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EXERCICES

Chapitre

6De la géométrie dans l’espace à la géométrie plane

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Solides et figures usuels

1 Rechercher sur Internet la photo d’un Golden Globe, trophée remis chaque année à Hollywood qui récom-pense les meilleurs professionnels du cinéma et de la télévision de l’année.Nommer les solides usuels inscrits dans cette statuette.

2 Vrai ou faux ?Un triangle :a. qui contient deux angles égaux à 60° est équilatéral :b. dont deux hauteurs sont confondues avec les côtés est isocèle ;c. dont une médiatrice est confondue avec une médiane est isocèle ;d. qui a deux côtés de même longueur et un angle égal à 60° est équilatéral.

Représentation d’un solide en perspective cavalière

3 Le schéma ci-dessous représente un meuble « trois portes ». Dans la suite de l’exercice, on ne considé-rera ni le sol, ni les portes.

80 cm

60 c

m

Meuble 3 portes

Sol

AB

C

JD

FE

I

40 cm

1. Le meuble est constitué de trois solides distincts : les-quels ? Donner les dimensions de chacun de ces solides.

2. À l’aide du logiciel GeoGebra, représenter le meuble à l’échelle 1 : 10 avec (ADC) dans le plan frontal et DE = 5 cm [� Boîte à outils p. 25]. Pour le tracé des deux demi-cylindres, on utilisera l’outil Tangentes.

Fermer le côté gauche du meuble en traçant une droite parallèle à la droite (DE) et tangente aux deux demi-cercles du côté gauche. Procéder de même sur le côté droit.

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DE

4 1. Utiliser le logiciel Sketch Up en mode « Conception de produit et menuiserie » pour représenter ce savon cubique d’arête c = 10 cm [� Boîte à outils p. 28].Quatre faces sont marquées par un tampon en forme d’octogone de 5 mm de profondeur. On ne tient pas compte des autres inscriptions.

Pour tracer un octogone, choisir l’outil « Polygone ». Saisir « 8 » dans la fenêtre de dialogue en bas à droite et valider. Indiquer ensuite le rayon de 3 cm et positionner le curseur au centre de la face.

AI

DE

2. a. Sélectionner l’ensemble, effectuer un clic droit et choisir Créer groupe. Relever le volume du savon, en mm3, dans le menu Infos sur l’entité.b. Quel pourcentage du volume du cube est « perdu » à cause des 4 tampons octogonaux ?

Figures planes extraites d’un solide

5 On considère la pyramide à base carrée de 4 cm de côté et le cône de diamètre 5 cm ci-dessous.

AD

I

SS

C AB

H

On coupe ces solides par un plan parallèle à leur base et passant par les milieux K et I de leur hauteur respective.

1. Quelle est la nature des sections obtenues ?

2. Construire ces sections en vraie grandeur en utilisant la règle et le compas.

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6 On considère la pyramide régulière ci-dessous.Sa base est un carré de 6 cm de côté. Au centre de la pyramide, on a placé un cube d’arête 3 cm.On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base qui coupe également le cube. Construire, en vraie grandeur, une représentation possible de la section obtenue.

7 On considère une sphère de centre O et de rayon 5 cm (la figure n’est pas en taille réelle).Un point I est tel que OI = 4 cm. Le plan est perpendicu-laire à (OI) en I.

O

I

M�

1. Indiquer la nature de la section de la sphère par le plan.

2. Représenter, en vraie grandeur, le triangle IOM.

3. Représenter, en vraie grandeur, la section de la sphère par le plan.

8 On considère la pyramide régulière à base carrée ABCD ci-contre. Le plan est parallèle à la base ABCD.Indiquer la nature de la section de la pyramide ABCD par le plan.

S

F G

H

B

A D

C

E

�

9 On considère le cône d’axe (OS) ci-après.Le plan est perpendiculaire à l’axe (OS).Indiquer la nature de la section du cône par le plan.

S

O′

O

�

10 On considère le cylindre d’axe (OO′) ci-dessous. On coupe ce cylindre par un plan passant par l’axe (OO′).Indiquer la nature de la section.

O O′

11 Un technicien d’usinage souhaite réaliser un méplat sur une pièce (usinage fait sur un axe cylindrique).

Le cylindre à usiner, d’axe (AB), mesure 6 cm de diamètre et 30 cm de longueur.

