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sp.III - RUDIMENTS DE MÉCANIQUE QUANTIQUE 1. Dualité onde-corpuscule 1.1. Aspect ondulatoire de la lumière • L'aspect ondulatoire de la lumière peut être caractérisé par les interfé-rences ; ainsi pour les fentes d'Young :

◊ lorsque la différence de chemin parcouru par les deux parties de l'onde (“différence de marche”) est multiple de la longueur d'onde, leurs effets s'ajoutent constructivement (interférence constructive) ; ◊ si la différence de marche est décalée d'une demi longueur d'onde, l'interférence est destructive (zone sombre entre deux franges claires) ; ◊ en notant x l'écart algébrique d'un point M de l'écran par rapport à l'origine O sur l'axe, la différence de marche peut s'écrire (en simplifiant au premier ordre d'approximation pour x et a ≪ D) :

S2M - S1M = S2M2 ! S1M

2

S2M+ S1M ≈ 2ax

2D ;

◊ l'interférence constructive pour S2M - S1M = k λ avec k ∈ ℤ corres-

pond à des franges d'interférence séparées par un interfrange : Δx = k !Da

.

2

◊ remarque : l'élargissement du faisceau lumineux lors du passage par une fente étroite (phénomène de diffraction) découle aussi des propriétés ondula-toires, mais son interprétation par les calculs est moins simple. • Les ondes lumineuses sont de nature électromagnétique (propagation ondulatoire de champs électriques et magnétiques). 1.2. Aspect corpusculaire des onde électromagnétiques • L'effet photo-électrique montre que les “ondes électromagnétiques” ont aussi un aspect corpusculaire : l'énergie ne peut se propager que par “paquets d'onde” (photons) : E = hν. Pour la lumière usuelle, ces “trains d'ondulation” correspondent généralement à environ 105 périodes, d'où une durée ≈ 10-10 s. Les photons peuvent ainsi dans certains cas se comporter comme des corpuscules (de masse nulle et de symbole γ) arrivant de façon individuelle quasi-instantanément. L'effet corpusculaire est négligeable à basse fréquence, car il faut de très nombreux photons pour activer un détecteur ; ainsi l'œil humain, même très accoutumé à l'obscurité, nécessite au moins ≈ 100 photons par seconde (luminosité reçue d'une bougie à ≈ 10 km, par une nuit bien noire). Inversement le phénomène est d'autant plus marqué à haute fréquence, surtout si l'effet des photons détectés individuellement est amplifié par un photomultiplicateur :

3

• On peut en particulier réaliser des collisions Compton avec des électrons ; les photons s'y comportent comme des particules respectant la conservation de l'énergie et de l'impulsion.

• L'interprétation semble encore moins évidente lorsqu'on étudie la séparation par une lame semi-réfléchissante : l'onde devrait se séparer en deux, mais avec une source de photons uniques, on n'observe aucune coïncidence entre les photons détectés dans les deux voies.

• Pourtant, bien que détectés individuellement, les photons ont toujours des interactions décrites par l'onde, en particulier les interférences avec photons uniques. 1.3. Aspect ondulatoire des “particules matérielles” • La dualité du comportement des photons conduit à se demander si de telles propriétés leur sont spéciales, ou si elles le sont pour les particules de masse nulle. L'expérience montre que la dualité onde-corpuscule est générale. ◊ remarque : pour tenter d'éviter l'ambiguïté que peuvent provoquer les a priori sur le mot “corpuscule”, il a été proposé de nommer “quanton” tout objet possédant des propriétés ainsi “duales”.

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• On peut en effet réaliser des interférences d'électrons, en les déviant de part et d'autre d'un fil portant une charge électrique positive.

◊ remarque : l'angle d'émission du faisceau au niveau de la source est énor-mément exagéré, sinon le schéma serait illisible ; les “trajectoires” de parti-cules représentées ne sont que deux possibilités parmi l'ensemble de toutes celles décrites collectivement par une “onde”. • Il se propage une “onde d'électrons” dont les parties passant des deux côtés du fil interfèrent ensuite :

Le changement du potentiel électrique du fil équivaut dans ce cas au chan-gement de la distance a = S1S2 dans l'expérience d'Young (l'augmentation du potentiel cause une diminution de l'interfrange). • Le seul fait d'ajouter un dispositif permettant de détecter de quel côté passe l'électron a pour conséquence de faire disparaître l'interférence : tout se comporte comme si le “quanton” devait forcément “passer des deux côtés”. ◊ remarque : on peut aussi réaliser la diffraction d'un faisceau d'électrons ou de neutrons par des cristaux (analogue à la diffraction des rayons X par les cristaux, ou la diffraction des ondes lumineuses par un réseau optique).

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2. Propriétés quantiques 2.1. Équations d'onde • En mécanique “classique” (non quantique), on peut utiliser la description du mouvement d'une particule par sa “quantité de mouvement” (ou “impulsion”) notée

!

p : ◊ pour les particules de masse non nulle, dans la limite non relativiste (v ≪ c) on peut utiliser :

!

p = m

!

v ; ◊ pour les photons, de masse nulle (donc forcément relativistes), on

peut utiliser : p = Ec

(avec une direction et un sens selon la propagation).

◊ remarque : bien qu'elles paraissent très différentes, ces deux expres-sions sont deux cas limite d'une seule et même définition relativiste. • On peut alors associer à toute particule d'impulsion p (en norme) une “onde”

de fréquence ν = Eh

(soit E = hν) et de longueur d'onde λ = hp

.

