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Chap. 1 : La prévision des ventes

La prévision des ventes (la réalisation du budget des ventes) est généralement mise en œuvre à l’aide d’un outil statistique : la corrélation et l’ajustement.

I- Corrélation et ajustement (appliqués à la prévision des ventes) Le volume des ventes (variable expliquée : y) est mis en relation (en corrélation) avec une autre variable (variable explicative : x). On suppose ainsi que les ventes dépendent, plus ou moins, de cette variable. (Corrélation : relation entre deux variables. Attention : une corrélation n’implique pas nécessairement un lien de dépendance entre les deux variables…) La variable explicative (x) peut être :

- le temps (par exemple, les ventes augment régulièrement d’environ 5 % par trimestre) : les valeurs de y ordonnées dans le temps constituent alors une série chronologique ;

- une autre variable : le prix, les dépenses publicitaires, le nombre de points de ventes… L’ajustement consiste à exprimer la relation (la corrélation) entre y (ventes) et x (variable explicative) sous la forme d’une fonction mathématique :

y = f(x) Les méthodes d’ajustement permettent de déterminer les paramètres de l’équation de cette fonction (par exemple une fonction linéaire : y = ax + b). La fonction d’ajustement est déterminée de sorte que les valeurs de y, obtenues par la fonction (valeurs ajustées), soient les plus proches possible des valeurs réelles de y observées au cours d’une période donnée.

La fonction d’ajustement, y = f(x), permet ensuite d’effectuer des prévisions à partir des valeurs de la variable x.

Ventes (y)

Dépenses publicitaires (x)

Fonction (droite) d’ajustement : y = ax + b

(ou : droite de régression, droite de corrélation, tendance, trend)

Nuage de points (xi ; yi) avec un ajustement linéaire

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II- L’ajustement linéaire et le coefficient de corrélation linéaire Cf. Exemple 1 : Représentation graphique (nuage de points). On observe une corrélation linéaire entre les deux variables.

A) L’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés La méthode des moindres carrés (Cf. cours de statistique) permet de déterminer les paramètres a et b de l’équation d’une fonction d’ajustement de type linéaire :

y = ax + b (droite d’ajustement, droite de régression, tendance) avec :

²)(

))((

1

1

∑

∑

=

=

−

−−=

n

ii

n

iii

xx

yyxxaaaa (Pente ou coefficient directeur de la droite)

n

xx

n

ii∑

== 1 n

yy

n

ii∑

== 1 (Moyennes arithmétiques des x et des y)

(n : nombre de données de la série)

xay −=bbbb (Valeur de l’ordonnée à l’origine i.e. valeur de y pour x = 0)

(Les moyennes des x et des y vérifient l’équation de la droite). Cf. exemple 1 : y = 77,5x + 112,5 Prévision de vente pour N + 1 : x = 10 � y = 887,5 ≈ 888 pianos Remarque : Les limites des méthodes d’ajustement (ou méthodes d’extrapolation du passé) Les méthodes d’ajustement reposent sur l’hypothèse que les tendances (évolutions) du passé se reproduiront dans le futur… La prévision des ventes par ces méthodes n’est possible que pour un produit existant (pour les nouveaux produits : études de marchés…)

x x +1

y2

a 1

y1

y2 = a(x+1) + b y1 = ax + b y2 – y1 = a

b

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B) Le coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation permet de mesurer le degré de corrélation linéaire entre les deux variables (i.e. la pertinence d’un ajustement linéaire) :

∑∑

∑

==

=

−−

−−=

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxx

11

1

)²(²)(

))((rrrr

• r est toujours compris entre - 1 et + 1. • Plus r est proche de 1 ou de - 1, plus la corrélation linéaire entre les deux variables est

forte (les valeurs observées de y sont proches des y ajustés i.e. des y obtenus avec l’équation de la droite : Cf. graphique : le nuage de points est allongé en ligne droite).

