'idée est de considérer que la surface piézomètrique reste à peu près la même au cours du temps et varie autour d'une moyenne. La piézomètrie au point x et à l'instant t résulte de fluctuations autour de la moyenne et peut s'exprimer de la façon suivante :

P(x,t) = a + b E(x) + R(x,t)

avec :

P(x,t) = piézomètrie au point x, à l'instant t. E(x) = ébauche = situation moyenne au point x. R(x,t) = résidu = fluctuation (point x, instant t). a,b = constantes variant d'un point à l'autre, a est proche de 0 et b est proche de 1.

En pratique l'estimation de P(x,t) se fait en 2 temps :

- tout d'abord on interpole l'ébauche E(x) à l'aide de l'ensemble des piézomètres pour lesquels on prend la moyenne de plusieurs situations ;

- ensuite on se sert des mesures faites en nombre limité à un instant ultérieur t pour caler les variations locales. On en déduit la piézomètrie finale, dont la forme générale suit E(x), mais qui se cale localement sur les mesures au temps t.

Dans notre cas l'ébauche E(x) est interpolée à partir de la moyenne des situations 2 et 4. En effet, les points de mesure de ces 2 situations sont localisés aux mêmes emplacements.

On a ainsi calculé la carte piézomètrique de la situation 1 du 20/03/86 en utilisant :

- l'ébauche résultant de la moyenne des situations 2 et 4 ;

- les 50 piézomètres sélectionnés parmi l'ensemble des piézomètres de la situation 1.

La carte obtenue, figure 25, est effectivement proche de la carte qui peut être tracée avec les 177 piézomètres de la situation 1 (fig. 20).



Fig. 24 - Krigeage direct de la situation 1 à partir de 50 piezometres.

Fig. 25 - Krigeage avec dérive externe de la situation 1 à partir de 50piezometres.



Commentaires

On peut penser qu'un réseau de surveillance de 50 piézomètres est un nombre élevé par rapport aux 200 piézomètres disponibles au départ. En fait, le nombre de piézomètres à surveiller dépend de la qualité du résultat final que l'on souhaite obtenir. Dans le cas présent, une bonne qualité était demandée.

A titre de comparaison, on a calculé la carte piézomètrique obtenue par krigeage avec dérive externe en utilisant l'ébauche et les mêmes 30 piézomètres que ceux ayant servi à construire la figure 22. Le résultat, visible figure 26, montre que cette carte est déjà très bonne et voisine de celle obtenue par krigeage avec dérive externe utilisant les 50 piézomètres sélectionnés. On pourrait donc se demander pourquoi utiliser 50 piézomètres plutôt que 30. La raison essentielle est que se limiter à quelques piézomètres reviendrait à accorder une confiance aveugle au modèle, et en particulier considérer que la forme de la surface piézomètrique n'évolue pas. En pratique, on doit faire en sorte que l'ébauche serve d'appoint aux nouvelles mesures, mais ne constitue pas l'essentiel de l'information utile à la cartographie. Autrement dit, il faut retenir un réseau qui à lui seul permette déjà une cartographie acceptable.

B0.5

- 79.5

Fig. 26 - Krigeage avec dérive externe de la situation 1 à partir de 30 piézomètres.



4. Outils géostatistiques disponibles au BRGM

Le BRGM dispose de logiciels géostatistiques qui couvrent la quasi totalité de ses besoins. Ces logiciels sont GDM, pour les applications relativement standard, et Isatis pour les applications avancées.

4.1. GDM

GDM est un outil développé par le BRGM. Cet outil est actuellement en pleine mutation car sa version micro-ordinateur type PC est progressivement portée de DOS à WINDOWS. A l'heure actuelle, GDM pour Windows est un produit très convivial et facile d'utilisation, qui offre les fonctionnalités suivantes :

- interface Windows, avec tous les avantages associés : menus déroulants, icônes, choix des polices de caractères, des couleurs, import et export des données ou des graphiques vers des formats standards,...

