1 Objectifs de l’évaluation par problèmes longs, L1 · Un problème avec une dernière partie « facultative » pouvait ... Université de Paris VII, 1984 Page1/22 12mars2015

Travail collaboratif Retours d’expériences

Nous présentons ici trois retours d’expériences de travail collaboratif en L1 (Ghislaine Godinaudet Chantal Menini), L2 (Jean-Jacques Ruch) et M1 (Marie-Line Chabanol).

La première expérimentation présentée (paragraphes 1 à 4) concernait une évaluation par pro-blèmes longs en bases de l’analyse en L1. L’élaboration des problèmes et l’analyse des résultatsont été faites dans le cadre de l’IREM (groupe REMSup) avec Annie Berté (retraitée IUFM),Jean-Yves Boyer (IPB) et Joelle Chagneau (enseignante en lycée).

La deuxième (paragraphe 5) proposait un travail en groupe en L2 sur des sujets d’annales.

La troisième (paragraphe 6) demandait une appropriation en groupe d’un cours polycopié nonencore traité en M1.

1 Objectifs de l’évaluation par problèmes longs, L1

Nous avions souhaité expérimenter dans le cadre du contrôle continu du semestre 1, le rempla-cement des tests par des problèmes longs résolus en groupes de 3 ou 4 étudiants.

Les bienfaits que nous attendions a priori de ce type d’évaluation étaient d’une part de développerle travail en petits groupes, et surtout de permettre aux étudiants de pratiquer les mathématiqueseux-mêmes et non de tenter de reproduire des « exercices types ». Les bienfaits attendus d’unproblème long travaillé en groupe étaient :– de les obliger à argumenter leur démarche auprès des autres membres du groupe,– d’essayer plus facilement grâce à l’émulation du groupe,– de se concentrer dans le temps avec davantage de questions ayant un lien entre elles,– de rédiger une solution avec soin.Nous espérions par là les rendre plus actifs, avoir une évaluation plus formative que normative,dans la mesure où l’enseignant est présent pour observer les progrès de chaque groupe et l’activitéde chacun au moment de la recherche voire au début de la rédaction. De plus même si cette notecompte peu, elle pouvait être un facteur encourageant puisque dans ce cas un travail sérieuxpermet d’avoir une bonne note. Un problème avec une dernière partie « facultative » pouvaitaussi permettre une progressivité et différentiation dans l’évaluation. Selon le problème à traiterl’usage des outils numériques dans des buts de calcul, simulation ou conjecture pouvaient aussitrouver toute leur place.

Lors de la construction des problèmes nous avons de plus cherché à les amener à faire desmathématiques en les incitant à– réviser les connaissances, capacités, compétences, savoir et savoir-faire au programme du lycée ;– étudier et appliquer les cours reçus à l’université en leur donnant du sens : pour cela, ils ont

été avertis à l’avance de la notion sur laquelle portera le devoir et des questions de cours sontposées dans le problème. Ils disposent pendant la recherche de documents de cours (y comprisinternet sur leur téléphone mais ils s’en servent très peu) et de quelques livres de terminale Squi leurs ont été fournis ou qu’ils ont amené eux-mêmes ;

– travailler dans différents cadres, c’est-à-dire différents domaines des mathématiques 1 (algé-brique, géométrique, analytique)

1. Régine Douady, Jeux de cadres et dialectique outil-objet dans l’enseignement des mathémtiques, thèsed’Etat, Université de Paris VII, 1984

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2 Organisation

Les problèmes ont été posés simultanément dans deux classes de Base de l’Analyse (semestre 1,MISMI). Ils ont été notés et leur moyenne compte pour 0.15 dans le calcul de la note finale del’Unité d’Enseignement.

Le travail des étudiants s’est effectué en groupes de 3 ou 4 pour le premier problème, groupes de3 maximum pour le second. La composition des groupes a été laissée au libre choix des étudiants.

A chaque fois la taille de la salle a permis de regrouper les tables tout en laissant de la placepour la circulation de l’enseignant.

Les étudiants avaient été avertis de ce mode de travail une semaine avant et certaines consignesavaient été données à cette occasion (chapitres de terminale à revoir pour le problème 1, liste desavoirs/savoirs-faire distribuée pour le problème 2). Les étudiants pouvaient amener des ouvrages,leurs cours et disposaient d’une calculatrice “type collège”.

La durée était de 2 fois 1h20 séparées par 10mn de pause que les étudiants ont pris de façonsystématique pour le problème 1, non systématique pour le problème 2.

A chaque fois le texte du problème était trop long pour être traité par un étudiant moyen dans letemps imparti. Pour le premier problème ils pouvaient rendre l’intégralité de la partie obligatoire4 jours plus tard (dont un week-end). Pour le deuxième problème, ils devaient rendre deux partiesà la fin de la séance de travail et la troisième partie 5 jours plus tard (dont un week-end). Uneseule rédaction par groupe était demandée.

Pour la partie à terminer hors classe du deuxième problème il a été proposé un aller-retour decorrection.

3 Des observations plus précises pour chaque problème

3.1 Problème 1

Ce problème (annexe 1) a été construit à partir d’un texte de vulgarisation mathématiquetrouvé sur le site Accromath. Le texte source (http ://accromath.uqam.ca/2011/06/probabilites-statistiques-et-populations-des-poissons/) avait été distribué aux étudiants une semaine aupara-vant et consigne donnée de lire la partie qui allait nous servir.

Il fait appel aux connaissances de terminale sur les suites et il a été fait en préambule du courssur les suites qui est prévu en bases de l’analyse. La rentrée universitaire avait eu lieu 3 semainesplus tôt.

Bien que ne faisant appel qu’à des connaissances du secondaire ce problème est formulé de façonplus universitaire, on y notera en particulier la présence des quantificateurs, la part importantedes paramètres, la notation ensembliste de l’inclusion, la composition de fonctions.

Il y avait dans ce problème des points d’appels, ils ont été respectés par les étudiants qui deplus n’ont pas hésité à solliciter l’enseignant pour d’autres vérifications ou questions. De plus lacirculation facile entre les groupes à permis à l’enseignant de bien suivre l’évolution du travail etd’attirer l’attention d’un groupe s’il voyait une erreur grave. Sans cela il aurait fallu des points

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d’appels plus rapprochés.

Les étudiants ont été actifs durant la quasi totalité des 2h40, avançant à leur rythme, une “baissede régime” s’est tout de même fait sentir environ 10 minutes avant la fin.

Certains groupes ont rédigé au fur et à mesure d’autres n’ont travaillé qu’au brouillon.

Le seul moment où l’enseignant a dû faire une intervention collective au tableau était pourexpliquer la signification de f(I) lorsque I est un ensemble.

Dans une des deux classes, quelques étudiants ont utilisé leur ordinateur personnel pour le tracéde courbes avec le logiciel de géométrie dynamique Géogebra.

Quelques difficultés mathématiques à remarquer– Bien que disposant d’ouvrages de terminale, la représentation graphique de la suite (Xn)

(Xn+1 = f(Xn)) à l’aide de la représentation graphique de la fonction f a souvent été faiteavec l’aide de l’enseignant. Les étudiants avaient des souvenirs imprécis de cheminement quin’ont pas été éclairés par les questions D3 et D4 pourtant prévues pour cela.

– Une difficulté de calcul fréquente et inquiétante : plusieurs groupes ont peiné à simplifier1.4

2×(− 0.4M

).

– Le modèle “monotone” pour les suites puisque fréquemment la réponse à la question Ce quivient d’être fait permet-il d’en déduire que la suite converge ? la réponse a été non car on n’apas montré qu’elle était monotone.

Le texte était trop long, aucun groupe n’avait fini les préliminaires au bout d’1h20. En fin deséance la plupart des groupes en étaient aux questions 1.4 - 1.6. La charge de travail à la maisondans un temps contraint était trop importante.

Les retours écrits ont été décevants en particulier pour la partie non traitée en classe : beaucoupde recopie, des qualités de rédaction et d’argumentation insuffisantes.

