Modélisationenphysique 3MS3 GymnaseAugustePiccard

Maîtreresponsable:LaurentdeSchoulepnikoff 23octobre2017

GaëtanMancini

Trajectoired’unepierredecurling

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RésuméPratiqué depuis plusieurs siècles sur glace, le curling est, en 1998, devenu sportolympique.Sonnomvientdufaitquelespierresdecurlingnesuiventpasunetrajectoirerectiligne,maisquecelle-ciestcourbée.Maisbienquelesjoueursdecesportarriventàprédirelestrajectoiressuiviesparlespierres, lephénomènephysiquesecachantderrièrecelles-cin’estàcejourpasencoreconnu.Cettetrajectoireamêmequelquechosed’étrange:alorsqu’unebouledebillard,àlaquelleonappliqueunerotationhoraire,dévieraverslagauche,unepierredecurlingaveclamêmerotationdévieraversladroite.Maiscommentexpliquercettedifférence?C’estcequejevaistenterd’effectuerdanscetravail,qui,commevousl’aurezcompris,estconsacréàlatrajectoired’unepierredecurling.Sonbutestdeparveniràlamodéliser.Pourarriveràcela,dansunpremiertemps,jeprésenterailecurlingetdifférentsaspectsqui lui sont rattachés. Puis, je donnerai quelques notions théoriques nécessaires à lacompréhensiondecetravailetferailepointsurlesdifférentesthéoriesprésentéesdanslalittérature.Dansunedeuxièmepartie,j’analyseraidesvidéosquej’aimoi-mêmeprisessurlaglace,afind’entirerleplusd’informationspossiblessurlatrajectoiredelapierredecurling.Jeprésenterailesdifférentsrésultatsobtenusetlesdiscuterai.Dansunetroisièmepartie,jeprésenterailesprogrammesquej’aicréésafindemodéliserlatrajectoiresuivieparunepierre.Jediscuterailemodèlemeparaissantlepluspertinent,et en proposerai une amélioration. Je présenterai les résultats obtenus avec mesprogrammes,notammentaveccetteamélioration,etlescompareraiauxmesuresquej’aiprisessurlaglace.Enfin, je proposerai des possibles améliorations à appliquer, ainsi que de nouvellesexpériencesàeffectuer.

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Tabledesmatières1.Introductionsurlecurling.........................................................................41.1Lesport........................................................................................................................................................................4

1.2Laglace........................................................................................................................................................................4

1.3Lapierre......................................................................................................................................................................5

1.4Lexique........................................................................................................................................................................5

2.Butdutravaildematurité..........................................................................63.Théorie................................................................................................................73.1Notionsthéoriquesdebase................................................................................................................................7

3.2Résumédesarticlesintéressants...................................................................................................................10

3.3Connaissancesissuesdelapratiquedecurleurs....................................................................................16

3.4Déductionsthéoriques........................................................................................................................................17

3.4.1Différencedefrottementgauche-droite......................................................................................194.Méthodeexpérimentale...........................................................................194.1Mesures.....................................................................................................................................................................19

4.2Analyse......................................................................................................................................................................21

4.2.1Vidéosavecrotationuniquement(type1)................................................................................21 4.2.2Vidéospourlalongueurdelapierre(type2)...........................................................................22 4.2.3Vidéospourlalargeurdelapierre(type3et4).....................................................................23 4.2.4Rotationdelapierreenmouvement(type2,3et4).............................................................245.Analysedesrésultats.................................................................................245.1Vidéosavecrotationuniquement(type1)................................................................................................24

5.2Longueurdelapierre..........................................................................................................................................26

5.3Largeurdelapierre.............................................................................................................................................28

5.4Rotationdelapierreenmouvement............................................................................................................30

5.5Trajectoirecomplète...........................................................................................................................................32

6.Sourcesd’erreur..........................................................................................336.1Lorsdesmesures..................................................................................................................................................33

6.2Lorsdel’analyse....................................................................................................................................................346.3Impact........................................................................................................................................................................36

7.Programmation............................................................................................377.1Créationdesprogrammes.................................................................................................................................37

7.2Programmepourunepierresanstranslation..........................................................................................37

7.3Créationdesprogrammes(suite)..................................................................................................................41

7.4Résumédemonarticleenanglaisetprogramme...................................................................................41

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7.5Comparaisond’unetrajectoirecomplèteentrelesmesuresetleprogramme..........................44

7.6Sourcesd’erreurdesprogrammes................................................................................................................44

7.7Discussionsurlesrésultatsobtenusaveclesprogrammes...............................................................45

7.8Améliorationspossiblespourleprogramme2........................................................................................46

7.9Facteurspouvantinfluerh................................................................................................................................47

8.Synthèsedutravail.....................................................................................479.Propositionsd’expériencesàfaire......................................................4810.Conclusion...................................................................................................4911.Remerciements..........................................................................................5012.Bibliographie..............................................................................................5012.1Articles....................................................................................................................................................................50

12.2Livre.........................................................................................................................................................................50

12.3Sitesinternet........................................................................................................................................................50

12.4Référencedesimages.......................................................................................................................................51

13.Annexes.........................................................................................................5213.1Monarticleenanglais.......................................................................................................................................52

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1.Introductionsurlecurling1.1LesportLe curling, discipline olympique depuis 1998, est un sport originaire d’Ecosse sedisputantsurglace.Lorsd’unmatch,deuxéquipesdequatrejoueurss’affrontentpendantunnombredemanchesprédéterminé.L’équipeayantmarquéleplusdepointsàlafindecesmanches,appelées"end",remportelematch.Touràtour,chaqueéquipelanceunepierre,autotalhuitparend,soitdeuxparjoueur.Lebutest,à la finde lamanche,d’avoir lapierre leplusprocheducentrede lacible,appelée"maison".Touteslespierresdel’équipeayantlapierrelaplusporcheducentreétantdanslamaison,etplusprochesducentrequelameilleurepierreadverse,marquentunpoint.Lecercledanslequelellessetrouventn’aaucuneimportance.Maispourgagner,ilnesuffitpasderéussirsespierres.Ilfautenplusquelatactiquesoitappliquée correctement. C’est le rôle du skip, le“capitaine“ de l’équipe. C’est lui quimontreauxautresjoueursdesonéquipecequ’ilsdoiventjoueretquinormalementlancelesdeuxdernièrespierresdel’équipe.Chacunleurtour,dansunordreprédéfini,lestroisautresjoueurslancentdeuxpierresetbalaientcellesdeleurscoéquipiers.Lebalayageadeuxeffetssurlapierre.Ilprolongesalongueur,àsavoirladistancequ’elleparcourtet,traditionnellement,diminuesadistancedecurl,ladistancequ’elleparcourtperpendiculairementàsavitesseinitiale.Mais venons-en au lancer de la pierre. Dans un premier temps, le joueur va, s’il estdroitier,utilisersajambedroitepoursepousserdepuisunsupportfixésurlaglaceappelé"hack".Ilvasemettredansla position dite de"sliding". Puis, aprèsquelquesmètresdeglisse,il va imprimer unerotation à la pierre. Si larotation est dans le senshoraire, alors, à l’inversed’une boule de billard, lapierre va dévier sur ladroite. L’inverse seproduitpourunerotationantihoraire.Une fois la rotationimpriméeàlapierre,lejoueurlâchecettedernière,etlesbalayeurspeuventintervenir.Cequifaittoutl’intérêtducurling,c’estlatrajectoirecourbéequesuitlapierre.Sanselle, il seraitparexemple impossibledecontourneruneautrepierreafindesecacherderrière.C’estàcettetrajectoirequejevaism’intéresserdanscetravaildematurité.1.2LaglaceContrairementàuneglacedepatinoire,laglacedecurlingn’estpaslisse.Avantchaquematch, l’iceman vient “l’asperger“ de petites gouttelettes d’eau, qui forment ce qu’onappellele"pebble".Puis,laglaceestcoupée,c’est-à-direqu’onl’égaliseavecunelame,afinqu’iln’yaitpasdetropgrospebble.Ainsi,lapierren’estencontactaveclaglacequesurunetrèspetitesurface.

Fig.1positiondesliding

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Laqualitédelaglace,àsavoirsavitesseetsadistancedecurl,varieenfonctiondelatailledecepebble,de la températuredesgouttelettes, et de la température à lasurface de la glace. Ces paramètresinfluencent donc le coefficient defrottemententrelapierreetlaglace.1.3LapierreLes pierres de curling sont faites engranit, et pèsent entre 17.24 et 19.96 kg.Leurdiamètreavoisineles28cm.Lapierren’estencontactavec laglacequesurunepetitebandecirculaire,dontl’intérieurestsituéà6cmducentredelapierreetdontlalargeurestdel’ordrede6mm.1.4Lexique• Longueurdelapierre:distanceyparcourueparlapierre,lavitesseinitialedelapierre

centerservantd’axey.• Distancedecurl:distancexparcourueparlapierre,uneperpendiculaireàlavitesse

initialedelapierreservantd’axex.• Anneaudecontactouassiette:bandecirculairesouslapierreencontactaveclaglace

(voirfig.)• Maison: cible sur laquelle doivent arriver les pierres pour pouvoir marquer des

points.• Centerline:lignecentrale,quipartagelapistedecurlingendeuxdanslesensdela

longueur.• Backline:ligneàl’arrièredelamaison.• Hogline:ligneperpendiculaireàlacenterline.Onnepeutlâchersapierreaprèsla

premièrehogline,etlapierredoitavoirentièrementdépassélasecondehoglinepourêtreenjeu.

• Teeline:ligneséparantlamaisonendeux,perpendiculairementàlacenterline.

Fig.3pistedecurling

Fig.2pierredecurlingvuededessous

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• Pebble: gouttelettes d’eaugiclées sur la glace avant unmatch.Cesgouttelettesgèlentetforment des irrégularités, quidiminuentlefrottemententrelapierreetlaglace.

• Pebble frais: pebble qui vientd’êtregiclé,etquin’apasencoreétécoupé.

• Glace plate: lorsqu’on a jouélongtempssurunemêmepiste,notammentà la find’unmatch,le pebble est usé et la glacedevient "plate". Cela impliqueque la surface de la pierre encontactavec laglaceaugmente.(Voirfig.)

• Glace coupée: pendant lapréparation de la glace, aprèsavoir été "arrosée", elle estcoupée, afind’obteniruneplusgrande régularité, et dediminuer le coefficient defrottement. Le coefficient defrottement augmente s’il y atrop de pebble (glace non-coupée) ou s’il n’y en a plusassez(glaceplate).

2.ButdutravaildematuritéLa trajectoire courbée d’une pierre de curling possède des particularités. Commementionnédansl’introduction,pourunmêmesensderotation,unebouledebillardouunverreenrotationlancésurunetabledévieradel’autrecôtéqu’unepierredecurling.Maiscommentexpliquercettedifférence?C’estenpartielebutdemontravaildematurité.Bienquedestentativesd’explicationaient eu lieu, aucune théorie n’a été complètement validée à ce jour, et les avis desdifférentschercheurssepenchantsurlaquestiondivergentsurplusieurspoints.Aveclesmesuresquej’aiprises,permettantd’observerlapositiondelapierreaucoursde sa trajectoire, je tenteraidonc,dansunpremier temps,devaliderou, aucontraire,d’infirmer lesdifférentes théories.Lebut final est, comme lementionne le sujetde cetravaildematurité,depouvoirmodélisercettetrajectoire.Pourarriveràcela,j’essaieraiderépondreauxquestionssuivantes:• Quelssontlesfacteursinfluençantlalongueurdelapierre?• Quelssontlesfacteursinfluençantladistancedecurldelapierre?• Commentlesdifférentesforcess’exercent-ellessurlapierre?

Fig.4maisondecurling,avecdistances

Fig.5surfacedecontactentrelapierreetlaglacepouruneglacefraîche(àgauche)etplate(àdroite).Leszonesrougessontleszonesdecontact.

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• Quelleestlacausedeladéviationdelapierreobservéeencurling?• Quelleestl’influencedelaglacesurlatrajectoiredepierre?

3.ThéorieLechapitre"théorie"demontravaildematuritéestdiviséenquatreparties.Dans lapremière,jementionneraietexpliqueraidesformulesetloisdephysiquequis’appliquentau curling,mais qui ne lui sont pas spécifiques. Dans la deuxième partie, je ferai unesynthèsedesélémentspertinentsdesdifférentsarticlesetexpliqueraicertainesformulesspécifiquesau curlingquiy sontprésentées.Dans la troisièmepartie, j’apporteraidesélémentsquisontconnusdescurleurs,desfaitsobservéssurlaglaceetquiparaissentlogiqueauxinitiés,alorsqu’iln’existepasforcémentd’explicationphysiquerigoureuse.Cesélémentspeuventapporterdespistespourrépondreauxquestionsexposéesdanslaproblématique. Enfin, dans la quatrième partie, j’expliquerai plusieurs points quidécoulentdelathéorie.3.1Notionsthéoriquesdebase• LoideNewton

LadeuxièmeloideNewtonnousditque lasommedes forcess’exerçantsurunobjetestégaleàsamassemultipliéeparsonaccélération.∑ �⃗�$$ = 𝑚�⃗�Avec: �⃗� : force en [𝑁] 𝑚: masse en [𝑘𝑔] �⃗�: accélération en <𝑚

𝑠>? @

• ForcedefrottementDanslecasd’unobjetenmouvement,laforcedefrottementestégaleaucoefficientdefrottementmultipliéparlaforcedesoutien.𝐹A = 𝜇𝑆La force de frottement est toujours opposée aumouvement, c’est-à-dire que laforcedefrottementpossèdelamêmedirectionquelavitesse,maislesensopposé.𝐹A = 𝜎�⃗� avec 𝜎 < 0Avec:𝐹AIII :⃗ force de frottement en [𝑁] 𝜇 : coefficient de frottement dynamique 𝑆: force de soutien en [𝑁] 𝑣: vitesse en [𝑚 𝑠⁄ ]

• Travaild’uneforceLe travail d’une force est l’énergie fournie àun systèmeparune force agissantdessus.Letravaildépenddel’intensitédelaforce,deladistancesurlaquelleelles’applique,etdel’anglequ’elleeffectueaveclavitesse.𝑊 = ∫ �⃗� 𝑑𝑟IIII⃗S

T Avec:𝑊: travail d'une force en [𝐽] 𝐴; 𝐵: points de départ et d'arrivée du parcours effectué par le système

𝑑𝑟IIII⃗ : On divise le trajet AB en une "infinité" de segments de longueur 𝑑𝑟.𝑑𝑟IIII⃗ est tangent à la trajectoire, en [𝑚]

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• Vitesseetaccélération

Lavitessemoyenned’unobjetestladistancequ’ilaparcouruependantuntempstdiviséparcetempst.𝑣 = e

fLavitesseinstantanéeestlavitesseàuninstantprécis.Elleesttoujourstangenteàlatrajectoire.L’accélérationestlavariationdevitessed’unobjet.�⃗� = gI⃗ hgiIIII⃗

f Avec:𝑥: distance en [𝑚] 𝑡: temps en [𝑠] 𝑣lIIII⃗ : vitesse initiale en [𝑚 𝑠⁄ ]

• EnergiecinétiqueL’énergiecinétiqueestl’énergiequepossèdeunobjetenmouvement.Elledépenddelamassedel’objetetducarrédesavitesse.𝐸n$o = p

> 𝑚𝑣>Avec:𝐸n$o: énergie cinétique en [𝐽]

• DémonstrationconcernantletempsintermédiairepourunMRUAUnMRUA(mouvementrectiligneuniformémentaccéléré)estdécritparunobjetsuivant une ligne droite avec une accélération constante. Ce mouvement estintéressantpourlecurlingcar,unefoislapierrelâchée,troisforcents’exercentsurelle:laforcedegravité,laforcedesoutienetlaforcedefrottement.Lesforcesdegravité et de soutien s’annulant, la résultante des forces est donc la force defrottement. Théoriquement, la force de frottement est constante au cours dutemps. La masse de la pierre étant toujours la même, si on applique la loi deNewton, on se rend compte que l’accélération de la pierre doit être constante,commedansunMRUA.Danslecasd’unMRUA,lavitessemoyenneentredeuxpointsAetBestégaleàlavitesseinstantanéeaupointC,telqueletempsentreAetCsoitlemêmequ’entreB et C, donc que le temps en C soit lamoyenne des temps en A et B. Voici ladémonstration:Soitt letempsmisparl’objetpourparcourirAB.L’objetmettradonct/2pourparcourirAC.Ona:𝑣TS = TS

f (1)𝐵 = p

> 𝑎𝑡> + 𝑣T𝑡 + 𝐴 ⟺ 𝐵 − 𝐴 = 𝐴𝐵 = p> 𝑎𝑡> + 𝑣T𝑡 (2)

𝑣t = 𝑎 uf>v + 𝑣T = p

> 𝑎𝑡 + 𝑣T (3)

(2)dans(1):𝑣TS =uw

xyfxzg{fvf = p

> 𝑎𝑡 + 𝑣T (4)

(3)et(4)sontidentiques:𝑣TS = p> 𝑎𝑡 + 𝑣T = 𝑣t ⟺ 𝑣TS = 𝑣t (5)

Ainsi,lavitessemoyenneentreAetBestégaleàlavitesseinstantanéeaupointC,définiprécédemment.