- outils de création/modification de la base de données, avec possibilité d'import ou d'export de ou vers des formats standards (Excel, dBase, ou fichiers texte au format CSV);

- possibilité de filtrer les données, d'effectuer des transformations numériques sur les champs ;

- outils de visualisation des données en plan ou en coupe avec possibilité d'exporter les graphiques au format Windows Metafile (.WMF), pour insertion dans un document Windows, ou dans un éditeur graphique ;

- outil de tracé de logs géologiques ;

- outil d'interpolation en 2-D, avec possibilité de prendre en compte un interpolates géostatistique ;

- outil de tracé de cartes isovaleur.

L'ensemble de ces fonctions est disponible en interne sur demande auprès de GMI/PROD. Il est commercialisé à l'extérieur à un prix de 17 500 FF. Une formation de 4 jours suffit à un utilisateur familier à Windows pour maîtriser parfaitement le produit.

D'un point de vue géostatistique, GDM pour Windows n'intègre pas (à l'heure actuelle) :

- le calcul du variogramme ; - l'ajustement du variogramme par un modèle ;



- l'interpolation en 3D ; - les simulations conditionnelles.

Ces 4 fonctions sont toutefois disponibles à travers une fenêtre DOS dans laquelle on peut exécuter les 4 modules correspondants. L'utilisation de ces modules suppose une bonne connaissance de la géostatistique. Il existe une formation spécifique de 3 jours dédiée à l'interpolation. Cette formation présente tous les concepts géostatistiques nécessaires pour le calcul et l'ajustement du variogramme, ainsi que pour l'interpolation. Par ailleurs, il existe 2 manuels de géostatistique dédiés à GDM. Le premier : "Logiciels géostatistiques de GDM : manuel de l'utilisateur", rapport BRGM R 37842, présente les aspects théoriques mis en oeuvre dans GDM. Le second : "Logiciels géostatistiques de GDM : cas d'étude", rapport BRGM R 37843 présente une série de cas d'études où sont illustrés les différents traitements géostatistiques 2D et 3D disponibles dans GDM. Une disquette fournie avec le rapport permet de suivre pas à pas chaque cas d'étude.

Enfin signalons que GDM est disponible également sous environnement UNIX (interface de type DOS).

4.2. ISATIS

Isatis est un logiciel de recherche/développement spécialisé en géostatistique. Il est distribué par la société Géovariances installée à Fontainebleau. Les algorithmes de géostatistique intégrés dans Isatis sont issus des recherches du Centre de Géostatistique de l'École des Mines de Paris. Isatis fonctionne uniquement sur station Unix (Sun, HP, Silicon, Digital), avec l'environnement Osf/Motif.

Isatis est probablement, au niveau mondial, le logiciel qui offre la plus grande panoplie d'outils géostatistiques. Outre les fonctions "standard" que l'on trouve également dans GDM, Isatis permet beaucoup d'autres traitements :

- pour l'ajustement du variogramme :

• possibilité d'ajustement automatique en mono ou en bi-variable ;

• possibilité de calcul du nuage variographique ;

• possibilité d'ajustement du variogramme à la souris ;

• possibilité de visualiser sur une carte les données intervenant dans le calcul d'un pas du variogramme ;

• possibilité de reconnaissance automatique de structure pour les phénomènes non stationnaires.



- en interpolation :

• cokrigeage de 2 variables ;

• krigeage avec conditions d'inégalité (en un point donné on connaît soit la valeur exacte de la variable, soit ses bornes min. et max.) ;

• cokrigeage d'une variable et de son gradient (par exemple altitude et pente).

- dans le domaine des simulations :

• simulations conditionnelles de fonctions aléatoires (modèles multigaussiens, gaussiennes seuillées, simulation séquentielle d'indicatrices) ;

• simulations non conditionnelles de fonctions aléatoires : idem + fonctions de substitution, fonctions aléatoires implantées sur des ensembles aléatoires (incluant en particulier le modèle de dilution, le modèle booléen, le modèle des feuilles mortes), modèle mosaïque (polyèdres poissoniens ou polyèdres de Voronoï), modèle fractal ;

• simulations non conditionnelles d'ensembles aléatoires (résultat en 0 ou 1) incluant en particulier le modèle de dilution, le modèle booléen, le modèle des feuilles mortes.

