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Exercices 11 fvrier 2014

Intgration et primitives

Notion dintgraleExercice 1Pour chaque fonction affine dfinie par morceaux f , reprsente ci-dessous, calculer, enutilisant les aires, lintgrale I de f sur lintervalle de dfinition de f .

0.5

1.0

0.5

1.0

1 2 3123 O

C f

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9O

C f

b b

Exercice 2

Polynsie juin 2013On considre la fonction f dfinie sur R par : f (x) = (x + 2)exOn note C la courbe reprsentative de la fonction f dans un repre orthogonal.On note D le domaine compris entre laxe des abscisses, la courbe C et les droites dqua-tion x = 0 et x = 1. On approche laire du domaine D en calculant une somme daires derectangles.a) Dans cette question, on dcoupe lintervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de mme

longueur :

Sur lintervalle[0 ; 1

4

], on construit un rec-

tangle de hauteur f (0)

Sur lintervalle[14

;12


tangle de hauteur f(

14

)

Sur lintervalle[12

;34



12

)

Sur lintervalle[34

; 1], on construit un rec-


34

)

Cette construction est illustre ci-contre.

C

1

2

1O

paul milan 1 Terminale S

exercices

Lalgorithme ci-contre permet dobtenirune valeur approche de laire du domaineD en ajoutant les aires des quatre rec-tangles prcdents.Donner une valeur approche 103prs du rsultat affich par cet algorithme.Sagit-il dune valeur par excs ou par d-faut ?

Variables : I entier et S relEntres et initialisation

0 STraitement

pour I variant de 0 3 faireS + 1

4f( I4

) S

finSorties : Afficher S

b) Dans cette question, N est un nombre entier strictement suprieur 1. On dcoupelintervalle [0 ; 1] en N intervalles de mme longueur. Sur chacun de ces intervalles,on construit un rectangle en procdant de la mme manire qu la question a).Modifier lalgorithme prcdent afin quil affiche en sortie la somme des aires des Nrectangles ainsi construits. Faites le calcul pour N = 100.

c) Vrifier le rsultat en calculant la valeur approche de lintgrale de f de 0 1. Quelleest lerreur commise en prenant N = 4, valeur trouve en a).

Exercice 3

Dans chaque cas, la fonction f est reprsente par sa courbe C f , dont une quation estindique.

1) Prouver que C f est un demi-cercle. Prciser son centre et son rayon.2) En dduire lintgrale I de f sur son intervalle de dfinition. En donner ensuite une

valeur approche puis vrifier le rsultat sur votre calculette.

1

2

1 2 312

C f y =

4 x2

O 1 + 21 2

C fy = 1 +

2 (x 1)2

O 1

1

Exercice 4

Les fonctions affines par morceaux f et g sont dfinies sur lintervalle [1 ;5] par :

f (x) =

x + 3 si 1 6 x 6 0 x + 3 si 0 < x 6 3x 3 si 3 < x 6 5

et g(x) =

1

2x +

32

si 1 6 x 6 1

14

x +54

si 1 < x 6 5

1) Tracer sparment les fonctions f et g2) Calculer les intgrales I et J sur [1 ;5] de f et g.3) En dduire les intgrales sur [1 ;5] des fonction f + 4g et 5 f 2g


exercices

PrimitiveExercice 5

Prouver dans les cas suivantes que la fonction F est une primitive de la fonction f sur unintervalle I.

1) f (x) = 2(x4 1)x3

; F(x) = x2 + 1x2

; I =]0;+[

2) f (x) = 11 + ex

; F(x) = x ln(1 + ex) ; I = R

3) f (x) = 1x ln x

; F(x) = ln(ln x) ; I =]1;+[

4) f (x) = cos x x sin x ; F(x) = x cos x ; I = R

Exercice 6

Montrer que les fonction F et G sont deux primitives de la mme fonction f sur unintervalle I.

F(x) = x2+ 3x 1x 1 ; G(x) =

x2 + 7x 5x 1 ; I =]1;+[.

Calcul de primitivePour les exercices de 6 12, donner une primitive de la fonction f sur lintervalle Iindiqu.Exercice 7