Deux groupes ont rendu la partie 3 qui était facultative.

Le lien avec l’article n’a pas été assez souligné dans la rédaction du sujet qui a été jugé parcertains étudiants comme un “habillage”. En particulier ils n’ont pas recherché des informationsutiles pour certaines questions du problème (parties 1 et 2).

3.2 Problème 2

Ce problème (annexe 2) a été posé en semaine 48 soit après 10 semaines d’enseignement. Ilarrivait après le cours sur les fonctions réciproques et le cours d’intégration avait été entamé.

Il a pour but de réinvestir les connaissances récentes sur les applications réciproques sous ledouble point de vue analytique et algébrique (parties 1 et 2). La troisième partie à partir d’unecourbe rencontrée dans leur quotidien (la chaînette) est plus ouverte. Elle donnera lieu à untravail simple d’intégration et à l’utilisation du théorème des valeurs intermédiaires pour justifierl’existence d’une solution.

Une semaine auparavant avait été distribuée une liste de compétences, savoirs, savoirs-faire (an-nexe 3). Les étudiants sont arrivés avec leurs cours ou fiches sur les points indiqués dans cetteliste, certains n’ayant pas compris pourquoi on indiquait aussi “longueur d’un segment” n’avaientpas pris la peine de faire des recherches pour retrouver comment cette longueur pouvait être

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calculée.

Le problème a été correctement calibré, les parties 1 et 2 devant être rendue en fin de séance lesétudiants ont rédigé au fur et à mesure. Les plus lents ont fini de rédiger ce qu’ils savaient fairesur les parties 1 et 2 juste à temps, même les plus rapides n’avaient qu’entamé la partie 3 carla question II.5 a été une question butoir. Les étudiants ont été actifs jusqu’au bout (voire trèsactifs pour ceux qui avaient pris un peu de retard de rédaction).

Il n’y avait pas dans ce problème de point d’appel mais consigne avait été donnée de faire vérifierles résultats en fin de chaque partie, ce qui a d’ailleurs permis de donner des piste pour reprendrecertaines questions mal résolues ou rédigées. Les étudiants en ont tenu compte ou pas. A nouveaula circulation facile de l’enseignant permettait aussi des interventions à la demande des étudiantsou lorsqu’une grosse erreur était vue.

La troisième partie devait être rendue 5 jours plus tard (dont un week-end) et un va et vient decorrection était proposé pour cette partie. Une première correction notée avec commentaires etindications des points qui pouvaient être améliorés, les groupes pouvant rendre à nouveau leurtravail en les prenant en compte. Seuls 8 groupes (sur 14) ont profité de cette possibilité. Seule-ment deux groupes ont notablement amélioré leur travail, pour les autres certains ont indiquéaux enseignants que les indications n’ont pas suffit à les aider à trouver la solution, d’autresqu’ils n’y avaient passé que très peu de temps.

Quelques difficultés mathématiques ou de compréhension à remarquer

1. Le terme “schéma d’étude” a posé problème, incompréhension ou bien compris comme“graphe”. Une fois l’explication donnée, le recours au cours est nécessaire pour la plupart,bien que ce schéma ait déjà été appliqué avec plusieurs exemples ils ne l’ont pas encoremémorisé.

2. L’expression “plus grand intervalle au sens de l’inclusion” a due être expliquée, bien que larelation d’ordre soit travaillée dans une autre unité d’enseignement.

3. La question I.4.b (calcul de la dérivée de argch) a nécessité de nombreux coups de pouce.

4. La définition d’une bijection n’est pas encore donnée naturellement (bien que travaillée defaçon formelle dans une autre unité d’enseignement).

5. La question II.4. a été une question butoir pour le choix de la solution de l’équation dusecond degré à exclure. S’ils ont fini par voir qu’il fallait discuter de la position des deuxsolutions par rapport à 1, la plupart n’ont pas trouvé d’argument. Dans une classe l’utili-sation du produit des racines n’a jamais été utilisé, un groupe a travaillé par équivalence,un autre a étudié les variations de la fonction y 7→ y −

√y2 − 1. Dans l’autre classe un

rappel ayant été fait en début d’année, le produit des racines a été utilisé et la discussiondans l’ensemble a été bien menée.

6. Ce n’est pas un problème mais plutôt une réussite “surprise”, le changement d’inconnuedans l’équation et la présence du paramètre y n’ont pas soulevé de difficulté.

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4 Pour l’avenir

4.1 Motivations des adaptations entre les problèmes 1 et 2

Pour le problème 1 (annexe 1) le texte beaucoup trop long a eu comme biais principal qu’unepartie importante du travail que nous aurions aimé pouvoir accompagner en séance a été faithors classe et surtout a été fait de façon originale par peu de groupes ; les autres se contentantde recopier les questions qu’ils n’arrivaient pas à résoudre.

Nous avons donc été plus vigilants à la longueur du second problème (annexe 2) et avons distribuéla liste de savoir, savoir-faire et compétences (annexe 3) afin de préciser nos attentes. Nous avonsaussi imposé un travail plus scolaire puisqu’un écrit était à rendre dès la fin de la séance sanspouvoir revenir dessus (comptant pour 3/4 de la note finale). La partie à rédiger hors classe étaitaussi beaucoup plus courte (comptant pour 1/4 de la note finale).

Nous avons aussi souhaité ôter la pression de la note et nouvelle tentation de recopie pour lapartie restante à faire en proposant l’aller-retour de correction et effectivement les travaux rendusont été différents, certains incomplets ce qui laisse penser qu’ils étaient originaux.

Nous avons été satisfaits de cette adaptation.

4.2 Les points communs entre les deux problèmes

Des questions de cours ou applications directe du cours qui ont permis de ré-activer d’anciennesconnaissances ou savoir-faire, d’étudier et appliquer les cours reçus récemment en leur donnantdu sens sont à conserver.

Nous leur avons fait résoudre, à certains moments, une même question dans deux cadres différents.Pour le problème 2 cadre analytique puis cadre algébrique pour calculer la dérivée d’une fonctionréciproque ou cadre géométrique puis cadre analytique pour calculer la longueur d’un segment.D’une façon moindre, dans le problème 1, le comportement de la suite était vue de façon graphiqueet numérique. Ceci souligne la cohérence des mathématiques, les possibilités de contrôle de sesrésultats, les différentes voies possibles lors de la recherche d’un problème (si on ne trouve pasdans un cadre, on cherche dans un autre cadre) est aussi à développer autant que possible.

Les deux problèmes ont aussi été l’occasion de leur montrer l’utilité des mathématiques dans lamodélisation du réel et donc les rapports entre les mathématiques et les autres sciences (phy-siques, naturelles, économique ...). Les deux exemples ont été pris de sorte que les étudiants sesentent concernés par le problème et il était proposé à ceux qui voulaient en savoir plus d’allerchercher sur internet une documentation intéressante.

Pour les étudiants un travail actif durant les deux séances et une importante interaction entre-euxet avec l’enseignant.

Pour l’enseignant, l’observation sur la durée du travail des étudiants a permis de mettre le doigtsur certaines difficultés, donner des explications complémentaires directement. Hélas le manquede temps ne permet pas lors d’une séance suivante de refaire un travail spécifique dessus.

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4.3 A améliorer

A noter tout d’abord que les attentes a priori, avec les aménagements entre les deux problèmes,ont globalement été celles observées. Il n’en demeure pas moins qu’il y a des points à amélioreret des nœuds difficiles à dénouer.

Le premier problème était très directif, il n’y avait pas de place laissée à la conjecture, pourremédier à cela il ne faudrait pas donner le texte du problème en un seul coup mais par momentsdu moins le construire avec eux.

Le travail de conjecture avec les outils numériques n’a pas non plus été travaillé, cela auraitpu sans problème trouver sa place dans le problème 1. On ne peut atteindre tous les objectifssur un même travail, ce type de travail n’est pas pour l’instant valorisé dans l’évaluation desdevoirs surveillés de l’unité d’enseignement, il aurait fallu demander à chaque groupe d’amenerun ordinateur portable. Il faut tout de même essayer de travailler un peu plus dans ce sens surun prochain problème.