Avec: 𝑣TS: vitesse moyenne entre A et B en [𝑚 𝑠⁄ ] 𝐴𝐵: distance entre A et B en [𝑚]

𝑣T: vitesse instantanée au point A en [𝑚 𝑠⁄ ] 𝑣t: vitesse instantanée au point C en [𝑚 𝑠⁄ ]

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• MouvementducorpssolideCettesectionestsimplifiéeennemontrantque lesélémentss’appliquantàunepierredecurling.

o Momentd’inertierelativementàl’axeprincipalEnconsidérantlapierredecurlingcommeuncylindre,onseretrouveavec:𝐼~ = p

> 𝑚𝑅>Avec:𝐼~: moment d'inertie relativement à l'axe principal en [𝑘𝑔 𝑚>] 𝑅: rayon de la pierre en [𝑚]

o Momentd’inertierelativementàunaxeparallèleàl’axeprincipalLemomentd’inertied’uncylindrerelativementàunaxeparallèleàsonaxeprincipalvaut:𝐼 = 𝐼~ + 𝑚𝜆>Avec:𝐼: moment d'inertie en [𝑘𝑔 𝑚>] 𝜆: distance entre les deux axes en [𝑚]

o VitesseangulaireLavitesseangulaired’unobjetestdéfiniecommelavariationd’angledivisépar la variation de temps. Lorsque l’on veut une vitesse angulaireinstantanée,onprendttrèspetit:𝜔 = ��

�f

Avec:𝜔: vitesse angulaire en <𝑟𝑎𝑑 𝑠? @ 𝜃: angle en [𝑟𝑎𝑑]

o EnergiecinétiquederotationL’énergiederotationd’unobjetdépenddumomentd’inertierelativementàl’axederotationainsiquedelavitessederotationdel’objet:𝐸��f = p

> 𝐼𝜔> Avec: 𝐸��f: énergie de rotation en [𝐽]

o Utilisationdumomentd’inertieaveclemomentdeforce

Lorsqu’onaunsolidetournantautourdesonaxeprincipald’inertie,alorsonal’égalitésuivante:𝐼 ��III⃗

�f = 𝑀II⃗Avec:𝑀II⃗: moment des forces s'exerçant sur le solide en [𝑁 𝑚]

• Conservationdel’énergieDansunsystèmeisolé,l’énergieestconstanteaucoursdutemps.Danslecasd’unepierredecurling,lasommedel’énergiecinétique,l’énergiederotationetletravaildelaforcedefrottementdoitêtreconstantaucoursdutemps.𝐸 = 𝐸n$o + +𝐸��f +𝑊A��fAvec:𝐸: énergie en [𝐽] 𝑊A��f: travail de la force de frottement en [𝐽]

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3.2Résumédesarticles“Theasymmetricalfrictionmechanismthatputscurlsinthecurlingstone“[5]Danscetarticlepubliéen2013,unenouvellethéorieexpliquantlatrajectoirecourbéedelapierreestprésentée,etsoutenuepardesrésultatsexpérimentaux.L’anneaudelapierre en contact avec la glace n’étant pas plate, mais comprenant des aspérités, cesdernières,enpassantsurlepebble,yferaientunemarquedontladirectiondépendraitdusens de rotation. Lorsque les aspérités de l’arrière de la pierre rencontreraient cesmarques,ellesauraientunetendanceàlessuivre.Ilenrésulteraituneforceagissantsurlapierredanslamêmedirectionet lemêmesensqueladéviationdelapierre,cequiexpliqueraitlatrajectoiredecettedernière.Lesrésultatsdedifférentesexpériencesprésentéesdansl’articleviennentappuyerlathéorie.Lepremier résultatest laphotographied’unpebbleavantetaprès lepassaged’une pierre. Sur la photographie effectuée après le passage de la pierre, on voit trèsclairementàlasurfacedupebbledesmicrosillonsparallèles(fig.6).

Ladeuxièmeexpériencemontrel’importancedesaspéritéssurl’anneaudecontactdelapierre.Surunemêmeglacedecurling,deuxpierresdifférentesontétéjouées.Lapremièreétaitunepierrenormaleetaeffectuélatrajectoirehabituelle.Lasecondeétaitunepierredontlasurfaceencontactaveclaglaceavaitétépolie.Cetteseconde,bienquejouéeavecunerotation,asuiviunelignedroite.Latroisièmeexpériencemontrel’effetquedesmarquessurlaglaceontsurlapierre.Pour cela, des marques parallèles entre elles, et formant un certain angle avec latrajectoiredelapierre,ontétéfaitesàlasurfacedelaglace.Lorsquelapierrenormale,jouée sans rotation pénètre une de ces zones, elle est directement déviée suivant ladirectiondesmarques.Ainsi,lorsquelesmarquesdedeuxzonessuccessivesavaientdesdirectionsdifférentes,lapierrezigzaguait.Cette même expérience a été effectuée avec la pierre polie. Les traces sur la glacen’avaientaucuneinfluencesurelle,ellecontinuaitsatrajectoirerectiligne.Onvoitunefoisencorel’influencedesaspéritésdelapierresursatrajectoire.L’expériencesuivantemontreladifférencedecoefficientdefrottementenfonctiondelavitesse et de la pierre. Pour une pierre normale, on observe une augmentation ducoefficientde frottement lorsque lavitessediminue.Pourdesvitessessupérieuresà2

Fig.6photographiesd'unpebbleaprèsavoirétécoupé(àgauche)etaprèslepassaged'unepierre(àdroite).Onpeutobserverdesmicrosillonsparallèlessurlaphotographiededroite.

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m/s,lecoefficientrestestableà0.01.Maislorsquelavitesses’approchede0,lecoefficientaugmente.Endessousde0.5m/s,lecoefficientpassemêmeau-dessusde0.02,soitplusdudoubledeceluipourunevitessesupérieureà2m/s.Maispourlapierrepolie, lecoefficientrestepresqueconstant.Aussiégalà0.01pourunepierresedéplaçantà2m/s,ilnedépassepas0.012pourunepierrenesedéplaçantqu’à0.1m/s.Lasurfacedel’assiettedelapierreadoncégalementuneinfluencesurlecoefficientdefrottementaveclaglace.Ladernièreexpériencemontreladifférenceauniveaudelasurfaceencontactaveclaglace lorsque la glace est refaite et lorsqu’elle est “plate“, par exemple lorsqu’elle abeaucoupétéutilisée.Suruneglacerefaite,c’estenviron1%delasurfacedel’assiettequiestencontactaveclaglace.Pouruneglaceplate,cettesurfacepasseà5%delasurfacedel’assiette(fig.5).“ComparisonofIMUmeasurementsofcurlingstonedynamicswithanumericalmodel“[2]Cet article datant de 2016 nous présente des résultats expérimentaux quantitatifsconcernant la trajectoired’unepierrede curling.Afind’avoirdes résultatsplusprécisqu’en filmant la pierre, un système permettant de mesurer la rotation ainsi quel’accélérationde la pierre a été placé sur cette dernière. Grâce à cette accélération, lavitesseetlapositiondelapierreontégalementpuêtretrouvées,lapositionfinaledelapierreayantétémesurée.Cesrésultatsontétécomparésàunmodèledéjàexistantetquiutilisaitlathéoriedebaseconcernantlefrottement,doncneprédisaitaucunmouvementlatéral.Néanmoins,cemodèleprédisaitladuréedumouvementdelapierre,salongueur,ainsiquel’évolutiondesarotationdemanièrerelativementprécise.Plusieursélémentsintéressantspeuventêtretirésdecetarticle,bienqu’ilsecontentedeprésentercesrésultatssansproposerdemodèleconcretlesexpliquant.Lesrésultatslesplusintéressantssontlessuivants.Toutd’abord,concernantlarotationdelapierre,lemodèleutiliséprédisaitunetrèslégèrediminutiondelavitessederotationtoutaulongdelatrajectoireavecunechutedecettevitesseàlafin.Lesrésultatsmontrentbiencettechuteàlafin,maisladiminutionaucoursdelatrajectoiresefaitparà-coup,avecmêmedes moments où cette vitesse augmente. De plus, la diminution tout au long de latrajectoiredelavitesseestplusimportantequecequiétaitpréditparlemodèle,cequidonnelieuàlaconclusionquelesimplefrottementn’expliquepascettediminutiondelavitessederotation,etqu’ilyadoncunautre“phénomène“quiseproduitentrelaglaceetlapierre.L’évolutiondelapositiony(longueurdelapierre)etdesavitesseycorrespondentbaumodèleutilisé,modèlequiprédisaitunediminutionplusrapidede lavitesseen findetrajectoire.Commementionnéprécédemment, lemodèleutiliséneprévoyaitaucundéplacementlatéral,utilisantlathéoriedebaseavecuneforcedefrottementrépartieégalemententrel’avantetl’arrièredelapierre.Lesrésultatsdel’expériencenousmontrentautrechose.Plusieursobservationsontétéfaitesdansl’articleconcernantcedéplacementhorizontal.Dansunpremiertemps,lavitesselatéraleestextrêmementfaible,del’ordrede0.01m/s.Après environ 8 secondes, cette vitesse latérale augmente rapidement, puis pluslentement,pourarriverà0.1m/senviron.Elleresteàcettevaleurpendantenviron7secondes,puisdiminueànouveau.Cettedernièrediminutionsedérouleentroisphases.Lorsdelapremière,lavitessediminuefortement,dansladeuxième,sadiminutionsefaitpluslentementetenfin,dansladernière,lavitessediminueànouveaufortement.

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Uneautreobservationconcernelerapportentreladuréedumouvementdelapierre,son déplacement latéral et sa longueur parcourue. Les trois sont liés, à savoir qu’unepierredont le temps jusqu’à l’arrêtestplus importantauraparcouruuneplusgrandedistanceen longueuretauraeuunplusgranddéplacement latéral.Sontégalementenrapport entre eux la vitesse de rotation au départ de la pierre et le nombre total derotations effectuées par la pierre jusqu’à son arrêt. Plus la vitesse de rotation estimportante,pluslapierreeffectueradetourslorsdesatrajectoire.“Assignmentsandprogressofcurlingstonedynamics“[7]La première partie de cet article, publié en 2016, résume les théories d’articlesantérieurs se rapportant à la trajectoire de la pierre. Dans une deuxième partie, lesrésultatsd’unsondageeffectuésurhuitantecurleursdedifférentsniveauxauJaponsontprésentés,maisnepermettentpasréellementdetirerdeconclusion.Onpeutnéanmoinssoulignerque93%descurleursinterrogésdisentqueladistancedecurln’augmentepasaveclalongueurdelapierre.Latroisièmepartieestplusintéressantecarellemontreladistancedecurlobtenueenfonctiondunombrederotationseffectuéesparlapierresurl'ensembledesatrajectoire.Sur un premier graphique, on voit que la distance de curl est largement supérieurelorsque la pierre a un nombre élevé de rotations (plus de 50). Néanmoins, dans lapremièrepartiedugraphique,àmoinsde10rotations,ladistancedecurlatendanceàdiminuer lorsque le nombre de rotations augmente. Cette observation n’est pasclairementexpriméedansl’article,quisecontentededirequede0à10tours,larelationentrenombredetoursetdistancedecurln’estpastrèsclaire.Undeuxièmegraphique(fig.7) montre à nouveau ladistancedecurlenfonctiondunombre de rotations, maisuniquement pourdes pierresnefaisantpasplusde11tours.Onvoitalorsclairementqueladistance de curl diminuelorsque le nombre de toursaugmente. Selon les calculseffectués, une pierrediminuerait sa distance decurl de 4.4 à 8 cm par toursupplémentaire, cette valeurpouvant varier selon lesmesuresprises,doncenraisondelaqualitédelaglace.Cetteobservation est mentionnéecommenepouvantêtreeffectuéequ’avecdesinstrumentsdehauteprécision,etnonàvued’œil,alorsquecefaitest,dumoinsenSuisse,déjàconnuetparailleursmentionnédanslapartie"connaissancesissuesdelapratiquedecurleur".On peut encore remarquer que les deux mesures prises avec le plus de rotations(environ10tours)sesituentau-dessusdelacourbedetendance,etquelespierresontdonccurléplusqueprévu.Ilpeuts’agirdedébutd’unetendanceàd’augmentationdela

Fig.7dépendancedeladistancedecurlaunombrederotationeffectuéesparlapierrependantsatrajectoire

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distancede curl avec l’augmentationdunombrede tours, commevu sur le graphiqueprécédent.Enfin, un dernier graphiquemontre le ratio de curl C (distance de curl divisé par ladistanceparcourue)enfonctiondelavitessedelapierre,avectroissériescorrespondantàdesvitessesderotationdifférentes.PourlecalculdeC,unedistancelongitudinalede0.5m a été considérée. Plus la vitesse est faible, plus le ratio est élevé. Pourdes vitessessupérieuresà1.5m/s,onseretrouvemêmeavecdesratiosnégatifs,del’ordrede-0.002,cequireprésenteunedistancedecurlde-1mm,et ilmeparaîtpeuprobablequel’onpuissearriveràunetelleprécision.Onnevoitparcontrepasvraimentdeconstanceentrelesdifférentesvitessesderotation,etcecipeut-êtreparcequecesvitessescomprenaientuntropgrandintervalle(1rad/s).Malgrécesdifférentspointsnégatifsconcernantcetarticle,ilenrestetoutdemêmedupositif,notammentledeuxièmegraphique,quimontreclairementunefaiblediminutiondeladistancedecurlavecl’augmentationdunombrederotationspourunnombretotaldetourscomprisentre1et11.“Comment on the asymmetrical friction mechanism that puts the curl in the curlingstone“[6]Cet article de 2015 apporte des éléments contredisant l’article “The asymmetricalfrictionmechanismthatputscurlsinthecurlingstone“.Lepremierélémentestqu’unepierredecurlingplacéesurunanneaumétalliquecurl,alorsquecederniernefaitpasdemarquesurlaglace.Ledeuxièmeélémentestlefaitqu’aucunecomparaisonn’aétéfaiteentrelesrésultatsd’expériencedéjàprésentésdansdesarticlesetcettenouvellethéorie.Le troisièmepointdénonce l’absenced’équationdéfinissant la trajectoirede lapierre,tellequeladistancedecurlenfonctiondutemps,lavitesseenfonctiondutemps,etc.Lesdeuxderniersélémentssontlesplusintéressantscarilsmontrentlesconséquencesqu’auraitcettethéoriesurunepierredecurling,enétudiantdeuxcas.Lepremiercasestceluioùtouteslesmarquesimpriméesparlapierreàlaglaceontuneffetsurunenouvellepierre. Dans ce cas, des marques pouvant être successivement orientées dans desdirectionsdifférentes,onpourraitobserverdespériodesoù lapierrezigzague,oùelledévieunpeusurlagauchepuissurladroite.Ceteffetn’estpasobservéaucurling.Lesecondcasestceluioùuniquementlesmarques“fraîches“,c’est-à-direquin’ontpasencoreététraverséesparunepierre,ontencoreuneinfluence.Danscecas,lorsqu’unepremièrepierreest jouée, lapartiearrièredelapierrecréedesmarquesfraîches.Unesecondepierrejouéeidentiquementàlapremière(mêmevitesseinitiale,mêmepointdedépart, même direction et même vitesse de rotation initiale) serait affectée par cesmarques,etdevraitdoncmoinscurler.Cettedifférencededistancedecurldevrait,seloncertainscalculs,êtredel’ordrede0.1m.Or,deuxpierresjouéesidentiquementarriventaumêmeendroit.Lesmarques laisséesparunepierreprécédemment jouéeayant, selon la théoriedesmarques, forcémentun impactsurunepierreultérieure, lesmarquesnedisparaissantpas,onseretrouveforcémentdansundesdeuxcasmentionnésprécédemment,avecunethéoriequicontreditlesobservations.Pourcesraisons,lathéoriedesmarquesnepeutpasêtrelacauseducurldelapierre.

