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Elec 2311

Semaine 1bis (2011)

Modèles de type « circuit »

Deux types de modèlesModèles « circuit » : une coordonnée au plus (le temps)

utilisation plus rapide et simple

impossibilité de tenir compte des dimensions géométriques

Modèles « champ » : jusqu ’à 4 coordonnées (t, x , y et z )

lents et compliqués, mais incontournables pour la conception

Utilisation simultanée des deux types de modèles

on profite des avantages des deux types

nécessité de règles de correspondance explicites

Conseil : quand deux modèles sont utilisés, bien distinguer (y compris dans les documents) les parties de l ’étude utilisant l ’un ou l ’autre des modèles, ainsi que les parties effectuant la mise en correspondance.

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Nous avons vu lors du premier cours que l’évaluation des performances peut nécessiter un grand nombre d’analyses du dispositif pour chaque jeu de paramètres constructifs.

Faire la simulation en utilisant un modèle champ serait en général trop long

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Dans ce cas, on a intérêt à utiliser pour chaque jeu de paramètres constructifs un (ou quelques) calcul de champ

pour déterminer les paramètres d’un modèle circuit, qui est ensuite le seul utilisé pour la simulation.

Modèles « circuit » vus l’an passé

Circuits équivalents en T

d ’un transformateur

d’une machine asynchrone

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Circuits équivalents en T

d ’une machine synchrone à pôles lisses

Circuit équivalent

d’une machine DC

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Ces circuits ne sont valides qu’en régime permanent.

Les trois premiers supposent en outre que la machine est à couplage sinusoïdal et pôles lisses.

Avec les mêmes hypothèses, il est facile d’obtenir le circuit équivalent d’une machine synchrone à aimants : il

suffit de considérer un courant if / constant.

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Le modèle thermique d’une machine peut lui aussi être présenté sous la forme d’un circuit équivalent

En modélisant les pertes Joule par deux éléments (une source de courant de valeur fixée et une résistance négative), on peut utiliser les méthodes

d’analyse de la théorie des circuits linéaires (par exemple pour calculer les deux constantes de temps), ce qui n’aurait pas été le cas avec une source de

courant dépendant de la température.

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Questions à se poser ?

Pourquoi un circuit équivalent plutôt qu’un ensemble d’équation ?

Ces circuits sont-ils suffisants en conception de dispositif ?

Transitoires électriquesMachines à pôles saillantsCouplage non sinusoïdal

….

Comment calculer les paramètres de ces circuits ?

Pour y répondre, commençons par nous demander ce qu’est un circuit !

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Qu’est-ce qu’un circuit ?

Circuit = façon de présenter un système d’équations

Possible seulement si ce système a une forme appropriée

Structure préalable : graphe orienté

Premier volet : i et grandeurs associées (q et j)

Second volet : u et grandeurs associées ( et e)

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L ’essentiel de la théorie des circuits

Les deux lois de Kirchhoff

Il existe une relation purement algébrique entre les tensions d ’une part, entre les courants d ’autre part

Conséquence : théorème de Tellegen

ui ii = 0

plus que la simple conservation de la puissance.

Il est important que le modèle respecte les axiomes des circuits pour pouvoir profiter des théorèmes de la théorie des circuits, notamment la conservation de la puissance.

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Formalisme de la théorie des circuitsPuisque l ’on va devoir établir une correspondance avec un modèle « champ », il est bon d ’adopter un formalisme semblable à celui de l ’électromagnétisme de Maxwell.

Premier volet d ’équations d ’évolution

loi de nœuds de Kirchhoff

i = dq / dt + j

Second volet d ’équations d ’évolution

loi des mailles de Kirchhoff

u = d / dt +

Relations constitutives : différentes pour chaque élément : résistance, inductance, capacité…...

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+ structure préalable

La principale raison pour laquelle j’introduis ce formalisme est qu’il permet la mise en correspondance des

modèles « champs » et des modèles « circuits ».

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Ce formalisme est aussi utile pour analyser des circuits, notamment les circuits non linéaires.

Exemple à traiter sous forme d’exercice : calculer le courant obtenu après un temps fixé dans une

inductance pure non linéaire soumise à une tension constante.

Vaut-il mieux spécifier l’inductance par une fonction L(i) ou (i) ?

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Méthodes Lagrangiennes en théorie des circuits

Avantages (vu l ’an passé au cours ELEC 1310) :

moins de paramètres dans le cas d’un élément à plusieurs accès électriques

cohérence du modèle garantie,

utilisation plus facile des symétries

Supposent les relations univoques (pas d ’hystérésis)

On peut condenser l ’information relative à un dispositif inductif dans une seule fonction, la coénergie wcm .

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Equations « générales »

)Ri(...w

i

1)(

i

w

dt

du cmcm

cmcm ww

C

Les deuxièmes termes n ’ont pas été vus lors du cours ELEC 1310 (limité aux circuits filiformes)

Ce sont les termes de glissement.