La qualité de rédaction, même avec des aides en séance les étudiants peinent à donner unerédaction soignée mathématiquement. Ils ont beaucoup de difficultés à trouver le niveau dejustification attendu, c’est un point important qu’il faut travailler en dosant la longueur dutravail écrit demandé afin d’espérer une progression.

La note : même pour une note qui compte très peu, beaucoup de recopie pour le problème 1 ;sans un travail ramassé dès la fin aurait-ils travaillé au même rythme pour le problème 2 ? Lapossibilité d’aller-retour a été assez peu exploitée sérieusement, manque d’intérêt, manque detemps ou une note déjà suffisamment bonne pour qu’ils ne se donnent pas la peine d’améliorerleur travail ?

5 Expérimentation en travaux dirigés d’algèbre, L2

Il s’agit ici de faire le compte rendu d’une expérimentation qui a eu lieu dans des séances de tra-vaux dirigés d’algèbre en deuxième année de licence mention Mathématiques. Le programme dusemestre est : réduction d’endomorphismes et espaces euclidiens. Les séances retenues pour cetteexpérimentation sont les deux dernières, deux fois 1h20 successives, consacrées à des révisions etplus précisément à du travail sur des sujets d’annales. L’expérimentation consistait à faire un tra-vail par groupe sans correction global au tableau. Plus précisément les étudiants se sont répartisen groupe de 3 ou 4 (majoritairement 4), les tables étant disposées face à face, les sujets d’annalesont été distribués avec les consignes suivantes : travailler en groupe ; appeler l’enseignant pourdes questions ou pour une correction (pas de correction générale) ; l’enseignant passant égalementdans les groupes de lui-même pour vérifier la travail de chaque étudiant (chaque étudiant devantrédiger sur sa feuille les exercices).

Les étudiants ont semblé plutôt satisfait de cette expérimentation. En ce qui me concerne lebilan semble plus mitigé. La grande hétérogénéité entre les groupes et au sein des groupes acréé une grande disparité de progression. Cela pose un problème puisque les groupes les moinsavancés n’ont pas pu faire grand chose et que ceux qui ont avancé le plus vite ont presqueterminé les sujets. Comme les étudiants ont été libres de faire eux-mêmes les groupes, ils sesont naturellement rejoints par affinités et par proximité donc ceux des derniers rangs se sont

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retrouvés ensembles alors que ceux du premier rang étaient eux aussi réunis. Le fait qu’il n’y aitpas de copie à rendre à la fin semble aussi être une des raisons de la différence de progressiondes groupes : les étudiants les moins motivés ne cherchaient pas forcément à avancer dans lesdifférents exercices puisque "cela n’était pas noté".

S’il fallait refaire cette expérience, il faudrait sûrement modifier certains points :- limiter les groupes à trois étudiants ;- inciter à la constitution de groupes plus hétérogènes ;- ramasser ce qui a été rédigé et peut-être le noter ;- être plus précis dans les attendus.

6 Bilan de l’expérience de travail en groupe en M1MEEF

6.1 Contexte

Cours TD de Probabilités et Statistique pour les M1MEEF (Prepa Capes). Étudiants plutôtfaibles, moyennement motivés. Une trentaine d’inscrits, en général une vingtaine présents encours. Ils n’étaient pas prévenus à l’avance.

6.2 Place dans la progression

Premier cours de la journée (8h30->10h). Séance avant laquelle je ne les avais pas vus depuisplusieurs semaines car ils étaient en stage. Je pensais avoir fini les statistiques juste avant qu’ilspartent, mais en fait il me restait un peu de cours à faire, (j’avais juste eu le temps d’entamerle cours sur les Intervalles de Confiance avant l’interruption) que je comptais à l’origine fairesur cette séance, ainsi que des exercices. Ils disposaient donc déjà de la feuille d’exercices surles intervalles de confiance. Ce sont des notions qui sont nouvelles pour eux, mais qui sont auprogramme du secondaire, ils le savent ; ils les ont un peu rencontrées dans un autre cours dedidactique des maths, et ils les ont parfois rencontrées aussi lors de cours particuliers qu’ilsdonnent en lycée.

J’avais donc déjà vu avec eux la définition d’un intervalle de confiance, et la formule pour l’inter-valle de confiance pour l’espérance d’une loi normale avec écart-type connu. J’avais aussi passébeaucoup de temps avant sur les intervalles de fluctuation, asymptotiques ou non. Je pensaisdonc que le passage de intervalle de confiance à intervalle de confiance asymptotique se ferait endouceur.

En plus de la feuille d’exercices (annexe 6) qu’ils avaient déjà (qui est une feuille de TD standard,que je n’avais pas écrite spécifiquement dans ce but), je leur ai distribué un document de cours(environ 3 pages, annexe 5), et un document précisant le travail que j’attendais (annexe 4). Jeleur demandais de travailler à plusieurs, et de me rendre à la fin de la séance un exemplaire deleur travail par groupe.

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6.3 But espéré à la fin

Qu’ils se soient approprié le cours et les notions d’intervalles de confiance, asymptotique ounon. Qu’ils comprennent d’où viennent les formules, et en particulier d’où vient la formule pourl’intervalle de confiance pour une proportion. Qu’ils aient compris à quoi ça sert. Qu’ils se posentdes questions sur les exercices (sans forcément les résoudre.) Qu’ils ne fassent pas la confusionavec l’intervalle de fluctuation. Globalement, qu’ils sachent faire à peu près les exercices du rectode la feuille d’exercices. Les exercices au verso étaient plus élaborés et de toute manière j’avaisabandonné l’idée de pouvoir les traiter dans le temps dont je disposais.

6.4 Notes sur le travail demandé

La première question concernant le cas “loi normale écart-type connu” était une révision sur lecours précédent, et je leur demandais de résoudre un exercice de leur choix, ce qu’on avait aussidéjà fait ensemble au cours précédent. Pour la 2eme question, je voulais qu’ils comprennent ladéfinition d’un intervalle de confiance asymptotique, et qu’ils puissent démontrer que l’intervallequ’on leur proposait correspondait à ce qu’on voulait. La démonstration est élémentaire avec lethéorème central limite, et faisait apparaître des calculs qu’ils avaient déjà faits à de multiplesreprises. Mais je ne l’avais pas explicitée sur les notes de cours.Je me suis rendu compte en rédigeant cette feuille de travail qu’aucun de mes exercices ne ren-traient exactement dans ce cadre (écart-type connu, loi quelconque), d’où ma demande de leurfaire modifier un exercice pour cela.La troisième question concernait l’intervalle de confiance pour une proportion. Bien qu’au pro-gramme de terminale, ce n’est pas forcément le plus facile à faire proprement. D’ailleurs la formuleavec f(1−f) (mentionnée dans les livres de Tle et de BTS) est indémontrable à leur niveau (ellenécessite, en plus du théorème central limite, le théorème de Slutsky dont je ne suis pas sûrequ’il soit fait en L3). J’avais pourtant choisi de mettre l’accent sur celle-ci plutôt que sur l’autreau programme de terminale (que j’ai mise dans le cours en annexe avec sa démonstration), parceque la comprendre me parait important. Enfin je leur demandais de compléter un énoncé de 2manières différentes, pour voir s’ils avaient compris la différence entre fluctuation et confiance.