• Si r = 1 ou - 1, la corrélation linéaire est parfaite (tous les points du nuage sont sur la

droite !). • Plus r est proche de 0, plus la corrélation est faible ! • Si r est positif, les deux variables varient dans le même sens ; si r est négatif, elles varient

en sens inverse. Cf. exemple 1 : r = 0,993… Les calculs de a, b et r peuvent (doivent !) être effectués à l’aide d’une calculette (ou d’un tableur). Cf. Annexe : Mode opératoire Texas Instruments – BA II Plus Cf. Fiche conseil p.37 et s : Résolution à l’aide d’un tableur Applications :

- Cas Thalis p.50 - Cas Millan p.51

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III- L’analyse des séries chronologiques avec un phénomène saisonnier (ou périodique) Série chronologique : suite de valeurs ordonnées dans le temps. Cf. exemple 2 : Représentation graphique. On observe une tendance à l’augmentation du CA (tendance générale) avec des variations saisonnières périodiques (diminution systématique au cours des 2e et 3e trimestre et 4e trimestre toujours les plus élevés).

A) La détermination de la tendance générale (trend) La tendance générale peut être déterminée à l’aide d’un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés :

- soit, directement, à partir des valeurs observées, - soit à partir des moyennes mobiles (calculées à partir des valeurs observées).

1) Tendance générale par ajustement linéaire sur les valeurs observées L’équation de la droite de tendance est obtenue par la méthode des moindres carrés : y = ax + b avec a = …. et b = …. (Cf.II- A).) Cf. exemple 2 : y = 4,8x +218,7 Rmq : r = 0,35 (faible corrélation linéaire entre les valeurs observées et le

temps, du fait des variations saisonnières…).

2) Tendance générale par ajustement linéaire sur les moyennes mobiles La méthode des moyennes mobiles consiste à remplacer chaque valeur observée par la moyenne d’un ensemble (d’un groupe) de ces valeurs observées. Il existe plusieurs méthodes de calcul des moyennes mobiles et le nombre de valeurs retenues pour calculer les moyennes dépend de la périodicité du phénomène saisonnier (4 si périodicité trimestrielle ; 12 si mensuelle). Par exemple, pour une périodicité trimestrielle : Série chronologique (ventes trimestrielles) : y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 , y8 , …

• Moyennes mobiles (simples) d’ordre 4 : m4 = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4 ; m5 = (y2 + y3 + y4 + y5) / 4 ; m6 = … (Chaque valeur observée est remplacée par la moyenne des quatre valeurs qui la précèdent.)

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• Moyennes mobiles centrées d’ordre 4 :

m3 = (2

y1 + y2 + y 3 + y4 + 2

y5 ) / 4 ; m4 = (2

y2 + y3 + y 4 + y5 + 2

y6 ) / 4 ; m5 = …

Cf. exemple 2 bis :

- Calcul des moyennes mobiles (simples d’ordre 4) - Représentation graphique

La méthode des moyennes mobiles est une méthode de lissage des séries chronologiques (les variations saisonnières sont neutralisées). Les moyennes mobiles sont déjà représentatives de la tendance générale de la série (elles sont parfois utilisées comme « valeurs ajustées » dans le calcul des coefficients saisonniers Cf B).). L’ équation de la tendance générale peut alors être déterminée par un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés mais appliquée aux moyennes mobiles. Cf exemple 2 bis : y = 4,478x + 214,95 Rmq : r = 0,98 (forte corrélation linéaire entre les moyennes mobiles et le temps)

B) Le calcul et l’utilisation des coefficients saisonniers L’équation de la tendance générale permet de prévoir la tendance générale des périodes futures mais les prévisions ainsi obtenues ne tiennent pas compte des variations saisonnières. Les coefficients saisonniers, calculés sur les périodes passées, permettent de « saisonnaliser » les prévisions tirées de la tendance générale. Les coefficients saisonniers sont calculés par la méthode des rapports à la tendance (« rapports au trend ») : Le coefficient saisonnier pour une période (un mois ou un trimestre, selon le nombre de périodes dans un cycle : 12 ou 4) est égal à la moyenne par période (mois ou trimestre) des rapports :

