CM4 - MC-II3 - Transformée en z

8/3/2019 CM4 - MC-II3 - Transforme en z

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Mise en uvre du TNS Page 1 sur 60

Novembre 2011.

Traitement Numrique du SignalCM4 : Transforme en z

Universit du Havre, IUT du Havre

Dpartement GEII


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PPN 2008: MC-II3

Traitement du signal

Applications en GEII

Mise en uvre

Test

DSP

CAN/CNATF, compression, codage


3/60


Conversion Analogique-Numrique

Principe

Proprits

Tables

Filtrage numrique

Transforme en z

Filtres RII

Filtres RIF

Plan


4/60


1. Principe


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Transforme en z

Principe: Description de systme discrets

Dans le domaine temporel, par une quation de rcurrence de la forme:

0 0

( ) ( )k kk d k n

k kk kk k

d s t d e t a b

dt dt

= =

= =

=

Une fonction de transfert dun systme discret est donn par:

1

0 1

1 2

0 1 2

( )zb b z

T z

a a z a z

+=

+ +

Dans le domaine de la transforme en z, par une fonction de transfert:

0

0

( )

nk

k

k

z dk

kk

b z

T z

a z

=

=

=

0 1 2 0 1( ) ( 1) ( 2) ( ) ( 1)a s N a s N a s N b e N b e N + + = +

Par exemple, pour n = 1 et d= 2, on obtient:

0 0

( ) ( )d n

k k

k k

a s N k b e N k = =

=


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Transforme en z


Dans le domaine de la transforme en z, on a:

0

( ) ( ). epkT

L e

k

X p x kT e+

=

=

Un signal discret xk est modlis mathmatiquement par pondration dunedistribution peigne de Dirac de priode Te par les chantillons xk = x(k.Te):

0

( ) ( ). ( )d e ek

x t x kT t kT +

=

=

Dans le domaine de Laplace, la transforme donne: { }( ) pTL t e =

{ ( )k

eTZ t kT z

=

0

( ) ( ). kz ek

X z x kT z+

=

=


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Transforme en z


La transforme en z se calcule simplement pour certains signaux:

Pour la fonction Heavyside attnu x(t) = H(t> 0).et (> 0), on obtient:

Pour la fonction chelon (Heavyside) H(t> 0) = 1, on obtient:

0 0

( ) ( ).1

k k

z e

k k

z H z H kT z z

z

+ +

= =

= = =

10

1( ) .

1e

e e

kT k

z T Tk

z X z e z

e z z e

+

=

= = =

Pour la fonction cosinus x(t) = cos(t) = (e+j

t+e

j

t)/2, on obtient:2

21 10

cos( )1 1( ) .

2 2 cos( ) 11 1

e e

e e

j kT j kT

k e

z j T j T k e

z z T e e X z z

z z T e z e z

+ +

+ =

+= = + =

+


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2. Proprits


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Transforme en z

Proprits: Linarit et translation temporelle

La transforme en z est une transforme linaire:

Le retard temporel de nT (> 0) chantillons scrit:

Le principe de superposition est vrifi:

} { } { }. ( ) . ( ) . ( ) . ( )TZ x t y t TZ x t TZ y t + = +

( ){ } ( ){ }( ) .TnT e eTZ x k n T z TZ x kT =

Lavance temporelle de nT

(< 0) chantillons scrit:

( ){ } ( ){ }( ) .TnT e eTZ x k n T z TZ x kT =


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3. Tables


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( )t 1

( )et kT kz

{ }( ) ( )z d X z TZ x t ={ }1( ) ( )d z x t TZ X z

=

( )H t

Transforme en z

1

z

z

( ). t H t e eTz

z e

t 2( 1)

z

z

2t3

( 1)

( 1)

z z

z

+

/ et Taz

z a


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( ) cos( )t H t e t

Transforme en z

cos( )t

sin( )t

2

2

cos( )

2 cos( ) 1

e

e

z z T

z z T

+

2

sin( )

2 cos( ) 1

e

e

z T

z z T

+

( ) sin( )t H t e t

2

22

cos( )

2 cos( )

e

e e

Te

T T

e

z ze T

z ze T e

+

22

sin( )

2 cos( )

e

e e

T

e

T T

e

ze T

z ze T e

+

2

( )

