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Au point A(a ; ea) sera associé le point B(ea ; a). En procédant de cette façon on obtient tous les symétriques par rapport à la droite y = x des points de la courbe d’équation y = ex et donc la courbe de la fonction ln.3.
2 4 6O
6
4
2
A
B
C
B’A’
C’
16 A 1. a) log ab = ln abln 10
= ln a + ln bln 10
= ln aln 10
+ ln bln 10
= log a + log b.
log ab
= ln a
bln 10
= ln a – ln bln 10
= ln aln 10
– ln bln 10
= log a – log b.
b) log(ap) = ln ap
ln 10 = p ln a
ln 10 = p log a.
c) log 1a = ln 1aln 10
=
12
ln a
ln 10 = 1
2 log a.
d) log’(x) = 1x ln 10
sur ]0 ; + ∞[, 1x ln 10
> 0 et log’(x) > 0.
On en déduit que log est une fonction strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.
b 1. M = log(5,01 × 106). M ≈ 6,7.2. a) I = 10 log(105) = 50.b) 3 = 1013 3
0.
Activité1 1. a) À e on associe 1.
b) À 1 on associe 0.2. Si b > 1 le nombre qui lui est associé est supérieur à 0 puisque e0 = 1 et que la fonction exponentielle est strictement croissante.Si b < 1, le nombre associé à b sera négatif.
2 1. Mp = b – a ; MQ = b – a ; pN = b – a ; QN = b – a.MNpQ est un quadrilatère dont les côtés sont égaux et qui possède un angle droit, c’est donc un carré dont y = x est une diagonale.2. Si b = ea, alors a = ln b, puisque ln et exp sont des fonctions réciproques.
15 A GeoGebra
b 1. a) f ’(a) = 1a
.
b) Soit m le coefficient directeur de la droite (OA).On doit avoir f ’(a) × m = –1. On obtient m = – a.2. – a2 = ln a.La droite (OA) a pour équation y = – ax. Or A ∈
ln, son
ordonnée est ln a. C’est aussi – a × a = – a2. D’où ln a = – a2.
3. h’(x) = 2x + 1x
.
a) h’(x) > 0 sur ]0 ; + ∞[ et h strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.De plus h(0,1) < 0 et h(1) > 0.Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d’af-firmer que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; + ∞[.b) À la calculatrice, on trouve a ≈ 0,7.c) On retrouve le résultat obtenu dans la partie A, c’est-à-dire l’abscisse de C.
ACTIVITÉS (page 100)
4CHAP
ITRE
1Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
Fonction logarithme népérien
EXERCICES Travaux dirigés (page 108)
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2 Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
32 A = ex
eln2x = ex
2x ; B = x2 ; C = e2.
33 a) ln(1 + e–x) = ln11 + 1ex 2 = ln ex + 1
ex
ln(ex + 1) – x = ln(ex + 1) – ln ex = ln ex + 1ex
.
L’égalité est vérifiée.
b) 1 + e–x
1 – e–x =
1 + 1ex
1 – 1ex
= ex + 1ex – 1
.
L’égalité est vérifiée.
D’où ln11 + e–x
1 – e–x 2 = ln1 ex + 1ex – 1 2.
34 A = 4 ln 2 ; B = –5 ln 2 ; C = 2 ln 2 ; D = –3 ln 2.
35 a) 3 ln 2 + ln 3 = ln 8 + ln 3 = ln 24.
b) 2 ln 14
+ 3 ln 2 = ln 116
+ ln 8 = ln 12
.
c) 2 ln 100 – 3 ln 10 + ln 1 000 = 4 ln 10 – 3 ln 10 + 3 ln10 = 4 ln 10.
36 A = ln 8 – ln 3 – ln 2 = ln 8 – ln 6 = ln 43
;
B = ln 18 – ln 27 = ln 21227
.
37 A = ln 5 – ln 4 = ln 54
; B = ln132 × 13 2 – ln 2 = ln 16
3.
