11 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques 2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait 3 - Propagation

11

Introduction

1 - Equations de Maxwell dans les milieux l.i.h. non magnétiques

2 - Propagation des OEM dans un milieu diélectrique parfait

3 - Propagation des OEM dans un milieu bon conducteur

4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement 4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteurconducteur

5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude

6 - Absorption

7 - Dispersion

Ch. 3 Propagation des OEM dans les milieux

matériels

Bloc 6

22

Milieu intermédiaire l.i.h. , non magnétique

jL≈ jDtan Δ≈1

3ème situation :

4 - Propagation des OEM dans un milieu partiellement conducteur

33

E=E m e− j ωt−k z

Etablir l’équation de dispersion pour l’OEM associée au champ ci-dessus dans un milieu partiellement conducteur, l.i.h., de permittivité et de conductivité . Montrer que l’on obtient :

Exercice 1

k²=ω²c²ε r j ωμo σ

44



1. réelle = o (continu)


3 cas de figure selon que est réelle, imaginaire ou complexe

k² complexe k complexe

1. imaginaire k² réel > 0

k imaginaire

1. complexe k² complexe k complexe

k² réel < 0

k réel

55


imaginaire k² réel > 0

k imaginaire = jk’’k² réel < 0

k réel



Le milieu n’est pas absorbantLe milieu n’est pas absorbant, l’indice est réel il peut y avoir dispersion

on peut calculer v, n, ,…

E=E m e− j ωt−k z =Em e

− jωt e−k '' z

L’onde ne se propage pasne se propage pas dans le milieu, l’amplitude du champ décroît

onde évanescentev, ,..ne sont pas définies

1er cas de figure :

66



kk = k’ + = k’ + jk’’jk’’

réelle = o (continu)


k '= 1

2ωc ε r11 σ²

ω2 ε 2

k = { {1} over { sqrt {2} } } { {ω} over {c} } sqrt {ε rSub { size 8{r} } } sqrt { - 1+ sqrt {1+ { {σ²} over {ω rSup { size 8{2} } ε rSup { size 8{2} } } } } } {} # right no } } lbrace } {}¿

{¿ ¿¿

¿

Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6

«

2ème cas de figure :

On peut calculer , v, n, …

77



kk = k’ + jk’’ = k’ + jk’’

complexe


Pour les détails du calcul, voir le diaporama « démonstrations bloc 6

«

3ème cas de figure :

On peut calculer , v, n, …

Il faut développer l’expression de dans l’équation de dispersion avant de la résoudre

88

Introduction





5 - Comportement de 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés

6 - Absorption

7 - Dispersion


matériels

99

j L=∑iρ i v i= ρ ev e= ne − e v e

jL=σ E

5-1 – Comportement deavec la fréquence : électrons libres

Méthode pour déterminer :

1. Déterminer jL et utiliser la loi d’Ohm

2. Déterminer la vitesse des porteurs pour avoir jL

3. Utiliser le principe fondamental de la dynamique pour déterminer la vitesse des porteurs.

1010

Modèle de Drude Comportement des

électrons «libres»électrons «libres» dans les conducteurs soumis à un champ électromagnétique

PFD appliqué à un e- «libre»

md² rdt ²

=−e Ev∧B −mτ

v−mωo ²rm g

Force de Lorentz

Force de frottements

Force de rappel

élastique

Déplacement de e- %

position en l’absence de

champ

Vitesse d’entraîneme

nt sous champ


1111

Modèle de Drude

md² rdt ²

=−e Ev∧B −mτ

v−mωo ²rm g

Force de frottements

Force de rappel

élastique

Hypothèses : mg << eE mo²r << eE Bv ~ Ev/c <<E

md² rdt ²

=−e E−mτv Temps de

relaxation moyen entre 2 collisions

10-14 s

Justification des hypothèses ?


1212

md² rdt ²

=−e E−mτv

d vdt

vτ=−

em

E

v=−emτ Ev oexp −

tτ

Résolution de l’équation différentielle pour E champ constant et uniforme (indépendant de r et t) ?