Linarit de la primitive1) f (x) = x4 4x3 + x2 4x + 3, I = R

2) f (x) = x2 2x + 1

3 , I = R

3) f (x) = 1 1x3

, I =]0;+[

4) f (x) = 1x3+

4x2 1, I =]0;+[

5) f (x) = 4x+ 2ex, I =]0;+[

Exercice 8

Forme uun

1) f (x) = (x + 2)3, I = R2) f (x) = 2x(1 + x2)5, I = R

3) f (x) = (x 1)5

3 , I = R

4) f (x) = 2x(3x2 1)3, I = R

5) f (x) = sin x cos x, I = R


exercices

Exercice 9

Formeu

u

1) f (x) = 1x 4, I =]4;+[

2) f (x) = 1x 4, I =] ; 4[

3) f (x) = 2x 1x2 x , I =]0; 1[

Exercice 10

Formeu

un, n > 2

1) f (x) = 2(x + 4)3 , I =] 4;+[

2) f (x) = 1(3x 1)2 , I =]; 13

[

3) f (x) = 2x 1(x2 x + 3)2 , I = R

4) f (x) = x 1(x2 2x 3)2 , I =] 1; 3[

5) f (x) = 4x2

(x3 + 8)3 , I =] 2;+[

Exercice 11

Formeu

u

1) f (x) = 22x + 1

, I =] 1

2;+

[2) f (x) = 2x

x2 1, I =]1;+[

Exercice 12

Forme ueu

1) f (x) = ex+1, I = R2) f (x) = 2e3x2, I = R

3) f (x) = xe x22 , I = R

4) f (x) = sin x ecos x, I = R

Exercice 13

Forme u(ax + b)1) f (x) = cos(3x) + sin(2x), I = R2) f (x) = 3 cos x 2 sin(2x) + 1, I = R

3) f (x) = sin(

3 2x), I = R

Exercice 14

Primitive et condition initialePour les exercices suivants , trouver la primitive F, de la fonction f , qui vrifie la conditiondonne sur un intervalle I prciser.


exercices

1) f (x) = x4 + 3x2 4x + 1, F(2) = 0

2) f (x) = 2x2+ x, F(1) = 0

3) f (x) = 1(2x + 1)2 , F(0) = 0

4) f (x) = 13 x , F(1) = 1

5) f (x) = x(x2 1)2 , F(0) = 0

6) f (x) = e3x+1, F(1) = 0

7) f (x) = xex2 , F(ln 2) = 1

8) f (x) = 1x 1 +

1x + 1

, F(2) = 0

9) f (x) = sin(2x

4

), F

(

2

)= 0

10) f (x) = cos x sin2 x, F(

2

)= 1

11) f (x) = 2 cos x2 3 sin x

2, F

(

2

)= 0

Exercice 15

Calcul de primitives (plus difficile)Calculer une primitive de la fonction f sur lintervalle indique.

1) f (x) = x2

x3 1 I =] ; 1[

2) f (x) = cos xsin x

I =] ; 0]

3) f (x) = 1x2

e2x I =]0;+[

4) f (x) = x cos x sin xx2

I =]0;+[

5) f (x) = ln x 1x2

I =]0;+[

6) f (x) = ln xx

I =]0;+[

7) f (x) = 1x ln x

I =]1;+[

8) f (x) = ex ex

ex + exI = R

Exercice 16

Primitive dune fonction rationnelle par dcompositionf dsigne une fonction rationnelle dfinie sur un intervalle I. Dterminer une primitive def laide de la dcompostion propose1) f (x) = 4x + 5

2x + 1I =]1;+[. Ecrire f (x) sous la forme f (x) = a + b

2x + 1

2) f (x) = 2x2 3x 4

x 2 I =]2;+[. Ecrire f (x) sous la forme f (x) = ax + b +c

x 2

3) f (x) = 1x 3 +

1x + 3

a) I =]3;+[ b) I =] 3; 3[ c) I =] ;3[

4) f (x) = x2+ x + 1

(x2 1)2 I =]1;+[. Ecrire f (x) sous la forme f (x) =a

(x 1)2 +b

(x + 1)2


exercices

Calcul dintgralePour les exercices 17 et 18, calculer les intgrales indiques laide dune primitive.Exercice 17

1) I = 4

0(x 3) dx

2) I = 21

(t2 4t + 3) dt

3) I = 2

1

(t2 + t 1

t

)dt

4) I = 2

0

3x(x2 + 1)2 dx

5) I = ln 3

ln 2ex dx

6) I = 3

0

dt(2t + 1)2

Exercice 18

1) I = 4

0dx

2) I = 12

x 3x

dx

3) I = 11

x

x2 4 dx

4) I = 2

1

13x 2 dx

5) I = 1

05e3x dx

6) I = 1

0tet

21 dt

Exercice 19

Calcul dintgrale par une dcomposition

1) a) Trouver trois rel a, b et c tels que : 4x2+ 7x + 1x + 2

= ax + b + cx + 2

b) En dduire : I = 2

0

4x2 + 7x + 1x + 2

dx

2) a) Prouver que pour tout rel x : 11 + ex

= 1 ex

1 + ex

b) En dduire : I = 1

0

11 + ex

dx

Encadrement et valeur moyenneExercice 20

Comparer, sans les calculer les rels I et J.