38 A = ln 103 = 3 ln(2 × 5) = 3 ln 2 + 3 ln 5 ; B = ln(5 × 100) = ln(53 × 22) = 3 ln 5 + 2 ln 2 ; C = 3 ln 2 – 2 ln 5 ;
D = ln 251 000
= 2 ln 5 – 3 ln 2 – 3 ln 5 = –3 ln 2 – ln 5.
39 a) x = ln 8 et y = ln 9, d’où x < y.
b) x = ln 52
et y = ln 125
d’où y < x.
40 a) Df = ]0 ; 1[.
b) f(x) = ln3 x2(1 – x)2 4 g(x) = x2(1 – x)
2.
41 a) ln 56 = 3 ln 2 × ln 7 ≈ 4.b) ln 3,5 ≈ 1,3.c) ln 24,5 ≈ 3,2.Remarque : il manque dans l’énoncé ln 5 ≈ 1,6.
42 a) ln 27 = 3 ln 3 ≈ 3,3.b) ln 15 = ln 3 + ln 5 ≈ 2,7.c) ln 45 = 2 ln 3 + ln 5 ≈ 3,8.
équAtions systèmes
43 a) 3x – 1 = ln 3 ; S = 5 ln 3 + 13 6.
b) x – 1 = ln 2 ; S = {ln 2 + 1}.
De tête
17 a) 1.b) 4.c) 0.d) 2.
18 a) ln 3 + 4 ln 3 = 5 ln 3.b) ln 35 – ln 35 = 0.c) ln 25 + ln 25 + ln 5 = 5 ln 5 = ln 55.d) ln 2 + ln 6 – ln 6 + ln 2 = 2 ln2.
19 a) ln 9 + ln 4 – ln 9 – ln 4 = 0.b) – ln 2 + ln 2 = 0.c) ln 16 – ln 9 – ln 16 + ln 9 = 0.d) ln 3 – ln 3 = 0.
ensembles De Définition
20 a) Df = ]– ∞ ; 0[.
b) Df = ]– ∞ ; 3[.
21 a) Df = *.
b) Df = ]0 ; + ∞[.
22 a) Df = ]3 ; + ∞[.
b) Df = ]– ∞ ; –3[ ∪ ]3 ; + ∞[.
23 a) Df = ]0; 2[ ∪ ]2 ; + ∞[.
b) Df = ]– ∞ ; –3[ ∪ ]0 ; + ∞[.
24 a) Df = ]3 ; + ∞[.
b) Df = ]– ∞ ; –3[ ∪ ]3 ; + ∞[.
logArithme et opérAtions
25 a) 5 ln e – 4 ln e = ln e = 1.b) –9 ln e + 5 ln e = –4 ln e = –4.
26 A = –5 ln e + 15 = 10 ; B = 14
+ 4 = 174
.
27 A = eln18 × e = 212 e ; B = e1+2ln2 = e × eln4 = 4e ;
C = e2ln3–3ln2 = eln 98 = 9
8.
28 A = ln e2 = 2 ; B = 12
ln e + 12
ln e = 1.
29 A = 3 ; B = 3.
30 A = 3e ; B = 32
.
31 A = ln3112 + 122 1– 212 + 324 = ln13 + 212 2 1–212 + 32 = ln 1 = 0 ;
B = ln3171217 + 317 24 = ln 17.
EXERCICES Entraînement (page 110)
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3Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
56 •I=]0;1[.
• x1 – x
= 2
x = 23
23
∈ I, S = 5 23 6.
57 •I=]1;+∞[.
• x – 12x
= 1
x = –1 ∉ I, S = Ø.
58 •I=]3;+∞[.•(2x + 1)(x – 3) = x + 5.2x2 – 6x – 8 = 0x = 4 ou x = –1–1 ∉ I, S = {4}.
