cours TD TP

DUT Gnie Mcanique et Productique

Semestre 2

Mcanique des solides

Chapitre 1

Modlisation et paramtrage des mcanismes

MODELISATION ET PARAMETRAGE
DES MECANISMESUn mcanisme est un ensemble de pices mcaniques relies entre elles par des liaisons, en vue de raliser une fonction. Afin dtudier les mouvements et les efforts dans un mcanisme, il faut modliser ses pices et ses liaisons (souci de simplification du rel). Le but de ce chapitre est dtablir le schma cinmatique minimal dun mcanisme puis deffectuer un paramtrage de position des diffrentes pices en vue dune tude cinmatique de ce mcanisme.Modlisation des pices mcaniquesEn premire approximation, les pices mcaniques dun mcanisme sont modlises par des solides indformables. Cette modlisation exclut donc les fluides, les pices subissant de grandes dformations (ressorts, courroies,...).Une pice mcanique (S) peut tre considre comme un solide indformable si quels que soient les points A et B de (S) la distance AB reste constante au cours du temps t.

Liaisons normalisesRepre local associ une liaisonLes liaisons les plus courantes rencontres en construction mcanique sont normalises par lAFNOR (norme NF E 04-015). Pour dcrire, un instant donn, les translations et les rotations autorises par une liaison, on place judicieusement sur cette liaison un repre , de faon dcomposer le mouvement relatif entre les deux solides en six mouvements lmentaires :u 3 translations suivant , , u 3 rotations autour des axes , , Degrs de libert dune liaisonLe nombre de degrs de libert dune liaison entre deux solides est le nombre de mouvements lmentaires indpendants que la liaison autorise (nombre de rotations et de translations suivant les axes du repre local).Tableau des liaisons normalisesLaxe est laxe privilgi de la liaison. a mme direction que laxe de symtrie ou que la normale au plan tangent commun aux deux solides. Si une seconde direction privilgie existe, orthogonale , elle est repre par .

Degrs de libertNomSchmatisation Torseur cinmatiqueTorseur d'inter-efforts

SpatialePlane

0Encastrement

1Pivot
de centre O
et d'axe

1Glissire
de centre O
et d'axe

1Hlicodale
de centre 0,
d'axe
de pas p

2Pivot glissant
de centre O
et d'axe

2Rotule doigt de centre O et d'axe formule

3Rotule
de centre O

3Appui plan de centre O et de normale

4Linaire Annulaire
de centre 0
et d'axe

Degrs de libertNomSchmatisation Torseur cinmatiqueTorseur d'inter-efforts

SpatialePlane

4Linaire rectiligne
de centre O,
de normale de direction secondaire

5Ponctuelle
de centre O
de normale

6Liaison spatiale ou liaison libreAbsence de liaison

Paramtrage des liaisonsPour paramtrer, chaque instant, la position relative de deux solides lis par une liaison, il faut commencer par lier un repre chaque solide, en plaant les axes de ces repres sur les lments caractristiques de la liaison : axe de symtrie, normale un plan tangent commun, ... Le paramtrage de la position relative des deux repres seffectue alors en introduisant des paramtres de position (angles ou distances) en nombre gal celui des degrs de libert de la liaison. Un exemple sera trait ultrieurement sur le support pour perceuse.Graphe minimal des liaisonsClasse dquivalence cinmatiqueLensemble des solides dun mcanisme sans mouvement relatif constitue une classe dquivalence cinmatique. Une classe dquivalence pourra donc tre reprsente par un seul solide quivalent. Le premier travail consiste reprer les pices lies entre elles (liaisons encastrement). Il est vivement conseill de colorier sur le dessin densemble du mcanisme les classes dquivalence cinmatique en affectant une couleur chaque classe. De faon gnrale, il est prfrable de rester un niveau global de modlisation en vitant de trop entrer dans les dtails, pour construire le modle le plus simple adapt au problme que lon veut traiter. Ainsi, il sera inutile de connatre la ralisation des liaisons encastrement dun mcanisme. De mme, les dispositifs de rglage (secondaires vis--vis de la fonction premire du mcanisme) pourront tre considrs comme fixes.Exemple du support pour perceuse (voir dessin densemble ci aprs) :Le ressort 5 est exclu de la modlisation puisque ce nest pas une pice mcanique indformable. La partie fixe de ce mcanisme est la colonne verticale 8. Lorsque lon serre lcrou 9 sur la vis 14 immobilise en rotation, le support 2 se resserre sur la colonne 8 crant ainsi une liaison encastrement. Au support 2 sont visses les vis tton 18 munies de leur contre-crou 17 emprisonnant les pices de frottement (hachures indiquant un alliage de bronze) 19. Ces dernires, de forme cylindrique, peuvent tourner et se dplacer dans leur logement. Toutefois, pour simplifier la modlisation, nous considrerons quelles appartiennent la mme classe dquivalence que la pice 2 car ces deux mobilits (appeles mobilits internes) ninterviennent pas lors de la descente de la perceuse. Do la premire classe dquivalence O : O = {2,8,9,14,17,18,19}.Par un raisonnement identique, on arrive aux trois autres classes dquivalence I, II et III. Le tableau ci-dessous rsume la composition des quatre classes dquivalence dgages :Repre de la classe d'quivalenceComposition