A

B

Sur la section circulaire, l’ouvrier trace :– un rayon [AP] ;– le point M sur [AP] à 1 cm de la circonférence ;– la corde [QR] passant par M et perpendiculaire à [AP].

1. Construire, à l’échelle 1:2, la section circulaire de centre A et les points P, Q, R et M.

2. On usine le cylindre, sur une longueur de 8 cm, par un plan � parallèle à (AB) et passant par les points Q et R.a. Donner la nature de la section obtenue.b. Sur la section circulaire de la question 1, mesurer [QR].c. Quelle est la largeur du méplat ?d. Construire, à l’échelle 1:2, la section qui représente le méplat.

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De la géométrie dans l’espace à la géométrie plane

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12 La pyramide du Louvre présentée dans le manuel p. 143 est une pyramide à base carrée.Ses faces sont composées de plaques de verre découpés sous 2 formes :– 603 losanges dont les diagonales mesurent environ 2 m et 3 m ;– 70 triangles isocèles, qui correspondent à un losange coupé en deux, et dont la base mesure environ 2 m.Les dimensions de la pyramide sont données sur la repré-sentation ci-dessous :

1. Calculer, en cm, les dimensions de la pyramide à l’échelle 1/500. Arrondir au dixième.

2. Construire à la main le patron de la pyramide à l’échelle 1/500, sans tenir compte des plaques de verre. Laisser les traits de construction apparents et respecter les contraintes suivantes :a. pour la base de la pyramide, utiliser une règle et une équerre ;b. pour la première face, utiliser une règle et un compas ;

c. pour la deuxième face, utiliser une règle et un rapporteur ;d. pour la troisième face, utiliser une règle et une équerre ;e. pour la dernière face, utiliser une méthode au choix.

3. À l’aide du logiciel GeoGebra, construire ce même patron, en utilisant de nouveau trois méthodes différentes pour tracer les faces triangulaires.

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Voici un modèle de la tour Part-Dieu, un gratte-ciel construit à Lyon en 1977 (voir manuel p. 159).

Son diamètre est d’environ 42 m. La hauteur de la partie cylindrique est d’environ 142 m. La pyramide mesure environ 23 m de haut et 27 m de côté.

1. Calculer les dimensions de la tour à l’échelle 1/10.

2. On souhaite représenter la tour à cette échelle dans un logiciel de modélisation.a. Construire la base du cylindre et la base de la pyra-mide avec le logiciel Sketch Up [� Boîte à outils p. 28].b. À l’aide de l’outil Ligne, construire l’intersection des diagonales du carré. Créer le cylindre avec l’outil Pousser/tirer.c. Déplacer la base de la pyramide au sommet du cylindre.On déplace une figure sur la face d’un solide en deux étapes :

– Sélectionner en totalité la figure en choisissant l’outil Sélectionner puis en créant un cadre de sélec-tion par cliquer-glisser. La figure sélectionnée est alors surlignée en bleu.– Choisir l’outil Déplacer. Pointer en premier lieu au centre de la figure (la notation « extrémité » apparaît) puis, en second lieu, pointer sur le centre de la face supérieure du solide (la notation « centre » apparaît).d. Compléter la pyramide en joignant chaque sommet de la base (outil Ligne) au sommet de la pyramide.

3. a. Utiliser les outils Panoramique, Orbite et Zoom (menu déroulant « Caméra ») pour obtenir une vue légèrement plongeante qui permet de reconnaître les deux solides usuels composant la tour Part-Dieu.b. Que verrait une personne placée à une hauteur moyenne de 1,68 m et à une distance d’une centaine de mètres de la tour ?

À partir de la base de la tour, et selon l’un des axes rouge ou vert, tracer une ligne correspondant à une distance de 100 m (attention à la mise à l’échelle). Puis utiliser l’outil « Positionner la caméra » pour la placer à l’extrémité de la ligne tracée (la hauteur de vue moyenne est placée à 1,68 m par défaut).Par un cliquer/glisser vers le haut de la souris, simuler le fait de lever la tête.

AI

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4. À l’aide des fonctionnalités du logiciel, imprimer deux vues illustrant la problématique de l’ouverture du cha-pitre sur la question de l’importance du point de vue.