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“Calculatedtrajectoriesofcurlingstonesslidingunderasymmetricalfriction:validationofpublishedmodels“[3]Cetarticle,datantde2012,nousprouvequ'unedifférencedefrottemententrel’avantetl’arrièredelapierrenepeutpasexpliquerlatrajectoiredelapierre.Pourcela,unmodèlenumériqueestdonné.Lemodèlenumériquedivisel'anneaudecontactdelapierreensecteursdemêmetaille,aunombrede900danslecasdel’article.Unesuited’équationsimpliquantlavitesseducentredegravitédelapierre,savitessederotation,sonmomentd’inertie,ainsiquelecoefficient de frottement est donnée. Ces équations permettent tout d’abord dedéterminerlaforcedefrottementpourchaquepartie,puisdedéterminerunpointdelatrajectoireàpartirduprécédent,avecentrelespointsunintervalledetempsprédéfini.Pour les calculs, le coefficientde frottement est considéré comme indépendantde lavitesse,bienquecenesoitpaslecasdanslaréalité.Lescalculseffectuéssontlessuivants:onconsidèrelecoefficientdefrottementcommeayantunevaleurmoyenne(ici0.0093).Cecoefficients’appliquededeuxmanières:unepremièremoitiédececoefficientestrépartieégalemententrechaquepartiedelapierre.Lasecondemoitiédececoefficientestrépartieuniquementsurunefractiondelapierresituée à l’arrière.Dans le cas de l’article, les calculs ont été faits en répartissant cettedeuxièmemoitiéducoefficientsurlamoitiédelapierrelaplusàl’arrière,lequartdelapierreleplusàl’arrièreetleseizièmeleplusàl’arrière(ils’agitdetroissériesdecalculdifférentes).Lesdistancesdecurlobtenuesainsinecorrespondentpasàcequ’onobserveau curling, elles sont trop faibles. De plus, on observe dans ce modèle une fortedépendancedeladistancedecurlàlavitessederotationinitiale,cequiestànouveaucontradictoireaveclesobservationssurglace.Descalculssimilairesontétéeffectuésenconsidérantquetoutlefrottements’effectuaitsuruneportiondel’arrièredelapierre,lesmêmesquepourlespremierscalculs,avectoujoursunfrottementmoyenégalà0.0093.Lesrésultatssontsimilairesauxpremiers,àsavoirdesdistancesdecurltropfaibles,bienquesupérieuresàcellesobtenuesaveclespremierscalculs,etunefortedépendanceàlavitessederotationinitiale.Ces séries de calculs ont également été réalisées en considérant la dépendance ducoefficientdefrottementàlavitesse.Lesrésultatssontsimilaires,avecdesdistancesdecurllégèrementinférieures.Enraisondesdifférencesobservéesentrelemodèleprésentéetcequisedéroulesurlaglace,unesimpledifférencedefrottemententrel’avantetl’arrièrenepeutpasexpliquerlecurldelapierretelqu’ilestvisiblesurlaglace.Unautremécanismedoitdoncavoirlieupourexpliquercephénomène.“Dynamicsandcurlratioofacurlingstone“[4]Danscetarticlepubliéen2013,unenouvellethéoriesurlatrajectoired’unepierredecurling est expliquée. Cette théorie se base sur deux principes. Le premier estl’évaporationquis’exerceàlapointedupebbleetquiapourconséquencedediminuerlatempératureaumomentoùpassel’arrièredelapierre.Lecoefficientdefrottementétantplusélevélorsquelaglaceestplusfroide,ils’ensuituneasymétriedanslefrottementetunedéviationlatérale.

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Le secondestdû à l’abrasivitéde lapierre. L’avantde cettedernière “enlèverait“depetitsmorceauxdeglace,quiviendraitaugmenterlecoefficientdefrottementàl’arrièredelapierre.Cesecondprincipeesttrèsaléatoire,etdoncdifficilementquantifiable.Lesrésultatsprésentésdansl’articlenecorrespondentpasauxobservationsfaitessurlaglace,avecnotammentunegrandedépendancedeladistancedecurlà lavitessederotation,desdistancesdecurlplusfaiblesquecellesobservées,uneffetdubalayagequine correspond pas à la réalité - ce dernier augmentant la longueur de la pierremaiségalement la distance de curl dans l’article, alors qu’il diminue la distance de curl enréalité - et une évolution de la distance de curl avec le temps non-conforme auxobservations,cettedernièren’augmentantqu’àlafindelatrajectoirealorsqu’onobserveuneforteaugmentationdeladistancedecurlaumilieudelatrajectoiresurlaglace.Pourtouteslesraisonsmentionnéesdansleparagrapheprécédent,lemodèleprésentédanscetarticlenepeutpasexpliquerlesraisonsdeladéviationdelapierredecurling.“Pivot-slidemodelofthemotionofacurlingrock“[1]Cet articlede2016nousprésenteunnouveaumodèleexpliquant la trajectoirede lapierredecurling.Cemodèlesediviseendeuxparties.Dansunpremiertemps,lapierreaune période de sliding, pendant laquelle elle suit une trajectoire rectiligne. Puis, ellepivote autour d’un point directement situé sous l’anneau de contact, ce qui a pourconséquence de modifier la direction de la vitesse de la pierre. Ces deux actions sedérouleraientenviron500foispendantl’ensembledelatrajectoiredelapierre.Cemodèleal’avantagedenepresquepasfairedépendreladistancedecurlàlavitessede rotation, tant que cette dernière est raisonnable (comme utilisée en match).Néanmoins,onobserveunefortedépendancedeladistancedecurlàlavitesseinitialedelapierre.Dansl’article,uneconstante<f>estintroduite.Elleestégaleautempsdepivotdiviséparletempsdesliding.Afindeserapprocherdelaréalité,j’aifaitl’hypothèsequecettevaleurn’étaitpasconstantependant la trajectoirede lapierre,maisétait inversementproportionnelleàlavitesse.Ceseraitdûaufaitqueletempsdepivotestproportionnelautempsdecontactavecunpebble,doncinversementproportionnelàlavitesse.L’article ne tient également pas compte du fait que la force de frottement estinversement proportionnelle à la racine de la vitesse.Néanmoins,malgré ces lacunes,l’idéedebaseestintéressante,etlesrésultatsobtenusaveccemodèlesontprochesdeceuxobtenussurlaglace.Lacausedecepivotn’estpasencoreconnue,maisdeshypothèsessontprésentéesdansl’article.Unfrottementadhésifsurlapartiedelapierreaveclapluspetitevitessedueàlarotationpourraitenêtrelacause,cettepartieétantégalementcelleoùlefrottementestleplusimportant.L’articlementionneaussiquecepivotpourraitêtreunecauseprincipaleducurl,maisnepasêtreleseulphénomèneagissantsurlapierre.

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3.3ConnaissancesissuesdelapratiquedecurleurVoicidifférentspointsquel’onpeutobserverlorsqu’onjoueaucurling:• Distancedecurlenfonctiondunombrederotationseffectuéesparlapierre

Sur la plupart des glaces, afin qu’une pierre curle de 1.2mètre, celle-ci doiteffectuerdetroisàquatretourssurelle-mêmesurl’ensembledesatrajectoire.Onremarquequesilapierreeffectuemoinsderotations,parexempleentreuneet deux uniquement, sa distance de curl va augmenter. De plus, elle auragénéralement tendanceà allermoins loinqu’unepierre jouéede sortequ’elleeffectueentretroisetquatrerotation,aveclamêmevitesseinitiale.Al’inverse,une pierre effectuant entre cinq et six rotations verra sa distance de curldiminuer.Néanmoins, lorsqu’onimprimeunetrèsforterotationàlapierreetquecettedernière effectue plusieurs dizaines de tours, elle aura une distance de curlconsidérable,maiscecurlnes’effectueraquependantlesderniersmètresdesatrajectoire.

• EffetdubalayagestandardBienquejenem’intéressepasaubalayagedansmontravaildematurité,ilmesembleintéressantd’apporterquelquesélémentsquipermettrontpeut-êtredemieuxcomprendrecomment lapierreeffectuesa trajectoire,etcemêmesansêtrebalayée.Traditionnellement,lebalayagepermetdeuxeffetssurlapierre:augmenterlalongueurdelapierreetdiminuersadistancedecurl.Enbalayant,lefrottemententre la brosse et la glace augmente la température de cette dernière, sanstoutefoisdépasserlezérodegréCelsius.Onadonctoujoursuncontactpierre-glace,etnonpierre-eaucommecelaavaitétéditparlepassé.Lapierreallantplusloinlorsqu’onbalaie,onpeutendéduirequelecoefficientdefrottementpierre-glacediminue,etdoncquepluslaglaceestchaude,pluscecoefficientestpetit.

• EffetdubalayagedirectionnelIl y a deux ans, une nouvelle technique de balayage est apparue, appelée"balayage directionnel". Cette technique fonctionne principalement avec lesbalaisàpoils,ouaveccertainesbrossesplusabrasives.Grâceàcetteméthode,lebalayage permet de diminuer de manière plus importante, mais égalementd’augmenterladistancedecurl,sansavoirunegrandeinfluencesurlalongueurdelapierre.Aveccettetechnique,desmarquessontfaitesdanslaglaceetvontdirigerlapierre,enladéviantdanslesensdanslequelellessontfaites.

• PebblefraisLorsque le glace vient d’être préparée, et encore plus lorsqu’elle n’a pas étécoupée, on remarque une importante différence au niveau de la vitesse entredeuxpierresjouéessuccessivementsurunemêmeligneetprenantdonclamêmetrajectoire.Lapremières’arrêterabeaucoupplusvitequelesecondesilesdeuxsontlancéesaveclamêmevitesseinitiale.Deplus,onobservequelespierresontdesdistancesdecurlinférieuressuruneglaceneuvequesuruneglaceayantétécoupéeet/oujouée.

• GlaceplateLorsque la glace est “plate“, c’est-à-direque laquantitédepebble adiminuéconsidérablementenfindepartie,onobservedeuxchoses.Toutd’abord,laglaceestpluslente,lecoefficientdefrottementestdoncplusimportant.Secondement,ladistancedecurldelapierreaugmentedemanièreconsidérable.

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• PierresanscurlLorsqu’unepierreestjouéesansqu’onluidonneunerotation,ellevaenprendreuneelle-même.Ilestdoncimpossibledefaireallerunepierretoutdroitesurunelonguedistance.

• PierresneuvesLorsque lespierressontneuves,ellesont tendanceàmoinscurlerainsiqu’àflotter,c’estàdirequ’onn’arrivepasàdétermineràpartirdequelmomentellesvontcommenceràcurlerplus.Aufuretàmesurequecespierressontutilisées,ellesdeviennent“normales“,etcurlentcommeàl’accoutumée.

• Tempsdeparcoursd’unepierreSuivantlaqualitédelaglace,letempsdeparcoursd’unepierre(delapremièrehoglineàl’arrêt)varieentre22et25secondes(pourunepierres’arrêtantsurlateeline).Letempsdeparcoursentrelesdeuxhoglinessesitueentre13et15secondespourunepierres’arrêtantsurlateeline.

• Trajectoired’unepierreLa trajectoire d’une pierre de curling ne contient pas de point d’inflexion, lavitessedelapierreesttoujoursdumêmecôtédelatrajectoire.

• DifférenceentrelespierresDeuxpierresdifférentespeuventnepasréagirdelamêmemanière.Certainespierres curlent plus oumoins que d’autres. La qualité de la pierre a donc unimpactsursatrajectoire.

3.4DéductionsthéoriquesSur une pierre de curling en mouvement,troisforcess’appliquent: laforcedegravité,la forcede soutienet la forcede frottemententre la glace et l'anneau de contact de lapierre.Enconsidérantquelapistedecurlingestplane, les forcesdegravitéetdesoutiens’annulent. La seule force pouvant êtreresponsabledelatrajectoiredelapierreestdonclaforcedefrottement.Delaforcedefrottement,onsaitqu’elleestopposéeàlavitesse.Sil’onconsidèrechacundes points de l’assiette en contact avec laglace,lavitesseestlasommedelavitessedela pierre avec la vitesse de rotation à cettedistance-làducentre.C’estàcettevitesse-làquelaforcedefrottementestopposée.Pourn’expliquer la déviation de la pierre (curl)qu’aveclaforcedefrottement,ilfautquecettedernièresoitplusimportantedansles180°àl’arrièredelapierrequedansceuxàl’avant.Pour que la force de frottement soit plusimportante,ilfautsoitquelaforcedesoutiensoitplusimportante,soitquelecoefficientdefrottement soit plus élevé. Etant donné quepourtoutobjetentranslationsurunesurfacehorizontale,commeunebouledebillardou

Fig.8distributiondesforcessurl’anneaucontact,avant-arrière.Lesvecteursnesontpasàl’échelle.

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un verre que l’on pousse, la force de soutien est plus importante à l’avant, il est peuprobablequ’onassisteà l’inverseavecunepierredecurling.D’où ladéductionque lecoefficientdefrottementestplusimportantàl’arrièredelapierre(fig.8)Pourlafig.8, j’aiutiliséuneforcedefrottementdeuxfoisplusgrandeàl’arrièrequ’àl’avant.Onpeutvoirquelasommedesdeuxforcespossèdeunecomposanteselonx,cequiimpliquequel’accélérationdelapierre,quiestdanslamêmedirectionetlemêmesensquelasommedesforces(voirthéorie,notionthéoriquesdebase,loideNewton),possédera elle-aussi une composante x, et donc que la pierre déviera. Dans ce cas, larotationestdanslesenshoraire,etladéviationestdoncorientéeversladroite.Symbolesdelafig.8

𝑉𝚤III⃗ :vitesse du point I en [𝑚 𝑠⁄ ]𝑉𝑥𝚤IIIIII⃗ :vitesse du point I selon x en [𝑚/𝑠]𝑉𝑦𝚤IIIIII⃗:vitesse du point I selon y en [𝑚/𝑠]𝑉𝚥IIII⃗ :vitesse du point J en [𝑚/𝑠]𝑉𝑥𝚥IIIIII⃗:vitesse du point J selon x en [𝑚/𝑠]𝑉𝑦𝚥IIIIIII⃗ :vitesse du point J selon y en [𝑚/𝑠]𝑉𝑔IIIII⃗ :vitesse du centre de gravité en [𝑚/𝑠]𝜔:vitesse de rotation en <𝑟𝑎𝑑 𝑠? @𝐹𝑓𝚤IIIIII⃗ :force de frottement au point I en [𝑁]𝐹𝑓𝑥𝚤IIIIIIIII⃗:force de frottement au point I selon x en [𝑁]𝐹𝑓𝑦𝚤IIIIIIIII⃗ :force de frottement au point I selon y en [𝑁]𝐹𝑓𝚥IIIIII⃗:force de frottement au point J en [𝑁]𝐹𝑓𝑥𝚥IIIIIIIII⃗ :force de frottement au point J selon x en [𝑁]𝐹𝑓𝑦𝚥IIIIIIIII⃗:force de frottement au point J selon y en [𝑁]

Pourexpliquerunedifférencedanslecoefficientdefrottement,ilfautquelanaturedeséléments en contact semodifie, ou que le frottement n’ait plus lieu entre lesmêmesmatières.Ilsepourraitdonc,commecelaestmentionnédanscertainsarticles,qu’undesfrottementssoitunfrottementglace-glace,etnonpierre-glace.Uneautrepossibilitéestunedifférencedetempératureentrelemomentoùl’avantdelapierrepasseetceluioùpassel’arrière.Unedernièrepossibilitéestunedifférencedueaupebble,quiadéjàété“abîmé“parlepassagedel’avantdelapierrelorsquel’arrièrepasse.Pour la différence de température, le point “effet du balayage standard“ de la partie«connaissanceissuesdelapratiquedescurleurs»vaàl’encontred’unedéviationtellequ’onlevoit.Eneffet,lepassagedel’avantdelapierrepourrait,enraisondufrottement,rehaussertrèslégèrementlatempérature.Maislahaussedelatempératuredelaglace,quiestdueàl’effetdubalayage,apourconséquencedediminuerlefrottemententrelapierreetlaglace.Unedifférencedetempératuredanscesensauraitdoncl’effetinversesurlapierre.Quant au pebble, le point “pebble frais“ vient également s’opposer à une force defrottementsupérieureàl’arrière-lapartiearrièrepassantsurdupebbledéjàuséetdoncplusrapide-doncàladéviationdelapierretellequ’elleestconnue.Siladéviationestdueàunfrottementplusimportantàl’arrièredelapierrequ’àl’avant,ilnerestedoncplusquelamodificationdufrottementavecunfrottementglace-glaceetnonpaspierre-glace.

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3.4.1 Différence de frottementgauche-droiteS’ilexisteunedifférencedefrottemententre lapartiegauchede lapierreet lapartiedroite,maispasentrelesmoitiésavantetarrière,alorscettedifférencenepeutpasexpliquerlatrajectoire.Eneffet,si l’on somme les forces de frottementprésentesenchaquepoint,etceavecunedifférence de coefficient entre la partiegauche et la partie droite, la résultanteserauneforceparallèleàlavitessedelapierre,cequisignifiequecettedernièredevrait suivreune trajectoire rectiligneavec uniquement une diminution de savitesse(fig.9).Une telle différence de frottementpourraitdoncexister,maisneseraitpasla cause de la trajectoire courbéede lapierre.Symbolesdelafig.9

𝑉𝚤III⃗ :vitesse du point I en [𝑚 𝑠⁄ ]𝑉𝚥IIII⃗ :vitesse du point J en [𝑚 𝑠⁄ ]𝑉𝑔IIIII⃗ :vitesse du centre de gravité en [𝑚 𝑠⁄ ]𝐹𝑓𝚤IIIIII⃗ :force de frottement au point I en [𝑁]𝐹𝑓𝚥IIIIII⃗:force de frottement au point J en [𝑁]𝜔:vitesse de rotation en <𝑟𝑎𝑑 𝑠? @4.Méthodeexpérimentale

4.1MesuresAfin de prendre des mesures significatives, laglaceaétépréparéeavantquelespierresnesoientjouées. Le pebble a été refait puis coupé, commecelaavaitétéfaitlorsdesmesuresprésentéesdanslesdiversarticles.Plusieurs types de vidéos ont été prises. Lepremier typedevidéosapourobjetunerotationsurelle-mêmedelapierre,sansdéplacement.Cesvidéos permettent d’observer le frottementagissant sur la pierre lorsque tous les points encontactaveclaglacepossèdentlamêmevitesse.La

Fig.9distributiondesforcesgauche-droite.Lesvecteursnesontpasàl’échelle.