59 Df = ]1 ; 2[.
(x – 1)(2 – x) = 6x.– x2 – 3x – 2 = 0.x = –2 ou x = –1.–2 ∉ I et –1 ∉ I d’où S = Ø.
60 1. S = {–1 ; 3}.2. a) –1 n’appartient pas à l’ensemble des contraintes de cette équation qui est ]–2 ; + ∞[, en revanche 3 est solution.–1 et 3 sont solutions de l’équation ln1x(x – 2)2 = ln 3 car son ensemble de définition est ]– ∞ ; 0[ ∪ ]2 ; + ∞[.
61 1. I = ]–2 ; + ∞[.L’équation se ramène à (x + 3)(x + 2) = x + 11, c’est-à-dire à x2 + 4x – 5 = 0 dont les solutions sont 1 et –5.Seul 1 ∈ I ; d’où S = {1}.2. I = ]–11 ; –3[ ∪ ]–2 ; + ∞[S = {–5 ; 1}.
62 1. S = 5–2 ; 12 6.
2. posons X= ln x pour x > 0.L’équation devient : 2X2 + 3X – 2 = 0.ln x = –2 pour x = e–2
ln x = 12
pour x = 1e, d’où S = 5e–2 ; 1e 6.
63 1. I = ]0 ; + ∞[.L’équation devient (ln x)2 – 2 ln x = 0 ce qui équivaut à ln x (ln x – 2) = 0.S = {1 ; e2}.
64 a) S = 5(5 ; 4)6.b) S = 5(ln 5 ; ln 4)6.
65 a) S = 5(5 ; 9)6.b) S = 5(–ln 5 ; ln 9)6.
66 Le système s’écrit, pour x > 0 et y > 0 5 ln(xy) = ln 34
x + y = 2.
Soit encore 5 xy = 34
x + y = 2, S = 51 3
2 ; 1
2 26.
44 a) – x = ln 2 ; S = {–ln 2}.
b) 1x
= ln 2 ; S = 5 1ln 26.
45 a) x = ln 12
; S = {–ln 2}.
b) 3x = ln 12
; S = 5– ln 23 6.
46 a) ex = 0 (impossible) ou ex = 2 ; S = {ln 2}.b) ex = –3 (impossible) ou ex = 5 ; S = {ln 5}.
47 a) e–x = 2 ou e–x = 12
– x = ln 2 ou – x = ln 12
; S = {–ln 2 ; ln 2}.
b) e3x – 1 = 2 ou e3x – 1 = –2 (impossible) ;
3x = ln 3. S = 5 ln 33 6.
48 a) x2 – 3 = ln 2 ; S = 5– 9ln 2 + 3 ; 9ln 2 + 36.b) S = Ø.
49 a) e2x – 2e2x
= 1 équivaut à e4x – 2e2x
= 1, soit encore à
e4x – e2x – 2 = 0.posons X = ex, l’équation devient X2 – X – 2 = 0.Deux solutions : –1 et 2.ex = –1 (impossible) ; ex = 2 pour x = ln 2, d’où S = {ln 2}.b) ex – 1 = 1 ou ex – 1 = –1 (impossible) ; ex = 2 d’où S = {ln 2}.
50 a) S = {–0,4 ; 3}.b) posons X = e2x. L’équation devient 5X2 – 13X – 6 = 0.D’après le a) on a e2x = –0,4 (impossible), e2x = 3 d’où
S = 5 ln 32 6.
51 •I=4– 13
; + ∞3.•1+3x = x + 1 x = 00 ∈ I d’où S = {0}.
52 •I=]1;+∞[.•2x + 1 = x2 – 1.x2 – 2x – 2 = 0x = 1 + 13 ou x = 1 – 13 (∉ I) d’où S = 51 + 13 6.
53 •I=]3;+∞[.•x – 3 = ex = 3 + e3 + e ∈ I, S = {3 + e}.
54 •I=]1;+∞[.•x(x – 1) = 1x2 – x – 1 = 0
x = 1 + 152
ou x = 1 – 152
∉ I, S = 5 1 + 152 6.