6.5 Déroulement et commentaires

Je leur ai dit de se mettre par 2 ou 3. ils ont été assez réticents à installer différemment la salle(ils ont retourné les chaises mais pas vraiment bougé les tables) et mes déplacements n’étaientpas du coup toujours très faciles. Certains sont arrivés en retard, de façon égrenée. Ils se sontinsérés petit à petit dans les groupes existant, et deux groupes se sont retrouvés à 4. Ghislainem’avait prévenue que 4 c’était trop, effectivement ça se transformait assez facilement en groupede papotage. Certains se sont installés par affinité, mais certains groupes ont aussi inclus desétudiants qui se connaissaient peu. Il me semble aussi qu’il ne faut pas sous-estimer la difficultéqu’il peut y avoir pour un étudiant à constater que les autres se mettent en binôme avec uncopain, alors que lui se retrouve tout seul... Et surtout, tout le monde le voit.. Au final ça a aussiété l’occasion d’intégrer un peu ces étudiants. Si l’activité avait eu lieu plus tôt dans l’année,cela aurait probablement été mieux.Je leur avais dit que je n’écrirais rien au tableau, je m’y suis tenue et ça n’a pas posé de problème.

Première réaction d’un étudiant à qui je distribuais le cours écrit : “Ah c’est bien”. Il faut dire

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que je leur distribue rarement un cours écrit.

Première question (révision) : ça avait l’air d’aller. Peu de questions de leur part, ils reconnais-saient qu’ils l’avaient déjà vu. Ils s’expliquent les choses mutuellement, font peu appel à moi.Deuxième question : coup de frein immédiat, quelques questions (mais globalement ils préfèrentse poser des questions entre eux que de me demander). Grosses interrogations sur le fait que laformule est la même que pour la loi normale. (donc pourquoi s’appelle-t-il asymptotique et pasl’autre). Explication sur la définition qui n’est pas la même : il y a une limite, pas pour l’autre.Remarque : la même différence apparaît pour les intervalles de fluctuation, mais on a beaucouptravaillé les intervalles de fluctuation pour les binomiales et ils ont surtout retenu des formulesdifférentes. Mais quand même toujours une perplexité chez eux.Démonstration : certains s’y essayent, mais s’arrêtent à l’écriture de la formule et ne savent pasquoi en faire. Il faut leur dire qu’est-ce que vous voulez démontrer pour qu’ils aillent à la défini-tion voir qu’il faut s’intéresser à P (θ ∈ In). Certains le font mécaniquement mais gardent deuxnoms pour le paramètre à estimer : θ (qui est dans la définition) et m (qui est dans la formule)aboutissant à une démonstration qui n’a pas vraiment de sens. Ils ne s’en rendent pas comptetout seuls (je m’en suis rendu compte parce que je regardais ce qu’ils faisaient). Un gros manqued’autonomie constaté en tout cas, par rapport à un travail consistant essentiellement à appliquerune définition (en adaptant les notations) et à appliquer un théorème (qu’ils ont déjà manipuléà de nombreuses reprises).Beaucoup ne m’ont pas appelée du tout, mais n’ont pas du tout fait la question. Je ne sais pas sije les intimide à ce point... ou s’ils ne voient pas l’intérêt d’essayer de démontrer quelque chose(quand ils ne savent pas résoudre. un exercice, ils ont plus tendance à m’appeler).Globalement, après avoir regardé leurs copies sur ce point, je suis très désagréablement surprisepar le fait qu’aucun groupe sauf un n’arrive à faire ce raisonnement qui consiste à :– Comprendre qu’il faut vérifier que quelque chose satisfait une définition– Ecrire la définition pour voir ce qu’il faut démontrer– Utiliser le théorème central limite dans ce cas– Voir que c’est une conséquence immédiate.La difficulté ne consiste d’ailleurs pas pour eux à écrire le théorème central limite (ils ont luqu’il fallait l’utiliser : beaucoup l’ont appliqué) mais ils ne savent pas quoi en faire. Trois groupesessayent à tout prix de se ramener à la question précédente. Certains semblent avoir encore dumal à transformer l’appartenance à un intervalle en inégalités.

Réécriture de l’exercice : il y en a pas mal qui m’ont appelée à ce moment là. Point négatifpar rapport à ce système : bien souvent c’est quand ils m’appelaient pour quelque chose queje me rendais compte qu’ils étaient complètement à côté de la plaque sur autre chose... dontils ne se rendaient pas compte du tout (confusion entre le paramètre inconnu et l’estimateurqu’on utilise, confusion entre moyenne arithmétique et espérance, confusion entre moyenne etproportion, utilisation de formules pour une binomiale avec une loi normale...). Peut-être que jen’allais pas assez les voir et vérifier ce qu’ils faisaient spontanément, et que j’attendais trop leurappel. En tout cas de manière générale ils ne savaient pas qu’ils ne savaient pas.

Formule pour une proportion : un certain nombre étaient déboussolés parce qu’ils connaissaientla formule de terminale (sans le f(1−f)). En tout cas je ne crois pas qu’ils aient finalement vu lelien avec la formule précédente (ma question “essayer de justifier” n’a à peu près pas été traitée,mais je pense que je n’ai pas assez guidé sur le fait que je voulais qu’ils fassent le lien avec laformule générale).

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Compléter un exercice par fluctuation ou par confiance : ceux qui le font écrivent les 2 questions dela même manière (peut-on décider que cela a eu un effet). Certains en rédigent une de façon “peut-on décider que cela n’a pas eu d’effet, et l’autre “peut-on décider que cela a eu un effet”. Certainssuggèrent de rajouter un écart-type pour pouvoir faire la fluctuation, ce qui n’est pas faux.Globalement j’ai écrit cette question trop rapidement en faisant le sujet, il y avait l’expressionespérance moyenne pour qqc qui est en fait une estimation de l’espérance, qui est une expression àbannir totalement, et cet exercice à compléter devrait probablement être beaucoup plus réfléchi,là je crains qu’il n’ait plus rajouté de confusion qu’autre chose. Et il aurait fallu le précéderd’exemples d’exercices à classer (IF ou IC). Enfin il aurait fallu demander leur rédaction pourla correction des deux questions (IC et IF) pour vérifier qu’ils avaient compris où se faisait ladifférence.

Finalement j’aurai fait très peu d’exercices de manière traditionnelle avec eux sur l’IC (et là ilsen ont à nouveau fait assez peu en fait) et au final je ne suis pas sure qu’ils aient compris à quoiça sert (et que ça ne sert pas seulement à prendre une décision !)

Au final, un binôme m’a rendu 2 copies, les autres une copie par groupe. A ma demande : “qu’est-ce que vous en avez pensé”, une étudiante (faible) a dit que c’était bien, parce que là au moinsils avaient travaillé... Certains autres étaient aussi plutôt contents, mais je ne sais pas s’ils onteu le sentiment de comprendre des choses, ou si c’était juste “plus sympa”.

Bilan : mitigé pour une première expérience, Quand effectivement ils m’appellent et me posentdes questions j’ai l’impression qu’ils sont réceptifs, probablement plus qu’en situation “normale”.Mais il reste que leur rendu écrit est extrêmement décevant. A titre personnel, j’ai ressenti unecertaine frustration à les voir travailler “sans moi” (j’avais l’impression de ne servir à rien quandils ne me demandaient rien...) (effet de la fameuse pédagogie inversée ou l’enseignant perd unpeu son statut, et en tout cas change de rôle ?) Dit autrement, j’ai eu le sentiment qu’ils étaient,en TD, en train de faire le travail que normalement ils devraient faire spontanément en dehorsdu TD (travailler à plusieurs pour comprendre leur cours et faire des exercices). D’autant plusque ces étudiants M1MEEF sont un petit groupe qui se connaissent bien, leurs cours ont touslieu dans un même petit bâtiment où ils peuvent disposer de salle pour travailler. J’ai aussieu l’impression qu’ils ne travaillaient pas forcément de manière très intensive. Evidemment cen’était pas noté... La encore j’avais peut-être trop tendance à ne pas aller les voir s’ils n’étaientpas demandeurs.

A changer de manière certaine : mettre des “points d’appel pour faire vérifier les résultats”(notamment pour la question de démonstration, très mal faite). Insister pour avoir une dispositionde la salle me permettant d’aller facilement d’un groupe à l’autre. Aller les voir régulièrementmême s’ils ne sont apparemment pas demandeurs. D’un point de vue strictement disciplinaire,gérer mieux le côté “liens IF/IC” en préparant mieux les questions à poser.Le côté positif, quand même : l’idée de les faire travailler sur le cours en le leur distribuant mesemble intéressante.Conclusion : je le referai probablement, mais certainement pas à toutes les séances.