Fig.10schémavidéodetype1

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caméra filmant par lehaut, on peut ainsifacilementvoirlapositionde la poignée etdéterminer larotationdelapierre(fig.10).Le deuxième type devidéos (fig. 11) permetd’observerlapositionydelapierre.Desrepèresontété placés le long de lapiste à des intervallesprécis.Lacaméran’estpasfixeetsuitlapierre,enessayantd’êtreaumêmeniveauqu’elle.Lacamérafilmantdepuislecôté,onpeutainsivoirlapierreetlesrepèresetdéterminerlorsqu’ilssontalignés.Lestroisièmes(fig.12)etquatrièmes(fig.13)typesdevidéospermettentdedéterminerladistancelatéraledelapierreenprenantlacenterlinecommepointderepère.Unefois,les vidéos ont étéprises par l’arrière,ensuivantlapierre,et l’autre, parl’avant, avec unecaméra fixe à unbout de la piste, etenutilisantunzoompouravoirlapierreenplusgrandsurl’image.Lesdeuxième,troisièmeetquatrièmetypesdevidéoontégalementserviàdéterminerla rotationde lapierre, la poignée, qui a servi à cettedétermination, étant visible surchaquetypedevidéos.Afindepouvoirdéterminerlapositiondelapierre,ilfautqu’unevidéopourlalongueur(2etype)etunepourlalargeur(3eet4etype)soientprisesenmêmetemps,ilestdoncnécessaired’avoirdeuxcaméras.Le point de visée pris pour jouer les différentes pierres n’a pas été le même, afind’observerdestrajectoiresdifférentes.Certainespierresontétéjouéesdel’extérieurversl’intérieur,etd’autre,àl’inverse,del’intérieurversl’extérieur.Certainespierresontétéjouéesavecune rotationdans le sensdesaiguillesd’unemontre, etd’autresavecunerotation antihoraire, afinque les trajectoires despierres couvrent la plusgrandesurfacepossibledelapiste.Touteslespierresjouéesl’ont été en longueur, carc’est surce typedepierrequel’onobservelemieuxl’effetdecurl.Ladistancedecurld’unepierre,aumomentoùelle franchit la back line (elle est donc encore enmouvement), est plus faible que ladistancedecurld’unepierrequis’estarrêtéeplustôt.Surunepierrequines’arrêtepas

Fig.11schémavidéodetype2,vued'en-haut

Fig.12schémavidéodetype3,vuedeprofil

Fig.13schémavidéodetype4,vuedeprofil

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danslasurfacedejeu,ladistancedecurl,aumomentoùlapierrequittecettedernière,estinférieureàcelled’unepierres’étantdéjàarrêtée.Lorsdesmesures,lediamètredelapierre,ainsiqueceluidel’anneauencontactaveclaglace,ontétémesurés.Lalargeurdecetteassiettel’aégalementété.

4.2AnalyseTouteslesvidéosontétéanalyséesaveclelogicielLoggerPro®3.LesgraphiquesontétéfaitsavecExcel.Pourchaquetypedevidéos,ilfautd’abordl’ouvrirdansLoggerPro®3,puisl’analyserselonlesmarchesàsuivresuivantes.4.2.1Vidéoavecuniquementlarotationdelapierresurelle-même(type1):1. Avancerdanslavidéojusqu’àcequelapierresoitarrêtée.Acemoment-là,déplacer

le centredes axesde coordonnées au centrede lapierre, puisplacerdespoints àdiversendroitssurlepérimètredelapierreafindevérifierqu’ilssoientbientousàlamêmedistancedel’origine,etdoncquecettedernièresoitbienlecentredelapierre.

2. Reveniraudébutdelavidéo,aumomentoùlezoomaétérégléetdoncnebougeplus.3. Lepointderepèreàprendresurlapierreestlapoignée,celle-ciétantbienvisible.Sur

chaqueimage,marquersapositionàl’aideducurseur.4. Répéterl’opérationjusqu’àcequelapierren’aitplusderotationsurelle-même.5. Reporterlesvaleursx,yetdetempsdansExcel.6. Al’aidedesvaleursxety,onpeutobtenirlecosinusdel’angleforméentrelepoint

marqué,l’origineetl’axeOx.Soitßcetangle.Ona: 𝑥/�(𝑥> + 𝑦>) = cos 𝛽7. Grâceàlafonctionarccosinus,transformercecosinusenunangleentre0etπ.8. Afind’obtenirunangleentre–πetπ,ilfautregarderlavaleury.Sielleestpositive,

alorsl’angleleseraaussi,etsielleestnégative,ilfauttransformerl’angletrouvéßen–ß,quiseral’anglecorrespondant.Celapeutêtrefaitenmultipliantßpar|y|/y.Eneffet,siyestpositif,alorsßseramultipliépary/y,donc1etnechangerapas.Siparcontre, y est négatif, alors ßseramultipliépar –y/y, doncpar -1,et l’onobtiendradanslesdeuxcasl’anglevoulu.

9. Afin de pouvoir par la suiteobtenir une colonne avec lavitessederotation,créerunecolonne∆t,avec ladifférencede temps entre deux pointssuccessifs.

10. Créerunecolonne∆ß,avecladifférenced’angle entre deuxpointssuccessifs.Etantdonnéquelesanglessesituententre–πetπ,àchaquefoisquel’onpassed’unevaleurprochedeπ à une valeur proche de –π(oul’inversesuivantlesensderotation), il faut ajouter 2π à∆ßafind’avoir lavraiedifférenced’anglepositiveentre lesdeuxpoints.Pourcela,

Fig.14analysed'unevidéodetype1

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introduirelafonctionsuivante,où∆ß’estlavaleurpositiveetjustede∆ß:∆𝛽’ = ∆𝛽 +2𝜋((|Δ𝛽|/∆𝛽)(−0.5) + 0.5)Ainsi, si∆ßestpositif, |∆ß|/∆ß=1et((|∆𝛽|/∆𝛽)(−0.5) + 0.5) = 1(−0.5) + 0.5 = 0,donc∆ß’=∆ß.Par contre, si ∆ß est négatif, et qu’il faut donc lui ajouter 2π, on a |∆ß|/∆ß=-1 et((|∆𝛽|/∆𝛽)(−0.5) + 0.5) = (−1)(−0.5) + 0.5 = 1donc∆ß’=∆ß+2π.Bienquel’explicationsoitlongue,l’insertiondecetteformulepermetd’évitertouteerreurencorrigeantmanuellementlesvaleursnégatives.

11. Unefoisquel’onpossèdelescolonnes∆tet∆ß,créerlacolonnevitessederotation(enrad/s)telque:v=∆ß/∆t.

12. Créer une dernière colonne avec l’angle parcouru par la poignée depuis le départ(pourlapremièrevaleur,c’estégalà∆ß,puis,c’estégalàl’angleparcourudepuisledépartjusqu’aupointprécédentplusle∆ßdecepoint).

13. Créerenfinlesdeuxgraphiques:lepremieraveclavitessederotationenfonctiondutemps,lesecondavecl’angleparcourudepuisledépartenfonctiondutemps.

4.2.2Vidéopourlalongueurdelapierre(type2):1. Noterletempslorsquelapierrepasselapremièrehogline.2. Noter le temps lorsque la pierre est alignée avec le premier repère. Répéter

l’opération avec chaque repère. La deuxième hog line ainsi que d’autresmarquesprésentessurlaglace(marquepourladoublette,teeline,cerclesdelamaison,backline)peuventégalementêtreutiliséescommerepères.

3. Lorsquelapierreestarrêtée,déterminersalongueurfinaleenprenantlediamètredela pierre comme échelle, et en utilisant la fonction permettant de déterminer lalongueurentredeuxpoints,icientrelapierreetunrepère,lesdeuxsetrouvantsurunemêmeparallèleàlacenterline,afinquelalongueurnesoitpasdéforméeparuneffetdelavidéo.

4. Lesvaleursde tempsétant reportéesdansExcel, créerune colonneavec le tempsdepuisquelapierreapassélahogline,doncensoustrayantcetemps-làautempsdelavidéo.

5. Créerunpremiergraphiqueavecladistanceparcourueenfonctiondutemps.Sidesrepèresdéjàprésentssous la glace ont étéutilisés (lignes, mar-ques doublettes,…),leuréloignementpeutêtre trouvé dans lesrèglements deswisscurling.[9;10]

6. Créerlescolonnes∆t,∆longueur,puisgrâceà ces dernières créerlacolonnevitesse.

7. Créer une colonnetemps intermédiaire,où, pour une lignedonnée, le tempsintermédiairecorrespondàlamoyennedutempsdecettemesureetdelaprécédente.Enpartantduprincipeque lavitessedécroit linéairement,alors lavitessecalculée

Fig.15analysed'unevidéodetype2

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étantlamoyenneentredeuxpoints,elledoitégalementcorrespondreàlavitesseautempsintermédiairedecesdeuxpoints.Onpeutdoncensuitecréerlegraphiqueaveclavitesseenfonctiondutempsintermédiaire.

8. Afind’illustrer cequedevraitdécrire cettevitesse, releverunevitesse légèrementsupérieureàcelledupremiertempsintermédiaireetluifairecorrespondreletemps0.Fairecorrespondrelavitesse0autempsdeladernièremesure,lorsquelapierreétaitarrêtée.Insérercesdeuxpointsdanslegraphiquefaitaupoint7etlesrelier.

4.2.3Vidéopourlalargeurdelapierre(types3et4):1. Si la vidéo n’est pas en correspondance avec une vidéo de longueur, effectuer les

opérationssuivantesenprenantdestempsquelconques,parexempleàuneseconded’intervalle.Silavidéocorrespondàunevidéodelongueurprécédemmentanalysée,releversurcetteprécédentevidéolestempsdepuislepassagedelapierreàlahogline et les reporter dans le document Excel consacré à cette nouvelle vidéo.Déterminerletempsdepassageàlahoglineàl’aidedecettenouvellevidéo,ou,silahog line,n’estpassuffisammentvisible,relever le temps lorsque lapierres’arrête.Déterminergrâceàcelaladifférencedetempsentrelavidéoetlesvaleursprisesdel’analysedelavidéodelongueur,etcréerunecolonneaveclestempscorrespondantàlanouvellevidéo.

2. A chacun des tempsrelevés, déterminer ladistance entre le bord leplus proche de la centerlineetcettedernière.Pourcela,utiliserlalargeurdelapierrecommeéchelle.Silapierre n’est pas toujoursdumêmecôtédelacenterline, ne pas oublier demettre un signe "-" pourl’un des côtés. ReporterchaquevaleurdansExcel.

3. Créerunecolonneavecladistanceentrelacenterlineetlecentredelapierre.Pourcela,ajouter(ousoustrairesuivantlecôté)lamoitiédelalargeurdelapierre.

4. Créerlepremiergraphique,avecladistancelatéralenfonctiondutempsdepuisquelapierreapassélahogline.

5. Commepourlesvidéosdelongueur,créerlescolonnes∆t,∆distancelatéral,vitesselatérale,ettempsintermédiaire,puiscréerungraphiqueaveclavitesselatéraleenfonctiondutempsintermédiaire.

Silavidéolatéralecorrespondàunevidéodelongueur,c’est-à-direquelavidéolatéraleaétéfaiteenmêmetempsquelavidéodelongueur,quec’estlamêmetrajectoirefilméesurlesdeuxvidéos,reporterlesvaleursdelongueuretlargeurdansunmêmeclasseurExcel,etcréerungraphiqueaveclalargeurenfonctiondelalongueur.Afindepouvoirmieuxobserverlatrajectoiredelapierre,quiestreprésentéesurcegraphique,faireensortequeleséchellesxetysoientlesmêmes.Onpeutégalementaugmenterl’échelledelapositionlatéraleafindemieuxobserverlecurl.Lesdifférenteslignesdelapisteainsiquelescerclespeuventaussiêtreajoutéssurlegraphique.

Fig.16analysed'unevidéodetype3

-24-

Ungraphiqueavec lavitesse totalede lapierre (longueur+ largeurvectoriellement)peutégalementêtrefait,maisladifférencedenormeaveclavitessedelalongueurestsuffisammentfaiblepourêtrenégligeable,legraphiquen’apportedoncriendenouveau.

4.2.4Rotationdelapierreenmouvement(vidéosdetype2,3et4):1. Releverletempsaumomentdulâcher,lorsquepoignéedelapierreestparallèleàla

centerline.2. Achaquefoisquelapoignéedelapierresetrouveêtreparallèleouperpendiculaireà

lacenterline,releverletemps,etcejusqu’àl’arrêtdelapierre.Lorsquecettedernièreestarrêtée,estimerl’angleeffectuédepuisladernièrefoisquelapoignéesetrouvaitdansunedespositionsmentionnéesprécédemment.

3. ReporterlesvaleursdetempsdansExceletlesfairecorrespondreaunombredetourseffectuésdepuisledépart.

4. Transformercestoursenangleenradians.5. Créerunecolonneavecletempsdepuislapremièreposition,aumomentdulâcher.6. Créer un premier graphique avec l’angle effectué depuis le départ en fonction du

temps.7. Créerlescolonnes∆t,∆rad,vitessederotationettempsintermédiaire,puiscréerle

secondgraphiqueaveclavitessederotationenfonctiondutempsintermédiaire.5.Analysedesrésultats

Surtouslesgraphiquesprésentésdanscettepartie,onpeutvoirqueceuxexprimantuneposition sont plus précis que ceux avec une vitesse. Ce fait s’explique de la manièresuivante:lorsdesmesures,c’estlapositiondelapierrequiestmesurée,etquipossèdeunecertaineimprécision.Cetteimprécisionseretrouvesurlesgraphiques.Maissurlesgraphiquesdelavitesse,onutilisedeuxpositionspourdéterminerlavitesse.Onadoncdeuxfoisplusd’imprécisionsquepourlaposition.

5.1Vidéoavecrotationuniquement(type1)Surlesgraphiquesoùl’onalavitessederotationenfonctiondutemps,onremarquedeuxphases(fig.17).Danslapremière,onremarqueunegrandedispersiondespoints,montrantqu’unesourced’erreuraléatoireaeuuneinfluencesignificative(voirsourcesd’erreur,lorsdel’analyse,positiondelapoignéepourlesvidéosdetype1).Néanmoins,on observe que la vitesse a une tendance générale à diminuer linéairement. Dans lasecondephase, la sourced’erreurauneplus faible influence.Onpeutobserverque lavitessenedécroîtpluslinéairement,maisdiminuedeplusenplusvite.Or,sil’onseréfèreàlathéorie,laforcedefrottementquiagitsurlapierreesttoujourslamêmeetnedoitpasdépendredelavitesse.Unpointàl’extérieurdelapierredoitdoncsuivreunMCUA,avecuneaccélérationnégativequidoitêtreégalà la forcede frottementdivisépar lamasse(voirthéorie,notionsthéoriquesdebase,loideNewton).Cesgraphiquesmontrentquelaforcedefrottemententrelapierreetlaglacedépenddelavitessedelapierre,cequicontreditlathéoriedebase.

-25-

Cet effet, déjà mentionné dans certains articles, n’a cependant aucun effet sur lacourbure de la pierre. Lorsque celle-ci a un mouvement de translation, même si lesvitesses totales (vitessede translationplusvitessederotation)nesontpaségalesdesdeuxcôtésdelapierre,etprovoquentdoncunedifférencedefrottemententrecesdeuxcôtés,larésultantedesforcesdefrottementesttoujoursparallèleàlavitesse.Onestdans

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

vitessederotationen[rad/s]

tempsen[s]

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

angleen[rad]

tempsen[s]

Fig.17vitessederotationd’unepierresanstranslation

Fig.18angleparcourudepuisledépartpourunepierresanstranslation

-26-

lecasd’unedifférencedefrottementgauche-droite(voirthéorie,déductionsthéoriques,différencedefrottementgauche-droite).

5.2LongueurdelapierreCommementionnédanslaméthodeexpérimentale, lavitesselatéraledelapierreesttellement petite qu’on peut la négliger, la vitesse selon l’axe y sera donc considéréecommeétantégaleàlavitessetotale.Surlesgraphiquesoùl’onalavitesseenfonctiondutemps,lavitesseaétéassociéeàuntemps intermédiaire. Jevaisprésenterci-dessous leraisonnementplusapprofondiquimèneàcetteassociation.Lavitesseselonyétantconsidéréecommelavitessetotale, lavitessedelapierreestdonclamêmequesielleeffectuaitunetrajectoirerectiligne.Suivantlathéoriedebase,unobjetsoumisuniquementàuneforcedefrottement,commedanslecasdelapierre,pourlaquellelesforcesdegravitéetdesoutiens’annulent,etdontlatrajectoireestuneligne droite, suit unMRUA avec une accélération négative. Avec unMRUA, la vitessemoyenneentredeuxpointsAetBestégaleàlavitesseaupointC,telqueletempsenCest la moyenne des temps en A et B (voir théorie, notions théoriques de base,démonstration concernant le MRUA). Le temps en ce point C correspond au tempsintermédiairecalculéàpartirdeAetB.