55 •I=]–∞ ; 4[.•4–x = 1x = 3 3 ∈ I, S = {3}.
4 Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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2. On cherche x tel que 1,1x > 2.
On trouve x > ln 2ln 1,1
, soit environ après 8 ans.
76 1. a’ = a11 – 11002 = 0,99a.
2. Au bout de n jours, on aura an = a
0 × 0,99n = 90 × 0,99n.
3. a) n > ln 5
9ln 0,99
; n > 58,48.
b) Au bout de 59 jours, le mélange titrera moins de 50 % d’alcool.
équAtions De lA forme xn = k
77 a) 12 ln x = ln 25 ; S = 5e ln 2512 6.
b) 10 ln x = ln 90 ; S = 5e ln 9010 6.
78 a) 15 ln x = ln 500 ; S = 5e ln 50015 6.
b) 20 ln x = ln 800 ; S = 5e ln 80020 6.
79 a) 7 ln x = ln 3 ; S = 5e ln 37 6.
b) 8 ln x = ln 0,75 ; S = 5eln 0,758 6.
80 a) 3 ln(2 + x) = ln 5 ; 2 + x = eln 5
3 ; S = 5e ln 53 – 26.
b) 12 ln11 + x1002 = ln 1,1 ; 1 + x
100 = e
ln 1,112 ;
S = 51eln 1,112 – 12 × 1006.
81 a) 10 ln(0,1 + x) = ln 2 ; 0,1 + x = eln 210 ; S = 5e ln 2
10 – 0,16.b) 6 ln x = ln 64
27 ; S = 5e ln
6427
6 6.
82 a) –3 ln x = ln1 73 2 ; S = 5e–
ln 73
3 6.b) 3 ln x = ln 6 ; S = 5e ln 6
3 6.
83 a) x = eln 2
13 ; S = 5e ln 2
13 6.b) π ln x = ln 3 ; S = 5e ln 3
π 6.
84 a) 0,4 ln x = ln 1,2 ; S = 5eln 1,20,4 6.
b) 16
ln x = ln 10 ; S = {e6ln10}.
Avec lA cAlculAtrice
85 a) n > 2ln 1,3
d’où n > 8.
b) n > –100ln 0,2
d’où n > 63.
86 a) n ln 1,05 > ln 2 d’où n > ln 2ln 1,05
, d’où n > 15.
b) n ln 0,95 < ln 0,2 d’où n > ln 0,2ln 0,95
, d’où n > 32.
87 a) n ln 2 < ln 100 000 d’où n < ln 100 000ln 2
, n < 17.
b) n ln 13
> –6 ln 10 d’où n < –6 ln 10
ln 13
, n < 12.
c) n ln 0,2 > –4 ln 10 d’où n < –4 ln 10ln 0,2
, n < 5.
inéquAtions
67 a) I = ]0 ; + ∞[. x < e3, d’où S = ]0 ; e3].b) I = ]– ∞ ; + ∞[S = ]ln 2 ; + ∞[.
68 a) I = ]0 ; + ∞[S = ]ee ; + ∞[.b) I = S = ]– ∞ ; ln 3].
69 a) I =
S = 4 ln 35
; + ∞3.b) I = S = ]– ∞ ; ln 2 + 1[.
70 a)•I=4 12
; + ∞3.•L’inéquations’écrit:2x – 1 > e–1, soit encore : x > e
–1 + 12
.
D’où S = 4 12e
+ 12
; + ∞3.b)•I=]–∞ ; –2[.•L’inéquationdevient:1+ 2
x > 3, c’est-à-dire 0 < x < 1,
d’où S = Ø.
71 a)•I=]2;+∞[.•L’inéquationdevient:x < x2 – 2x soit encore x2 – 3x > 0 c’est-à-dire x < 0 ou x > 3, d’où S = [3 ; + ∞[.b)•I=•S=[–ln2;ln2].