Démonstration dans le diaporama démonstrations du bloc 6

1313

v=−emτ Ev oexp −

tτ

10-14 s v≈−emτ E=μ E

Hypothèse : E champ constant et uniforme (indépendant de r et t)

jL= ρev e=ne−e v e

j L=n e −e − e m

τ E=n e e²

mτ E=σ E

Conductivité définie en

continu

Mobilité des électrons

libres


1414

d vdt

vτ=−

em

E

d vdt

=− jωv

v=v oe− jωt

Hypothèse : E champ sinusoïdal progressif

− jω v vτ=−

em

E

E=E m e− jωt e j k z

Hypothèse : Oscillations forcées des e- libres sous le champ E

(à la même fréquence)

v=−e

m 1τ− jω

E=−eτ

m 1− j ωτ E

jL=ne−e v=nee²τ

m1− j ωτ E=σ E σ=

ne e²τ

m 1− j ωτ complexe


1515

σ=ne e²τ

m 1− j ωτ

σ=ne e²τ

m=σ o

σ=ne e²τ

m 1− j ωτ

• << 1 < 1012 rad/s

J est en phase avec E

• >> 1 > 1016 rad/s

σ=ne e²τ

− jm τω= j

σ oωτ

J est en quadrature retard sur E

• 1012 rad/s < < 1016

rad/s

J est en retard sur E de tel que :

J=σ oωτ

Em .e− jωt e jkzej π

2

ϕ = Arc tan ωτ

Continu

Ne dépend pas de f


1616

Quelle est l’expression de la conductivité du cuivre dans le domaine des rayons X dont la longueur d’onde dans le vide est o = 1pm?

En déduire l’expression de l’équation de dispersion et celle du vecteur d’onde associé.

Caractériser la propagation de ces rayons X dans le cuivre .

Connaissez-vous une application de ce phénomène ?

Exercice 2

1717

Introduction



3 - Propagation des OEM dans un milieu conducteur


5 - Comportement de 5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude avec la fréquence : modèle de Drude 1 - Electrons libres 2 - Electrons faiblement liés2 - Electrons faiblement liés

6 - Absorption

7 - Dispersion


matériels

1818

Modèle de Drude Comportement des électrons élastiquement «liés»électrons élastiquement «liés» dans les

milieux soumis à un champ électromagnétique PFD appliqué à un e- «lié»

md² rdt ²

=−e Ev∧B −mτ

v−mωo ²rm g

Force de rappel

élastique

Hypothèses : mg << eE Bv ~ Ev/c <<E

d² rdt ²

=−em

E−1τd rdt

−ωo ² r

Temps de relaxation moyen entre 2

collisions

10-10 - 10-15

s

Pulsation propre

o 1016rad/s

5-2 – Comportement deavec la fréquence : électrons liés

1919

d² rdt ²

=−em

E−1τd rdt

−ωo ² r

E champ sinusoïdal progressif E=E m . e− jωt e j k z

Hypothèse : Oscillations forcées des e- élastiquement liés à la même fréquence que le champ

jL=ne−e v=− jne e²ω

m ωo ²−ω²− jωτ

E=σ E

σ=− jne e²ω

mωo ²−ω²− jωτ

v=jωe

mωo ²−ω²− jωτ

E


Démonstration dans le

diaporama démonstrations

du bloc 6

complexe

2020

σ=− jne e²ω

m ωo ²−ω²− jωτ


Il faut discuter en fonction de en comparant les ordres de grandeur des termes du dénominateur

<< o

o

>> o


2121

Introduction





5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude

6 - Absorption6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient d’absorption

7 - Dispersion


matériels

2222

Montrer que le théorème de Poynting dans les milieux matériels s’écrit :

div R=−∂u em∂ t

−σ . E ²

dW em

dt=−∯

S

R . d s−∭V

σ . E ² . dτ

En déduire le bilan d’énergie :

Exercice 3

2323

dW em

dt=−∯

S

R . d s−∭V

σ . E ² . dτ

Variation de l’énergie

électromagnétique dans le volume V

Puissance dissipée par les courants JL circulant dans V

(effet Joule)Puissance rayonnée par l’OEM à travers S fermée entourant

V

6-1 - Puissance transportée dans un milieu absorbant

Théorème de Poynting

2424

1 – Puissance dissipée dans un milieu conducteur

dW em

dt=−∯

S

R . d s−∭V

σ . E ² . dτ

Puissance dissipée dans le conducteurP moy=∭

V

σ o .⟨ E ² ⟩ .dτ

Milieu l.i.h. : o

−k z} } cos \( ωt - k'z \) } {}¿

E=E me¿

¿

−2k z} } cos² \( ωt - k'z \) } {}¿

E²=Em ² e¿

¿−2k z} } . dτ} {}

¿

Pmoy=∭V

σ o .Em ²

2.e ¿

¿

2525

Exercice 4

−k z} } e rSup { size 8{ - j \( ωt - k'z \) } } } {}¿

E x=Emx e¿

¿

A l’aide des équations de Maxwell en notation complexe, donner l’expression complexe du champ B associé au champ E ci dessus. Exprimer le déphasage de B par rapport à E.