Doncsilapierre,vitesselatéralenégligée,suitunMRUA,commeleveutlathéorie,lesvitesses sont ainsi correctement associées avec leur temps, et on devrait voir sur legraphiqueunediminutiondelavitessesuivantunedroite.Or,bienque lespointssemblentsuivreune lignedroite,avecquelquesaléasdusauximprécisions,onremarquequeladernièrevaleur,n’appartenantpasàlasériedepointsmais ayant été rajoutée après, et qui fait correspondre la vitesse0 avec le temps lors

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20

vitesseyen[m

/s]

tempsen[s]

évolutiondelavitessepourunMRUA mesure

Fig.19évolutiondelavitesseydelapierreetcomparaisonavecl’évolutionpréditeparunMRUA

-27-

duquel la pierre s’arrête, arrive systématiquement trop tôt, que la pierre aurait dûs’arrêter plus tard. (fig. 19) Afin d’observer encoremieux ce phénomène, une vitessecorrespondantapproximativementautemps0aétéajoutéesurlegraphiqueetreliéeàcette dernière valeur. Par rapport à cette droite, qui montre la vitesse qu’aurait dûposséderlapierresiellesuivaitunMRUA,onvoitquelespremièresvitessessonttantôtau-dessus,tantôten-dessous.Parcontre,lesdernièresvitessesavantl’arrêtdelapierresontsystématiquementau-dessus.CelamontrequelapierrenedécritpasunMRUA,quel’accélération qu’elle subit n’est pas constante, mais qu’elle diminue (étant négative)lorsquelavitessedelapierrediminue.Enconséquence,lestempsintermédiairesnesontplusexacts,mais ilsnousont toutdemêmeserviàdémontrerque l’accélérationde lapierre n’est pas constante. Ils s’approchent néanmoins du temps correspondant à lavitesse,principalementaudébutdelatrajectoiredelapierre,l’accélérationvariantpeuàcemoment-là.Cerésultatestlemêmequeceluiobtenuaveclesvidéoscomportantuniquementunerotationdelapierre,àsavoirquelefrottementsubitparlapierreaugmentelorsquesavitesse diminue. Néanmoins, bien qu’intrigant, ce fait ne peut expliquer la trajectoirecourbée de la pierre. (Voir théorie, déductions théoriques, différence de frottementgauche-droite)

SilapierresuivaitunMRUA,lecoefficientdevantx2serait,surlacourbedetendancedelafig.20,égalàlamoitiédel’accélération,celuidevantleégalàlavitesseinitiale,etlaconstante serait nulle, la pierre partant sur l’axe x, donc avec la position y=0. Or, onobservequelaconstanten’estpasnulle,etquelecoefficientdexn’estpasenaccordaveclavitesse initialeprésente sur la fig.19.Onadoncunepreuve supplémentaireque lapositionydelapierrenesuitpasunMRUA.

y=-0.0482x2 +2.26x+0.0912

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

positionyen[m]

tempsen[s]

Fig.20distanceyparcourueparlapierreenfonctiondutemps

-28-

5.3LargeurdelapierreAfindedéterminerladistancedecurl,leschercheursayantpubliédesarticlesavecdesrésultatsquantitatifsdeleursexpérienceutilisaient laméthodesuivante: ilsprenaientcomme vecteur directeur de l’axe y le vecteur de la vitesse initiale de la pierre, etmettaient l’axe x perpendiculairement à l’axe y. La distance de curl en tous pointss’exprimait alors comme la coordonnée x (en [m]) de ce point. Le problème de cetteméthodepourmesexpériencesestqu’il fautdéterminerprécisémentladirectiondelavitesseinitiale,chosedélicate.Doncmesrésultatssontprésentésunpeudifféremment:j’aiutilisélacenterlinecommeaxey,etuneperpendiculaireàlacenterline(lahogline)pourl’axex.Lesrésultatsconcernantladistancedecurlnesontdoncpassimilairesàceuxdesarticles,cequin’empêchepasd’entirerdesélémentsintéressants.Deplus,pourlespierressuivantunetrajectoireinterne-externe(del’intérieurdelapisteversl’extérieur),lavitesseinitialeétaitpresqueparallèleàlacenterline,lesrésultatsressemblentdoncàceuxdesarticlespourcespierres-là.Voicidonclesobservationsquel’onpeutfairedesgraphiquesavecladistancedecurlenfonctiondutempspourlespierresdontlavitesseinitialeétaitparallèleàlacenterline,doncpourlesquelleslatrajectoires’effectuaitdel’intérieurdelapisteversl’extérieur(fig.21). Au départ, la distance de curl n’évolue quasiment pas, elle reste stable. Puis, elleaugmente plus rapidement, de manière presque linéaire. A la fin de la trajectoire, ladistancedecurlévolueànouveaupluslentement.Cetteobservationestprochedecellefaitedans[2],exceptionfaited’unedifférenceaudébutdelatrajectoire.Danslesrésultatsdel’article,l’augmentationconsidérabledeladistancedecurldébuteaprès7secondesenviron.Dansmesmesures,cetteaugmentationapparaîtdéjàaprès3secondes.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 5 10 15 20 25

positionxen[m]

tempsen[s]

Fig.21évolutiondelapositionxpourunepierredontlavitesseinitialeestparallèleàl’axey(centerline)

-29-

Quantàlavitesse(fig.22),onvoitquelespointssontdispersés,maisontunetendanceàaugmenterdansunpremiertemps,puisàsestabiliserentre0.03et0.04m/s,avantde

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 5 10 15 20 25

vitessexen[m

/s]

tempsen[s]

-0.07

-0.05

-0.03

-0.01

0.01

0.03

0.05

0 5 10 15 20 25

vitessexen[m/s]

tempsen[s]

Fig.22évolutiondelavitessexd’unepierredontlavitesseinitialeestparallèleàl’axey(centerline)

Fig.23évolutiondelavitessexd'unepierredontlavitesseinitialen'estpasparallèleàl'axey(centerline)

-30-

redescendreentoutefindetrajectoire.Pourlesgraphiquesoùlavitesseinitialen’étaitpasparallèleàlacenterline,onvoitqueladistancex(onnepeutplusl’appelerdistancedecurl)augmentedansunpremiertemps,puis diminue (fig. 24). Sa diminution se fait demanière linéaire, sauf en toute fin detrajectoire,oùladiminutionestplusfaible.Lavitesse,elle,partenétantpositive,etdiminuedansunpremiertemps(fig.23).Ellesestabilisedanslesvaleursnégatives,icientre-0.05et-0.06m/s.Certainspointssonttout de même hors de cette zone, une dispersion significative ayant lieu. En fin detrajectoire,lavitessexserapprocheduzéro.Lefaitquelavitessexchangedesigneestdûaufaitquel’axexutilisén’étaitpasperpendiculaireàlavitesseinitialedelapierre.Lapierrevadoncs’éloignerdelacenterline(vitessexpositive),avantdes’enrapprocheretdelatraverser(vitessexnégative).5.4RotationdelapierreenmouvementSurlesgraphiquesoùl’onalavitessederotationd’unepierreenmouvementenfonctiondutemps,onpeutvoirquecettevitesseaunetendanceàdiminuerlégèrementpendanttout ledéplacement,puisàchuterpeuavant l’arrêtde lapierre.Cetteobservationestconformeàcequiestprésentédansdiversarticles[2;4].Onpeutégalementobservercertains"motifs"serépétanttouslesquatrepoints,notammentsurlafig.25.Parmotif,j’entendsiciquelespremiersetdeuxièmespointssontsystématiquementplusélevésquelestroisièmesetquatrièmes.Cefaitpeuts’expliquerparuneerreursystématiquepourchacunedespositionsdelapoignée,c’est-à-direquej’aiparexemplesystématiquementconsidérélapoignéecommeparallèleàlacenterlinealorsqu’ellenel’étaitpasencore.Cetteerreurpeuts’expliquerparunsimpleeffetd’optiquedelavidéo.Ilendécouleunangleparcourupar lapoignéedifférentde la réalité,etparconséquentunevitessede

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20

positionxen[m]

tempsen[s]

Fig.24évolutiondelapositionxd'unepierredontlavitesseinitialen'estpasparallèleàl'axey(centerline)

-31-

rotationégalementdifférente.Si lavitessederotationestunpeutropbasse,c’estquel’angleparcouruparlapoignéeétaitplusgrandenréalitéqueceluiutilisépourlescalculs.

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

angleen[rad]

tempsen[s]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25

vitessederotationen[rad/s]

tempsen[s]

Fig.25évolutiondelavitessederotationd'unepierreenmouvement

Fig.26angleparcouruparlapierreenmouvementdepuisledépart

-32-

Al’inverse,sil’angleutilisépourlescalculsestplusgrandqueceluiréellementparcouru,alorslavitessederotationcalculéeseraplusélevéequelavitessederotationréelle.Sil’onregardelegraphiqueavecl’angleparcourudepuisledépartenfonctiondutemps(fig.26),onpeutvoirqu’ilaugmentedemanièrepresquelinéaire,cequis’expliqueparlefaitquelavitessederotationestpresqueconstante(elledécroîttrèslentement)pendantlamajeurepartiedelatrajectoire.5.5TrajectoirescomplètesSurlegraphiqueoùl’onalatrajectoirecomplèted’unepierredontlavitesseinitialen’estpasparallèleàlacenterline(fig.27),onpeutbienvoirquelapierres’écartedelacenterlineavantde s’en rapprocher, commeonpouvaitdéjà levoir sur legraphiqueavec lapositionxenfonctiondutemps(fig.24).

Surlesdeuxgraphiques(fig.27et28),onpeutvoirquelatrajectoiren’estpaspartoutrégulière,qu’àcertainsendroits, lapierrepartunpeud’uncôtéavantderevenir.C’estcertainement dû à des imprécisions aléatoires lors de l’analyse, car selon mesconnaissances,latrajectoiredelapierrenedevraitpasposséderdepointd’inflexion.Bienquelesgraphiquesnereflètentpascefait,iln’estpasforcémentincorrect.Eneffet,sil’onprendencomptel’imprécisiondesrésultats,alorstouslespointspourraientfigurerdetellemanièrequelatrajectoirenepossèdepasdepointd’inflexion.Aveccesgraphiques,on ne peut ni infirmer ni affirmer cette proposition. Mais si cette dernière est biencorrecte,alorsilendécoulequel’angleforméentrelacenterlineetlavitessedelapierreeststrictementcroissantaucoursdutempspourunepierrepossédantunerotationdanslesenstrigonométrique,etstrictementdécroissantpourunepierretournantdanslesensinverse.Surlegraphiqueaveclatrajectoiredelapierredontlavitesseinitialeestparallèleàlacenterline(fig.28),onpeutvoirquelapierrenefaitques’éloignerdecetteligne.

Fig.27trajectoired'unepierredontlavitesseinitialen'estpasparallèleàlacenterline

-33-

6.Sourcesd’erreur6.1Lorsdesmesures:• Diamètredelapierre

Lediamètremesurédelapierrecomporteuneimprécision.Deplus,lediamètrepeutvariertrèslégèremententredeuxpierresdifférentes.Lapierreétantarrondiesurlescôtés,iln’étaitpasfacilededéterminerprécisémentlediamètre.Cettesourced’erreurestaléatoire,pouvantvarierd’unepierreàuneautre.

• Diamètreetlargeurdel’anneaudecontactLediamètre,ainsiquelalargeurdel’anneauencontactaveclaglace,contiennentuneimprécisiondueàlamesure.Commepourlediamètredelapierre,cesvaleurspeuventégalementdifférerlégèrementd’unepierreàl’autre.C’estpourcelaquecettesourced’erreurestaléatoire.

• PositiondesrepèresBien que le positionnement des repères sur la glace ait été fait avec soin, leurpositioncomprendunelégèreincertitude.Cettesourced’erreurestaléatoireentrelesrepères-onnepeutpassavoirsiunrepèreétaittropoupasassezéloignédelahogline -maissystématiquepourunmêmerepère,cederniern’ayantpasétédéplacépendantlesmesures.

Fig.28trajectoired'unepierredontlavitesseinitialeestparallèleàlacenterline

-34-

• PositiondeslignesetrepèresdelapisteLes lignes et repères présents sous la glace peuvent comporter une très légèreimprécision,systématiquepourunmêmerepère.

• Déplacementdelapierre(vidéosdetype1)Lorsdesvidéosdutype1,lapierrepouvaitavoiruntrèslégerdéplacementquiauneinfluencesurlesangles,carlecentrederotationnesesituealorspastoujoursaumêmeendroitcommecelaaétéutilisédansl’analysedevidéos,etsurl’énergiedelapierre,cettedernièreenayantplusaudépart,enraisondecedéplacementmaisenperdantaufildutempsenraisondecedéplacement.Cedéplacementnepouvantquefaireperdrede l’énergieà lapierre,cettesourced’erreurestsystématiquepour laperted’énergiemaisaléatoirepourl’influencesurlesangles.

• QualitédelaglaceBienquelaglaceaitétépréparéeavantlaprisedesmesures,ilsepeutquesaqualitésesoitmodifiéeaucoursdutemps,etqu’ellen’aitpasété“homogène“surtoutesasurface,c’est-à-direqu’unezoneaitétéplusrapidequ’uneautre,ouqu’undéfautaitétéprésentquelquepart.Cettesourced’erreurestaléatoire.

• QualitédespierresLesdifférentespierresutiliséespeuventcomporterdelégèresdifférencesetdoncréagir différemment avec la glace. Néanmoins, les pierres utilisées ne sont pasconnues comme curlant plus ou moins que la normale. Cette source d’erreur estaléatoire.

• Frottementdel’airUn frottement de l’air était tout de même présent lorsque la pierre était enmouvement,maisilaéténégligé,sonimportanceétantextrêmementfaiblecomparéeau frottement avec la glace. Le frottementde l’air nepouvant que faireperdredel’énergieàlapierre,c’estunesourced’erreursystématique.

• InclinaisondelapisteLapistepeutcomporterunelégèreinclinaisonquiauraittendanceàdévierlapierred’uncôté,ouàl’accélérer,quecesoitpositivementounégativement.Lapisteétanttoujourslamême,cettesourced’erreurestsystématique.

6.2Lorsdel’analyse:• Positiondelapoignée(vidéosdetype1)

Dans le premier type de vidéos, la position de la poignée est parfois difficile àdéterminer, principalement lorsque la pierre tourne rapidement. Sur la vidéo, lapoignéen’estpasnette, onprenddonc lepointqui semble leplusau centrede lapoignée,maisunecertaineincertitude,visiblesurlesgraphiquesestprésente.Cettesourced’erreurestaléatoire.Sonimportancepourraitêtrediminuéeenutilisantunecaméra capable de prendre un nombre beaucoup plus important d’images parseconde.

• OriginedesaxesPourlavidéodu1ertype,l’originedesaxesjoueunrôleimportant.S’ilnesesituepasaucentredelapierre,quiestégalementsoncentrederotation,alorslesanglescalculésparlasuitenesontplusexacts.Pourunemêmevidéo,l’originedesaxesestplacéeuneseulefois,maissonimpactsurlesanglesdiffèresuivantlequadrantdanslequel se situe la poignée. Cette source d’erreur est systématiquepour unemêmevidéo.

-35-

• TempsindiquéLetempsindiquéparLoggerPro®pouruneimagedelavidéopeutcontenirunetrèslégèreimprécisionaléatoire.

• AlignementdelapierreaveclerepèrePourlesvidéosdelongueur,ilsepeutquelapierren’étaitpasparfaitementalignéeavec le repère, et ce surtout lorsque la caméran’était pas aumêmeniveauque lapierre, c’estàdireunpeu tropenavantouenarrière.Danscecas, il fauteneffet“estimer“quelapierreestalignée,cequicomprenduneimprécisionaléatoire.

• Echelle,largeurdelapierreLa largeur de la pierre, qui est utilisée comme échelle pour l’analyse des vidéos,comporte une imprécision, l’échelle pouvant être légèrement plus petite ou plusgrandequene l’est la pierre sur la vidéo. L’échelle étant replacée à chaque imageanalysée,lasourced’erreurestaléatoire.

• Distancepierre-centerlineLadistancepriseentrelapierreetlacenterlinecomporteuneimprécision,lesdeuxpointspouvantnepasêtreexactementauborddelapierreousurlacenterline.Deplus,lepointdelacenterlinepouvaitapparteniràcettedernièremaisnepasêtresurlamêmeligneperpendiculaireàlacenterlinequelapierre.Ladistanceétantreprisepourchaqueimageanalysée,ils’agitd’unesourced’erreuraléatoire.

• Distanceàl’arrêtdelapierreLa distance à l’arrêt de la pierre comporte lamême imprécision que la distancecenterlinepierre,lesmêmesétapesétantnécessairespourladéterminer.Lapierreesttoutd’abordutiliséecommeéchelle,puisladistanceentrelapierreetlerepèreleplusprocheestcalculéeenutilisantlamêmefonctionqu’entrelapierreetlacenterline.L’erreurestdoncégalementaléatoire.