72 1. S = ]–5 ; 1[.
2.•I=]–5;1[.
•L’inéquationdevient:– x2 – 4x + 58
> 0, d’où S = ]–5 ; 1[.
73 1. ln 1e
= –ln e = –1.
2.•I=]0;+∞[.•L’inéquationdevient:(lnx)(ln x + 1) > 0,
x 01e
1 + ∞
ln x – – 0 +
ln x + 1 – 0 + +
(ln x)(ln x + 1) + 0 – 0 +
d’où S = 40 ; 1e 3 ∪ ]1 ; + ∞[.
74 On cherche x le nombre d’heures tel que
p0(0,95)x < 1
2 p
0, où p
0 est la population initiale de bacté-
ries, c’est-à-dire x tel que 0,95x < 12
.
On trouve x > ln 1
2ln 0,95
, soit environ après 14 heures.
75 1. On cherche x tel que (0,93)x < 0,25.
On trouve x > ln 0,25ln 0,93
, soit environ après 20 ans.
5Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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2. x 0 1 + ∞–1 + x – 0 +
x2 + +
g’(x) – 0 +
g(x)+ ∞
1
+ ∞
92 f ’(2) = 0 ; f(2) = 2 ln 2 ; f(1) = 1 avec f ’(x) = a + cx
.
5 a + c2
= 0
2a + b + c ln 2 = 2 ln 2a + b = 1
5 a = –1b = 2c = 2
D’où f(x) = – x + 2 + 2 ln x.
93 1. f(1) = 0, f ’(1) = 3 avec f ’(x) = a – 1x2
ln x + 1x2
.
2. a) f ’(1) = 3 car deux droites parallèles ont le même coef-ficient directeur.D’où a + 1 = 3 et donc a = 2.b) f(1) = 0 d’où a + b = 0, c’est-à-dire b = –2.
3. f(x) = 2x – 2 + 1x
ln x.
94 1. a1 12 2 = –8 300 ln 1
2 ≈ 5 753 (au bout de 5 753 ans).
2. a(0,25) = –8 300 ln 0,25 ≈ 11 506 (au bout de 11 506 ans).
95 1. a) g’(x) = ex(1 + x).
x – ∞ –1 + ∞ex + +
1 + x – 0 +
g’(x) – 0 +
g(x) – 1e
+ 1
b) g(–1) = 1 – 1e
> 0.
D’où g(x) > 0 pour tout réel x.
2. a) f ’(x) = ex + 1x
= g(x)x
.
b) D’après 1. b), f ’(x) > 0 sur et f strictement croissante sur .
xO
y
1
–1
1
52
2
O
20 000
-2-4 2 4 6 8 10 12 14
10 000
-10 000
-20 000
A
étuDe De fonctions
88 1. f ’(x) = – 3x2
+ 2x
= –3 + 2xx2
.
x12
32
+ ∞
f’(x) – 0 +
f(x)
6 – 2 ln 2
2 + 2 ln 32
+ ∞
2.
.
89 1. f ’(x) = ln x + x × 1x
– 1 = ln x
x 0 1 + ∞f’(x) – 0 +
f(x)1
0
+ ∞
90 2. f(x) > 0 sur ]0 ; + ∞[ car f(1) = 0
f ’(x) = 2x – 8 + 6x
= 2x2 – 8x + 6x
.
f ’(x) = 0 pour x =1 ou x = 3.
x 0 1 3 + ∞2x2 – 8x + 6 + 0 – 0 +
x + + +
f’(x) + 0 – 0 +
f(x)– ∞
–7
–15 + 6 ln 3
+ ∞
91 1. g’(x) = – 1x2
+ 1x
= –1 + xx2
.
xO
y
1
–1
1
52
2
O
8
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
7
6
5
4
3
2
1
xO
y
1
–1
1
52
2
O2
-2-2 2 4 6 8 10 12 14 16
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
-18
6 Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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98 partie A
1. f ’(x) = 2x – 8x
= 2x2 – 8x
.