1) I = 2

1x ex dx 2) J =

21

x2 ex dx

Exercice 21

Dmontrer les encadrements suivants :


exercices

1) 2 6 9

1

11 +

t

dt 6 4

2) 2 6 2

1

1 + x3 dx 6 3

3) 126

10

11 + t3

dt 6 1

4) 2e4 6 2

0

1ex

2 dx 6 2

5) 2 ln 3 6 4

2ln(x2 1) dx 6 2 ln 3 + 2 ln 5

Exercice 22

La suite (In) est dfinie sur N par :In =

10

(1 + tn) dt

1) Prouver que la suite (In) est dcroissante.2) Est-elle convergente ?

Exercice 23

On donne la fonction dfinie sur R par : f (x) = 2 e0,04t

e 0,04t + 19a) Dterminer une primitive de f .b) Calculer la valeur moyenne de f sur lintervalle [50 ;100]. En donner une valeur

approche 102.

Exercice 24

On donne la valeur moyenne = 2 dune fonction f sur lintervalle [1 ;4].Dterminer

41

f (x) dx

Exercice 25

Calculer la valeur moyenne sur lintevalle [1; 1] de la fonction f : x 7 1 x2(Indication : on pourra penser au cercle de centre O et de rayon 1)

Exercice 26

Pour tout entier naturel non nul n, on pose : In = n+1

n

1x

dx

1) Dmontrer que 1n + 1

6 In 61n

2) La suite (In) est-elle convergente ?

Exercice 27

f est la fonction dfinie sur R+ par : f (x) = xx + 1

.

La suite (un) est dfinie sur N par : un = n

0f (t) dt


exercices

1) Dmontrer que la suite (un) est croissante.2) Prouver que pour tout entier n > 1, un > n 12 . La suite (un) converge t-elle ?

(Indication : on montrera que : x > 0, f (x) > xn + 1

)

Exercice 28

Mtropole juin 2012Partie A

Soit f la fonction dfinie sur lintervalle [1 ; +[ par : f (x) = 1x + 1

+ ln(

x

x + 1

).

1) Dterminer la limite de la fonction f en +.2) Dmontrer que pour tout rel x de lintervalle [1 ; +[, f (x) = 1

x(x + 1)2 .Dresser le tableau de variation de la fonction f .

3) En dduire le signe de la fonction f sur lintervalle [1 ; +[.

Partie B

Soit (un) la suite dfinie pour n > 1 par : un = 1 + 12 +13 + . . . +

1n ln n

1) On considre lalgorithme suivant :

VariablesN, U, IInitialisationLire N0 UTraitementPour I de 1 N faire

U + 1/I UFinPourAfficher U

Donner la valeur exacte affiche par cetalgorithme lorsque lutilisateur entre lavaleur n = 3.

2) Recopier et complter lalgorithme prcdent afin quil affiche la valeur de un lorsquelutilisateur entre la valeur de n.

3) Voici les rsultats fournis par lalgorithme modifi, arrondis 103.n 4 5 6 7 8 9 10 100 1 000 1 500 2 000un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577

laide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite(un) et son ventuelle convergence.

Partie CDmonstrations des conjectures formules la partie B

1) Dmontrer que pour tout entier strictement positif n : un+1 un = f (n)o f est la fonction dfinie dans la partie A. En dduire le sens de variation de lasuite (un).


exercices

2) a) Soit k un entier strictement positif.Justifier lingalit

k+1k

(1k

1x

)dx > 0.

En dduire que k+1

k

1x

dx 6 1k .

Dmontrer lingalit ln(k + 1) ln k 6 1k (1).b) crire lingalit (1) en remplaant successivement k par 1, 2, . . . , n et dmontrer

que pour tout entier strictement positif n,

ln(n + 1) 6 1 + 12+

13 + . . . +

1n.

c) En dduire que pour tout entier strictement positif n, un > 0.3) Prouver que la suite (un) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.

Remarque : Cette limite sappelle la constante dEuler. Cest lune des constantes lesplus importantes de lanalyse avec e et . Elle est relie la fonction dzta de Riemannqui intervient dans ltude de la rpartition des nombres premiers.

Exercice 29

Centres trangers juin 2012On considre la suite (In) dfinie pour n entier naturel non nul par : In =

10

xnex2 dx

1) a) Soit g la fonction dfinie par g(x) = xex2 .Dmontrer que la fonction G dfinie sur R par G(x) = 1

2ex

2est une primitive sur

R de la fonction g.b) En dduire la valeur de I1.c) On admet que, pour tout entier naturel n > 1, on a : In+2 = 12e

n + 12

InCalculer I3 et I5.

