15- La réciproque de Thalès

Si les points A, B et M sont dans le même ordre que A, C et N,

AM ANAB AC

alors : (MN) // (BC)

A

BC

M N

M

A

BC

N

NM

A

B C

et si :

M [AB]

N [AC]

M [AB)

et M [AB]

N [AC)

et N [AB]

M [BA)

et M [AB]

N [CA)

et N [AB]

Soit deux droites (d) et (d’) sécantes en A.

Soit B et M deux points de (d) distincts de A.Soit C et N deux points de (d’) distincts de A.

(d) (d’)

(d)(d’)

(d)(d’)

AM ANAB AC

alors : (MN) // (BC)ATTENTION si :

(d’après le théorème de Thalès)

Hypothèse

AM ANAB AC

Les points A,M et B sont alignés.

Les points A, N et C sont alignés

(MN) // (BC)AM ANAB AC

d’après le théorème de Thalès, ce qui est contraire à l’hypothèse.

(MN) // (BC)

Les droites sont parallèles

Les droites ne sont pas parallèles(d’après le théorème de

Thalès !)

Exemple O

B

D

AC

48

3

6

Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?

,OA 4

0 5OB 8

,OC 3

0 5OD 6

Soit :

OA OCOB OD

O,A,B et O,C,D sont alignés dans le même ordre

donc (AC) // (BD)(Réciproque du théorème de Thalès)