2. x 0 2 + ∞
2x2 – 8 – 0 +
x + +
f’(x) – 0 +
f(x)8 – 8 ln 2
partie b1. Au mois de février 2012.2. Sa dépense s’élèvera à 2 500 × (8 – 8 ln 2) × 10, c’est-à-dire environ 61 371 euros.
99 partie A
1. f ’(x) = – 100x2
(3 – ln x) + 100x
1– 1x 2.
f ’(x) = – 100x2
(4 – ln x) = 100x2
(ln x – 4).
2. f ’(x) > 0 pour x > e4.
x 10 e4 50
100x2 + +
ln x – 4 – 0 +
f’(x) – 0 +
f(x)10(3 – ln 10)
– 100e4
2(3 – ln 50)
f(10) ≈ 14,34.f(e4) ≈ –1,83.f(50) ≈ –1,82.3. f(e3) = 0.
x 10 e3 50
f(x) + 0 –
partie b
1. B’(q) = –100 × 1q
(ln q – 3) = – 100q
(ln q – 3) = f(q).
2. q 10 e3 50
B’(q) + 0 –
B(q)30
3. B(q) est positif pour 10 < q < 43.4. Le bénéfice est maximum pour q = e3 c’est-à-dire environ 20 unités, et s’élève à 30 000 euros.
100 partie A
1. f ’(x) =
1x
× x – 1 – ln x
x2 = – ln xx2
.
96 partie Ag(e) = 0 et g’(e) = 2.
g’(x) = a – bx(ln x)2
.
g’(e) = a – be
et g(e) = ae + b
5 a – be
= 2
ae + b = 0 5 b = –e
a = 1.
D’où g(x) = x – eln x
.
partie b
1. a) f ’(x) = 1 + ex(ln x)2
.
b) Sur ]1 ; + ∞[, f ’(x) > 0 et f strictement croissante.2. T
e : y = 2(x – e)
y = 2x – 2e.
3.
97 1. a) f ’(x) = –4x + 20 – 16x
= –4x2 + 20x – 16x
.
f ’(x) = 0 pour x = 1 et x = 4.
x 1 4 6,5
–4x2 + 20x – 16 0 + 0 –
x + +
f’(x) 0 + 0 –
b) x 1 4 6,5
f(x)0
30 – 16 ln 4 ≈ 7,82
c)
xO
y
1
–1
1
52
2
O-5 5 10 15
5
10
-5
A
2. a) Il faut fabriquer 400 pièces pour avoir un bénéfice maximal.b) Ce bénéfice est d’environ 7 819 euros.
5-5 10 15O
15
10
5
-5
A
B
C
B’A’
C’
7Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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Tra
nsm
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Term
. ES-
L
b) x 0,25 a 5
B’(x) + 0 –
B(x)0
4. a) Le bénéfice sera maximal pour 277 litres et vaut 2 127 euros.
b) Il y a cohérence avec la lecture graphique.
102 1. La réponse 3 : e–1 est l’abscisse du point d’inter-section de la courbe avec l’axe des abscisses.La réponse 4 : le bénéfice est positif pour x > e–1.La réponse 5 : le maximum est 10, ordonnée du point le plus haut de la courbe sur [0,1 ; 10].
2. Résolvons B(x) = 0, c’est-à-dire 1 + ln x = 0.Cette équation a pour solution x = e–1. À partir de 37 objets l’entreprise réalisera un bénéfice.
103 partie A1. f(e2) = 4e2 + 10 soit f(e2) ≈ 39,56.
2. f ’(x) = –ln x + (3e2 – x) × 1x
= –ln x + 3e2
x – 1.
