Echantillonnage

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1 Le problème de l’échantillonnage

Il s’agit de déterminer des propriétés concernant des échantillons prélevés dans une

population donnée.

Nous ne considérons ici que des échantillons aléatoires, c'est-à-dire constitués d’éléments pris

au hasard dans la population.

Pour former un échantillon de taille n :

– Le tirage des n éléments de la population peut être sans remise ou exhaustif : n fois de

suite, on tire au hasard un élément de la population pour noter un résultat le

concernant , sans le remettre dans cette population.

On a une suite de n prélèvements d’un élément dans la population qui ne sont pas

indépendants les uns des autres.

– Le tirage des n éléments de la population peut être avec remise ou non exhaustif : n

fois de suite, on tire au hasard un élément de la population pour noter un résultat le

concernant, on le remet ensuite dans cette population.

On a une suite de n prélèvements d’un élément dans la population qui sont

indépendants les uns des autres.

2 Étude de la moyenne d’un échantillon

On considère une population sur laquelle est définie une variable numérique X de moyenne ou

d’espérance m et d’écart type .

Prélevons dans cette population un échantillon aléatoire de taille n, le tirage de ces n éléments

est avec remise ou non exhaustif.

Considérons les n variables aléatoires X1, X2, …, Xn où Xi donne la valeur fournie par X, à

l’élément obtenu au ième

tirage.

Les n variables aléatoires X1, X2, …, Xn sont indépendantes et suivent la même loi de

probabilité (celle fournie par X ) et ont toutes la même espérance m et le même écart type

La variable aléatoire )...(1

21 nXXXn

X associe à cet échantillon sa moyenne

(concernant la variable numérique X).

D’après le chapitre précédent, on a les résultats suivants :

① X est une variable aléatoire d’espérance m et d’écart type n

.

② Si X suit la loi normale N (m ; ), X suit la loi normale N (m ; n

).

③ Pour n suffisamment grand, X suit approximativement la loi normale N (m ; n

).

Remarque : Dans la plupart des cas où la population a un grand effectif dont on tire une faible

proportion d’éléments, on assimile un tirage sans remise à un tirage avec remise.

3 Étude d’exemples

Énoncés

① Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en grande série. A chaque pièce tirée

au hasard, on associe son diamètre exprimée en millimètres ; on définit ainsi une variable

aléatoire X.

On suppose que X suit la loi normale N ( ; ) où 150 et = 0,21.

Soit M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces prélevées au hasard et

avec remise, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon.

a) Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire M .

b) Déterminer le nombre positif h tel que P(– h ≤ M ≤ + h ) = 0,95.

② Une machine fabrique des pièces en grande série. À chaque pièce tirée au hasard, on

associe sa longueur exprimée en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.

On suppose que X suit la loi normale N ( m ; ) où met= 0,027.

Soit M la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de taille n, associe la

moyenne des longueurs des pièces de l’échantillon.

a) Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire M .

b) Déterminer n pour que P( 8,195 ≤ M ≤ ) ≥ 0,95.

Corrigés

① a) 20

21,0

400

=0,0105 et M suit la loi normale N (150 ; 0,0105) ; T=

0105,0

150M suit la loi

normale N (0 ; 1).

b) Avec 0< h,

P(– h ≤ M ≤ + h ) = P ( -h <M–µ=M–150< h) =P ( )0105,00105,00105,0

hµMT

h

soit P(– h ≤ M ≤ + h ) = 2 0105,0

h) – 1.

____________________________________

2 0105,0

h) – 1 pour 2

0105,0

h) = 1,95 soit pour

0105,0

h) = 0,9750 .

______________________________________

Avec les tables numériques, on fait l’approximation suivante :

P(– h ≤ M ≤ + h ) pour 0105,0

h = 1,96 soit pour h = 0,02 058 .

② a) M suit la loi normale N ( m ; )n

= N ( 28,2 ;

n

027,0).

b) T = )2,28(027,0/027,0

2,28

M

n

n

Msuit la loi normale N (0 ;1).

Soit q = P( 28,195 M 28,205), on fait intervenir des probabilités d’événements

équivalents : q = P ( -0,005 < M – 28,2<0,005) soit :

q = P( -0,005 027,0

n< T =

027,0

n(M–28,2)<0,005

027,0

n) d’où

q= P( - )27

5

27

5nTn = 2 ( n

27

5) –1

ainsi 0,95 < q 1,95 < 2 ( n27

5) 0,9750 < ( n

27

5).