T ek T

t

( ).(1 )t H t e (1 )

1 ( 1)( )

e

e e

T

T T

z z z e

z z e z z e

=

( )1 1 1

T e T e T e T ek T k T k T k T z z z

z z z z

z z z

+ + =

{ }( ) ( )z d X z TZ x t ={ }1( ) ( )d z x t TZ X z

=


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4. Transforme en z


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Transforme en z

Filtrage numrique: Forme gnrale

Conception de filtre numrique dans le domaine de la transforme en z:

La fonction de transfert dun filtre numrique scrit:

1

0 1

1

1

( )( )

( ) 1

n

n

d

d

b b z b zB zG z

A z a z a z

+ + += =

+ + +

La formulation factorise fait apparatre les zros zk et les ples pk du filtre:

1

1

1

1

(1 )

( ) (0)

(1 )

n

k

k

d

k

k

z z

G z b

p z

=

=

=

Les coefficients

ak et bk sont rels.

Les coefficients zk et pk sont rels ou en

paires complexes conjugues.


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Transforme en z


La TZ dun filtre RIF (Rponse Impulsionnelle de dure Finie: n fini) scrit:

La formulation factorise fait apparatre uniquement des zros zk:

1

0 1

( )( )

( )

n

n

B zG z b b z b z

A z

= = + + +

1

1

( ) (0) (1 )n

k

k

G z b z z

=

=

Attention: G(z) possde n zros et n ples situs lorigine, en z = 0.

Exemples: Filtre moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).

Forme gnrale dun filtre RIF dans le domaine de la TZ:


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1 1

1 1 1 1( )

1 ( 1)

N N

N

z zG z

N N z z z

= =

Transforme en z


Forme gnrale dun filtre RIF dans le domaine de la TZ:

La TZ dun filtre RIF (Rponse Impulsionnelle de dure Finie : N fini) scrit:

La formulation factorise fait apparatre des zros zk et des ples pk en z = 0.

[ ]1/ 0, 1( )

0

N k N g k

ailleurs

= =

1

0

1( )

Nk

k

G z zN

=

=

N zros, N1 ples en z=0,1 ple en z=1

N zros et 1 ple

z = 1 est la fois ple et zro

Il reste N1 zros

et N1 ples en z = 0.


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Transforme en z


La TZ dun filtre RII (Rponse Impulsionnelle de dure Infinie: n +) scrit:

La formulation factorise fait apparatre uniquement le pole a:

1

1( )

1

zG z

z aaz= =

Forme gnrale dun filtre RII dans le domaine de la TZ:

[ [( ) pour 0;kg k a k = +0

( ) k k

k

G z a z+

=

=

g(k)

kAttention: Srie convergente pour |a| < 1.

Remarque: Cette TZ correspond la RI dune exponentielle.

Ple en z = aZro en z = 0


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Transforme en z


Exemple:


( ) 0,5. ( 1) 2. ( ) y k y k x k = + 1( ) 2

( )( ) 1 0,5.

z

z

Y zG z

X z z

= =

La formulation factorise fait apparatre le pole a = 0,5:

1

2 2( )

1

zG z

z aaz= =

g(k)

kAttention: Srie convergente car |a| < 1.

Ple en z = aZro en z = 0

La table donne: ( ) 2.(0,5) . ( )kg k H k =


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Transforme en z


Exemple:


( ) ( 1) ( 1)y k x k x k = + +1 1( )( )

( )

z

z

Y zG z z z

X z

+= = +

La transposition dans le domaine de Fourier discrtis avec z = e+jTe donne:

( ) 2cos( )e e j T j T

e eG T e e T

+= + =

G(Te)

Te/2 00

2

fe/4 fe/20 f

Filtre rjecteur defrquence en fc = fe/2


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Caractristique

Fonctionde transfert

Rponseen frquence

Rponseen phase

Stabilit

Complexitde la structure

Sensibilitaux erreurs

d'arrondi

Transforme en z

Filtrage numrique: Comparaison

Filtre RIF

Ne contient que des zros.

Aucune restriction.

Parfaitement linaire si

ncessaire.

Toujours stables.

Proportionnelle la longueurde la rponse impulsionnelle.

Faible, sauf dans le cas d'uneralisation rcursive.