- en traitement d'images dans le cas où les données sont localisées sur une grille :

• filtrage, lissage ;

• opérations morphologiques : érosion, dilatation, ouverture, fermeture.

En entrée. Isatis accepte des fichiers ASCII dans lesquels on a inséré un en-tête décrivant la liste des variables du fichier, leurs unités, leur format et leur ordre d'apparition dans le fichier.

Les sorties sont des fichiers ASCII, des listing ou des fichiers graphiques dans différents formats (HPGL, postscript, CGM,...). A l'écran, des zooms sur les graphiques sont possibles.

On ne peut pas dans Isatis choisir les limites en X,Y d'un graphique, ni choisir le titre, les échelles, les graduations, les couleurs, etc.. Il faut pour cela sauvegarder le graphique dans un métafichier, puis utiliser un éditeur graphique fourni avec Isatis, appelé "Mfedit". Cet utilitaire permet de composer un document graphique : on peut ainsi modifier les échelles, les limites sur les axes, ajouter un titre ou des commentaires, assembler plusieurs graphiques sur une même page, modifier les couleurs, etc.. Il s'agit d'un outil relativement complet, mais dont l'utilisation n'est pas immédiate : chacun des 3 boutons de la souris permet d'accéder à des fonctions ou menus différents qui varient selon le contexte.



L'ensemble Isatis + Mfedit coûte environ 80 KF. L'effort de formation est plus important que pour GDM Windows. De plus. Isatis est très orienté géostatistique et n'inclut pas de fonctions de gestion/modification des données ni de tracé de logs contrairement à GDM. Enfin, il est beaucoup plus long et lourd d'obtenir des sorties graphiques élaborées qu'avec GDM Windows. A notre avis. Isatis est un produit dont l'utilisation ne se justifie que pour mettre en oeuvre des traitements géostatistiques élaborés qui ne seraient pas disponibles dans GDM. La chaîne de traitement optimale à adopter nous semble alors être la suivante :

-constitution des bases de données, transformations, sélections, visualisations graphiques rapides ou élaborées à l'aide de GDM Windows (travail pouvant être accompli par tout utilisateur de GDM Windows) ;

- export des données sur fichier ASCII ;

- import des fichiers ASCII dans Isatis ;

-traitements géostatistiques élaborés, visualisation et contrôle rapide des résultats à l'aide d'Isatis (travail nécessitant l'intervention d'un géostatisticien connaissant Isatis) ;

- export des résultats sur fichier ASCII ;

- import des fichiers ASCII dans Excel puis GDM Windows ;

- visualisations graphiques élaborées par GDM Windows.



5. Eléments pour la vente de produits géostatistiques

5.1. AVANTAGES DE LA GEOSTATISTIQUE

Interpolation, cartographie, conception d'un réseau de surveillance ou d'échantillonnage

Le principal atout de la géostatistique réside dans le fait qu'elle assortit la valeur interpolée d'un écart-type d'estimation permettant de se faire une idée de la précision avec laquelle on connaît le phénomène. Il faut donc faire appel à la géostatistique chaque fois que l'on veut connaître et maîtriser le risque inhérent à toute interpolation.

Par ailleurs la géostatistique prend en compte la structure spatiale du phénomène et fournit une interpolation de bonne qualité qui respecte la physique du phénomène (anisotropie directionnelle, dérive, degré de variabilité en fonction de la distance). Chaque fois qu'on voudra une cartographie fine, il faudra faire appel à la géostatistique.

Simulations géostatistiques

La géostatistique fournit des algorithmes permettant de reproduire la variabilité locale d'un phénomène. On fera appel à une simulation géostatistique chaque fois que l'on veut évaluer l'influence des variabilités locales d'un milieu sur le déroulement et le résultat d'un processus physique (par exemple écoulements ou diffusion de chaleur dans un milieu de caractéristiques physiques variant à petite échelle, possibilité d'exploiter une mine et coûts associés lorsque les teneurs ou la géométrie du minerai varient à petite échelle).