Rapport au trend = ajustéeValeur

observéevaleur

Valeur ajustée : valeur de y obtenue par l’équation de la tendance générale (équation obtenue sans ou avec lissage préalable par les moyennes mobiles) ou moyenne mobile (représentative également de la tendance). NB : Valeur observée = Valeur ajustée × coefficient (rapport au trend)

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Les coefficients saisonniers sont utilisés pour saisonnaliser les prévisions de ventes :

Prévision (saisonnalisée)t = prévision ajustéet (tendance) x coefficient saisonniert

Cf. exemple 2 :

- Calcul des coefficients saisonniers Valeur ajustée : y = 4,8x + 218,7 (ajustement linéaire sur les valeurs observées) NB : Somme des coefficients = nombre de périodes du cycle : 4 trimestres ou 12 mois

- Prévision de ventes N + 1 Valeur ajustée : y = 4,8x + 218,7 Cf. exemple 2 bis :

- Calcul des coefficients saisonniers Valeur ajustée : y = 4,478x + 214,95 (ajustement linéaire sur les moyennes mobiles) (ou, éventuellement, moyennes mobiles sans ajustement linéaire)

- Prévision de ventes N + 1 Valeur ajustée : y = 4,478x + 214,95

(ou y = 4,8x + 218,7) Rmq : Les coefficients saisonniers peuvent également être utilisés pour désaisonnaliser une série chronologique (éliminer les variations saisonnières). (Saisonnaliser : prendre en compte les variations saisonnières ; Désaisonnaliser : les éliminer !).

Valeur désaisonnalisée = Valeur observée / coefficient saisonnier On obtient ainsi une série corrigée des variations saisonnières (une tendance plus régulière). Cf. Exemple 2 :

- Valeurs désaisonnalisées - (Eventuellement graphique et ajustement sur les valeurs désaisonnalisées…)

(Il s’agit finalement d’une autre méthode pour déterminer la tendance générale ; mais le calcul préalable des coefficients saisonniers nécessite déjà de déterminer la tendance générale…Sauf si les coefficients saisonniers sont donnés !) Applications : Cas Maxelle (p.47) ; Cas Lampert (p.49) ; Cas Maeva (p.52) ;

Cas Mathurin (p.53) ; Cas Marine (p.55) ;

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IV L’ajustement exponentiel (ramené à un ajustement linéaire) L’ajustement linéaire (y = ax + b) est justifié lorsque les valeurs observées (ou la tendance) varient avec un taux (à peu près) constant (égal à « a » : pente de la droite) : les ventes augmentent (ou diminuent) à un rythme régulier. Lorsque les ventes augmentent avec un taux de variation croissant, on procède alors à un ajustement exponentiel : le nuage de points est alors proche d’une courbe d’une fonction exponentielle de type y = b.ax.

Ajustement linéaire y = ax + b

Variable x (temps)

Var

iab

le y

(ve

nte

s)

Ajustement exponentiel y = bax

Variable x (temps)

Var

iab

le y

(ve

nte

s)

NB : y = bax = b(eA)x = beAx (si eA = a)

Cf. exemple 3 : Représentation graphique. On observe une tendance de type exponentiel L’équation d’une fonction exponentielle peut être transformée en une équation linéaire par un changement de variable et de paramètres : y = bax ⇔ lny = ln(bax) ⇔ lny = lnb + lnax ⇔ lny = lnb + xlna En posant : Y = lny A = lna B = lnb l'équation devient : Y = Ax + B La méthode des moindres carrés permet alors de déterminer les paramètres A et B On en déduit a et b : A = lna ⇔ a = eA B = lnb ⇔ b = eB Cf exemple 3 : A = 0,3457… B = 4,6620… (Y = 0,3457x + 4,6620) a = eA = e0,3457… = 1,413 b = eB = e4,662… = 105,85 Equation de la tendance (courbe d’ajustement exponentiel) : y = bax y = 105,85×e0,3457x ou : y = 105,85×1,413x Prévisions : x = 7 � y = 105,85×(1,4137) = 1 190 x = 8… � y = 1 682 … Applications : Cas Gayot p.61 ; Cas Loire-Milhaud p.63

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