___________________________

On fait l’approximation 0,9750= 1,96) et ainsi 0,9750 < ( n27

5) pour 1,96 < n

27

5,

soit pour n

5

2796,1, ou encore (

5

2796,1 )2 < n où

5

2796,1 ≈ 112,02

Finalement 0,95 < q pour 113 < n.

Finalement 0,95 < P( 28,195 M 28,205) pour 113 < n .

4 Étude de la fréquence d’une propriété

On considère une population dont une proportion p de la population possède une certaine

propriété.

∗ On fait un tirage non exhaustif dans la population pour former un échantillon de taille n.

Soit S la variable aléatoire donnant le nombre d’éléments de cet échantillon qui possèdent la

propriété considérée.

Pour constituer l’échantillon, on a une suite de n épreuves :

Chaque épreuve consiste à tirer au hasard un élément de la population, à donner un

résultat dans l’alternative [« propriété réalisée », «propriété non réalisée »], on remet

alors cet élément dans la population.

Dans n’importe la quelle des épreuves, p est la probabilité d’obtenir le résultat

« propriété réalisée » .

Ces n épreuves se déroulent de façon indépendante.

A la fin de cette suite de n épreuves, S donne le nombre de fois que l’on a trouvé le résultat

« propriété réalisée ». De cette manière :

S suit la loi binomiale ℬ(n ; p) ; S a pour espérance np et écart type )1( pnp .

Soit F = n

1S ; F est la variable aléatoire qui donne la proportion d’éléments de l’échantillon

qui possèdent la propriété considérée.

Comme n

1(np)= p et

n

pp

n

pnppnp

n

)1()1()1(

12

,

F a pour espérance n

1(np)= p et pour écart type

n

pp )1( .

∗∗ En fait pour n suffisamment grand,

F suit approximativement la loi normale N (p ; n

pp )1( ).

∗∗∗ Remarque

S et F sont 2 variables aléatoires discrètes :

S peut prendre pour valeur toute nombre k entier compris entre 0 et n, F peut prendre pour

valeur tout fraction n

k où k est un entier compris ente 0 et n.

Ainsi dans l’approximation de la loi de F par la loi normale N (p ; n

pp )1( ), on peut être

amené à effectuer une correction de continuité.

5 Exemple

Dans une population on constate qu’il naît 52 % de garçons et 48 % de filles.

On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille n = 400 prélevé au

hasard et avec remise dans la population, associe le pourcentage de garçons dans cet

échantillon suit une loi normale N (p ;

On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de 400 nouveau-nés.

1. Quelles valeurs prend-on pour p et ?.

2. Quelle est la probabilité d’avoir dans un tel échantillon, un pourcentage de garçons compris

entre 50 % et 54 % ?

3. Quelle est la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, un pourcentage de filles inférieur à

45 % ?

Résolution

On transforme les pourcentages en nombres décimaux et on considère que F est la variable

aléatoire qui, à tout échantillon de taille n = 400 prélevé au hasard et avec remise dans la

population, associe la proportion de garçons dans cet échantillon.

1. F suit une loi normale N (p ; .

On prend p= 0,52 (avec 1–p = 0,48) et

= 39100

1

10

4

100100

313

10

4

100

1603,013,0

400

48,052,0)1(

n

pp ,

soit = 0,004 39 .

T= )52,0(39

250)52,0(

39004,0

1

FF

pF

suit la loi normale N (0 ;1).

2. On fait intervenir des événements équivalents et leur probabilité :

P(0,5 F 0,54) = P( -0,02 F– 0,52 0,02) soit

P(0,5 F 0,54)= P( -0,02 × 39

250

39

250(F–0,52) 0,02×

39

250) soit

P(0,5 F 0,54) = P( - 39

5 T

39

5) = 2

39

5) –1 .

On fait des approximations 39

5=0,80 et

39

5)= 0,7881, alors P(0,5 F 0,54) = 0,58 .

3. L’événement étudié est (0,55 < F) et on a en faisant intervenir des événements équivalents

P(0,55 < F) = P (0,03 < F– 0,52) = P( 0,03×39

250 <

39

250( F– 0,52)) soit

P(0,55 < F) = P ( T39

5,7) = 1–

39

5,7 ) .

On fait des approximations 39

5,7=1,20 et

39

5,7) = 0,8849, alors P(0,55 < F) = 0,12 .