5.2. LIMITATIONS DE LA GEOSTATISTIQUE

La géostatistique s'applique à des phénomènes structurés dans l'espace, que cet espace soit celui des coordonnées (x,y,z) ou celui du temps t. La structuration peut être soit stationnaire, soit présenter une dérive. Lorsque le phénomène étudié, du fait de sa nature même, n'a aucune chance d'être structuré, la géostatistique ne peut pas être utilisée (pas plus que toute autre méthode statistique d'ailleurs). Un cas typique où la géostatistique s'applique mal est la friche industrielle où les pollutions sont réparties en relation avec la position des bâtiments et des lieux de stockage. La géostatistique ne pourra être utile que si les pollutions sont le résultat d'un phénomène ayant entraîné une structuration : par exemple la diffusion par le vent ou la diffusion dans un aquifère.



Une autre limitation de la géostatistique est qu'elle nécessite un nombre minimum de données pour être mise en oeuvre. Ce nombre varie bien sûr avec la complexité du phénomène : isotrope ou non, présence d'une dérive ou non, ... On peut évaluer le nombre minimum à 30 à 40 données. En dessous de 30, la géostatistique peut donner de bons résultats à condition que le phénomène soit bien structuré, et la maille d'échantillonnage bien adaptée à l'échelle de variabilité du phénomène. Dans des conditions favorables une quinzaine de données peut suffire. D'autre part, il est préférable que la maille d'échantillonnage soit aussi régulière que possible. Enfin, il est nécessaire que les coordonnées (x,y,z, voire t) des échantillons aient été mesurées.

5.3. ORDRE DE GRANDEUR DES COUTS DE PRESTATION

C'est une question à laquelle il est difficile de répondre, car cela dépend du problème posé, du nombre de données disponibles, et du fait que les données de départ aient été contrôlées ou non. En effet, on constate bien souvent que près de 50 % du coût d'une étude est imputé au contrôle des données et à la correction de données erronées ou anormales.

Nous donnons toutefois ci-dessous quelques ordres de grandeur (en 1996). Ces coûts supposent que les données sont disponibles sous forme de fichier ASCII ou de fichier EXCEL et que ces données ont été vérifiées et validées.

• quantification de la variabilité spatiale pour une variable : 0,5 à 1 j

• interpolation d'une variable :

- statistiques, variogramme et krigeage pour 50 données : 1 à 2 j

- statistiques, variogramme et krigeage pour 500 données : 2 à 3 j

• interpolation de plusieurs variables :

- modèle multicouche (5 couches) : 10 à 15 j

- si problème de cohérence des données : jusqu'à 30 j

• simulation conditionnelle d'une variable : 4 à 5 j

• simulation de plusieurs couches (6 couches) - cartes, coupes, rapport : 30 j

• optimisation de réseaux de mesure :

- variogramme et comparaison de différents scénarios : 1 à 2 j

• interpolation d'une variable à partir d'une ébauche : 4 à 5 j

• applications avancées ou nécessitant l'utilisation du logiciel Isatis : à la demande

- calcul de la probabilité de dépassement de seuils ; - simulation de réseaux de fractures ; - simulation d'ensembles aléatoires ; - cokrigeages ou interpolations spéciales.



Conclusion

Les applications et les références d'études présentées dans ce document montrent que la géostatistique peut être appliquée avec profit à une large gamme de problèmes en géoingénierie. Elle est en effet la seule technique capable d'assortir une interpolation de la marge d'erreur associée. Elle permet ainsi de mieux prendre en compte le risque d'erreur dans tout projet où intervient l'aléa géologique. Cela peut concerner aussi bien le domaine de la géotechnique, que ceux de l'eau, de l'environnement, ou encore de la géothermie, de la mine et des carrières. De plus, la géostatistique permet de construire des modèles numériques interpolés ou simulés, calés sur les caractéristiques structurales des phénomènes étudiés.

Si les applications les plus pointues nécessitent l'intervention d'un spécialiste géostatisticien, il n'en n'est pas de même pour les applications "standard", de loin les plus fréquentes. En effet, les logiciels disponibles aujourd'hui au BRGM sont maintenant suffisamment simples pour être abordables par tout ingénieur. Ainsi l'utilisation de GDM Windows permet, moyennant une formation spécifique de 3 jours, de réaliser des interpolations optimales prenant en compte des paramètres géostatistiques, en un laps de temps très limité.