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7 Annexes

7.1 Annexe 1 : Problème 1

Présentation du problème

Le but de ce problème va être d’étudier dans des cas particuliers la suite définie par la relation{Xn+1 = Xn + rXn(1− Xn

M )− CX0 > 0

(1)

où r, M et C sont des paramètres réels.

Cette suite modélise une population de poissons (en tonnes) soumise à une pêche constante, c’estle modèle de Schaefer qui est présenté au début de l’article

http ://accromath.uqam.ca/2011/06/probabilites-statistiques-et-populations-des-poissons/

La modélisation de la population sans pêche (C = 0) suit ici le modèle de Verhulst qui date dumilieu du XIX ième siècle.

Nous allons dans la partie 1 étudier cette suite lorsqu’il n’y a pas de pêche (C = 0), dans la partie2 chercher la valeur maximale possible pour C afin que la population de poissons tende vers unevaleur non nulle, enfin dans la partie 3 nous prendrons à nouveau C = 0 et une autre valeur der et verrons que le comportement de la suite est différent des cas précédemment étudiés.

Préliminaires

A. Donner :– la définition d’une suite croissante– la définition suite décroissante– la définition suite majorée– la définition suite minorée– les coordonnées du sommet de la parabole d’équation y = ax2 + bx.B. On considère la suite {

un+1 = un + runu0 > 0

avec r > −1. Identifier de quel type de suite il s’agit puis donner le comportement de la suite(un) en fonction des valeurs du paramètre r.

C. Soient I et J deux ensembles, traduire mathématiquement en utilisant des inclusions d’en-sembles l’assertion

∀x ∈ I, f(x) ∈ J.

D1. Dans un repère orthogonal on s’intéresse à la courbe représentative de la fonction f définiepar

f(x) = x+ 0.4x(1− x

M) (2)

Quel est le nom de cette courbe, donner une équation de son axe de symétrie, donner les coor-données de son sommet.

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D2. Donner l’allure de la courbe en choisissant une valeur pour le paramètre M .

D3. Pour la suite (1) on prend r = 0.4 et C = 0, donner une relation liant Xn, Xn+1 et f . Quepouvez-vous dire du point de coordonnées (Xn, Xn+1) ?

D4. En utilisant le graphe de la fonction f et la première bissectrice, construire graphiquementles premiers termes de la suite (Xn) toujours dans le cas particulier où r = 0.4 et C = 0, onpourra prendre X0 = M

2 .Que se passe t-il lorsque X0 = M ?

D5. Tracer sur le graphe de f tous les points dont l’abscisse est égale à l’ordonnée.

Appeler l’enseignant pour faire contrôler vos résultats.

Partie 1 Dans cette partie, nous étudions l’évolution de la suite (Xn) lorsqu’il n’y a pas de pêcheet un taux intrinsèque de croissance égal à 0.4, c’est-à-dire afin qu’il n’y ait pas d’ambiguïté{

Xn+1 = Xn + 0.4Xn(1− XnM )

X0 > 0(3)

1.1 Si la suite (Xn) converge vers une limite l, à l’aide de la représentation graphique de la suitefaite dans les préliminaires D, conjecturer une égalité satisfaite par l.

1.2 En utilisant les règles sur les limites de suites et en ayant soin de rappeler lesquelles sontutilisées, démontrer le résultat précédemment conjecturé.

1.3 Ce qui vient d’être fait permet-il d’en déduire que la suite converge ? Argumentez votreréponse.


1.4 Justifier, en précisant le préliminaire utilisé, que la suite (Xn) est croissante (respectivementdécroissante) si, pour tout entier n, Xn est dans l’intervalle [0,M ] (respectivement [M,+∞[).

1.5 Déterminer les antécédents de M par f où f est la fonction définie en (2).

1.6 Montrer que

f

([0,M ] ∪ [

5

2M,

7

2M ]

)⊂ [0,M ] et f([M,

5

2M ]) ⊂ [M,

5

2M ]

1.7 Afin d’étudier le comportement de la suite (Xn) expliquer pourquoi on se limitera à X0

élément de ]0, 72M [.

1.8 Démontrer par récurrence que si X0 ∈]0,M [ alors la suite (Xn) est croissante.

1.9 Sans faire les démonstrations détaillées quel est le sens de variation de (Xn) lorsque

a. X0 ∈]M, 52M [ ?

b. X0 ∈]52M, 72M [ ?

c. X0 = M ou X0 = 52M ?

1.10 Conclure concernant la convergence éventuelle de la suite en énonçant le théorème utilisé.

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Que signifie ce résultat sur la population de poissons lorsqu’il n’y a pas de pêche ?


Partie 2 Dans cette partie, nous étudions maintenant la suite (Xn) lorsque la pêche est constanteet nous supposons que la biomasse de départ est la biomasse maximale, c’est-à-dire afin qu’il n’yait pas d’ambiguïté {

Xn+1 = Xn + 0.4Xn(1− XnM )− C

X0 = M(4)

2.1 On suppose que la suite converge vers l, expliquer pourquoi l doit être solution de l’équation

x = x+ 0.4x(1− x

M)− C. (5)

2.2 Déterminer la plus grande valeur de C, notée Cm, pour que l’équation (5) admette au moinsune solution réelle, puis déterminer pour C = Cm la ou les solutions de (5).


Dans la suite de cette partie C = Cm.

2.3 Montrer qu’alors Xn+1 −Xn = −0.4 1M (Xn − M

2 )2.

2.4 On note g la fonction définie par g(x) = x+ 0.4x(1− xM )− 0.1M . Montrer que g([M2 ,M ]) ⊂

[M2 ,M ].

2.5 Conclure sur le comportement de la suite (Xn) (monotonie, convergence et limite éventuelles).

Que signifie ce résultat sur la population de poissons lorsque la pêche est maximale, c’est-à-direC = Cm ?


Partie 3 (Pour aller plus loin) Nous allons à nouveau étudier la suite (3) en supposant qu’il n’ya pas de pêche (C = 0) mais en prenant un taux intrinsèque de croissance égal à 2 (r = 2) etX0 = 3

4M .

3.1 En faisant le changement de suite vn = XnM quelle est la valeur de v0 et la relation de

récurrence satisfaite par la suite (vn) ?

3.2 Nous noterons encore f la fonction définie par f(x) = x+ 2x(1−x). Montrer que f([34 , 1]) ⊂[1, 98 ] et que f([1, 98 ]) ⊂ [34 , 1].

3.3 Factoriser la fonction polynomiale f ◦ f(x)− x où f ◦ f(x) est la notation pour f (f(x)).

3.4 En vous inspirant de ce qui a été fait dans les préliminaires, visualiser graphiquement ce quesemble être le comportement de la suite (vn).

3.5 On va considérer les suites (v2n) et (v2n+1) extraites de la suite (vn). Donner une relationliant• v2n, v2n+2 et f ◦ f

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• v2n+1, v2n+3 et f ◦ f .3.6 Montrer que

∀n ∈ N v2n ∈ [3

4, 1] v2n+1 ∈ [1,

9

8].

3.7 Montrer que la suite (v2n) est croissante et majorée par 1 ; que la (v2n+1) est décroissante etminorée par 1.

3.8 En déduire que ces deux suites convergent et déterminer leur limite.

3.9 Conclure quand à la convergence éventuelle de la suite (vn).

Pour les curieux : la suite (1) avec C = 0 est une suite logistique, son comportement dépend der et devient chaotique lorsque r s’approche de 3.

7.2 Annexe 2 : Problème 2

Partie I : La fonction argcosh - méthode analytique

I.1. Rappeler le schéma d’étude utilisé pour déterminer les applications réciproques des fonctionscirculaires.

I.2. Rappeler le théorème de dérivation d’une application réciproque.

