MQ41Tp n2: Etude du flambage dune poutre

MQ41

Compte-rendu du TP n2:Etude du flambage dune poutre

Composition du groupe de travail:

-Charles-Henri DESPICHT-Cdric Laplanche-Alexis BOUCHARD

Objectif du tp:Ce tp pour but de dterminer exprimentalement, les charges critiques dEuler pour diffrentes conditions de flambement.

Introduction:Sous laction de forces opposes, suffisamment grandes, parallle son axe, une poutre AB, sincurve et peut prendre une flche dangereuse. Ce phnomne apparat lorsque la charge appliqu la poutre (P) atteint une charge critique (Pc).

On peut voir apparatre trois cas:P < Pc: La poutre tant primitivement flchie, se redresse et la flche tend vers 0P = Pc: La poutre est flchie et un faible effort suffit modifier flcheP > Pc: La flche augmente et ne reste pas stable ce qui peut conduire une rupture de la poutre.

On tudie la thorie du flambement pour des poutres sollicites de 3 manires diffrentes:Poutre articule ses deux extrmits.Poutre articule lune de ses extrmits et encastr de lautre.Poutre encastre aux deux extrmits.

Etude prliminaire:

Cas parfait:

Torseur intrieur:Mf = -P.yT= 0N = -PEquation diffrentiel de la dform:Mf = -P.y On pose . Ainsi on obtien comme solution de lquadiff:: Cas de la compression pure(limin)

Condition aux limites:

En A: x=0 et y=0 do A=0

En B: x=l et y=0 do

Pour viter le cas de la compression pure on prend Ainsi on a:

A lordre 1 on a: k=1 do et P=Pc

Ainsi , O Pc est la charge critique dEuler

Cas gnrale:

Dans la ralit, la charge nest jamais bien centre et les poutres ne sont jamais parfaitement rectilignes.

Dsormais on a:Mf= -P.(y+y0)On obtient donc:On admet que (avant dformation)Avec a= Flche maximale ltat initiale.On obtient ainsi la solution suivante:

Conditions aux limites:

Au point A : x=0 et y=0 do A=0Au point B: x=l et y=0 do b=0

Ainsi on obtient:

Connaissant la flche initiale on aura donc la flche finale:

Les diffrent cas de flambage tudis:La charge critique dEuler est exprime de la faon suivante:

Poutre articule aux deux extrmits:

Poutre articule dun cot et encastr de lautre:

Poutre encastre aux deux extrmits:

Application numrique:

L=700mm; E= 210000 Mpa; =45mm4Pc1= 190NPc2=180NPc3=760N

Pour on a:

avec et

Do:

On obtient donc lquation de la droite de Southwell:

Matriel de mesure:

Lappareillage propos est conu pour ltude des charges critiques de flambement des poutres droites en fonction de leurs lancements et des conditions limites. Le montage exprimental permet ltude des poutres de longueur comprises entre 400mm et 800mm. Les poutres sont de section rectangulaire et se dforment dans leur plan moyen.Les conditions aux limites sont assures par des blocs de liaison dmontable qui permettent davoir les configurations demand dans ltude.La charge est appliqu la poutre par lintermdiaire dune poutre mise en charge et dun dynamomtre. La poutre de mise en charge est monte sur une articulation dont la position peut tre rgle pour maintenir la poutre horizontale afin que la direction de la charge applique reste verticale durant la manipulation.Une charge latrale trs faible est applique la poutre pour imposer le sens de la flche latrale mesure laide dun comparateur.

Schma de lappareil:

Travail demand:

Coefficient damplification d de la charge P tel queF= d.P

Do d=3

2.a. Tracer des courbes y=f(P):

E= 2,1.105 MPal= 700mmb= 20mmh= 3mm- Configuration de la poutre:

Rsultats:

Essaie 1Poutre avec deux articulations

F (N)048121620242832364044

P(N)01224364860728496108120132

Y(mm)01295895130182248332451638890

Essaie 2

Poutre avec un encatrementet une articulation

F (N)010203040506070809096

P(N)0306090120150180210240270288

Y(mm)0123867109159231323479646905

Essaie 3

Poutre avec deux encastrements,

F (N)020406080100120140160180200220224

P(N)060120180240300360420480540600660672

Y(mm)02153253761151732633815808341032

2.b: Dtermination exprimentale de Pc:

Pc1,Pc2 et Pc3 correspondent respectivement aux triple de la valeur de F(N) ou la valeur de P(N) quand Y tend vers linfinie pour les trois essaies:

Ainsi on trouve: Pc exp 1= 3 x 46= 138N Pc exp 2= 300N Pc exp 3= 3 x 230= 690N

2.c: Dtermination de Pc avec la droite de Southwell pour a=1

On pose et do avec correspondant la pente de la courbe.On obtient ainsi un Pc pour chaque y et il en dcoule les Pcmoy suivants:

Pc moy 1= 173.14NPc moy 2= 379.21NPc moy 3= 752.45N

2.d: Dtermination des a:

On a lquation suivantes: AN:

; ;

2.e: Confrontation des rsultats:

Pc1Pc2Pc3

Rsultats graphique138N300N690N

Rsultats avec la thorie d'Euler173,14N379,21N752,45N

Rsultats thoriques190N380N760N

Remarque:On constate avec ce tableau que les rsultats graphique ne sont pas prcis et admettent un coefficient derreur important. En revanche Les rsultats obtenue graphiquement mais laide de la thorie dEuler sont relativement proche de la ralit thorique.

3: Influence de la longueur de la poutre:

3.a:L configuration choisit est la suivante:L1=700mma=1, (Poutre avec deux articulations)L2=400mm

Tracer des courbes:- Pour L1 voir travail effectu prcdemment- Pour L2:F(N)0153045607490104120134150165180

P(N)04590135180222270312360402450495540

Y(N)031019304359791101592444281117

Comparaison des rsultats:

On observe quavec une longueur de poutre de 400mm on a un Pc significativement plus lev quavec une poutre de 700mm.

4. Conclusion:

Ce tp permit deux montrer les deux choses suivantes. Premirement la technique dEuler permet de dterminer dune manire assez prcise une charge critique partir de rsultats obtenus exprimentalement.Ensuite, ce tp montre une chose assez importante en Rdm qui est linfluence de la longueur dune poutre sur le phnomne de flambage. En effet on pu constater que plus la poutre est petite, plus celle admettra une charge critique leve, ce qui semble logique intuitivement.11Charles-Henri DESPICHT, Cdric LAPLANCHE, Alexis BOUCHARD