Filtre RII

Contient des pleset des zros.

Les mthodes limitesaux filtres LP, HP, BP, RB.

Approximation

dune phase linaire.

Ples dans le cercle unit.

Plus faible qu'un filtre FIRpour la mme slectivit.

Les ples peuvent passer l'extrieur du cercle unit.


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5. Filtrage numrique


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Transforme en z

Filtrage: Forme gnrale

La TF permet de dterminer les spectres et le produit dun filtre:

Intrt de la TF: Signaux continus

x(t)

xf(t)

X(f)

Xf(f)

g(t) G(f)Filtre

Signal brut

Signal filtr

Convolution Produit

TF

TF1

( ) ( ). ( )fX f G f X f =

( ) ( ) ( )fx t g t x t =


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Transforme en z


La FFT permet de dterminer la FT (Fonction de Transfert) dun filtre discret:

Intrt de la FFT: Signaux discrets

x(k)

xf(k)

X(k)

Xf(k)

g(k) G(k)Filtre

Signal brut

Signal filtr

Convolution Produit

FFT

IFFT

( ) ( ). ( )fX k G k X k =

( ) ( ) ( )fx k g k x k =


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Transforme en z


La TZ permet de dterminer la RI (Rponse Impulsionnelle) dun filtre discret:

Intrt de la TZ: Signaux discrets

x(k)

xf(k)

Xz(z)

Xz,f(z)

g(k) Gz(z)Filtre

Signal brut

Signal filtr

Convolution Produit

TZ

, ( ) ( ). ( ) z f z zX z G z X z=

( ) ( ) ( )fx k g k x k =

TZ1


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Transforme en z




, ( ) ( ). ( ) z f z zX z G z X z=( ) ( ) ( )fx k g k x k =

Convolution: Produit de TZ:

0

( ) ( ). ( )k

f

n

x k g k n x k =

= soit

Au total, le calcul d'une convolutionsur Npoints ncessite donc:

n(n+1)/2 additionset n(n+1)/2+1 multiplications

Illustration: Convolution d'uneporte rectangle par elle-mme:


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6. Filtres RII


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Transforme en z

Filtrage numrique: Filtres RII

Mthodologie:

Filtres de type RII:

Ressemblance avec les filtres analogiques:

Equation diffrentielle et fonction de transfert.

Filtres analogiques Filtres numriques RII.

1

1

1

1

(1 )

( ) (0)

(1 )

n

k

k

d

k

k

z z

G z b

p z

=

=

=


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Transforme en z


Forme gnrale:

Filtres de Butterworth:

Coefficients:

2

2

1( ) ( ). ( )

1 n H H H

= =

+

Fonction de transfert:

Pour un filtre de Butterworth, on a :- Pas dondulation dans la bande passante.- Pour f>> fc, on retrouve les proprits

dun filtre dordre n: 20.n dB/dcade.

- Pour tout ordre n, G(fc) = 3 dB.- Phase quasi linaire.


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Transforme en z


Forme gnrale:

Filtres de Chebyshev:

Coefficients:

2 2

1( )

1 ( )n

HC

=+

Fonction de transfert:

2

10( ) 10log (1 )G = +

Pour un filtre de Chebyshev, on a :- Ondulation dans la bande passante.- Pour f>> fc, on retrouve les proprits

dun filtre dordre n: 20.n dB/dcade.

- Coupure trs raide pour f>fc.- Phase moins linaire que Butterworth.

Ondulation:


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Transforme en z


Filtres: Comparaison

Fonctions de transfert:


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Transforme en z


Synthse des filtres numriques RII:

Filtres de type RII:

Plan des z Plan des

Spcifications sur

le cercle unit

Spcifications sur

l'axe imaginaire

Approximation

Synthse

Fonction de

transfert g(z)Fonction de

transfert G

Filtre analogiqueFiltre discret

Mthodesdoptimisationnumriques


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7. Filtres RIF

http://z.oumnad.123.fr/Signal/TNS.pdf


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Transforme en z


Passe-Bas:

Fonctions de transfert G(f) idales de 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

fc f0

1

fc f0

1

fc1 f0

1

f0

1

fc2 fc1 fc2

Pour les systmes discrets, on cherche G(z) et non plus G(f).