• Positiondelapoignéeàl’arrêtdelapierreLapositiondelapoignéeàl’arrêtdelapierrecomporteunegrosseimprécisioncarelle n’est pas mesurée, mais fait l’objet d’une approximation. Cette une sourced’erreuraléatoire.

• Positiondelapoignée(vidéosdetype2,3et4)Pourlesvidéosdetype2,3et4,lapositiondelapoignéecomporteuneimprécisioncar,lesvidéosayantétéprisesparlecôtéetnonpar-dessus,sapositionn’yestpasclairementvisible.Cettesourced’erreurestaléatoire.

• EffetdelavidéoLesvidéosprises,principalementcellesavecuneGoPro®,comportentuneffet,quipeutavoirdesconséquencessurl’analyselorsquelapierren’estpascentréesurlavidéo.L’effetestsystématique,maissonimpactestaléatoire.

• TempsintermédiaireLes temps intermédiaire utilisés pour les graphiques ne correspondent pasexactement aux vitesses qui leur sont associées sur les graphiques, mais s’enapprochent beaucoup. Ils comportent donc un léger écart avec le temps quicorrespond réellement à la vitesse. La forcede frottement étantproportionnelle àl’inversedelaracinedelavitesse,autempsindiqué,lavitesseétaitplusimportantequecelleindiquée.Letempsutiliséestdonctropfaible,cequifaitquecettesourced’erreurestsystématique.

-36-

6.3ImpactCertainessourcesd’erreurontunimpactimportantsurlesrésultats,tandisqued’autressont négligeables. Voici tout d’abord celles qui peuvent être considérées commenégligeables:• Lefrottementdel’air:négligeablecomparéaufrottementpierre-glace.• L’inclinaisondelapiste:négligeablecartrèsfaible.• Le diamètre et la largeur de l’anneau de contact (n’influence pas les résultats

présentésprécédemment,maisaurontunimpactlorsdelaprogrammation).• Lapositiondesrepères:enconsidérantquel’imprécisionsurlesrepèresestdel’ordre

ducentimètre,onseretrouveavecunedistanceentredeuxrepèrespossédantuneimprécisioninférieureà1.4%.Deplus,cetteimprécisionesttrèsfaible,comparéeàcellesurl’alignementpierre-repère.

• Position des lignes et repères de la piste: ne contiennent qu’une très faibleimprécision.

• Letempsindiqué:necontientqu’unetrèsfaibleimprécision.• Tempsintermédiaires:ilsnesontpasparfaits,maisauvudeleurutilisationdansles

résultats,leurimprécisionpeutêtreconsidéréecommenégligeable.Voicilessourcesd’erreurayantunimpactsignificatifsurlesrésultats:• Positiondelapoignée(vidéodetype1).• Alignementdelapierreaveclesrepères.• Distancepierre-centerline.• Distanceàl’arrêtdelapierre.• Positiondelapoignéeàl’arrêtdelapierre.• Positiondelapoignée(vidéosdetype2,3et4).• Echelle,largeurdelapierre.Pour les sources d’erreur suivantes, l’impact est difficile à estimer pour différentesraisons,préciséessuivantlasource:• Qualité de la glace: si la glace a été faite correctement, alors les différences d’un

endroitàunautredelapistesontnégligeables.Parcontre,silaglacecomportaitdesirrégularités,cesdernièrespeuventêtreunesourceimportanted’imprécisions.

• Qualitédespierres:normalement,ladifférenceentredeuxpierresesttrèsfaible,etdoncnégligeable.Néanmoins,certainespierresréagissentdifféremmentaveclaglaceetonobtientalorsdesrésultatssensiblementdifférentsavecdeuxpierresdifférentes.Dans mon cas, les pierres utilisées n’étaient pas connues comme réagissantdifféremment,cequin’exclutpasdelégèresdifférencesentredeuxpierres.

• Déplacementdelapierre(vidéodetype1):l’énergieconsomméeparledéplacementdelapierreesttrèsfaibleetpeutdoncêtreconsidéréecommenégligeable.Parcontre,lefaitquelapierresedéplacelégèrementauneinfluencesurlapositiondel’originedesaxes,quin’estalorsplusaucentredelapierre.

Lessourcesd’erreursuivantesnesontpasnégligeablesmaisontunimpactmodéré:• Diamètredelapierre:onpeutestimerl’erreursurlediamètredelapierreà±5mm,

cequidonneuneimprécisionrelativedel’ordrede1.8%.Cetteimprécisionn’estpasnégligeable,maisl’imprécisionsurl’échelle,largeurdelapierreétantplusimportante,lediamètredelapierreauneprécisionsuffisante.

-37-

• Origine des axes: l’origine des axes contient une imprécision non-négligeable.Néanmoins,avec ledéplacementde lapierre, lapositionde l’originen’estde toutefaçon pas toujours au centre de la pierre, ce qui se situe dans la source d’erreurdéplacementdelapierre.Onadoncuneerreurnon-négligeable,maisdontl’impactestmodéré.

• Effetdelavidéo:l’effetdelavidéoaunimpactcertainlorsquelapierren’estpasbiencentrée,maisilestenréalitéunecausedelasourced’erreuralignementpierre-repère.Eneffet,enraisondel’effet,ilestplusdifficiled’estimerlemomentoùlapierreestalignéeaveclerepère,cequiaugmentel’imprécision.

7.Programmation7.1CréationdesprogrammesPour tenter de modéliser la trajectoire d’une pierre de curling, j’ai créé différentsprogrammes, en utilisant tout d’abord le modèle présenté dans [3]. Il s’agit d’unprogrammecalculantlavitesse,ainsiquelaforcedefrottement,enunnombredonnédepointsdel’anneaudecontactdelapierre(900danslecasdel’articleetdumien),avecuncoefficientdefrottementsupérieuràl’arrièredelapierre,afind’observerunedéviation(voirthéorie,déductionthéorique).Avecceprogramme,troisproblèmessontapparus:unedistancedecurlbeaucouptropfaible,unangleentrelavitesseetl’axeytropélevéentoutefindeparcours,etunetropfortedépendancedeladistancedecurlàlavitessederotation. Je suis donc arrivé à la conclusion que ce modèle ne pouvait expliquer ladéviationdelapierredecurling,conclusionsimilaireàcelledonnéedans[3].7.2ProgrammepourunepierresanstranslationParallèlement,j’aicrééunprogrammesimilaire,afind’observerl’évolutiondelavitessederotationd’unepierre immobile, comme je l’avais faitavec lesvidéosde type1.Lesrésultatsobtenusetleurcomparaisonavecmesmesuresm’ontpermisdevérifierquelaforcedefrottementagissantsurlapierreestbieninversementproportionnelleàlaracinedelavitessecommementionnédans[3;4;5].

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Programme1programmepourcalculerl'évolutiondelavitessederotationd'unepierresansvitessedetranslation

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0

2

4

6

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10

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

vitessederotationen[rad/s]

tempsen[s]

µ=0.008 µ=0.009 µ=0.01 µ=0.011 µ=0.012

0

2

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6

8

10

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0 5 10 15 20 25

vitessederotationen[rad/s]

tempsen[s]

vitessederotationinitiale:11rad/s

vitessederotationinitiale:13rad/s

vitessederotationinitiale:15rad/s

vitessederotationinitiale:17rad/s

vitessederotationinitiale:19rad/s

Fig.29Influenceducoefficientdefrottementsurlavitessederotation.ωinitiale=15[rad/s]

Fig.30influencedelavitessederotationinitialesurl’évolutiondelavitessederotationd’unepierresanstranslation.

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Onpeutobserverqueplus le coefficientde frottementestélevé,plus le tempsavantl’arrêtdelarotationdelapierreserafaible,etpluslavitessediminuerarapidement(fig.29).Surl’autregraphique,onobservequelavitessederotationauneinfluencedirectesur le temps avant que la rotation de la pierre ne s’arrête (fig. 30). Plus la vitesse derotationinitialeestélevée,plusletempsavantl’arrêtseraimportant.Deplus,onobservequetouteslespentessontparallèlespourunemêmevitessederotation.Ilendécoulequeletempsmisparunepierrepourpasserd’unevitessederotationdonnéeàuneautrenedépendpasdelavitesseinitialederotation.

Onpeutvoirquelesrésultatsduprogrammesonttoutàfaitcohérentsaveclesmesures,c’est-à-dire que la force de frottement agissant sur la pierre est bien inversementproportionnelleàlaracinedelavitesse,commecelaaétéutilisédansleprogramme.Bienquelesrésultatsdesmesuresdelavitessenesoientpasd’unehauteprécision,lacourbedonnéepar leprogrammesesituebienaumilieudesrésultatsexpérimentaux,etpeutdoncêtreconsidéréecommeconformeàlaréalité(fig.31).Surlegraphiqueavecl’angle(fig. 32), la conformité du programme avec les mesures est encore plus visible, lesrésultatsexpérimentauxdel’angleparcouruétantplusprécisqueceuxdelavitesse.

0

2

4

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8

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18

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0 2 4 6 8 10 12 14 16

vitessederotationen[rad/s]

tempsen[s]

mesures programme

Fig.31comparaisondel’évolutiondelavitessederotationentrelesmesuresetleprogramme.Lecoefficientdefrottementutilisédansleprogrammevaut:µ=0.011

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7.3Créationdesprogrammes(suite)Afin d’obtenir des distances de curl proches de la réalité, j’ai ensuite dans lemêmeprogramme,ajoutéuneforceconstantesurl’arrièredelapierre.Lesdistancesdecurlserapprochaient de celles observées sur la glace, mais des problèmes subsistaient ouapparaissaientsuivantlazonesurlaquelles’appliquaitlaforceconstante,notammentuneaugmentationdelavitessederotationdelapierre,quin’apaslieuenréalité.Onpouvaitégalementobserverqu’entouspointsdelatrajectoire,unepierreavecunevitesseinitialeplusélevéeavaitunedistancedecurlsupérieureàunepierreavecunevitesseinitialeplusfaible,cequin’estpasobservésurlaglace.7.4RésumédemonarticleenanglaisetprogrammeN’arrivantpasàobtenirderésultatsconformesauxobservations,j’aidécidédechangertotalement de modèle et de programmer les équations présentes dans [1]. Je les aimodifiéesafindepouvoirintégrerladépendancedelaforcedefrottementàl’inversedelaracinedelavitesse,etlesaitransforméespourobteniruneformeprogrammable,formesimilaireàcelledeséquationsprésentesdans[3].Lesrésultatsobtenusavecceprogrammesontprésentésdansmonarticleenanglais,situéenannexe.Voicinéanmoinsunrésumédecetarticle.Dansunpremiertemps,j’aiutiliséuneconstantepourf(t)(définiedansmonarticleetdans [1]). Un problème est alors apparu: deux pierres avec des vitesses initialesdifférentessuivaient lamêmetrajectoire jusqu’àceque laplus lentes’arrête(fig.1del’article).Cephénomènen’étantpasobservésurlaglace,lemodèlenepouvaitêtrevalide.Néanmoins,lestrajectoiressuiviesressemblaientàcellesdelaréalité.J’aialorsgardélemêmeprogrammemaisaifaitunemodificationconcernantf,cequim’aamenéàproposerunenouvelleversiondumodèleprésenten[1].

0

20

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60

80

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160

0 2 4 6 8 10 12 14 16

anlgeparcourudepuisledéparten[rad

]

tempsen[s]

mesures programme

Fig.32comparaisondel’angleparcouruentrelesmesuresetleprogramme.µ=0.011

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Cettenouvelleversionestentoutpointsimilaireàlaprécédente,aveccommeuniquechangement une dépendance de f à l’inverse de la vitesse. Cette différence permetd’obtenirdestrajectoirestotalementdifférentespourdeuxpierresn’ayantpaslamêmevitesseinitiale(voirfig.3del’article).J’ai ensuiteutilisé cenouveauprogrammeen faisantvarier lesdifférentsparamètresinfluents,àsavoirlavitesseinitiale(fig.3del’article),lecoefficientdefrottement(fig.2del’article),etlaconstantehutiliséedansf(t)(fig.4del’article).Lesrésultatsobtenussontconformesàlaréalité.Onobserveunedépendancedeladistancedecurlàlavitesseinitiale, mais cette dépendance est raisonnable, et la pierre la plus rapide aura unedistancedecurlinférieureàlapluslenteàl’endroitoùcelle-cis’arrête.Lecoefficientdefrottementaégalementuneinfluencesurladistancedecurlfinale,avecunedistancedecurlinférieurelorsquelecoefficientdefrottementestplusélevé.Cefaitesttotalementconforme à ce qui est mentionné dans la partie: théorie, connaissances issues de lapratiquedecurleur,pebblefrais.Eneffet,lorsquelepebbleestfrais,onauncoefficientdefrottementplusélevé,etonobserveégalementdesdistancesdecurlplusfaiblesqu’àl’accoutumée.Evidemment,lechoixdelaconstantehauneinfluencesurladistancedecurl,maisiln’enapassurlalongueurdelapierre.Logiquementaussi,lavitesseinitialeetlecoefficientdefrottementontuneinfluencesurlalongueurfinaledelapierre,avecune longueur plus importante avec une vitesse initiale élevée ou un coefficient defrottementfaible.J’aiégalementcréédeuxgraphiques,l’unaveclavitessexenfonctiondutemps(fig.5del’article),l’autreaveclavitesseyenfonctiondutemps(fig.6del’article).Surlepremier,onpeutobserverque lavitessexest strictementcroissantependant les13premièressecondes,puiseststrictementdécroissante.Ellenecontientqu’unmaximum,etsapentenefaitquedécroître(ladérivéedegraphedelavitesseeststrictementdécroissante).Lesecondgraphiquemontrequelavitesseynefaitquediminuer,etlefaitdeplusenplus vite. Sa dérivée est donc strictement décroissante, en plus d’être strictementnégative.Afin d’observer concrètement les différences entre les résultats du programme et laréalité,j’airecherché"àtâtons"lesvaleursdesvariablescorrespondantàmesmesures,puis j’ai comparé les résultats du programme avec ceux des mesures (fig. 7 et 8 del’article).Pourêtreleplusprochepossibledelamesure,il fautquelespositionsxetyfinales,ainsiqueletempsfinal,soienttrèsprochesdelaréalité.Lesrésultatsdesmesurescomportantdesimprécisions,j’aidécidéd’ajouterdesbarresd’erreursurlesgraphiques.Ladistanceentrelesrepèresplacéssurlecôtédelapisteafind’observerlalongueurdelapierrene comportantqu’une très faible imprécision, j’aidécidédemettre,pour cesvaleurs,unebarred’imprécisionsurletemps,quiluiétaitmoinsprécis,lemomentlorsduquellapierreétaitalignéeaveclerepèren’étantpastoujoursfacileàtrouver.A l’inverse, la distancemesurée entre la center line et la pierre comporte une forteimprécision,alorsqueletempsauquelcettedistanceestprisen’encomportequ’unetrèsfaible.Surcesdeuxgraphiquesdecomparaison,onobservequelesmesurescomportentuncertainécartaveclesrésultatsduprogramme,maisqu’aveclesbarresd’erreur,touteslesmesurespeuventêtreenaccordavecleprogramme.Lapositionyestenconstanteaugmentation,maissonaugmentationestenconstantediminution(cequiexpliquequelavitesseysoitstrictementdécroissante,lavitesseétantladérivéedelaposition).

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Lapositionxest,elleaussi,enaugmentationentouttemps.Dansunpremiertemps(±3secondes),l’augmentationsefaitlentement,puisl’augmentationestpresquelinéaire,etredevientplusfaibleentoutefindetrajectoire.

Programme2nouveaumodèle

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7.5 Comparaison d’une trajectoire complète entre les mesures et leprogramme

Surlafig.33,lesbarresd’erreurssontmisessurxety.Surx,c’estpourlamêmeraisonquecellementionnéeprécédemmentpourexpliquerlesbarresd’erreursurlegraphiquedelapositionx,àsavoirquelamesuredeladistancexàl’analysecontientuneimprécisionsignificative.Surlegraphiquedelapositiony,lesbarresd’erreurétaientmisessurletemps,étantmoins précis que la position. Mais sur la fig. 33, le temps n’apparaît pas. J’ai donctransformél’erreursurletempsenuneerreursurlaposition.Onobserve sur le graphiquede comparaisonde la trajectoire complète que tous lespoints,aveclesbarresd’erreur,peuventcorrespondreàlatrajectoireduprogramme.Latrajectoireduprogrammenecontientpasdepointd’inflexion,cequiestconformeàcequiestmentionnédanslapartiethéorie,connaissancesissuesdelapratiquedecurleurs,trajectoired’unepierre.Deplus,latrajectoires’éloigneconstammentdelacenterline,etl’angleforméentrelavitessedelapierre(toujourstangenteàlatrajectoire)etlacenterlineesttoujourscroissantpourleprogramme.7.6Sourcesd’erreurdesprogrammes• Massedelapierre

Lamassedelapierredecurling,utiliséedansleprogramme1,n’apasétémesurée.J’aidoncutiliséunevaleurplausible, à savoir18.5kg, sachantque lamassed’unepierredecurlingsesitueentre17.24et19.96kg,quelespierresutiliséesenhallesontgénéralement plus légères que les pierres utilisées en open air, et que les pierresutiliséesàLausannedatentdepeu,qu’ellesn’ontdoncpasencoreétéretaillées.

programme mesure

Fig.33comparaisond'unetrajectoirecomplèteentrelesmesuresetleprogramme

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• Momentd’inertiedelapierrePour calculer son moment d’inertie, la pierre est considérée comme étant uncylindre, alors que ce n’est pas exactement le cas. Cette source d’erreur estnégligeable,lemomentd’inertiedelapierreétanttrèsproched’uncylindrepossédantlesmêmescaractéristiques.