Bibliographie

Cette bibliographie, non exhaustive, rassemble les travaux géostatistiques les plus récents, les thèses à composante géostatistique financées par le BRGM, les références relatives aux exemples d'applications développés dans le texte du rapport.

Blanchin R_, Chiles J.P., Deverly F. (1989) - Some applications of geostatistics to civil engineering. M. Armstrong, editor, Geostatistics, vol 2, pp. 785-795, Kluwer Academic Publishers.

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Bourgine B. (1995) - Logiciels géostatistiques de GDM : manuel de l'utilisateur. Rapport BRGM R 37842, 81 p., 20 fig.

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Gervais F. (1993) - Modélisation géométrique d'un réseau de fractures dans un massif rocheux stratifié. Application aux carrières marbrières de Comblanchien. Thèse de l'Ecole des Mines de Paris, 298 p., 2 vol.

Gutierrez A. (1994) - Evaluation des ressources en eau souterraine de l'île de Malte. Thèse de l'université Pierre et Marie Curie, Paris VI, 320 p.



Loiseau P. (1987) - Etude structurale et géostatistique des gneiss de la région du Cézallier. Modélisation tridimensionnelle du réseau de fractures. Application à l'écoulement des fluides. Thèse de l'Université d'Orléans, 182 p.

Massoud H. (1987) - Modélisation de la petite fracturation par les techniques de la géostatistique. Thèse de l'Ecole des Mines de Paris, 189 p.

Rivoirard J. (1984) - Le comportement des poids de krigeage. Thèse de l'École des Mines de Paris, 72 p.



Annexe

APPLICATIONS EN GEOINGENIERIE, CLASSEES PAR THÈME

Cette annexe recense les principales applications géostatistiques réalisées par le groupe BRGM dans différents métiers de la géoingénierie, avant 1996. Les applications marquées "(*)" sont des travaux de recherche scientifique. Toutes les autres correspondent à des études commerciales effectuées pour le compte de tiers. Sauf mention explicite des réalisateurs, ces études ont été effectuées au BRGM par le département SGN/ISA avant 1994 et par le département SGN/I2G/GS3D depuis 1994. Pour chaque application on indique le client, le thème traité, la ou les personnes principales ayant réalisé l'étude, ainsi que la date.

GÉOTECHNIQUE, STOCKAGE

ANDRA, 1987-1992

- Estimation de la vitesse sismique du site de l'Aisne (R Blanchin, 1987).

- Estimation du toit des horizons géologiques identifiés par sismique dans le site argileux de l'Aisne, avec prise en compte des failles (R Blanchin, 1988).

- Estimation du toit des horizons géologiques identifiés par sismique dans le site salin de l'Ain, avec prise en compte des failles (R Blanchin, 1991).

- Caractérisation de la représentativité d'échantillons géochimiques d'un bloc de granite (R. Blanchin).

- Estimation optimale de la densité moyenne des différentes couches lithologiques rencontrées par le forage profond A901 (site de l'Aisne) à partir de diagraphie de gamma-densité, de diagraphie gamma-gamma, de mesures de densité apparente et de mesures de densité au picnomètre (J.P. Chiles, 1991).

Congo, 1988

- Estimation de l'épaisseur des sédiments meubles repérés le long de profils sismiques.



DGMR, Arabie Saoudite, 1984

- Modélisation de la morphologie des dépôts argileux du site du palais royal de Médine, pour guider la conception et l'implantation de l'auscultation et des confortements géotechniques (R. Blanchin).

Port Autonome de Bordeaux, 1979

- Cartographie des épaisseurs et cubage des divers types de sédiments, sables et graviers, à partir de données de sondage.

Transmanche-Link, 1986-1988 (J.P. Chiles, R. Blanchin)

- Modèle numérique des couches géologiques sous la Manche : estimation de leur cote et de l'écart-type de krigeage associé, à partir de données de bathymétrie, de sismique réflexion haute résolution, et de forages soniques, 1986-1987.

