1

Prévision d’une série chronologique par lissage exponentiel

Michel Tenenhaus

2

1. Différents types de séries chronologiques

COURS D'UNE ACTION

PAS DE TENDANCE, PAS DE SAISONNALITE

Sequence number

16151413121110987654321

CO

UR

S

1500

1400

1300

1200

1100

CHIFFRE D'AFFAIRES D'UNE SOCIETE

PRESENCE D'UNE TENDANCE, PAS DE SAISONNALITE

Sequence number

252321191715131197531

CA

12000

11000

10000

9000

8000

VENTES MENSUELLES DE CHAMPAGNE

PRESENCE D'UNE TENDANCE ET D'UNE SAISONNALITE

Date

JAN 1970JAN 1969JAN 1968JAN 1967JAN 1966JAN 1965JAN 1964JAN 1963JAN 1962

CH

AM

PA

GN

E

16000

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

3

2. Les méthodes de prévision par lissage exponentiel

TENDANCE SAISONNALITÉ MÉTHODE

NON NON LISSAGE SIMPLE

OUI NON LISSAGE DE HOLT

OUI OUI LISSAGE DE WINTERS

4

3. Lissage exponentiel simple

Exemple : Cours d’une action

JOUR COURS JOUR COURS JOUR COURS123456

129312091205127312201290

789

1011

12431203139013601353

1213141516

13431364133013771332

JOUR

16151413121110987654321

CO

UR

S

1500

1400

1300

1200

1100

5

Prévision de la série COURS D’UNE ACTIONpar lissage exponentiel simple

S0 = Y1 ; alpha = 0.46

JOUR

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1500

1400

1300

1200

1100

COURS

PREVISION

6

Formules de prévision et de lissage

Prévision de Yt+h réalisée à l’instant t

tt S )h(Y

où : - htt Y deprévision )h(Y

- St = estimation de la moyenne de la série à l’instant t

Formule de lissage

St = Yt + (1-)St-1

où : - = constante de lissage ( 0 1)

- S0 = valeur initiale (Y1 ou = valeur choisie par SPSS) Y

Prévision de Y17

en t = 16 :

- si S0 = Y1

- si = 0- si = 1

7

Calcul de la valeur lissée St

lisséeValeur

passées valeursdes pondérée Moyenne

S)1(Y)1(Y S1t

1j0

tjt

jtt

Conséquences

- Somme des poids = 1

- Pour = 0, St = S0 pour tout t

- Pour = 1, St = Yt pour tout t

8

Application : Cours d’une action

= 0.46 St = Yt + (1 - )St-1 S0 = Y1

Jour Cours (Yt) Valeur lissée St

0123...

1516

129312091205

.

.

.13771332

S0 = Y1 = 12931293

1254.361231.65

.

.

.1358.001346.04

9

Application : Cours d’une action

Cours Yt et valeur lissée St [alpha = 0.46]

JOUR

161514131211109876543210

1500

1400

1300

1200

1100

COURS

VALEUR

LISSEE

10

Prévision de Yt

Sur l’historique (t = 1 à T):

1-t

tt

S

1-en t série la de estimée Moyenne

1-en t réalisée Y dePrévision Y

Sur le futur :

hprévision dehorizon pour tout

S

Ten série la de estimée Moyenne

Ten réalisée Y dePrévision (h)Y

T

hTT

11

Prévision de Yt

On choisit minimisant 2te 50085e2

tPour = 0.46 :

= 0.46 St = Yt + (1 - )St-1 S0 = Y1

Jour CoursYt

Valeur lisséeSt

Prévision de Yt

(= St-1)Résidu

et = Yt – St-1

0123...

151617181920

129312091205

.

.

.13771332

1293.001293.001254.361231.65

.

.

.1358.001346.04

1293.001293.001254.36

.

.

.1341.811358.001346.041346.041346.041346.04

0.00-84.00-49.36

.

.

.35.19-26.00

Calculéspar SPSS

12

Choix de Results of EXSMOOTH procedure for Variable COURSMODEL= NN (No trend, no seasonality)

Initial values: Series Trend 1293.00000 Not used

DFE = 15.