3. a) x 0 e2 20
f’(x) + 0 –
b) x 0 e2 20
f(x)4e2 + 10
16,5
4. a) Sur l’intervalle [0,6 ; 0,7], f est strictement crois-sante dérivable, donc continue et de plus f(0,6) ≈ –1 et f(0,7) ≈ 2,3.Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d’affirmer que l’équation admet une solution unique a ∈ ]0,6 ; 0,7[.À la calculatrice on trouve a ≈ 0,629 à 0,001 près par excès.
b)•Sur]0;a[, f est strictement croissante, d’où f(x) < f(a), c’est-à-dire f(x) < 0 pour x ∈ ]0 ; a[.•f(x) > 0 pour x ∈ ]a ; e2[.•Sur]e2 ; 20[, f est strictement décroissante mais positive car f(e2) et f(20) sont positifs.
Conclusion : x 0 a 20
f(x) – 0 +
partie b1. D’après la question 4. de la partie A, le bénéficiaire est positif pour x > 0,629. Il faut donc vendre au moins 629 DVD.
2. D’après la question 3. b), le bénéfice est maximal pour la vente de e2 milliers d’articles et f(e2) ≈ 39,56.À 10 euros près, le bénéfice est maximal pour la vente de 7 390 DVD et s’élève à 39 560 E.
x 0 1 5
–ln x + 0 –
x2 + +
f’(x) + 0 –
f(x)– ∞
11 + ln 5
5
2. f(x) = 0 pour ln x = –1, c’est-à-dire pour x = 1e
. S = 5 1e 6.
3. x 0
1e
5
f(x) – 0 +
partie b1. B(q) = 10 f(q).B’(q) = 10 f ’(q).B(q) est positif pour q > 1
e milliers d’unités, c’est-à-dire
pour 368 unités.2. Le bénéfice est maximum pour 1 000 unités et vaut 10 000 euros.
101 partie A1. a) R(2) = 3.La recette sera de 3 000 euros.b)
2-2 4 6O
8
6
4
2
A
B
C
B’A’
C’
2. a) Graphiquement on lit que l’intervalle de rentabilité est [0,75 ; 4,5].b) pour x = 2, on lit un bénéfice d’environ 1,8 millier d’euros.c) pour x ≈ 2,8 le bénéfice sera maximal pour 280 litres. Il s’élèvera à environ 2 100 euros.
partie b1. C
T(x) = x2 – 2x ln x.
B(x) = 1,5x – x2 + 2x ln x.B(2) = –1 + 4 ln 2.
2. B’(x) = –2x + 2 ln x + 2xx
+ 1,5.
B’(x) = –2x + 2 ln x + 3,5.3. a) B’ est positive sur [0,25 ; 1].Sur [0,1 ; 5] B’ est strictement décroissante. De plus B’(1) > 0 et B’(5) < 0.Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d’affirmer que l’équation B’(x) = 0 a une et une seule solu-tion a ∈ [1 ; 5].
8 Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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Tra
nsm
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Term
. ES-
L
x 0122
+ ∞
f’(x) + 0 –
f(x)–2,34
f ’(x) = 1x
– 2x = 1 – 2x2
x
f’(x) = 0 pour x = 122
.
f(x) < 0 pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[ c’est-à-dire f(x) < x2 pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[.
D’où f(x) ≠ x2 pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[.
111 1. Vraie. ln e ≠ e2 par exemple.2. Fausse. (voir 2. du 110 .)
112 Vraie. par exemple, ln 1 = 12 – 1 = 0.
113 Il suffit de prendre a = 1 et b = 1.f(a + b) = f(2) = ln 2 ≈ 0,69. On a bien : f(a) + f(b) = f(1) + f(1) = 0. f(a + b) ≠ f(a) + f(b).
114 Il suffit de prendre l’abscisse du point d’intersection des courbes représentatives des fonctions x ln x et
x 1x
, c’est-à-dire x ≈ 1,8.
2.
g passe par 1 1
e ; –22 ; (1 ; 0) ; (e ; 2).
3. a) Sur ]0 ; + ∞[, ln x2 = 2 ln x = g(x). f et
g coïncident
sur cet intervalle.b) x < 0. ln x2 = ln1(– x)22.f est une fonction paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et sa partie droite est celle de g.