- Optimisation des campagnes de reconnaissance complémentaire au voisinage des ouvrages spéciaux, 1987.

- Actualisation du modèle numérique au voisinage des ouvrages spéciaux, 1988.

Ville de Bordeaux, 1987

- Interpolation des interfaces géologiques le long du tracé prévisionnel du métro de Bordeaux.

SEMAPA, 1992

- Cartographie des toits et puissances des couches géologiques sous Paris 13e (J. Vairon).

ANTEA Paris, pour le compte de la Mairie de Paris (1995)

- Interpolation de 13 interfaces géologiques sous Paris pour évaluer le risque lié à des dégradations du réseau d'égoûts (B. Bourgine).

EAU, HYDROGEOLOGIE

ANDRA, 1988-1989

- Etude de l'implantation d'un réseau de piézomètres pour la surveillance du site de surface de l'Aube (J.P. Chiles).

DGMR, Arabie Saoudite, 1983-1984

- Cartographie de la pluviométrie (projet SAQ). AGE (R. Degallier, J. Lavie et J.P. Chiles).



MICARE (Minera Carbonífera Rio Escondido), Mexique, 1982

- Simulation de la transmissivité dans une mine de charbon (J.P. Chiles).

Ministère de l'Environnement, 1985

- Rationnalisation d'un réseau de surveillance de la qualité des eaux souterraines (nappe des calcaires de Champigny). EAU (J.J. Seguin).

Transmanche-Link, 1986-1988

- Cartographie de la perméabilité, 1987.

Doctorat de 3e cycle, B. Droz, 1995 (*)

- Krigeage de la teneur de la nappe de la craie (Valenciennois) en sulfates et en nitrates.

EAU (J.C. Martin, J. Schwartz, J.J. Seguin et D. Thiéry), 1989. (*)

- Cartographie de la piézométrie et de la transmissivité de la nappe de l'étang de Thau.

- Cartographie de la teneur en nitrates de la nappe de la craie et de la nappe du calcaire de Beauce.

ENVIRONNEMENT

Site industriel (P. Lecomte et B. Bourgine), 1992 (*)

- Etude de la concentration du sol en métaux lourds suite à des rejets de fumées d'usine : cartographie de la concentration, de la probabilité de dépassement d'un seuil de pollution, influence du nombre de points de prélèvement sur la précision de la cartographie.

MINES ET CARRIÈRES

Expertise Gagnereau/HBNPC, 1991

- Cubage d'un terril avant et après exploitation.

Nombreuses études minières par J.P. Chiles, R. Blanchin, J. Vairon, B. Bourgine, F. Deverly



DIVERS (FRACTURATION, GEOTHERMIE, GÉOPHYSIQUE)

Réseaux de fractures

ANDRA, 1987

- Etude de la grande fracturation d'un site granitique en surface.

- Etude de la grande fracturation d'un site schisteux en surface.

ANDRA, 1992

- Simulation d'un réseau de fractures conditionnellement aux fractures observées dans une galerie du site expérimental de Stripa.

BRGM/LBL, 1983-1987 (*)

- Méthodologie de la caractérisation, de la modélisation et de la simulation de réseaux de fractures.

Thèse de H. Massoud, 1984-1987 (*)

- Caractérisation, modélisation et simulation d'un réseau de fractures dans le granite de Fanay.

Thèse de P. Loiseau, 1985-1987 (*)

- Caractérisation, modélisation et simulation d'un réseau de fractures dans les gneiss du Cézallier.

Thèse de F. Gervais, 1990-1993 (*)

- Caractérisation, modélisation et simulation d'un réseau de fractures dans le calcaire de Comblanchien.

Fracture unique

Thèse de S. Gentler, 1983-1986 (*)

- Etude de la topographie d'une éponte de fracture.

Coopération BRGM/LBL, 1987 (*)

- Méthodologie de la modélisation de la topographie des deux épontes d'une fracture et du vide interstitiel.

GEG et ISA, 1987-1993 (*)

- Etude de la topographie de diverses fractures, krigeage et simulation.