Pour les photons, l'onde électromagnétique associée est décrite par les équations de Maxwell. Pour les “particules” non relativistes (électrons, neutrons… de vitesse v ≪ c), d'énergie potentielle Ep (dépendant de la position) et d'énergie mécanique E (constante), l'onde de De Broglie ψ peut se calculer à partir de l'équation de Schrödinger :

- h2

8!2m. !2"!x2

+!2"!y2

+!2"!z2

#

$%

&

'( + Ep(x, y, z).ψ(x, y, z) = E . ψ(x, y, z).

◊ remarque : pour ces particules, les relations précédentes montrent que la

célérité de ces ondes est cDB = λν =

!

Ep

=

!

"

k ≠ c ; cDB ≠ v =

!

d"dk

.

◊ remarque : l'équation de Dirac peut décrire les particules relativistes.

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• Pour les photons, la probabilité de présence est proportionnelle au carré de la norme du vecteur champ électrique (le champ magnétique n'est pas indé-pendant du champ électrique dans le cas d'une onde électromagnétique). Plus généralement, la “fonction d'onde” complexe ψ (ou sa généralisation) décrit la probabilité de présence du corpuscule : dP = ! 2 d" est sa probabi-lité de présence dans le volume infinitésimal dτ. La fonction d'onde est par ailleurs “normalisée” par la condition (décrivant que la particule est présente à un endroit et un seul) : dP!!! = !

2 d"### = 1. 2.2. Quantification et incertitudes • Toute onde se propageant dans un milieu limité interfère avec elle même et ne peut donner lieu à un effet non négligeable que si l'interférence est cons-tructive (“onde stationnaire”). Ce phénomène est utilisé entre autres dans les instruments de musique pour obtenir des notes de musique et non des vibra-tions sonores quelconques. Or, l'attraction d'un électron par le noyau de l'atome le maintient dans une région limitée. L'onde associée se trouve donc dans les circonstances précé-dentes (et de même pour toute particule dans un potentiel confinant). • La résolution de l'équation de Schrödinger montre qu'il y a ainsi quantifica-tion des valeurs possibles En pour l'énergie, numérotées par un nombre quantique noté n (n ∈ ℕ*, nombre quantique “principal”) ; on constate de plus l'existence d'une valeur minimum (niveau “fondamental” E1). À chaque valeur de n est associée une fonction d'onde ψn solution de l'équa-tion avec l'énergie En.

Pour l'atome d'hydrogène, on obtient En = E0

n2 où E0 = -

!

meqe2qp

2

8"02h2

= -13,6 eV.

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• Par ailleurs, la description des particules par une fonction d'onde, corres-pondant à une probabilité de présence, conduit à des incertitudes incontour-nables sur certaines propriétés des particules (“incertitudes de Heisenberg”) : ◊ pour préciser la position d'une particule, il faut utiliser des “paquets d'onde” de longueur réduite, d'où une incertitude sur la longueur d'onde et la

quantité de mouvement : Δx . Δpx ≥

!

!2

; Δy . Δpy ≥

!

!2

; Δz . Δpz ≥

!

!2

;

◊ pour préciser l'instant de passage d'une particule, il faut utiliser des “paquets d'onde” de durée τ réduite, d'où une incertitude sur la fréquence et

donc sur l'énergie : Δτ . ΔE ≥

!

!2

.

Ces incertitudes caractérisent les phénomènes tels que la diffrac-tion : si on limite un faisceau pour mieux connaître une coordonnée y, on provoque une diffraction qui augmente l'incertitude sur py.

◊ remarque : on note pour simplifier : ħ =

!

h2"

.

• Pour un électron dans un atome, les ordres de grandeur sont : ◊ coordonnées de position : x ≈ 10-10 m ; ◊ énergie cinétique : Ec ≈ 10 eV ; ◊ quantité de mouvement : px ≈ p ≈ 2mEc ≈ 2.10-24 kg.m.s-1 ; ◊ “action” : x . px ≈ 2.10-34 J.s.

Si on désire des précisions relatives comparables !xx

≈ !pxpx

, la relation de

Heisenberg Δx . Δpx ≥

!

!2

conduit à la condition : !xx

≈ !pxpx

≥ 0,25 ; les

incertitudes sont du même ordre de grandeur que les quantités mesurées. C'est l'une des caractéristiques des phénomènes quantiques à l'échelle microscopique. & exercices n° I et II.

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3. Exemple du “puits de potentiel infini” • Dans les régions où l'énergie potentielle est “infinie” (très supérieure aux autres formes d'énergie intervenant), les fonctions d'onde solutions de l'équation de Schrödin-ger “s'annulent” (sont négligeables). Dans une zone limitée de l'espace, il faut chercher les solutions sous forme d'ondes stationnaires. En outre, puisque l'équation différentielle est linéaire, on peut chercher la solution générale comme superposition d'ondes sinusoïdales (décomposition de Fourier).

• Dans un “puits” de largeur L, la condition de stationnarité est L = n

!

"

2 avec

n ∈ ℕ* et λ =

!

hp

; ainsi : pn = n

!

h2L

.

Par ailleurs, dans le puits de potentiel : Ep = 0 ; E = Ec =

!

12

mv2 =

!

p2

2m (en

mécanique non relativiste). Ainsi : En = n2

!

h2

8mL2.

• Il est intéressant de remarquer que l'énergie E1 de l'état fondamental n'est pas nulle mais strictement positive : le “quanton” ne peut pas être immobile. Cette propriété est générale ; pour l'oscillateur harmonique de pulsation ω, on

obtient de façon analogue : En =

!

n +12

" # $

% & ' ħω, avec n ∈ ℕ.

& exercices n° III.