= position de la matière = position du circuit

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Les termes de glissement sont nuls si = . On parle alors de « circuits filiformes ». C’est le seul cas considéré dans le cours de l’an passé.

Quand est-il utile de considérer les termes de glissement ?

• Dans le cas (rare) de machines dérivées de la roue de Barlow (ou du disque de Faraday)

• Dans le cas des machines DC si on veut traiter l’induit comme UN circuit.

Attention, dans le cas des machines à collecteur électronique, il faut encore introduire d’autres termes si l’on veut arriver à une précision raisonnable tout en considérant l’induit comme un seul circuit.

• Dans le cas des machines polyphasées si on veut considérer les systèmes d, q et o comme des circuits à part entière.

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Convertisseurs homopolaires

(dérivés de la roue de Barlow ou du disque de Faraday)

Ci-contre, le circuit magnétique n’est pas représenté complètement.

Il y a des variantes topologiques (machines cylindriques, machines linéaires...)

On doit utiliser la notion de circuit glissant pour introduire un modèle circuit de ces

machines.

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Machines à courant continu

Bien que l’induit soit formé de multiples circuits filiformes, il est

équivalent à un circuit glissant unique.

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Machines DC à collecteur électronique

Exemple : génératrice à redresseur

On peut encore utiliser un circuit glissant, mais le circuit d’induit n’est plus fixé à 90° par rapport à l’axe de l’inducteur. En outre, pour être complet, il faut tenir compte d’autres degrés de liberté, notamment d’une variation de la « largeur des balais » en fonction du courant d’induit (correspondant au temps de commutation dans le circuit

filiforme).

La notion s’étend aux « brushless ».

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Il existe des situations où l’on ne peut plus se contenter d’un circuit équivalent monophasé

• machine à pôles saillants

• ou régime déséquilibré

• ou régime transitoire

On devrait alors considérer chaque phase séparément, d’où un grand nombre d’équations fortement

couplées.

Machines à courant alternatif

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Circuits o, d, qLa situation peut se simplifier en changeant de circuit

(mathématiquement). Pour cela, on remplace les circuits a, b et c par trois autres circuits o, d et q (homopolaire, direct et

en quadrature). Cela se ramène à un changement de variables. On a par exemple pour les tensions.

)(]u,u,u[]u,u,u[ ecbaqdo PT

où T et P sont des matrices (matrice de Concordia et matrice de Park)

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)(]u,u,u[]u,u,u[ ecbaqdo PT

La matrice de Concordia T est une matrice constante

2

3

2

1

2

22

3

2

1

2

2

012

2

3

2|T|

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)(]u,u,u[]u,u,u[ ecbaqdo PT

La matrice de Park P est une matrice variable

ee

eee

cossin0

sincos0

001

)(P

Pour simplifier les équations de la machine, on choisit e lié à la position du rotor et tel que le circuit d soit

« aligné » avec l’inducteur, le circuit q étant en quadrature avec l’inducteur.

(Pour l’étude en régime du réseau, on préfère parfois lier e à la phase t du réseau. Dans ce cas, les équations de la machine ne se simplifient

pas !)

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La transformation permet, dans le cas des machines à

couplage sinusoïdal, de réduire le nombre de termes

de couplage entre les équations … donc d’obtenir un circuit équivalent distinct

pour chaque composante.

Par exemple, pour une machine synchrone en régime, on pourra tenir

compte de pôles saillants à l’aide des circuits (on

suppose que l’homopolaire n’est pas excité) ci-contre.

Ces circuits ne sont plus couplé que par le biais de sources de tension (qui tiennent compte du glissement et dépendent du flux dans l’autre circuit),

ainsi que par les éléments non linéaires éventuels (saturation croisée).

Utilisation d ’un modèle circuit

pour la conception par calculPour spécifier des composants

Pour concevoir un composant par calcul

Possible seulement pour les composants au comportement

simple (résistances standard …).

Les composants de puissance ne sont pas conçus spécialement pour avoir un comportement simple !

Utilisation d ’un modèle circuit

pour déterminer des caractéristiques de matériaux

Directement

Indirectement

Il peut y avoir plusieurs modèles « circuit » pour un même dispositif

Le choix dépend de l’usage que l’on veut faire du modèle :

* Vérifier la tenue du dispositif à différents régimes,

* Déterminer son rendement énergétique

* Dimensionner l’électronique de puissance associée

* Concevoir un régulateur PID pour le commander,

* Tester ce régulateur en tenant compte de la saturation….

* …………………………………

Exemple de demande mal formulée : donnez moi LES équations de LA machine à courant continu (sans autre précision).

Le choix d’un modèle circuit dépend des grandeurs à calculer, mais aussi de la précision, du temps requis pour l’utiliser …

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Il faut aussi savoir quels sont les temps caractéristiques des phénomènes que l’on souhaite étudier :

La présence de l’électronique de puissance donne lieu à des temps très courts : attention aux capacités « parasites ».

u2, Ia

t

u2Ia

commutation des semiconducteurs

t

u2, Ia

u2

Ia

période de hachage de

l’électronique

A l’échelle du hachage, on

considère souvent les commutations

comme instantanées

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u2, Ia

t

U2moy

Ia

Transitoire électrique : souvent quasistatique (modèle purement inductif). Ils sont régis par les valeurs des inductances et des résistances. On ne considère que les valeurs moyennes sur une période de hachage.