I.3. Quels sont les plus grands intervalles possibles I (au sens de l’inclusion) sur lesquels larestriction de la fonction cosh réalise une bijection de I sur cosh(I) ?

I.4. On restreint la fonction cosh à l’intervalle [0,+∞[ et on note argcosh son application ré-ciproque. Déterminer l’intervalle sur lequel argcosh est définie, l’intervalle sur lequel elle estdérivable puis calculer sa dérivée.

I. 5. Donner l’allure de la représentation graphique de la fonction argcosh.

Partie II : La fonction argcosh - méthode algébrique

II.1. Comment peut-on traduire en terme de résolution d’équation le fait qu’une fonction fréalise une bijection d’un ensemble I sur un ensemble J ?

II. 2. On restreint la fonction cosh à l’intervalle [0,+∞[, quelle équation est-on amené à résoudrepour déterminer son application réciproque ?

II. 3. En faisant un changement d’inconnue, montrer que l’on se ramène à la résolution del’équation

X2 − 2yX + 1 = 0 avec y ≥ 1

II.4. Résoudre cette équation du second degré puis en déduire que argcosh(y) = ln(y+√y2 − 1)

pour tout y ∈ [1,+∞[. On prendra bien soin de justifier toutes les étapes de cette résolution.

II.5. Retrouvez les résultats de la question I.4.

Partie III : La chainette

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La forme prise par exemple par les fils de lignes électriques ou une corde entre deux poteauxs’appelle la chainette. On peut montrer et nous l’admettrons que la chainette a pour équationdans un repère orthonormé convenable

y =cosh(αx)

α=eαx + e−αx

2α

avec α > 0.

III.1. Que représente l’axe des ordonnées de ce repère pour la chainette ?

On considère une corde de 4m dont les extrémités sont fixées à la même hauteur sur deux poteauxdistants de 2m. Nous allons voir que nous sommes alors en mesure de déterminer la flèche de lachainette c’est à dire l’écart de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas.

On peut montrer et nous admettrons que si f est une fonction dérivable sur [a, b] alors la longueurd’une courbe d’équation y = f(x) entre les points d’abscisse a et b est donnée par

L =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

III.2. On donne deux points M(−1, 3) et N(1, 7). Calculer la distance MN et retrouver cettevaleur en utilisant la formule précédente.

III.3. Pour déterminer la flèche de la chainette, on choisit l’unité de notre repère de sorte queles poteaux aient pour abscisse −1 et 1. Quelle est alors la valeur de la flèche en fonction de α.

III.4. Montrer que connaissant la longueur de la corde, on peut en déduire avec ce qui précèdeque α est solution de l’équation sinh(x) = 2x.

III.5. Montrer que cette équation admet une unique solution strictement positive.

III.6. Donner une valeur approchée de α à 10−1 puis une valeur approchée de la flèche.

Remarque : l’allure de la courbe représentative de f x 7→ cosh(2x)2 (chainette pour α = 2) peut

laisser penser que l’on a une parabole. Ce n’est pas le cas, pour s’en convaincre supposons quec’est une parabole et cherchons des conditions nécessaires sur l’équation de cette parabole.

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L’axe des ordonnées est un axe de symétrie donc elle a pour équation y = ax2 + b. f(0) = b = 12

et pour trouver a on peut par exemple utiliser que f(12) = e+e−1

4 = a4 + 1

2 donc nécessairementa = e+ e−1 − 2.

La seule parabole qui pourrait convenir a pour équation y = (e+ e−1− 2)x2 + 12 . Si l’on regarde

maintenant pour x = 1 on trouve

f(1) =e2 + e−2

46= (e+ e−1 − 2) +

1

2.

Pour des compléments sur la chaînette vous pouvez consulter :

http ://www.mathcurve.com/courbes2d/chainette/chainette.shtml

7.3 Annexe 3 : liste des savoir, savoir-faire, compétences

Connaissances, savoirs et savoirs-faire qui seront testés lors du problème 2

1. connaissances sur les applications réciproques

2. utilisation du théorème de la bijection

3. calcul explicite de la dérivée d’une application réciproque

4. graphe d’une application réciproque

5. connaissances sur les fonctions hyperboliques

6. calcul de dérivée (composition, dérivée de fonctions usuelles)

7. résolution d’une équation du second degré à paramètre

8. calcul intégral simple

9. détermination d’une fonction affine

10. longueur d’un segment

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7.4 Annexe 4 : Travail attendu en M1MEEF

Travail sur les intervalles de confiance. Par groupes de 3 environ.A rendre à la fin, sera corrigé mais pas noté

1. (a) Ecrire la formule de l’intervalle de confiance pour l’espérance de variables aléatoiresde loi normale, d’écart-type connu.

(b) Trouver dans la feuille d’exercices sur les intervalles de confiance un exercice, ou unequestion, faisant appel à cette formule et le faire.

2. Intervalle de confiance asymptotique pour une espérance, écart-type connu.

(a) Donner la définition d’un intervalle de confiance asymptotique

(b) Donner une formule pour un intervalle de confiance asymptotique pour l’espérancedans le cas où l’écart-type est connu.

(c) La démontrer.

(d) Modifier l’exercice 2 de la feuille pour qu’il soit une application de cette formule.

3. Intervalle de confiance asymptotique pour une proportion.On suppose qu’un caractère est présent avec une proportion p inconnue dans une popula-tion, et qu’on cherche à l’estimer en prenant un échantillon de taille n, et en mesurant lafréquence f dans cet échantillon.

(a) Ecrire la formule pour un intervalle de confiance asymptotique de niveau 1− α pourp, et la justifier dans la mesure du possible.

(b) Déterminer les exercices de la feuille faisant appel à cette formule. (ne pas les résoudrepour l’instant)

(c) Dans la formule précédente, il y a deux paramètres : n et α. Trouver dans la feuilled’exercices un exercice ou une question jouant sur n, ou en écrire un vous-même, etle résoudre. De même pour α.

4. Ci-dessous un début d’énoncé : Une étude de la consommation annuelle de fuel en litrespar mètre carré a donné comme résultat une espérance de 19l/m2. Après une campagneportant sur les économies d’énergie, on effectue une autre étude sur 300 appartements, quidonne une espérance moyenne de 14l/m2 et un écart-type estimé de 3l/m2.Compléter cet énoncé de deux façons différentes : par une question conduisant à faire unintervalle de confiance, et par une question conduisant à faire un intervalle de fluctuation.

5. Bonus : Examiner l’exercice 7.

7.5 Annexe 5 : Cours distribué en M1MEEF

L’essentiel sur les intervalles de confiance

7.5.1 Introduction

L’estimation consiste à deviner des paramètre inconnus, par exemple la moyenne d’un caractèredans une population, ou une proportion inconnue dans une population ; on se base en généralpour cela sur un échantillon aléatoire pris dans cette population (exemple par exemple du sondage

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avant une élection).On considèrera souvent que cet échantillon est constitué du tirage successifs de n individus dans lapopulation, avec remise : les n opérations sont donc identiques et indépendantes. En particulier,lorsqu’on compte le nombre d’individus Sn qui vérifient une certaine propriété dans l’échantillon,on peut considérer que ce nombre suit une loi binomiale de paramètre (n, p) où n est la taille del’échantillon et p la proportion inconnue.Lorsqu’on prend un objet au hasard de façon uniforme parmi une population d’objets dont lamoyenne des tailles est m, la taille de cet objet est aléatoire, et sa loi a pour espérance m.

On a vu comment construire des estimateurs, notamment lorsque c’est l’espérance qui est incon-nue (on l’estime souvent par m̂ = 1

n

∑ni=1Xi), ou la variance. Si c’est une proportion p dans une

population qui est inconnue, on l’estime souvent par Snn

7.5.2 Estimation par intervalle : intervalle de confiance

On se doute qu’une estimation obtenue à partir d’un échantillon de 10000 personnes est plusprécise qu’une estimation obtenue à partir d’un échantillon de 100 personnes. Une manière dequantifier ceci est de construire un intervalle qui aura une forte probabilité (qu’on se donne àl’avance, en général 0.95) de contenir le paramètre inconnu.On supposera donc que (X1, . . . , Xn) sont des variables aléatoires indépendantes, de même loi,dépendant d’un paramètre inconnu θ. On suppose qu’on a accès à une réalisation (donc desobservations) (x1, . . . , xn) de ces variables.

