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Théorème du cercle circonscrit au triangle

rectangle.

Bruno DELACOTE

Type d ’activité : leçon illustrée

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Conseils et méthode de travail

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Sommaire

Théorème direct :Si le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB],

alors le triangle ABI est rectangle en I.

Réciproque: Si le triangle ABI est rectangle en I, alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB]

Exercice 1

Exercice 2

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Théorème direct

A O B

I Si le point I est situé sur un cercle de diamètre [AB],

Alors le triangle ABI est rectangle en I.

Cherchons à prouver ce théorème

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Dessine un demi cercle de diamètre [AB] et un point I sur le demi cercle :

JPar définition de la symétrie centrale,

O est le milieu du segment [ IJ ].

De plus IJ = 2 OI = 2 OA = AB

A O B

I

Trace le symétrique J de I par rapport au milieu O du segment [ AB].

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Nous avons prouvé que :O est le milieu du segment [ AB].O est le milieu du segment [ IJ ].IJ = AB

Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont isométriques, alors c ’est un rectangle.

Donc l ’angle AÎB est droit.

J

A O B

I

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Examinons le théorème réciproque

Si le triangle ABI est rectangle en I,

A O B

I

alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB].

Prouvons ce théorème !

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I

O B

J

Traçons le symétrique J de I par rapport à O

A

Le quadrilatère AIBJ est un parallélogramme car ses diagonales ont même milieu.

Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle.Donc AIBJ est un rectangle.Or les diagonales d ’un rectangle sont isométriques donc IJ = AB.

Alors OI = IJ/2 = AB/2 = OAet I est situé sur le cercle de diamètre [AB].

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1°) Dessiner un cercle C de diamètre [AB]. Marquer un point M sur ce cercle.Construire le symétrique de A par rapport à M; L'appeler C.Construire le symétrique de B par rapport à M;D'appeler D.2°)Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Expliquer pourquoi.

A B

M

CD

Il semble que ABCD soit un parallélogramme ! et même un….?

Saurais-tu le prouver ?

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A B

M

CD

Par définition de la symétrie centrale M est le milieu des segments [AC] et [BD]Or si les diagonales d ’un quadrilatère ont même milieu alors c ’est un parallélogramme.

M est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc d’après le théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle, le triangle ABM est rectangle en M.Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c ’est un losange.

Donc ABCD est un losange.

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A BI milieu de [AB]

G

M

J milieu de [MB]

Soient A et B deux points distants de 15 cm fixés. Etudier la position du point G, centre de gravité du triangle AMB rectangle en M lorsque le point M varie.

Le centre de gravité est le point de concours des trois médianes d'un triangle. Deux médianes permettent de déterminer sa position.

Remarque : la droite (BG) coupe [AM] en son milieu.

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Construisons une série de points dans quelques triangles rectangles ayant [AB] pour hypoténuse...

Les centres de gravité semblent situés sur un cercle....

A B

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A BI

Le centre de gravité G d'un triangle, est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Donc IG = 1/3 IM Or les triangles ABM sont rectangles en M, donc les points M sont situés sur le cercle de diamètre [AB], et les médianes [IM] mesurent la moitié de l'hypoténuse soit 7,5cm.Finalement IG = IM/3 = AB/ 6 = 2,5cm.

Les points G sont situés sur le cercle de centre I et de rayon AB/ 6. Tous les points de ce cercles sont-ils centre de gravité

d'un triangle d'hypoténuse [AB] ?

M1M2

M3

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Fin