k=k e z=∣k∣. e jϕ e z

−2k z} } } {}¿

⟨R z ⟩=1

2μE mx ² .

k 'ω

.e¿

¿

A l’aide des expressions complexes de B et E ci-dessus, montrer que le vecteur de Poynting s’écrit :

En déduire la puissance moyenne transportée par l’onde (par unité de surface).

2626

Introduction





5 -5 - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude

6 - Absorption6 - Absorption 1- Puissance dans un milieu absorbant 2 - Coefficient d’absorption

7 - Dispersion


matériels

2727

−2k z} } } {}¿

Pmoy z Pmoy z=0

=e¿

¿

• Le coefficient d’absorption caractérise un milieu absorbant absorbant

• Il est défini (en puissance ou en intensité), pour une onde atténuée, par :

z : direction de propagation

Pmoy z Pmoy z=0

=e−αz

α=− 1zLn

P z P z=0

s’exprime en Néper/m (Np/m) ou en m-1

s’exprime aussi en décibel/m (dB/m)α dB /m =−10z

log 10 [P z

P z=0 ]

6-2 - Coefficient d’absorption

2828

Pmoy z Pmoy z=0

=I z

I z=0 =e−αz α=− 1

zLn

P z P z=0

=2k’’ est lié à l’indice d’extinction n’’ = = c.k’’/

Exemple : semi-conducteur GaAs

6-2 - Coefficient d’absorption

Loi de Beer-Lambert

2929

Introduction





5 - - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude

6 - Absorption

7 - Dispersion7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh


matériels

3030

Milieux dispersifs vv(())

7 - Dispersion

Emetteurs non monochromatiques largeur de raie

Emission d’un paquet d’ondes Représentation d’une OEM réelle sous la forme d’une

superposition d’OPPM (analyse de Fourier) Se propageant dans la même direction De même amplitude De vecteurs d’onde différents (pulsations différentes)

1 - Vitesse de groupe

3131

Soit o la pulsation centrale associée à ko

k∈[ k o−Δk2; k o

Δk2

]

ω∈[ωo−Δω2;ωo

Δω2

]

Δω <<ω o

7-1 - Vitesse de groupe


Expression du champ associé au paquet d’onde (PO) ?

3232

E PO =ej ko z−ωo t . ∫

k o−Δk2

k oΔk2

Emk .ej k−ko z−

dωdk

t .dk

Terme sinusoïdal se propageant à la

vitesse de phase vv = = oo/k/koo

Enveloppe de Enveloppe de l’amplitudel’amplitude se

propage

à la vitesse v = dv = d/dk/dk

Vitesse de groupe : vg


3333

E PO =ej ko z−ωo t . ∫

k o−Δk2

k oΔk2

Emk .ej k−ko z−

dωdk

t .dk

EnveloppeEnveloppe se propage

À la vitesse v = v = dd/dk/dk

Énergie transportée par le paquet d’ondes <E²>

partie de l’enveloppe où E est max

énergie se déplace à la vitesse vg

Vitesse de propagation de l’énergie :

vg


3434

animation

En regardant bien l’animation :

Comment repère-t-on la vitesse de groupe ?

Comment repère-t-on la vitesse de phase ?

Exercice 5

3535

k² = ².µor=².r/c²

Etablir l’expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe pour une OEM se propageant dans un milieu diélectrique caractérisé par l’équation de dispersion :

Exercice 6

3636

Introduction





5 - - Comportement de avec la fréquence : modèle de Drude

6 - Absorption

7 - Dispersion7 - Dispersion 1- Vitesse de groupe 2 – Relation de Rayleigh


matériels

3737

Relation traduisant la dispersion, liant les vitesses de groupe et de phase ; 2 expressions équivalentes

v g=v ϕ .1

1− dndλo

.λon

7-2 – Relation de Rayleigh

v g= v ϕ− λdv ϕdλ


: mesurée dans le milieu

o : mesurée

dans le vide

λ=λon

3838

Fin du bloc 6….

Début du bloc 7…. Quizz 6Quizz 6

Problème N°3 à rédiger…

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