• DonnéesmesuréesPourtouteslesdonnéesmesuréessurglace(rayondelapierreetdel’assiette),voirsourcesd’erreur,lorsdesmesures.

• ComparaisonaveclesrésultatsexpérimentauxPourtouteslessourcesd’erreurserapportantauxrésultatsexpérimentauxutilisésdanslapartieprogrammation,voirsourcesd’erreur.

• AméliorationduprogrammeLe programme, principalement celui du nouveau modèle, contient certainesapproximations qui pourraient être enlevées en améliorant le programme. Cesaméliorationssontprésentéesplusloin,danslapartieprogrammation,améliorationduprogramme.7.7DiscussionsurlesrésultatsobtenusaveclesprogrammesVoici quelquespoints qui restent à être élucidépourque le nouveaumodèle soit enaccord complet avec les expériences. Tout d’abord, avec les comparaisons entre lesmesuresetlesprogrammes,onpeutobserverquej’aiutiliséuncoefficientdefrottementde0.011pourlarotationdelapierresurelle-même(fig.31),doncavecleprogramme1,maisquej’aiutiliséuncoefficientdefrottementvalant0.00925avecleprogramme2(fig.7et8del’article),cequireprésenteplusde17%d’écart.Secondement,danslemodèleprésentédans[1],l’énergieinitialederotationdelapierreestnégligéecartrèsfaiblecomparéàl’énergiedetranslation.Maissiontientcomptedecetteénergie,onserendcomptequepluslavitesseinitialederotationestélevée,pluslapierread’énergie,etenconséquence,pluslavitessederotationdelapierrelorsdupivotsera élevée. Et si la vitesse de rotation lors du pivot augmente, alors la pierre aura àl’arrivéeunedistancede curl plus élevée.Or, on observedansunpremier tempsunediminutiondecettedistancedecurllorsqu’onaugmentelenombrederotationeffectuéeparlapierrependantsatrajectoire[7].Cefaitn’estdoncpasconformeàcequepréditlenouveaumodèle.Pourlepremierpoint,ilestpossiblequelecoefficientdefrottementsoitplusprocheduprogramme pour la pierre sans translation, et qu’un autre phénomène que celui dunouveau modèle ait lieu en fin de trajectoire. Si l’on observe le graphique avec lacomparaisonentrelesmesuresetleprogrammepourlapositiony(fig.7del’article),onobservequetouslespointsdumilieumesuréssontau-dessusdelacourbeduprogramme.Sil’onaugmentelecoefficientdefrottement,alorsilfautégalementaugmenterlavitesseinitiale, et il se peut qu’on obtienne une nouvelle courbe correspondant mieux auxmesures.Néanmoins,onn’arriveraàl’arrivéesoitàunepositionydifférente,soitàuntempsdeparcoursdifférents.Maissil’onconsidèrequ’unsecondphénomènealieu,alorsilpourraitexpliquercetécart.Le point différence de frottement gauche-droite dans la partie amélioration duprogrammepeutaussiexpliquercetécart.Pourexpliquerledeuxièmefaitnon-conformeaunouveaumodèle,onpourraitpenserque, comme f(t) est inversement proportionnel à la vitesse de la pierre, elle pourraitégalementl’êtreàlavitessederotation.Maisdansunpremiertemps,lorsqu’onaugmentelavitessederotation,ondiminuelavitessetotaledupointdel’anneaudecontactdontla

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vitesseestlaplusbasse.Or,dans[1],lasuppositionestfaitequec’estencepointqu’agitlepivot,etlepivotagissantplusfréquemmentàbassevitesse,laforcedefrottementyétant plus élevée, il devrait donc agir plus fréquemment avec une vitesse de rotationlégèrementplusélevée.Maissil’onfaitlasuppositionquelepointdepivotdesitueailleurssurl’assiette,parexemple au point le plus à l’arrière de la pierre, que f(t) n’est pas inversementproportionnelleàlavitesseducentredegravitémaisàlavitessedupointdepivot,alorsf(t)diminuesilavitessederotationaugmente.Poursavoirsicelamèneàunediminutionde ladistancede curl avecune légèreaugmentation, il faudrait étudier l’effetde cetteaugmentationsurf(t)ainsiquesurl’énergiedelapierre.Ildécouledoncdecesecondfaitnon-conformeaunouveaumodèlequelepointdepivotnepeutsesitueraupointdel’anneaudecontactaveclaplusfaiblevitesse,commecelaavaitétémentionnédans[1].Misàpartcesdeuxfaitsnon-conformes,onobservequelesrésultatsduprogrammesontd’unepartconformesauxmesuresprisessurlaglace,etd’autrepartauxpointsprésentsdanslapartiethéorie,connaissancesissuesdelapratiquedecurleurs,notammentauxpoints temps de parcours, trajectoire d’une pierre et pebble frais. L’amélioration dumodèleprésentédans[1]sembledonccorrespondreàcequisepassesurlaglace.7.8Améliorationspossiblespourleprogramme2Différentspointssontpeuventêtreaméliorésdansleprogrammedunouveaumodèle,quecesoitcarilssontconsidéréscommenégligeable,oucarilsn’avaientpasencoreétépensés.• Energiederotationdelapierre

Dans [1], l’énergie de rotation de la pierre est considérée comme négligeablecomparéeàl’énergiedetranslation,cequiesttoutàfaitcorrect.Néanmoins,inclurecette énergie augmenterait la précision des résultats et permettrait d’observerl’influencedelavitessederotationsurlatrajectoiredelapierre.

• Différencedefrottementgauche-droiteDansmon programme, j’ai pris en compte le fait que la force de frottement estinversementproportionnelleà laracinede lavitesse.Maiscommevitesse, j’aipriscelle du centre de gravité de la pierre. Or, si l’on somme les forces de frottementprésentes en chaque point de l’anneau de contact, en calculant chaque force enfonctionde lavitessedupoint, alorsonn’obtientpas tout à fait lemêmerésultat.Prendreencomptece faitaugmenteraitdonc laprécisiondesrésultatsetpourraitchangerlégèrementlesgraphiques.

• Miseenévidencedupointdepivotetcalculdef(t)encepointSimilairement au point précédent, f(t) est calculé comme étant inversementproportionnelàlavitesseducentredegravité.Or,sil’onseréfèreà[1],lepointdepivotdevraitêtreceluioùlavitesseetlaplusfaible.Danslapartiediscussionsurlesrésultatsobtenusaveclesprogramme,jementionnelefaitquecepointdevraitplutôtsesituétoutàl’arrièredel’anneaudecontact.Encesdeuxpoints,lavitessen’estpaségaleàcelleducentredegravité.Ilestdoncplusprobablequef(t)soitinversementproportionnelàlavitessedecepointetnonàcelleducentredegravité.Onpourraitdoncmodifier celadans leprogrammeafind’unepartd’obtenirdes résultatsplusprécis,etd’autrepart,enessayantdemettrelepointdepivotàdifférentsendroitsdel’anneau de contact, et en étudiant l’impact de sa position sur la trajectoire, onarriveraitpeut-êtreàdétermineroùsetrouvecepointdepivot.

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7.9FacteurspouvantinfluerhLaconstantehdoitêtredéterminéeparuncertainnombredeparamètres,dontvoiciunepartie.• Latempératuredelaglace• Letypedepebble(largeurdupebble,hauteurdupebble,glacecoupée)• Lenombredepebbleencontactaveclapierre(cenombreaugmentlorsquelaglace

estplate).Lenombredepebbleencontactaveclaglaceregroupedeuxparamètrespouvantinfluerh:

o L’airedelasurfacedecontactentrelapierreetlaglaceo Laforceexercéesurchaquepebble(pression)

• Lapierreo Samatièreo Sondiamètreo Lediamètreetlalargeurdesonanneaudecontacto Lesimperfectionsfaitesvolontairementsurl’anneaudecontacto Samasse

• LebalayageAfin de déterminer lesquels de ces paramètres influencent le plus h, différentesexpériencespeuventêtrefaites(voirexpériencesàfaire).8.SynthèsedutravailLes différentesmesures que j’ai prises, ainsi que la création de programmes, m’ontpermisdedéterminerplusieurspointsimportantsconcernantlatrajectoiredelapierredecurling.Ellesm’ontégalementpermisdeconfirmeretd’infirmeruncertainnombredepointsexposésdanslesarticlesetdanslathéorie.Tout d’abord, j’ai pu confirmer le fait non-conforme à la théorie de base, mais déjàmentionné dans des articles, que la force de frottement n’est pas constante,mais estinversementproportionnelleàlaracinedelavitesse.Lathéoriedesmarquesetcelledel’évaporationetabrasionontpuêtreinfirmée.Ilaégalementétémontréqu’unesimpledifférencedefrottemententrel’avantetl’arrièredelapierre,ouentrelagaucheetladroite,nepouvaitexpliquerlatrajectoiredelapierredecurling.Enfin, des incohérences du modèle "pivot-slide" tel que présenté dans l’article deShegelskiontété relevées. Suiteàuneaméliorationde cemodèle,onanéanmoinsputrouverdesrésultatsenaccordaveclesmesures.Cetteaméliorationestunedépendancede f(t) à l’inverse de la vitesse de la pierre. Ce fait pourrait être expliqué par unedépendancedecettefonctionautempsdecontactentreunpebbleetl’anneaudecontact.Cetempsesteffectivementinversementproportionnelàlavitessedelapierre.Lesmesuresprisesnel’étantquepardesvidéos,ellescomprenaientdesimprécisionsnon-négligeables et significatives. Il a toutefois été possible d’en tirer des résultatsintéressants, des tendances se distinguant. La précision desmesures est un point quipourraitêtreconsidérablementamélioréenutilisantundispositifmesurantlapositiondelapierreàlaplacedesimplesvidéos.L’étude du programme pour la trajectoire de la pierre a permis demettre en reliefl’importancedelavitesseinitialedelapierre,ducoefficientdefrottemententrelapierreetlaglace,etdelaconstantehsurlatrajectoiredelapierre.Lesfacteursdéterminantla

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constantehnesontpasencoreconnus,maisdesparamètrespouvantavoiruninfluenceontétémentionnés.Cesparamètresdevraientêtreétudiéspourqueleureffetpuisseêtrequantifié.La cause du pivot de la pierre n’a pas encore été trouvée,mais il semble qu’il faillechercher le point de pivot sur l’arrière de l’anneau de contact plutôt qu’au point del’anneauaveclavitesselaplusfaible.Cependant,lamiseenévidencedecepivotresteàétablir,toutcommeladéterminationdesonemplacementexact.Le programme ayant servi àmodéliser la trajectoire de la pierre nous a donné desrésultatsintéressants,maisilpourraitencoreêtreamélioréafindeserapprocherunpeuplus de la réalité. Plusieurs moyens de l’améliorer ont été proposés, notammentl’inclusiondelavitessederotationdanslescalculs.9.Propositionsd’expériencesàfaireDifférentesexpériencespourraientêtrefaitesafind’obtenirdemeilleuresounouvellesinformations concernant la trajectoire d’une pierre de curling, et demieux percevoirl’influencedesdifférentsparamètres.Voiciquelquespropositions:• Afind’observerl’importancedupebblesurladistancedecurl,onpourraitobserverla

trajectoire de la pierre sur une glace parfaitement plate, similaire à celle d’unepatinoiredehockey.

• Afin d’observer l’influence de l’anneau de contact sur la trajectoire, on pourraitobserverlatrajectoired’unepierredontlasurfacedecontactestpleine.

• Afind’observerl’influencedumatériauencontactaveclaglace,unobjetsimilaireàunepierredecurling,maisdontl’anneaudecontactseraitd’unematièredifférente,pourraitêtrejoué,etsatrajectoireobservée.

• Mesurerprécisémentlecoefficientdefrottemententrelapierreetlaglaceenfonctiondelavitessedelapierre.

• Pourvoirsiladépendanceducoefficientdefrottementàl’inversedelaracinedelavitesseestdueàlaglace,àlapierre,ouauxdeux,ilfaudraitmesurerlecoefficientdefrottementenfonctiondelavitessed’unepierresuruneautresurfacequelaglace,ainsiqueceluid’unobjetd’unmatériauautrequelegranitsurlaglace.

• Changerlediamètredelapierredecurling.• Modifierlediamètreainsiquelalargeurdel’anneaudecontactdelapierre.• Observerl’effetdelatempératuredelaglacesurlatrajectoiredelapierreenlafaisant

varier.• Afind’obtenirprécisémentlavitesseetlapositiondelapierre,ilfaudraitutiliserun

systèmeplacésur lapierrepermettantd’obtenircesvaleurs.Contrairementàceluiutilisédans [2], ce systèmedevrait être équilibré,demanièreànepasdéplacer lecentredegravitédelapierre.

• Comme déjà proposé dans [1], des vidéos en accélérés, permettant de mettre enévidence, s’il existe, le pivot de la pierre, pourraient être prises avec une caméraadéquate.

• Bienquecertainesexpériencesàcesujetontétéfaites[2;4;7],ilseraitintéressantd’observerdemanièrepluspousséel’influencedunombrederotationsdelapierresursatrajectoire,quecesoitàfaibleouàhautevitessederotation.

• Bienquelemodèleaitétécontesté,ilseraitintéressantdevoirsidesmarquesdanslaglacecauséespardespierrespeuventdévierunepierre.Pourcela,aulieuderayerla

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glaceavecunematièreabrasive,ilfaudraitutiliserdespierresdecurlingpourfairecesmarques.[5;6]

• L’étude plus détaillée de l’évolution de la vitesse d’une pierre sans rotation seraitégalementintéressanteàeffectuer.

• Commementionnédansmonarticleenanglais,lebalayagedoitavoiruneinfluencesurhsil’onveutpouvoirexpliquersoneffet.Ilseraitdoncintéressantd’étudierplusprécisémentsoneffet,quecesoitsurlalongueurdelapierreousursadistancedecurl.

10.ConclusionCetravailsurlatrajectoiredelapierredecurlingapermisd’éclairciruncertainnombredepoints.Unmodèleconformeauxmesuresexpérimentalesaétéproposéetétudié.Ilsebasesurlemodèle"pivot-slide",àsavoirquelapierreglisseraitpendantuninstantavantdepivoterautourd’unpointsurl’anneaudecontact.Lebutdemontravailaétépartiellementatteint,lesquestionsposéesn’ayantpastoutesétéélucidées.Avecunprogrammeinformatiquej’aipudéterminerquelalongueurdelapierredépenddesavitesse initialeetducoefficientdefrottemententre lapierreet laglace,etquesadistancedecurldépenddesavitesseinitiale,ducoefficientdefrottementet d’une constante h, définie par un certain nombre de paramètres qui restent àdéterminer.A l’aide de mes mesures, j’ai pu déterminer que la longueur et la distance de curldépendentde lavitesse initiale. Ilm’aparcontreétédifficiled’observer l’influenceducoefficient de frottement et de h. Néanmoins, la dépendance de la longueur et de ladistance de curl de la pierre au coefficient de frottement est en accord avec desconnaissancesquelescurleursacquièrentenjouant.Lesforcess’exerçantsurlapierreontétédéterminéescommeétantlaforcedegravité,la forcede soutienqu’exerce laglace sur lapierre, et la forcede frottement.Lesdeuxpremières forcess’annulent,et la forcede frottementdépendde l’inversede la racinecarréede lavitesse.Mais lacausedupivotde lapierre,quiestpeut-êtreune forcedefrottementd’unenaturedifférente,n’apasencoreététrouvée.Une proposition de cause de déviation de la pierre a été faite, mais des mesuressupplémentaires restent à faire afin de prouver, ou au contraire d’infirmer cetteproposition,quin’estautrequelemodèleamélioré"pivot-slide".L’influence de la glace sur la trajectoire de la pierre a été déterminée à l’aide d’unprogramme.Lecoefficientdefrottemententrelapierreetlaglaceauneinfluencesurlatrajectoire,toutcommelaconstanteh.Cetteconstantedépenddecertainsfacteursdelaglace, ainsi que de la pierre, qui restent à déterminer, mais pour être conforme auxconnaissancesdescurleurs,l’airedelasurfacedecontactentrelapierreetlaglace,quidépenddelaquantitédepebble,devraitêtreundecesfacteurs.Bienquelesréponsesàtouteslesquestionsn’aientpasététrouvées,lebutfinaldecetravaildematurité,quiétaitdemodéliserlatrajectoiredelapierre,aétéapproché,unepropositiondemodélisation,conformeauxobservationssurlaglace,ayantétédonnée.Ilfaudranéanmoinsdesexpériencessupplémentairespourconfirmercemodèle.