Dans beaucoup de cas, les transitoires électriques sont beaucoup plus court que les transitoires mécaniques. Dans ce cas, on ne s’intéresse

souvent qu’au régime permanent d’un point de vue électrique (entendez par là lentement variable car le régime évolue avec la variation de la

vitesse mécanique) mais transitoire d’un point de vue mécanique.

Rappelons que, dans certains cas, le régime « permanent » électrique peut être étudié par un circuit équivalent monophasé.

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Il y a aussi des situations où l’on considère les régimes électrique et mécanique comme permanents (entendez par là lentement

variables car le régime évolue avec la variation de température) mais que l’on étudie le transitoire thermique (régi essentiellement

par les capacités et les résistances thermiques)

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De quel modèle a-t-on besoin pour rendre compte du régime permanent ?

Pour une machine synchrone à pôles lisses en régime permanent : le circuit le plus simple est celui de Behn-

Eschenburg

Ce circuit rend mal compte des non linéarités et des pertes

Dans le cas d’une machine à aimant permanent, pas de circuit inducteur et on prend E0 constant.

IL FAUT vérifier que les hypothèses sont satisfaites (pôles lisses et fonctionnement sans saturation) !

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Exemple de question.

• point de vue énergie : quel courant (amplitude et phase) faut-il soutirer à une génératrice pour en extraire un maximum de puissance tout en lui gardant une durée de vie convenable ?

• point de vue mécatronique : quel courant (à chaque instant) faut-il appliquer à un actionneur pour suivre un profil de vitesse donné tout en lui gardant une fiabilité suffisante ?

Le modèle de Behn-Eschenburg ne permet qu’une réponse approchée car ses éléments ne correspondent pas à des éléments physiques. Il ne rend donc pas compte correctement des pertes !

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Le circuit équivalent le plus simple qui tient compte des non linéarités est celui de Potier (limité aux machines à pôles lisses).

Les pertes par effet Joule et les pertes magnétiques sont bien séparées.

Ce circuit se ramène au précédent par une transformation de Thévenin.

Dans le cas d’une machine à aimant, il n’y a pas d’inducteur et on prend i’f constant.

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Comment déduire la valeur des paramètres à partir de calculs de

champ ?Il y a au moins deux possibilités

• soit chercher à faire correspondre à chaque phénomène un élément de circuit.

• soit déterminer les éléments du circuit équivalent en réalisant des essais expérimentaux virtuels (par calcul de

champ) semblables à ceux qui sont utilisés pour déterminer expérimentalement les paramètres (voir cours 1310 ou

2753).

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+ homopolaire

D et Q sont les circuits amortisseurs rotoriques. On remarque la présence de termes de glissement.

Par la première méthode (faire correspondre chaque phénomène à un élément de circuit), on n’obtient pas directement un circuit classique (Potier, Behn-

Eschenburg) parce que les éléments de ces circuits ne correspondent pas à des phénomènes distincts.

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Après diverses simplifications, on retrouve des circuits plus familiers

+ circuit homopolaire

En régime permanent, on retrouve les circuits équivalents habituels (pas de tension sur les éléments rotoriques)

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En régime permanent, on obtient

On peut introduire la notion de phaseur, mais ce n’est que pour une machine à pôle lisse que cela permet de combiner les deux circuits d

et q en un seul et obtenir le circuit de Potier.

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Autre approche : on effectue des essais virtuels et on en déduit les paramètres du modèle circuit comme si on avait effectué des

mesures de laboratoire.

On peut faire des essais virtuels sans correspondant réel (par exemple supprimer l’aimantation des aimants, ou appliquer une

valeur de courant qui mettrait en danger une machine réelle).

On peut aussi mélanger les deux approches.

Comme dans le cas des essais réels, on a intérêt à effectuer des essais dont les résultats dépendent principalement d’une partie

seulement des paramètres à déterminer (rappel labo sur machine asynchrone des cours ELEC1310 ou 2753 : un essai à rotor

bloqué pour déterminer les éléments série et un essai à faible charge pour déterminer les éléments parallèle)

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Essais expérimentauxBut : valider le modèle choisi

Moyen : déterminer expérimentalement les valeurs des paramètres « circuit », et les comparer aux valeurs obtenues par

le calcul a priori.

Note : l’expérience ne permet pas toujours de vérifier la valeur de tous les paramètres obtenus par calcul de champ. En

particulier, pour les machines à aimant permanent, la séparation de l’inductance de magnétisation et de l’inductance de fuite par des essais expérimentaux classiques est quasi impossible. Dans ce cas, on déduit du modèle calculé un modèle du type Behn-

Eschenburg (qui ne considère que la somme de ces deux inductances) et on effectue la vérification sur ce dernier !