The 10 smallest SSE's are: Alpha SSE .4600000 50085.26068 .4700000 50090.61536 .4500000 50094.47462 .4800000 50110.08196 .4400000 50118.73892 .4900000 50143.22786 .4300000 50158.56131 .5000000 50189.64352 .4200000 50214.47645 .5100000 50248.94158

13

Prévision de Yt

JOUR

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1500

1400

1300

1200

1100

COURS

PREVISION

Yt

St-1

S16

S0

14

Intervalle de prévision à l’horizon h au niveau 95%[Modèle ARIMA (0,1,1) sans constante]

Données observées : Y1, …, YT

Prévision de YT+h : TT S )h(Y

Intervalle de prévision à 95% de YT+h :

2T 1)-(h1ˆ1.96 )h(Y

où

T

1t

2tt )YY(

1T

1ˆ

15

Intervalle de prévision au niveau de confiance 95%

Utilisation du « Time series modeler » de SPSS

Forecast

1346 1467 1226

1346 1477 1215

1346 1486 1206

1346 1495 1197

17

18

19

20

Forecast UCL LCL

cours-Model_1

Model

16

4. La méthode de Holt

Exemple : Chiffre d ’affaires d ’une société

Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 41972197319741975197619771978

9 68010 73810 86911 10811 43711 507

9 05010 10010 91011 03411 11511 35211 453

9 38010 16011 05811 13511 42411 38111 561

9 37810 46911 01610 84510 89511 401

Trimestre

252321191715131197531

CA

12000

11000

10000

9000

8000

17

La méthode de Holt

Hypothèses : Série avec tendance, sans saisonnalité

Formule de prévision : A l’instant t, à l’horizon h

ttt Th S )h(Y

Prévisionde Yt+h

Niveau dela tendance

Pente dela tendance

Formules de lissage

St = Yt + (1 - ) (St-1 + Tt-1)

1-en t Y dePrévision Y tt

Tt = (St - St-1) + (1 - ) Tt-1

Prévisionlocalementlinéaire

18

La méthode de Holt

Choix des valeurs initiales de T0 et S0 dans SPSS

1T

YY T 1T

0

Choix des constantes de lissage et

010 T5.0Y S

t1t1-tt Y deprévision TS Y

prévision deerreur Y-Y tt

2tt )Y(Y minimisant et rechercheOn

19

Choix de et

Results of EXSMOOTH procedure for Variable CAMODEL= HOLT (Linear trend, no seasonality)

Initial values: Series Trend 8999.78000 100.44000

DFE = 24. The 10 smallest SSE's are: Alpha Beta(*) SSE .4100000 1.000000 1014101.3926 .4200000 1.000000 1014605.7163 .4100000 .9900000 1015200.6924 .4200000 .9900000 1015268.6427 .4000000 1.000000 1015741.5978 .4200000 .9800000 1016033.2733 .4100000 .9800000 1016402.7294 .4200000 .9700000 1016900.4755 .4300000 1.000000 1017088.4978 .4000000 .9900000 1017288.6506

(*) Gamma dans SPSS

20

Prévision du Chiffre d’Affaires

ChiffreTrimestre d'affaires prévision résidu_________ __________ ___________ ___________

1 9050 9100.22000 -50.22000 2 9380 9159.47960 220.52040 3 9378 9420.15613 -42.15613 4 9680 9555.85127 124.14873

.

.

. 24 11507 11459.70349 47.29651 25 11453 11524.15142 -71.15142 26 11561 11510.86362 50.13638 27 . 11567.85973 . 28 . 11604.29993 . 29 . 11640.74012 . 30 . 11677.18032 .

21

Prévision du Chiffre d’Affaires

Trimestre

2927252321191715131197531

12000

11000

10000

9000

8000

Chiffre

d'affaires

prévision

22

Intervalle de Prévision à 95% du CAUtilisation du « Time series modeler » de SPSS[Modèle ARIMA(0,2,2) sans constante]

Forecast

11566 11981 11151

11601 12130 11072

11636 12360 10913

11672 12649 10695

27

28

29

30

Forecast UCL LCL

ca-Model_1

Model

23

4. La méthode de Winters

Exemple : Ventes de Champagne

1962 … 1968 1969 1970JanvierFévrierMarsAvrilMaiJuinJuilletAoûtSeptembreOctobreNovembreDécembre

281526722755272129463036228222122922430157647312

26392899337037402927398642171738522164249842

13076

39343162428646765010487446331649595169819851

12670

434835644577478846185312429814315877

On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.

24

Ventes de Champagne

On exclut les douze derniers mois pour valider la méthode.