Définition 7.1 (Intervalle de confiance). Un intervalle de confiance pour θ de risque α (ou deniveau de confiance 1− α) est un intervalle aléatoire In fonction de (X1, . . . , Xn), tel que

P (θ ∈ In) = 1− α

Par abus de langage, on appelle aussi intervalle de confiance la réalisation de l’intervalle obtenuà l’aide des valeurs (x1, . . . , xn) observées.

Définition 7.2 (Intervalle de confiance asymptotique). Un intervalle de confiance pour θ derisque α (ou de niveau de confiance 1− α) est une suite d’intervalles aléatoires In fonction de(X1, . . . , Xn), tel que

limn→+∞

P (θ ∈ In) = 1− α

Par abus de langage, on appelle aussi intervalle de confiance asymptotique la réalisation d’unintervalle In obtenu pour un n “assez grand” à l’aide des valeurs (x1, . . . , xn) observées.

Cela signifie que si on fait beaucoup d’expériences (donc beaucoup d’échantillons de taille nchacun) on s’attendra à ce que l’intervalle de confiance (qui va bouger en fonction de l’échantillon)contienne “souvent” le paramètre inconnu. Attention que si α = 0.05, souvent ne signifie pasforcément “dans au moins 95 % des échantillons” (les livres sont parfois très ambigus là dessus) :si vous avez 100 échantillons, ça peut très bien être 94 (voire même 90 si vous n’avez vraiment pasde chance) : ce que dit la définition dans le cas non asymptotique c’est que sur 100 échantillonsle nombre d’intervalles de confiance observés qui contiennent le paramètre est aléatoire et suitune loi binomiale de paramètres (100, 0.95).Attention aussi que si vous avez UN échantillon qui vous donne un intervalle de confiance depar exemple [0.2, 0.4] vous ne pouvez pas dire que “la probabilité que la proportion inconnuesoit dans [0.2, 0.4] est de 0.95 “ : en effet il n’y a aucun phénomène aléatoire sur lequel pourraitporter la probabilité dans cette phrase. La proportion est inconnue, mais pas aléatoire !

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IC pour l’espérance m de variables aléatoires de loi normale, lorsque l’écart-type σest connu Bien souvent, si l’espérance est inconnue, l’écart-type aussi, mais c’est néanmoinsune situation de référence.

Théorème 7.3 (Programme BTS). Soit (X1, . . . , Xn) n variables aléatoires indépendantes deloi normale d’espérance m inconnue, de variance σ2 connue. On note X̄ = 1

n

∑ni=1Xi. Alors

[X̄−q1−α/2 σ√n, X̄+q1−α/2

σ√n

] est un intervalle de confiance pour m de niveau 1−α. (ici commedans la suite q désigne la fonction quantile de la loi normale centrée réduite)

Il suffit pour la preuve d’utiliser le fait que X̄ suit une loi normale d’espérance (m, σ2

n ).

IC asymptotique pour l’espérance m de variables aléatoires de loi quelconque lorsquel’écart-type σ est connu Lorsqu’on ne connaît pas la loi des Xi mais qu’on peut appliquerle théorème central limite, on obtient un intervalle de fluctuation asymptotique :

Théorème 7.4 (Programme BTS). Soit (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires indépen-dantes de même loi d’espérance m inconnue, de variance σ2 connue. On note pour tout nX̄n = 1

n

∑ni=1Xi. Alors

[X̄n − q1−α/2 σ√n, X̄n + q1−α/2

σ√n

] est un intervalle de confiance asymptotique pour m de niveau1− α.

La preuve se fait en appliquant le théorème central limite à la suite Xi.

Remarque 7.5. La longueur de l’intervalle de confiance à un niveau donné est proportionnelleà 1√

n. Elle tend vers 0, ce qui est en lien avec le fait que la moyenne x̄ est bien un bon estimateur

(au sens où il est convergent) de m. Si on veut diviser la taille de l’intervalle par 10, il faut doncmultiplier la taille de l’échantillon n par 100.

Il faut aussi avoir en tête ce qui arrive lorsqu’on diminue le risque α : dans ces cas là, la taillede l’intervalle augmente. Pour α = 0, on obtiendrait R tout entier.

Cas où l’écart-type est inconnu Il n’y a pas moyen de le démontrer au niveau CAPES,mais il est admis en BTS par exemple, qu’on peut alors remplacer dans les formules précédentesσ par un estimateur convergent de σ (par exemple par σ̂ =

√1

n−1∑n

i=1(Xi − X̄)2).

Cas d’une proportion (Programme de terminale) On suppose qu’un caractère est présentavec une proportion p inconnue dans une population, et qu’on cherche à l’estimer en prenant unéchantillon de taille n, et en mesurant la fréquence f dans cet échantillon. On peut rentrer dansle cadre précédent en remarquant que p est l’espérance (inconnue) de la variable de Bernoulli quivaut 1 si un individu pris au hasard possède le caractère. L’écart-type est alors

√p(1− p) qui

est inconnu. On obtient ainsi le résultat, présent en BTS, évoqué en Tle :

Théorème 7.6 (Intervalle de confiance asymptotique). (BTS) Un intervalle de confiance asymp-totique au niveau de confiance 1− α pour une proportion p inconnue basé sur un échantillon detaille n est[f − q1−α/2

√f(1−f)√n

, f + q1−α/2

√f(1−f)√n

] où f est la fréquence observée dans l’échantillon.

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Ce résultat est une conséquence de la partie 2.3, puisque√f(1− f) est un estimateur convergent

pour l’écart-type de la loi de Bernoulli.Remarques : Ce résultat est souvent assorti des conditions n ≥ 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5. Cesconditions ne sont de toute manière pas des conditions strictes comme des conditions d’appli-cation d’un théorème. Elles garantissent qu’on peut alors bien approcher la probabilité par salimite, que la différence n’est “pas trop grande”.On trouve en BTS en général le terme

√n au dénominateur remplacé par

√n− 1 ; c’est la même

raison pour laquelle on divise par n− 1 quand on estime un écart-type. Comme cette définitionn’a un sens que de manière asymptotique (elle est basée sur le théorème ci-dessous qui concerneune limite sur n), cela ne change pas grand chose.

Annexe : On peut faire moins précis... mais plus facile à démontrer :

Théorème 7.7. (Au programme de terminale, la démonstration aussi ! Elle est par exemple dansle Declic) Soit Sn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p) et Fn = Sn

n la fréquenceassociée. Alors pour n suffisamment grand, p appartient à l’intervalle [Fn − 1√

n, Fn + 1√

n] avec

une probabilité supérieure à 0.95.

Démonstration. On a p ∈ [Fn − 1√n, Fn + 1√

n]⇔ Fn ∈ [p− 1√

n, p+ 1√

n].

Or on a pour tout p ∈ [0, 1], p(1− p) ≤ 14 . Ainsi [p− 2

√p(1−p)√n

, p+ 2

√p(1−p)√n

] ⊂ [p− 1√n, p+ 1√

n].

Or avec le théorème de Moivre Laplace on obtient

limP (Fn ∈ [p− 2

√p(1−p)√n

, p+ 2

√p(1−p)√n

]) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) ' 0.9544 > 0.95 (où Z suit une loinormale centrée réduite). Donc il existe un rang n0 à partir duquelP (p ∈ [Fn − 1√

n, Fn + 1√

n]) ≥ 0.95.