012,8,9,14,17,18,19

I1,6,7,13,15,16, 20, 21, 22, 23, 24

II4, 25

III3,10,11,12

Remarques :u Le dispositif de rglage de bute {6,7,20} ainsi que le dispositif de rglage de hauteur de pice {9,14} sont considrs comme fixes par rapport respectivement aux pices 1 et 8, la fonction principale du mcanisme tant la descente verticale de la perceuse afin de raliser un perage.u La classe dquivalence O est souvent utilise pour le solide qui reste fixe par rapport lobservateur.Graphe des liaisonsLe graphe des liaisons dun mcanisme est une reprsentation qui sert dcrire les liaisons entre classes dquivalence dun mcanisme. Dans ce graphe, les classes dquivalence sont schmatises par des cercles et les liaisons par des arcs de courbes joignant ces cercles. La modlisation des liaisons reliant les diffrentes classes dquivalence est base sur lanalyse des surfaces de contact. Il est galement possible de dterminer la nature des liaisons partir de ltude des mouvements relatifs possibles entre solides, condition de les isoler du reste du mcanisme.Exemple du support pour perceuse :

L1 : liaison pivot glissant daxe L2 : liaison appui plan de normale L2 : liaison appui plan de normale formuleL3 : liaison pivot glissant daxe formuleL4 : liaison pivot d'axe formuleL5 : liaison pivot d'axe formuleL6 : liaison pivot d'axe formule

Support pour perceuseRemarques : u Les deux liaisons appui plan montes en opposition assurent un contact bilatral qui empche toute rotation du support lors du perage.u Le choix de la modlisation de la liaison relle en A entre le support 1 et la colonne 8 par une liaison pivot glissant dpend de son jeu de fonctionnement et des proportions de la liaison. Une liaison de faible hauteur par rapport son diamtre serait modlise par une liaison linaire annulaire de centre A et de direction , car une rotation est possible autour des axes et . De mme, les liaisons pivot L4, L5 et L6 auraient pu tre modlises par des liaisons rotule...Liaisons quivalentesLa liaison quivalente lensemble des liaisons situes en parallle ou en srie entre deux solides est la liaison thorique Le qui autorise le mme mouvement relatif entre les deux solides. Pour la liaison en parallle, la liaison quivalente doit tre compatible avec toutes les liaisons en parallle. Pour la liaison en srie, la liaison quivalente permet le mouvement de chacune des liaisons.Liaisons en paralllen liaisons L1, L2, ..., Ln sont disposes en parallle entre deux solides 1 et 2 si chaque liaison relie directement les deux solides. Cest le cas pour les liaisons L1, L2 , L2 et L3 entre les classes dquivalence O et I du support pour perceuse.Torseur cinmatique quivalent n liaisons en paralllesSi un mouvement lmentaire est empch par une liaison, il est aussi impossible sur les autres liaisons et par suite sur la liaison quivalente.