2) On considre lalgorithme suivant :Variablesn, u

Initialisation1 n12

e 12 u

TraitementTant que n < 21 faire

12

e n + 12

u un + 2 n

FinTantqueAfficher u

Quel terme de la suite (In) obtient-on ensortie de cet algorithme ? Quelle est savaleur ?

3) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In > 0.b) Montrer que la suite (In) est dcroissante.c) En dduire que la suite (In) est convergente. On note sa limite.

4) Dterminer la valeur de . On pourra raisonner par labsurde.


exercices

Calcul daireExercice 30

On considre deux fonctions f et g dfinies respectivement sur ]0;+[ par :

f (x) = ln xx

et g(x) = ln2 x

x

On note C f et Cg les courbe respectives des fonction f et g.1) Dmontrer que les courbes C f et Cg admettent deux points communs dont on prcisera

les coordonnes.2) tudier la position relative des courbes C f et Cg.3) On a trac les courbes C f et Cg. Identifier chaque courbe puis dterminer laire A en

cm2 de la partie du plan dlimite par les courbes C f et Cg et par les droites dquationsx = 1 et x = e. Lunit est de 2 cm sur laxe des abscisses et de 4 cm sur laxe desordonnes.

0.5

1 2 3O

Exercice 31

Nlle Caldonie mars 2012Soit f la fonction dfinie sur [0 ; 1] par f (x) = xex.On dsigne par C la courbe reprsentative de f dans le plan muni dun repre orthogonal(O, ~, ~) .Soit a un nombre rel appartenant lintervalle [0 ; 1].Sur la courbe C f , trace en annexe, on a plac les points A et B dabscisses respectives aet 1. On a trac les segments [OA] et [AB]. On a hachur la partie du plan dlimite parles segments [OA] et [AB] et la courbe C. On a plac les points A(a ; 0) et B(1 ; 0).Le but de lexercice est de dterminer la valeur du nombre rel a pour laquelle laire de lapartie du plan hachure en annexe est minimale.Partie A :1) Montrer que la fonction F dfinie sur [0 ;1] par F(x) = (x 1)ex est une primitive de

f sur [0 ;1]. En dduire que 1

0xex dx = 1.

2) a) Donner laire du triangle OAA et montrer que laire du trapze ABBA est gale 1

2(a2ea + aea ae + e

).

b) En dduire que l aire de la partie du plan hachure est gale 12

(aea ae + e 2).

Partie B :Soit g la fonction dfinie sur [0 ; +[ par : g(x) = x (ex e) + e 2


exercices

a) Soit g la fonction drive de la fonction g. Calculer g(x) pour tout rel x de [0 ; +[.Vrifier que la fonction drive seconde g est dfinie sur [0 ; +[ par : g(x) =(2 + x)ex.

b) En dduire les variations de la fonction g sur [0 ; +[.c) tablir que lquation g(x) = 0 admet une solution unique dans lintervalle [0 ; +[.

Dterminer une valeur approche de 102 prs.d) En dduire les variations de la fonction g sur [0 ; +[.e) En utilisant les rponses aux questions des parties A et B, montrer quil existe une

valeur de a pour laquelle laire de la partie du plan hachure est minimale. Donnercette valeur de a.

Annexe

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

A

B

O

C f

A B x

y


exercices

Calcul de volume de solide de rvolutionExercice 32

Volume dun phare

Calculer le volume V du phare ci-contre ob-tenu par rvolution autour de laxe (Oz) dumorceau de parabole dquation :

z = x2

(0 6 x 6 2) dans le plan (xOz) ; unit 6 cm

1 212 O

1

4

z

x

Exercice 33

Contenance dun chteau deau

Lintrieur dun chteau deau a la forme dusolide de rvolution obtenu en faisont tour-ner autour de Oz) la branche d(hyperboledfinie par :

z = 5

x2 1

0 6 z 6 20. Lunit tant gale 2 m, calcu-ler la contenance du chteau deau (en hec-tolitre). O 1

20z

x

Exercice 34

La trompette

Dterminer le volume de la trompette obte-nue par rvolution autour de laxe (Oz) dumorceau de parabole dquation :

y = z2

avec 0 6 z 6 1O

1

1

1

z

y


exercices

Exercice 35

Volume dun toreUn tore est un solide qui a la forme dune chambre air ou dun donut pour lesanglais. Il est caractris par d et R comme indiqu sur la figure suivante :

dR

b

O

Si laxe du tore est laxe z alors lorsquon dcoupe le tore par des plan perpendiculaires cet axe, on obtient des couronnes dont les rayon des cercles intrieur et extrieur sontrespectivement d + r(z) et d r(z).On donne le schma suivant :

d

Rz r(z)r(z)

b b

b

O

1) Dterminer la surface dune couronne daltitude z en fonction de d et r(z).2) en dduire le volume du tore


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