Date

CH

AM

PA

GN

E

16000

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

25

La méthode de Winters

Hypothèses : Série avec tendance et saisonnalité d’ordre s (ici s = 12)

Formule de prévision : A l’instant t, à l’horizon h

Formules de lissage

shtttt I )Th S( )h(Y

Prévisionde Yt+h

Niveau dela tendance

Pente dela tendance

Coefficientsaisonnier

)T(S )-(1 )I

Y( S 1t1-t

s-t

tt

1t1ttt T )-(1 )S(S T

s-tt

tt I )-(1 )

S

Y( I

Prévision localementlinéaire

*Coefficient saisonnier

26

La méthode de Winters

Choix des valeurs initiales T0 , S0

complètes annéesd' nombre leest k où , s)1k(

YY T 1k

0

Choix des coefficients saisonniers I01, …, I0s

010 T)2

s(Y S

Les coefficients saisonniers I01, …, I0s sont obtenusen partant de la décomposition saisonnière de la série Yt

avec poids identiques. La moyenne mobile initiale estconstruite sur s termes.

27

La méthode de Winters

Choix des constantes de lissage , et

1-tinstant l' à calculée Y de prévision

I)T(S Y

t

st1t1-tt

prévision deerreur Y-Y tt

2tt )Y(Y minimisant , , rechercheOn

28

RésultatsResults of EXSMOOTH procedure for Variable CHAMPAGNMODEL= WINTERS (Linear trend, multiplicative seasonality) Period= 12

Seasonal indices:(en pourcentage) 1 73.05851 2 67.43095 3 81.49642 4 83.91526 5 92.57661 6 88.61501 7 73.56785 8 36.17448 9 92.43837 10 120.75980 11 174.76449 12 215.20225

Initial values: Series Trend 3350.79861 21.22801

DFE = 80.

The 5 smallest SSE's are: Alpha Beta Gamma SSE .0500000 .0300000 .0000000 30047638.175 .0600000 .0200000 .0000000 30094467.153 .0500000 .0200000 .0000000 30099702.780 .0500000 .0400000 .0000000 30193432.067 .0600000 .0300000 .0000000 30194656.348

Calculer :

- S1, T1, I1, I12

- 21 Y,Y

29

Résultats sur l’historique utilisé : (horizon h = 1)

Date Champagne Prévision Résidu________ _________ ___________ ___________

JAN 1962 2815 2463.55246 351.44754FEB 1962 2672 2304.80933 367.19067MAR 1962 2755 2826.31399 -71.31399APR 1962 2721 2925.52282 -204.52282MAY 1962 2946 3236.81640 -290.81640JUN 1962 3036 3103.70251 -67.70251JUL 1962 2282 2589.82403 -307.82403AUG 1962 2212 1273.50670 938.49330SEP 1962 2922 3397.22170 -475.22170OCT 1962 4301 4436.22316 -135.22316NOV 1962 5764 6452.30884 -688.30884DEC 1962 7312 7953.28875 -641.28875

.

.

.

JUL 1969 4633 4119.96749 513.03251AUG 1969 1649 2044.67375 -395.67375SEP 1969 5951 5188.64038 762.35962

30047638

e2t

30

Résultats sur l’historique utilisé(prévision à l’horizon 1)

Date

16000

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

Champagne

Prévision

31

Résultats sur la période test : (horizon h = 1 à 12)

Date Champagne Prévision Résidu________ _________ ___________ ___________

OCT 1969 6981 6848.37398 132.62602NOV 1969 9851 9940.29754 -89.29754DEC 1969 12670 12276.38085 393.61915JAN 1970 4348 4179.92009 168.07991FEB 1970 3564 3869.24602 -305.24602MAR 1970 4577 4689.98831 -112.98831APR 1970 4788 4843.24782 -55.24782MAY 1970 4618 5358.65535 -740.65535JUN 1970 5312 5144.19067 167.80933JUL 1970 4298 4283.01302 14.98698AUG 1970 1431 2112.08652 -681.08652SEP 1970 5877 5412.60115 464.39885

Calculer :

- Ssept 69 et Tsept 69

- 70 octobred'prévision )13(Y 69 sept

32

Résultats sur la période test (prévision sur l’horizon 1 à 12)

Date

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

Champagne

Prévision

33

Intervalle de Prévision à 95% de ChampagneUtilisation du « Time series modeler » de SPSS

Forecast

6982 8210 5754

10390 11756 9024

12914 14434 11395

3859 5121 2596

3655 4970 2340

4544 5992 3096

4826 6360 3293

4912 6507 3317

5192 6877 3507

4661 6305 3017

1977 3300 654

6079 8385 3773

Oct 1969

Nov 1969

Dec 1969

Jan 1970

Feb 1970

Mar 1970

Apr 1970

May 1970

Jun 1970

Jul 1970

Aug 1970

Sep 1970

Forecast UCL LCL

champagn-Model_1

Model

34

Conclusion générale

« All the proofs of a pudding are in the eating, not in the cooking ».

William Camden (1623)