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Transforme en z


Utilisation de fentres d'chantillonnage moins abruptes:

Filtres numrique: Fentrage

Fentres d'apodisation:Comparaison: [Harris, 1978]

http://www.utdallas.edu/~cpb021000/EE 4361/Great DSP Papers/Harris on Windows.pdf

sin

( ) .

sin

e

fj

ef

e

fN

fW f e

f

f

=


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Transforme en z





http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function

http://www.bksv.com/doc/Bv0031.pdf

TF

TF1


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Transforme en z





FFT

IFFT


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Transforme en z




Fentres d'apodisation: Comparaison

13,3 dB31,5 dB

Rectangle

11 si

( ) 2

0 sinon

Nk

w k

=

Hanning

1 2 11 cos si

( ) 2 1 2

0 sinon

k Nk

w k N

=


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Transforme en z




40,6 dB

31,5 dB

13,3 dB


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Transforme en z


Le trac de G(z) ntant pas parlant, on prfre remplacer z par exp(j2f/fe)

Filtre numrique Passe-Bas:

fe/2 f0

1

fc fe

Rponse impulsionnelle:

G(f)

2 2( ) sincc c

e e

f fg k k

f f

=

Spectre discret du filtre Passe-Bas: Priodisation du spectre

g(k)

k Cette RI nest ni finie, ni causale.


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Transforme en z




x(k)

xf(k)

Xz(z)

Xz,f(z)

g(k) Gz(z)Filtre

Signal brut

Signal filtr

Convolution Produit

TZ

,

( ) ( ). ( ) z f z z

X z G z X z=( ) ( ) ( )f

x k g k x k = TZ1


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Transforme en z


Comme g(k) dcrot rapidement, on lapproxime par sa troncature gf(k) :


avec la fentre (signal porte):

sin

( )

sin

e

e

f Nf

W ff

f

=

g(k)

k

La FT de cette porte chantillonne est:

11 si

( ) 20 sinon

Nk

w k

=

0

1

w(k)

k+(N1)/2(N1)/2

( ) ( ). ( )w

g k g k w k =


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Transforme en z


Le produit de signaux chantillonns donne une convolution () de leurs spectres:


sin

( ) ( )

sin

ew

e

fN

fG f G f

f

f

=

La fonction de transfert est alors:

( ) ( ) ( )w

G f G f W f =

fe f

ffe

G(f)

Gw(f)

Ondulation de la fonction de transfert, rsultant de la troncature (RIF).

soit

( ) ( ). ( )w

g k g k w k =


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Transforme en z


Le produit de signaux chantillonns donne une convolution () de leurs spectres:


( ) ( ). ( )w

g k g k w k =

La rponse impulsionnelle initiale est non causale:

g(k)

k

g(k)

k

La rponse impulsionnelle initiale est causale:

Le module de la TF reste inchang.

2 2( ) sinc

c c

w

e e

f f

g k kf f

=

2 2 1( ) sinc

2

c c

c

e e

f f Ng k k

f f

=

1

2

Nk

si

T f


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Transforme en z


Daprs la fonction de transfert de la FT dun dphaseur, on a:


Le module de la TF reste inchang.

sin

( ) ( )

sin

e

f

e

fN

fG f G f

ff

=

( 1)sin

( ) ( ) .

sin

e

fj N

e f

fc

e

f Nf

G f G f ef

f

=

La rponse impulsionnelle initiale est non causale:

La rponse impulsionnelle initiale est causale:

2 2 1( ) sinc

2

c c

c

e e

f f Ng k k

f f

=

( ) ( ). ( )w

g k g k w k =

2 2

( ) sincc c

w

e e

f f

g k kf f

=

1

2

Nk

si

T f


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Transforme en z


Le filtre ralisable Gfc(f) n est quune approximation du filtre recherch G(f) :


( 1)sin

( ) ( ) .

sin

e

fj N

e f

fc

e

fN

fG f G f e

ff

=

0

1

k

1+1

11

Ondulation dans la Bande Passante: 21

Ondulation dans la Bande Coupe: 22

Transition de coupure da Bande: fT

fT

T f


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Transforme en z


Une dmarche similaire permet de raliser les autres types de filtres:

Filtre numrique Passe-Haut:

2 2 1 1( ) sinc cos

2 2

e c e c

fc

e e

f f f f N Ng k k k

f f

=

( )fcg k ( )fcG f

1

2

Nk

,

Transforme en z


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Transforme en z



Filtre numrique Passe-Bande:

2 1 2 1 2 11 1( ) sinc 2cos2 2

fc

e e e

f f f f f f N Ng k k k

f f f

+ =

( )fcg k ( )fcG f

,1

2

Nk

Transforme en z


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Transforme en z



Filtre numrique Coupe-Bande:

1 2, ( ) , ( )( ) ( ) ( ) fc fc LP f fc HP f g k g k g k = +

( )fcg k ( )fcG f

Passe-Basfc = f1

Passe-Hautfc = f2

Transforme en z


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function h = myfirb(N,f1,f2,fe);fo=(f1+f2)/fe;

B=(f2-f1)/fe;N2=(N-1)/2;n=0:N-1;h= 2 * B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*fo*(n-N2));

Transforme en z


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

function h = myfirs(N,f1,f2,fe);f1=f1/fe;

f2=f2/fe;N2=(N-1)/2;B1=2*f1;B2=1-2*f2;n=0:N-1;h= B1 * sinc(B1*(n-N2))

+ B2 * sinc(B2*(n-N2)) .* cos(%pi*(n-N2));

function h=myfirl(N,fc,fe)B=2*fc/fe;n=0:N-1;h=B*sinc(B*(n-(N-1)/2));

function h = myfirh(N,fc,fe)B=1-2*fc/fe;n=0:N-1;N2=(N-1)/2;h= B * sinc(B*(n-N2)) .* cos(pi*(n-N2));

Transforme en z


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Transforme en z



Filtres numrique: Filtre RIF avec fentrage spectral

Echelle linaire: Fentre rectangle Echelle dB: Fentre rectangle

Transforme en z


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Transforme en z




Echelle lin.: Fentre de Hamming Echelle dB: Fentre de Hamming

Transforme en z


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Transforme en z




Echelle lin.: Fentre de Blackman Echelle dB: Fentre de Blackman

Transforme en z


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Echelle lin.: Fentre de Kaiser Echelle dB: Fentre de Kaiser

Transforme en z


54/60





Echelle lin.: Fentre de Hanning Echelle dB: Fentre de Hanning


55/60

Transforme en z


56/60



Exemple: Filtre Passe-Bas


1) Troncature par fentre carre:

Transforme en z


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Exemple: Filtre Passe-Bas


2) Troncature par fentre de Hamming:


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8. Scripts RII et RIF

www.eeng.dcu.ie/~ee317/Matlab_Clones/signal.pdf

Transforme en z


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hz=iir(3,'bp','ellip',[.15 .25],[.08 .03]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);

figure; plot2d(fr',hzm');


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RII et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

hz=iir(16,'sb','cheb2',[.2 .4],[0.1 .1]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr',hzm');

hz=iir(4,'lp','butt',[.2 0],[0 0]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr,hzm);

hz=iir(16,'hp','butt',[.2 0],[0 0]);[hzm,fr]=frmag(hz,256);figure; plot2d(fr',hzm');

Transforme en z


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[h,hm,fr]=wfir('bp',8,[0.2 .3],'kr',[0.2 0.1]);figure; plot2d(fr,hm);


Passe-Bas:

Scripts de calcul de filtres RIF et causal pour les 4 types de filtres:

Passe-Bande:

Passe-Haut:

Coupe-Bande:

[h,hm,fr]=wfir('sb',64,[0.1 .3],'kr',[0.2 0.1]);figure; plot2d(fr,hm);

[h,hm,fr]=wfir('lp',33,[0.2 0],'hm',[0 0]);figure; plot2d(fr,hm);t = 0:200;x = sin(2*%pi*t/20)+sin(2*%pi*t/3);hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);yhz=flts(x,hz);

figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

[h,hm,fr]=wfir('hp',8,[0.1 0],'hn',[0 0]);figure; plot2d(fr,hm);t = 0:200;x = sin(2*%pi*t/40)+sin(2*%pi*t/3);hz=syslin('d',poly(h,'z','c')./%z**33);yhz=flts(x,hz);

figure; plot(t,x);plot(t,yhz,'r');

Documents

CM4 - MC-II3 - Transformée en z