Exemple du support de perceuse En considrant les liaisons que nous avons trouv au 3.2 : formuleLes sommes de torseur sont toutes gales, nous obtenons :

La seule mobilit qui reste est alors la vitesse suivant y. La liaison est quivalente une liaison glissire d'axe y. L'hyperstatisme de la liaison est lev. (Chaque fois qu'un degr de libert est impos deux fois nous avons, dans les quations ci contre, 0 = 0.Liaisons en srien liaisons L1, L2, ..., Ln sont disposes en srie, ou ralisent une chane ouverte entre deux solides 1 et n si elles sont disposes lune la suite de lautre par lintermdiaire de (n-1) solides. Cest le cas pour les liaisons L4, L5 et L6 entre les classes dquivalence I et O du support pour perceuse.Torseur cinmatique quivalent n liaisons en srie

formuleExemple d'application

y

z

l1

l2

S1

S0

O

S2

h

A

Soit l'appui rotul reprsent ci contre. La liaison entre S0 et S1 est un appui plan, la liaison entre S1 et S2 une liaison rotule.

formuleformuleLa liaison quivalente est une liaison ponctuelle. Le systme dispose aussi d'une mobilit interne (rotation de la rotule sur elle mme)Exemple du support de perceuseDans le support pour perceuse, les deux liaisons pivot glissant L1, L3 et les liaisons appui plan L2 et L2 installes en parallle entre les classes dquivalence O et I sont quivalentes une liaison glissire daxe parce que, globalement, le seul mouvement possible entre les classes dquivalence O et I est le mouvement de translation suivant laxe .Rduction du graphe des liaisonsEn remplaant dans le graphe des liaisons dun mcanisme les liaisons en parallle et les liaisons en srie par leur liaisons quivalentes, et ceci plusieurs fois de suite de faon ne conserver que les pices et les fonctions principales du mcanisme, on obtient le graphe minimal des liaisons.Exemple du support pour perceuse : en regroupant les liaisons L1, L2, L2 et L3 entre les classes dquivalence O et I, on obtient le graphe minimal des liaisons du support pour perceuse :L123 : liaison glissire d'axe L4 : liaison pivot d'axe formuleL5 : liaison pivot d'axe formule L6 : liaison pivot d'axe

Schma cinmatique minimalLe schma cinmatique minimal dun mcanisme est une reprsentation gomtrique plane ou spatiale du graphe minimal des liaisons. Pour construire ce schma, on dessine les symboles normaliss des liaisons en respectant les caractristiques gomtriques relatives des diffrentes liaisons (paralllisme, orthogonalit, coaxialit, ...). Par contre, les dimensions ne sont pas prises en compte. Les solides sont reprsents par des traits continus qui relient les symboles normaliss des liaisons. Pour plus de clart, on pourra utiliser des couleurs qui correspondent celles du dessin densemble du mcanisme.Le schma cinmatique minimal cre une seule liaison entre deux solides, liaison correspondant l'ensemble des liaisons en parallles entre les deux solides.Exemple du support pour perceuse :Schma cinmatique planSchma cinmatique spatial

Remarque :Les ressorts, bien quexclus de la modlisation, peuvent tre ajouts dans le schma cinmatique si leur reprsentation facilite la comprhension du mcanisme.Loi entre-sortie dun mcanismeChane ferme de solidesUne chane ferme de solides, ou boucle, est une chane ouverte dont les deux solides extrmes sont relis par une liaison. Par exemple, le graphe minimal des liaisons entre les classes dquivalence du support colonne pour perceuse est celui dune chane ferme de solides.Loi dentre-sortieLa loi entre-sortie dun mcanisme est la relation entre les paramtres de position de la pice dentre et les paramtres de position de la pice de sortie du mcanisme. Cette loi peut tre obtenue en exprimant la fermeture gomtrique de chacune des chanes fermes de solides du mcanisme.Exemple du support pour perceuse :Paramtrons le schma cinmatique plan du support pour perceuse en affectant chaque classe dquivalence un repre, en commenant par le repre de rfrence et en utilisant les repres locaux des liaisons. Sur le schma ci-dessous, seuls les axes ncessaires la dtermination de la loi entre-sortie ont t reprsents.Soient :u R0 le repre li au bti O;u R1le repre li au support I;u R2le repre li la barre II tel que u R3le repre li la biellette III tel que

Les paramtres de position introduits sont les suivants :

La loi entre-sortie du mcanisme est la relation entre les paramtres de position y et q2, cest dire entre la translation verticale de la perceuse et linclinaison de la barre 4.La fermeture de la chane gomtrique sobtient en crivant la relation vectorielle :

(On passe par les centres de liaisons dfinis par le paramtrage)Do les deux relations en projection sur les axes et : On en tire la loi entre-sortie du mcanisme : formule formuleformule formuleformuleformulecondition : formuleformuleformule

Modlisation et paramtrage des mcanismesMcanique semestre 2 ch 1L.G./31 janvier 2010

L.G.Rev 1 / janvier 2011