Géothermie

BP France, 1989

- Cartographie de la température, de la salinité et de la pression au toit du Dogger. IMRG (J.C. Martin et J.P. Chiles).

SNEA(P), 1990

- Cartographie de la température et du gradient géothermique aux toits du Dogger et du Trias. GPH (R. Gable, J.P. Chiles et J.C. Martin).

IMRG (R. Gable et J.P. Chiles), 1982-1983 (*)

- Estimation 3D de la température du sous-sol du Bassin Parisien avec prise en compte de la lithologie.

IMRG (G. Aubertin et J.P. Chiles), 1985 (*)

- Estimation des transmissivités de l'aquifère du Dogger.

IMRG (J.C. Martin et A. Menjoz), 1988 (*)

- Etude de l'aquifère géothermique du Dogger : profondeur, température, salinité, densité de l'eau, transmissivité, perméabilité, hauteur productive.

GPH (R. Gable et J.P. Chiles), 1988 (*)

- Caractérisation géostatistique du régime géothermique du Pacifique.

IMRG (J.P. Chiles, B. Bourgine, A. Menjoz), 1994 (*)

- Modèle géométrique 3D du réservoir géothermique stratifié du Dogger, par simulation géostatistique.

Gôchimie

MGA (C. Reinhardt et J.P. Chiles), 1983 (*)

- Cartographie de teneurs en gaz dans les sols.

Géophysique

GPH (A. Guillen et J.P. Chiles), 1984 (*)

- Séparation d'un champ gravimétrique en régionale et résiduelle.


Potentiel d'application de la géostatistique en géolngénierie

Liste des figures

Figure 1 - Principe de calcul du variogramme 10

Figure 2 - Exemples types de variogrammes 11

Figure 3 - Comparaison des poids et de la variance d'estimation associée dans le cas du krigeage et d'une interpolation conventionnelle 16

Figure 4 - Evolution des poids de krigeage et de la variance d'estimation

selon la structure spatiale du variogramme 17

Figures - Comparaison simulation et krigeage 19

Figure 6 - Simulation d'un réseau de fractures dans des granites 29

Figure 7 - Simulation d'un réseau de fractures contrôlées par la stratification en milieu sédimentaire et où les fractures de la famille secondaire buttent contre celle de la famille principale 29

Figure 8 - Coupe géologique simplifiée du site de Médine 31

Figure 9 - Localisation des sondages de reconnaissance 32

Figure 10 - Variogramme de la cote du toit des argiles 33

Figure 11 - Cote du toit des argiles et écart-type d'estimation associé 34

Figure 12 - Variogramme de l'épaisseur d'argile 36

Figure 13 - Carte de l'épaisseur des argiles et écart-type d'estimation associé 37

Figure 14 - Localisation des données de perméabilité et de débit spécifique 38

Figure 15 - Variogramme et ajustement pour la variable Log(K) 39

Figure 16 -Cartes des perméabilités estimées 40

Figure 17 - Cartes des écarts-types d'estimation de Log(K) 41



Figure 18 - Vaxiogramme expérimental et son ajustement pour la variable Log(Qs) ....42

Figure 19 - Variogramme croisé de (Log(K), Log(Qs)) et son ajustement 43

Figure 20 - Krigeage direct de la situation 1 à partir de l'ensemble des piézomètres 46

Figure 21 - Ecart-type d'estimation du krigeage direct de la situation 1 à partir

de l'ensemble des piézomètres 46

Figure 22 - Krigeage direct de la situation 1 à partir de 30 piézomètres" 48

Figure 23 - Ecart-type d'estimation du krigeage direct de la situation 1 à partir

de 30 piézomètres 48

Figure 24 - Krigeage direct de la situation 1 à partir de 50 piézomètres 50

Figure 25 - Krigeage avec dérive externe de la simation 1 à partir de 50 piézomètres 50

Figure 26 - Krigeage avec dérive externe de la situation 1 à partir de 30 piézomètres 51


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Documents

BRGMinfoterre.brgm.fr/rapports/RR-39049-FR.pdf · hypothèses de base et les principaux concepts théoriques de la géostatistique. ... calcul de la probabilité de dépasser un seuil