13 Représenter un solide usuel

Je résous des problèmes

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6 De la géométrie dans l’espace à la géométrie plane

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Un ébéniste menuisier crée lui-même une grande table basse. Le pied de cette table est un prisme droit à base triangulaire.

A

A′

C′B′

CB

1. Les dimensions réelles sont les suivantes :AB = BC = CA = 75 cm et AA′ = 80 cm.Déterminer l’échelle du dessin.

2. Le dessin est-il une représentation en perspective cavalière ? Justifier.

3. Le plan de table (PQRS) est un rectangle « encastré » à mi-hauteur du pied, parallèle au plan (BCC′B′), de dimensions PQ = 136 cm et SP = 172 cm. L’ébéniste dessine la table entière en perspective.Pour encastrer le plan de table, l’ébéniste doit faire une découpe suivant le quadrilatère (MNN′M′).

A

A′

C′

CB

M′

M

N′

N

RS

P Q

a. Quelle est la nature du quadrilatère (MNN′M′) ?b. Déterminer les mesures du quadrilatère (MNN′M′) en utilisant le théorème de Thalès, rappelé p. 146 du manuel.

4. L’ébéniste imagine une marqueterie de fil d’or joi-gnant les points I, J, K, et L milieux respectifs de [PQ], [QR], [RS] et [SP].a. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Justifier.b. Vérifier votre hypothèse en traçant le quadrilatère IJKL à l’échelle 1 : 40.

Tracer d’abord, à la même échelle, le rectangle PQRS.

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DE

c. En mesurant sur votre figure, donner une estima-tion, aussi précise que possible, de la longueur réelle de fil d’or.

14 Dessiner pour mieux fabriquer

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Une entreprise de métallerie fabrique une grille, réali-sée à partir de figures géométriques planes. Le cadre de la grille est un rectangle de 78 cm de hauteur et de 50 cm de largeur.

PARTIE A – Dessin de la grille

1. Construire, à l’échelle 1/5, la grille à l’aide des instruments de construction usuels (règle, équerre, compas) ou d’un logiciel de géométrie. On suivra les étapes de construction suivantes.a. Construire un rectangle ABCD tel que AB = 15,6 cm et AD = 10 cm.b. Tracer les médiatrices des segments [AB] et [AD] : ce sont les axes de symétrie de la figure. On note O, le point d’intersection de ces deux droites.Placer les points I, J, K, L milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Tracer le quadrilatère IJKL.

Lors de la construction de cette grille par un logiciel de géométrie dynamique, il peut être nécessaire de renommer les points.

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DE

c. Tracer, en pointillés, les bissectrices des angles IOL et KOL.Les intersections de ces bissectrices avec les côtés du losange IJKL sont les sommets du carré EFGH avec E ∈ [IL], F ∈ [IJ], G ∈ [JK] et H ∈ [KL]. Tracer le carré EFGH.d. Placer le point N sur [IO] tel que ON = 2,7 cm et le point Q sur [OK] tel que OQ = 2,7 cme. Tracer la droite parallèle à (IJ) passant par N. Cette droite coupe (JL) en J’.Tracer la droite parallèle à (KL) passant par Q. Cette droite coupe (JL) en L’.Tracer le quadrilatère NJ’QL’.f. Soit Z le point d’intersection de (AB) et (EH). Tracer la parallèle à (IL) passant par Z.L’intersection de cette droite avec [AD] est W.g. Compléter la figure par symétrie pour obtenir la figure de la grille.

Partie B – Création d’une fiche de débit

2. Afin de prévoir les différentes pièces de la grille à fabriquer, un employé prépare une fiche de débit. Pour cela, il faut connaître les longueurs des pièces.a. En utilisant le théorème de Pythagore, calculer la longueur IL en grandeur réelle (arrondir au dixième).b. Dans le triangle OIL, utiliser le théorème de Thalès pour calculer la longueur NL′.

On rappelle que ON � 2,7 cm sur le dessin, soit 12,5 cm en réel.

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c. Recopier et compléter la fiche de débit en vous aidant des résultats précédents et de la figure. Dans ce tableau, � désigne la longueur de la pièce, N, le nombre de pièces de ce type et �tot la longueur totale de ces pièces.

� (cm) N �tot (cm)

AB 3

AD 3

IL 4

NL′ 4

EH 30,5 4

ZW 19,2 4

TOTAL :

15 Réalisation d’une grille par une entreprise de métallerie