Ce théorème peut aussi s’énoncer ainsi (c’est en fait une définition en Terminale) :

Théorème 7.8 (Intervalle de confiance (Terminale)). Un intervalle de confiance de niveau deconfiance supérieur à 95% pour une proportion p inconnue basé sur un échantillon de taille n est[f − 1√

n, f + 1√

n] où f est la fréquence observée dans l’échantillon.

7.5.3 Remarque sur le lien entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

On utilise un intervalle de confiance quand on ne connaît pas le paramètre de la population. Ondoit pour cela disposer d’un échantillon : l’intervalle de confiance dépend de l’échantillon, c’estune réalisation d’un intervalle aléatoire.

On utilise un intervalle de fluctuation quand on connaît, ou qu’on suppose connue (on fait unehypothèse), la proportion dans la population. On peut alors calculer l’intervalle de fluctuation :on n’a pas besoin pour cela d’un échantillon ; l’intervalle de fluctuation est un objet théorique.On peut ensuite si on dispose d’un échantillon regarder si la fréquence observée dans l’échantillonest dans l’intervalle de fluctuation, et s’en servir pour prendre une décision (et rejeter ou pasl’hypothèse qui a été faite).

A noter que pour prendre une décision (est-ce que la proportion dans ma population est 0.6 ?)lorsqu’on dispose d’un échantillon, il est naturel en terminale d’utiliser un intervalle de fluctua-tion. On pourrait aussi (et en fait cela revient exactement au même) considérer qu’on ne connaît

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pas p, construire un intervalle de confiance et regarder si 0.6 est dedans. Ce n’est pas ce que leprogramme de Terminale conduit à faire. En BTS, l’outil pour prendre cette décision s’appelleTest d’hypothèse.

7.6 Annexe 6 : Feuille de TD en M1MEEF

Exercice 1. On considère une variable aléatoire X de loi normale d’espérance m et de varianceconnue 0.01. On effectue 9 tirages, obtenant ainsi les valeurs 2.7 ; 3 ; 2.6 ; 2.89 ; 2.51 ; 3.05 ; 2.75 ;2.68 ; 2.92.Estimer m, et donner un intervalle de confiance pour m au risque 0.05. Soit Iα un intervalle deconfiance symétrique pour m au risque α. Pour quels α cet intervalle contient-il 3 ?

Exercice 2. En 1973, on a mesuré les baleineaux sur un échantillon de 60 individus dans lescriques de l’île Somerset. On a trouvé une taille moyenne de 199cm et une variance de 1252 cm2.En supposant que la taille des baleineaux suit une loi normale de variance 1252, donner unintervalle de confiance pour la taille des baleineaux au risque 0.05.

Exercice 3. On admet que la mesure de la masse m d’un objet avec la balance SuperbalanceTM

suit une loi normale d’espérance m, de variance σ2, où σ vous est inconnu, car vous avez perdule manuel de la balance.

On suppose que des pesées différentes d’un même objet donneront des résultats indépendants.

Pour un objet donné, 10 pesées successives ont fourni les résultats suivants (en grammes) :72,20 ; 72,24 ; 72,26 ; 72,30 ; 72,36 ; 72,39 ; 72,42 ; 72,48 ; 72,50 ; 72,54 ;

1. Calculer une estimation m̄ de l’espérance m. et une estimation s de l’écart-type.

2. On retrouve le manuel de la balance, qui indique σ = 0.08, et on effectue 26 autres pesées,pour lesquelles on a une moyenne arithmétique x̄2 = 72.33. En déduire une autre estimationde l’espérance prenant en compte toutes les pesées. Donner un intervalle de confiance aurisque 0.05 pour le poids de l’objet.

Exercice 4. Un laboratoire d’agronomie a effectué une étude sur le maintien du pouvoir ger-minatif des graines de Papivorus subaquaticus après une conservation de 3 ans. Sur un lot de100 graines, 64 ont germé. Donner, au risque d’erreur 5 pour 100 un intervalle de confianceasymptotique pour la probabilité de germination des graines de Papivorus subaquaticus aprèsune conservation de 3 ans.

Exercice 5. On effectue un sondage auprès de 400 électeurs et on obtient 212 intentions de voteen faveur d’un candidat C.

a) Donner au risque α = 0.05, un intervalle de confiance des intentions de vote en faveur de Cdans la population entière.

b) Jusqu’à quel risque α l’intervalle de confiance observé ne contient pas 0.5 ?

c) Quelle taille minimale de l’échantillon faudrait-il prendre pour que, au même risque 0.05 etavec la même probabilité estimée, l’intervalle ne contienne pas la valeur 0.5 ?

d) Quelle taille minimale de l’échantillon faudrait-il prendre pour obtenir toujours au risque 0.05une estimation avec une précision de 1 point (à gauche et à droite) des intentions de votes ?

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Exercice 6. Un biologiste veut évaluer la proportion p de drosophiles à yeux rouges dans unepopulation de drosophiles. Il voudrait que l’écart-type de son estimateur soit inférieure à 0.06. Ilsait de plus que la proportion qu’il cherche est inférieure à 1/4. Quelle taille d’échantillon doit-ilprendre ? Il observe alors une proportion de 0.15. Donner un intervalle de confiance asymptotiqueau risque 0.05 pour p. Avec une autre population (de même taille) soumise à des conditions dif-férentes, il observe une proportion de 0.25. Il déclarera que ces conditions ont un effet significatifsi les deux intervalles de confiance sont disjoints. Quelle sera sa conclusion ?

Exercice 7. Soit (X1, · · · , Xn) un n-échantillon d’une loi uniforme sur [0, θ] où θ est inconnu.On estime θ par M = max (Xi). Calculer Pθ(M ≤ θ ≤ aM), où a est un réel >1. En déduire unintervalle de confiance au risque 0.05 pour θ.Que vaut E[X1] et V ar(X1) ? En supposant n grand, on pourrait donc construire un autreintervalle de confiance pour θ, en construisant un estimateur à partir de la moyenne arithmétiquedes Xi.Quelle procédure est la meilleure ?

Exercice 8. Soit (X1, · · · , Xn) un n-échantillon d’une loi exponentielle de paramètre λ inconnu.

1. Montrer que n∑ni=1Xi

est un estimateur convergent de λ. A votre avis, est-il sans biais ?

2. Utiliser le théorème central limite pour déterminer un intervalle de confiance asymptotiquepour λ de niveau 0.95.

Exercice 9. 180 essais indépendants ont été effectués. Les résulats sont les suivants :

Valeur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et plusEffectif 13 17 41 38 32 27 11 0 1 0

Chaque essai est supposé suivre une loi de Poisson de paramètre λ. Donner un intervalle deconfiance asymptotique pour λ au risque 0.02.

Exercice 10. Soit (X1, · · · , Xn) un n-échantillon d’une loi de densité pθ(x) = 2xθ2

1[0,θ](x) deparamètre θ ∈]0, 2] inconnu, que l’on cherche à estimer.

1. Vérifier E[X1] = 2θ3 et V ar(X1) = θ2

18 .

2. Montrer que 32n

∑ni=1Xi est un estimateur sans biais convergent de θ et donner son risque

quadratique.

3. On suppose n grand. Proposer un intervalle de confiance de risque asymptotique 0.05 pourθ basé sur l’estimateur précédent.

4. Calculer P (cθ ≤ max(X1, . . . , Xn) ≤ θ) et en déduire un autre intervalle de confiance pourθ.

Exercice 11. Soit (X1, · · · , Xn) un n-échantillon d’une loi de densité pθ(x) = (2θx−θ+1)1[0,1](x)de paramètre θ ∈ [−1, 1] inconnu, que l’on cherche à estimer. On note X̄ la moyenne arithmétiquedes Xi.

1. Montrer qu’on peut choisir les constantes a et b pour que T = aX̄ + b soit un estimateurnon biaisé de θ. Est-il convergent ?

2. Donner un intervalle de confiance de niveau asymptotique 0.95 pour θ.

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1 Objectifs de l’évaluation par problèmes longs, L1 · Un problème avec une dernière partie « facultative » pouvait ... Université de Paris VII, 1984 Page1/22 12mars2015