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11.RemerciementsJetienstoutd’abordàremercierM.LaurentdeSchoulepnikoff,quiasuivicetravaildanssonintégralité,m’afournidenombreuxconseilsetm’amisàdispositiondumatérielpourlaprisedesmesures.Jeremercieégalementl’ALC,quim’amisàdispositionlaglacepourmesexpériences,ainsi que le GymnaseAuguste Piccard, pour le prêt de l’ordinateurm’ayant servi à laprogrammation.Enfin,jeremerciemescoéquipiers–AnthonyPetoud,FlorianMesotetPabloLachat–quim’ontprêtémainfortelorsdelaprisedevidéos,MarinaLoertscher,quim’aaidédanslarédactiondel’articleenanglais,ainsiquemamère,poursarelecturedemontravail.

12.Bibliographie12.1Articles1) MarkR.AShegelskiandEdwardLozowski,Pivot-slidemodelofthemotionofacurling

rock,inCan.J.Phys.94,2016,pp.1305-13092) EdwardLozowski,SeanMaw,BernardKleiner,KrzystofSzilder,MarkShegelski,Petr

Musilek,DanaFerguson,ComparisonofIMUmeasurementsofcurlingstonedynamicswithanumericalmodel,inProcediaEngineering147,2016,pp.596-601

3) HaraldNyberg,StureHogmark,Staffan Jacobson,CalculatedTrajectoriesofCurlingStonesSlidingUnderAsymmetricalFriction:ValidationofPublishedModels,inTribolLett50,2013,pp.379-385

4) NorikazuMaeno,Dynamicsandcurlratioofacurlingstone,inSportsEng17,2014,pp.33-41

5) HaraldNyberg,SaraAlfredson,StureHogmark,Staffan Jacobson,Theasymmetricalfrictionmechanismthatputsthecurlinthecurlingstone,inWear301,2013,pp.583-589

6) Mark R.A. Shegelski, E.T. Jensen, Matthew Reid, Comment on the asymmetricalmechanismthatputsthecurlinthecurlingstone,inWear337-337,2015,pp.69-71

7) NorikazuMaeno,Assignmentsandprogressofcurlingstonedynamics,inProcIMechEPartP:JSportsEngineeringandTechnology,2016,pp.1-6

12.2Livre8) V.deCoulon,Mécanique,gymnaseAugustePiccard,août2012,pp.101-125

12.3Sitesinternet9) http://www.curling.ch/documents/318582/324827/8.SwissCurling_Règlement_de_

jeu_2017_1.pdf/41375f47-a95f-4f5a-9ca8-1f4af04c7eae10) http://www.curling.ch/documents/318582/324827/38215_1_dl_reglement+mi

xed+doubles_2016.pdf/402fb876-bca0-4b38-be28-89a383aba4b0

-51-

12.4RéférencedesimagesImagesurlapagedetitrehttp://www.sportsnet.ca/curling/homan-cruises-past-carey-boost-national-draw-2/Fig.1http://www.creedscorner.com/how-i-stopped-worrying-and-started-to-enjoy-watching-curling-again/Fig.2http://www.masonslivery.org/company/news-archives/news/scottish-stones-hit-the-headlines!/Fig.3https://www.ashrae.org/resources--publications/periodicals/ashrae-journal/features/quest-for-perfect-ice-ice-making-for-curlingFig.4http://www.mycurling.com/Articles/curlingsheet.htmlFig.5Harald Nyberg, Sara Alfredson, Sture Hogmark, Staffan Jacobson, The asymmetricalfrictionmechanismthatputsthecurlinthecurlingstone,inWear301,2013,pp.583-589Fig.6Harald Nyberg, Sara Alfredson, Sture Hogmark, Staffan Jacobson, The asymmetricalfrictionmechanismthatputsthecurlinthecurlingstone,inWear301,2013,pp.583-589Fig.7NorikazuMaeno,Assignmentsandprogressofcurlingstonedynamics,inProcIMechEPartP:JSportsEngineeringandTechnology,2016,pp.1-6Schémadelapierredecurlingprésentdansfig.10,fig.12,fig.13https://www.spreadshirt.fr/pierre+de+curling+curling+stone+curl+sport+curler+sweat-shirts-A23465921

-52-

13.Annexes13.1MonarticleenanglaisIntroduction

CurlingbecameanOlympicsportin1998.Inagame,twoteamsoffourplayersthrowstones across an ice rink to a target.Thename “curling” comes from the fact that thestonesdonotfollowastraightline,buthaveacurvedtrajectorywhenarotationisgiventothestone.Variousmodelshavebeenproposedinordertoexplainthistrajectory(seeforexample[4]),howevermostofthemonlyexplainthekeycharacteristics:curldistance,lowsensitivityofthecurldistancewithrespecttotheinitialrotationofthestone(below3rad/s),decayoftherotationalspeedwithtime,anddistanceattainedbythestonealongthestoneaxis.Severalotherimportantcharacteristicsofadrawshot(initialrotationofthe stone below 3 rad/s, initial translational velocity below 3 m/s) reported byexperiencedplayersarelistedbelow:• Theeffectoftheicesweeping,resultinginalongerdistanceattainedbythestone,and

alowercurl.• Theeffectoftheicepreparation.Onafreshlypebbledice,thedistanceandcurlofthe

first thrown stones are lower.When the ice isworn-out at the end of a game, thedistanceattainedbythestonediminishesandthecurldistanceincreasessignificantly.

• Whenastoneisthrownstraightwithoutrotation,itwillusuallystarttorotatebyitself.It is therefore almost impossible to obtain a straight trajectorywith an initial lowspeed.

• Abrandnewstonewillcurlless,attainingausualcurldistanceaftersometimewhichdependsfromstonetostone.Thecurldistancemayevenvaryslightlybetweenvarioususedstones.

• Thetravellingtimeiscomprisedbetween22and25seconds.• Thetrajectoryofthestonedoesnotcontainanyinflectionpoint.In thispaper, Ihave tried themodel suggested in [1]andcreatedaprogram.Anew

model,basedonthepreviousone,isproposed.Theresultsfromthismodelarecomparedtotheresultsfoundontheice.

ThemodelpresentedbyShegelskiandLozowski[1],whichtheyreferas“pivot-slidemodel”,makestheassumptionthattheslidingandrotatingmotionshappeninsequenceoneaftertheother:thestoneissupposedtoslideandthentopivotaroundapointonthecontactannulus.Thispointisallegedtobewherethevelocityisatitslowest.Untiltherockstops,theactionsofslidingandpivotingarerepeatedabout500times.Theauthorsalsoproposedsomeexplanationsofthisphenomenon.Thepivot-slidemodelsuccessfullypredictsthecurldistanceaswellasthelongitudinal

distanceattainedbythestone.Thismodelisinsensitivetotheinitialrotationspeedofthestone,whereasMaeno[4]presentsresultsshowingthatthereisaslightdecreaseofcurlwithincreasingrotationspeeds.Thepivot-slidemodelpredictsthatthestonetrajectorydoesnotdependontheinitial

translationalvelocity,thelatterhavinganinfluenceonlyonthedistancetravelledbythe

-53-

stone.Thisisnotobservedinreality:alowerinitialtranslationalvelocitywillresultinatrajectorythatismorecurved.Thiscomesfromthefactthattheratiobetweentheslideandpivottimesareconstantalongthetrajectory.Inthispaperwerefinethepivot-slidemodelbyassumingthatthisratiodependsontheinverseofthetranslationalvelocity.Wetherefore assume that the pivot-slide time ratio has a similar dependence to thetranslationalspeedthanthefrictioncoefficientobservedincurling,whichdependsontheinverse square root of the translational velocity (see for example [5]). A computerprogramwilltestthisrefinedpivot-slidemodel,andacomparisonwithmeasurementsperformedonacurlingrinkwillbepresented.

Pivot-slidemodel

Theequations(15),(16)and(17)from[1]arerepeatedbelow:

𝜓(𝑡) =1𝑟 

¡ 𝑣(𝑡 ′)𝑓(𝑡 ′)𝑑𝑡′f

l

𝑥(𝑡) = ¡ 𝑣(𝑡 ′) sin u𝜓(𝑡 ′)v 𝑑𝑡′f

l

𝑦(𝑡) = ¡ 𝑣(𝑡 ′) cos u𝜓(𝑡 ′)v 𝑑𝑡′f

l

with:

𝑟  ≡ £𝑅>

2 + 𝑟>¤p >?

and:

𝑓(𝑡) ≡𝛿𝑡 (𝑡)𝛿𝑡(𝑡)

and: 𝑥: position on the x-axis, perpendicular to the initial velocity 𝑦: position on the y-axis, parallel to the initial velocity 𝜓(𝑡): angle between the y-axis and the velocity of the CM at time t 𝑣: velocity of the CM 𝑅: outer radius of the rock 𝑟: radius of the contact annulus 𝑡 : time of pivot 𝑡: time of a single pivot-slide event

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

-54-

Theseintegralsareapproximatedwithafixedtimeinterval:

𝑣(𝑡) ≅ 𝑣(𝑡 − 𝑑𝑡) − (𝜇 𝑔 𝑑𝑡1

�𝑣(𝑡 − 𝑑𝑡))

𝛾(𝑡) ≅ 𝛾(𝑡 − 𝑑𝑡) + (𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑓)

𝜓(𝑡) ≅1𝑟 

𝛾(𝑡)

𝑣e(𝑡) = sin 𝜓(𝑡) 𝑣(𝑡)𝑣®(𝑡) = cos 𝜓(𝑡)𝑣(𝑡)𝑥(𝑡) ≅ 𝑥(𝑡 − 𝑑𝑡) + 𝑣e(𝑡)𝑑𝑡𝑦(𝑡) ≅ 𝑦(𝑡 − 𝑑𝑡) + 𝑣®(𝑡)𝑑𝑡

with: 𝜇: friction coefficient 𝑔: gravitational acceleration 𝑑𝑡: time interval 𝛾 is only used to make the sum of 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑓

Equations(6)to(12)wereusedinacomputerprogram,inordertoobtainthevelocities

(𝑣e; 𝑣®),andthetrajectory(𝑥, 𝑦).Atimeinterval𝑑𝑡 = 0.01 swasused.Thesimulationshowsthattwostoneswithdifferentinitialvelocitiesfollowthesame

trajectory until the first one stops (fig. 1). This fact is not observed in real curlingconditions,whereamorecurvedtrajectoryisobservedwithlowerinitialvelocity.Apartfromthisfact,thetrajectoryappearstobeingoodagreementwiththereality.

v=2.2m/s v=2.0m/s

(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)

Fig.1Stonetrajectorieswithaconstant.𝑓 = 4(10h°), 𝜇 = 0.01

-55-

Refinedpivot-slidemodel

Weassumeadependenceof𝑓(𝑡)asthereverseofthevelocityattime𝑡: 𝑓(𝑡) = ℎ

g(f) (13)whichyields: 𝛾(𝑡) = 𝛾(𝑡 − 𝑑𝑡) + ²𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑓(𝑡)³ = 𝛾(𝑡 − 𝑑𝑡) + ℎ 𝑑𝑡 (14)

with: ℎ: a constant[m/s]

Results

Adependencebetweenthecurldistanceandtheinitialvelocityisobservedinfig.2.Atafixeddistancefromthereleasepoint,aslowerstonecurlsmorethanafasterone.Fig.3showsthedependencetothefrictioncoefficient:astonecurls lesswithahighfrictioncoefficient.These twopropertiesare inagreementwithwhat isobservedonacurlingrink.Fig.4showsthattheconstantℎhasasignificanteffectonthecurldistance.Shegelski

andLozowskiestimatedtheslide-pivotratio𝑓,whichhasthesamesignificancethanℎ,from experimental results. This ratio has yet to be derived from first-principlesexpressions.Adifferencebetweenthemodelandtheobservationsistheanglebetweenthey-axis

and the velocity at the end of the trajectory. Asmentioned in [1], it is probable thatanothermechanismhappensattheendofthetrajectory.The model also predicts no dependence between the curl distance and the initial

rotationvelocity,forlowrotatingvelocities,astheonesfoundinagame[4].

µ=0.009 µ=0.01 µ=0.011 µ=0.012

Fig.2Effectoffrictioncoefficientonthetrajectory.𝑣 = 2.2 [𝑚 𝑠⁄ ], ℎ = 4(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ]

-56-

2.0m/s 2.1m/s 2.2m/s 2.3m/s

h=3.00E-04 h=4.00E-04 h=5.00E-04

Fig.3Effectofinitialvelocityonthetrajectory.ℎ = 4(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.01

Fig.4Effectoftheconstanthonthetrajectory.𝑣 = 2.2 [𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.01

-57-

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 5 10 15 20 25

x-velocityin[m

/s]

timein[s]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 5 10 15 20 25

y-velocityin[m

/s]

timein[s]

Fig.5Evolutionofx-velocitywith:ℎ = 4(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.01, 𝑣$o$f$yµ = 2.2 [𝑚 𝑠⁄ ]

Fig.6Evolutionofy-velocitywith:ℎ = 4(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.01, 𝑣$o$f$yµ = 2.2 [𝑚 𝑠⁄ ]

-58-

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

y-positionin[m

]

timein[s]

program

measure

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 5 10 15 20 25

x-positionin[m]

timein[s]

program

measure

Fig.7Comparisonofy-positionbetweenprogramandon-icemeasurement.

ℎ = 4.1(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.00925

Fig.8Comparisonofx-positionbetweenprogramandon-icemeasurement.

ℎ = 4.1(10h°)[𝑚 𝑠⁄ ], 𝜇 = 0.00925

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Comparisonwithexperimentalmeasurements

Twotypesofvideoswheretaken,oneforxandonefory,inordertoobtaintheresults.Markswhere placed on the ice to have the stone placement. These videoswere thenanalysedandtheinformationconcerningthesametrajectoriesweregathered.Infig.7thedistancebetweenthemarkswasprecise,thereforetheerrorbarswereput

on the time,whichwas not as precise. In fig.8, the timewas precise but the distanceobtainedthroughtheanalysishadasignificantimprecision.Thatiswhytheerrorbarswhereputonthedistance.Thediscrepancybetweenthemeasurementsandthesimulationcanbeattributedto

the imprecisions of the video analysis, as it is a simple technique, yet subject toimprecisions. We can see that, with the error bars, all the points measured are inagreementwiththeresultsofthesimulation.The dependence of 𝑓(𝑡) to the inverse of the velocity can be interpreted as a

dependencetothecontacttimebetweenthestoneandasinglepebble.Thistimewouldbeinverselyproportionaltothevelocityattime𝑡.Theeffectofsweepingintherefinedpivot-slidemodelisasfollows.Sweepingreduces

thefrictioncoefficientand𝑓(𝑡). If𝑓(𝑡)wasnotreduced,thestoneswouldhavecurledmorewhensweepingasshowninfig.2,whichissomethingnotobservedontheice.Theresultsobtainedpresentaslightdifferencewiththeonesfoundin[3]concerning

theevolutionofthex-velocity.In[3],thex-velocityisnear0during7seconds.Withthepresentmodel this velocity begins to grow as soon as the stone is released,which isconfirmedbyresultsobtainedanalysingthevideosmadeontheice.Thereforetheresultsin [3] may contain an imprecision, which can perhaps be attributed to an unevenrepartitionoftheweightcausedbythemeasuringinstrumentonthestonehandle.

Conclusion

Thedependenceof thepivot toslide times𝑓on the inverseof thevelocityallowstoexplainthreecharacteristicsofthestonetrajectoryobservedinacurlinggame,whichisnotthecasewithaconstant:biggercurlduringthetrajectorywithlowerinitialvelocity,slightincreaseoffinalcurldistancewithincreasedinitialvelocity,andlowercurlwiththeeffectofsweepingtheice.This refined pivot-slide model yields results that are in good agreement with

measurements on a curling rink.However, a slight difference happenswith the anglebetweenthevelocityandthey-axisattheendofthetrajectory.Thisisprobablycausedby another mechanism which takes place just before the stone stops [1]. Moremeasurementsshouldbetakeninordertoconfirmtheseresults.Evenifthedependenceof𝑓totheinverseofthevelocitymightbeinterpretedasrelatedtothetransittimeofthestoneonapebble,itshouldbederivedfromfirst-principlesexpressions.

-60-

References1. M.R.A Shegleski and E. Lozowski, Can. J. Phys. 94: 1305–1309 (2016)

dx.doi.org/10.1139/cjp-2016-04662. H. Nyberg, S. Hogmark and S. Jacobson, Tribol Lett (2013) 50:379–385 DOI

10.1007/s11249-013-0135-93. Krzysztof Szilder et al. / Procedia Engineering 147 ( 2016 ) 596 – 601 doi:

10.1016/j.proeng.2016.06.2464. Norikazu Maeno, Assignment and progress of curling stone dynamics, Journal of

Sportsengineeringandtechnology(2016),doi:10.1177/1754337116647241.5. A.R.Penner.Am.J.Phys.69,332(2001).doi:10.1119/1.1309519

Acknowledgements

AssociationLausannoisedeCurling,forenablingustoaccesstheice.LaurentdeSchoulepnikoff,forvaluablediscussions.MarinaLoertscher,forhergoodadvices.