118 a) Df = .
b) Df = 4 – ∞ ; – 81 + 1
e 3 ∪ 4 – 81 + 1
e ; –13 ∪
-2-4 2 4O
4
2
4
-2
-4
AB
C
B’A’
C’
fonctions x ln u(x)
104 Df = ]– ∞ ; 2[ ; f ’(x) = 1 + 1
2 – x.
105 Df = ]– ∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[ ; f ’(x) = 1
x2 × x
x – 1 = 1
x(x – 1).
106 Df = ]– ∞ ; –1[ ∪ ]1 ; + ∞[ ; f ’(x) = 2x
x2 – 1.
107 Df = ]2 ; + ∞[ ; f ’(x) = 1
x – 2 + 1
2 1x.
108 Df = ]– ∞ ; –1[ ∪ ]1 ; + ∞[ ; f ’(x) = –2
(x – 1)(x + 1).
109 C’(n) = 0,5 – 1,5n + 2
= 0,5n – 0,5n + 2
.
B(n) = 0,4n – C(n).
B’(n) = 0,4 – 0,5n – 0,5n + 2
= –0,1n + 1,3n + 2
.
B’(n) = 0 pour n = 13.Le bénéfice sera maximal pour 13 immeubles vendus, et s’élèvera alors à environ 262 075 euros.
pour lA logique
110 1. Fausse. Contre-exemple : ln 1 ≠ 12.2. Vraie. posons f(x) = ln x – x2 définie pour x > 0.
soutien
115 A = ln1 e3
3 2 + ln(3e).
1. ln 3e = ln 3 + ln e = ln 3 + 1.
2. et 3. ln1 e3
3 2 = 3 ln e – ln 3 = 3 – ln 3.
4. A = 3 – ln 3 + ln 3 + 1 = 4.
116 1. S = {1 ; 2}.2. a) posons X = ln x. D
f = ]0 ; + ∞[.
b) L’équation devient X2 – 3X + 2 = 0.D’après 1. on a ln x = 1, c’est-à-dire x = e ou ln x = 2, c’est-à-dire x = e2.c) S = {e ; e2}.d) (ln e)2 – 3 ln 2 + 2 = 0.L’équation est vérifiée pour x = e.
ApprofonDissement
117 1. a) Df = * ; D
g = ]0 ; + ∞[.
b) par exemple, f(–3) = ln 9 et g(–3) n’existe pas ; f et g ne sont pas égales.
EXERCICES Accompagnement personnalisé (page 119)
9Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
41 ; 81 + 1e
3 ∪ 4 81 + 1e
; 13 (en effet on doit avoir x2 – 1 > 0, c’est-à-dire x < –1 ou x > 1
et ln(x2 – 1) ≠ –1, c’est-à-dire x2 – 1 ≠ 1e
c’est-à-dire :
x ≠ 81 + 1e
et x ≠ – 81 + 1e 2.
c) Dh = ]1 ; + ∞[.
119 1.•I=]–∞ ; –2[ ∪ ]1 ; + ∞[.
• x – 1x + 2
= 1 impossible : S = Ø.
2.•I=]–∞ ; –2[ ∪ ]1 ; + ∞[.
• x – 1x + 2
< 1 pour x > –2 d’où S = ]1 ; + ∞[.
120 1.•I=]0;+∞[. S = ]– ∞ ; –2[ ∪ ]1 ; + ∞[.•(lnx)3 – ln x = 0 ; (ln x)(ln x + 1)(ln x – 1) = 0.
S = 5 1e
; e ; 16.2.•I=]0;+∞[.•
x 01e
1 e + ∞
ln x – – 0 + +
ln x + 1 – 0 + + +
ln x – 1 – – – 0 +
(ln x)3 – ln x – 0 + 0 – 0 +
D’où S = 40 ; 1e 4 ∪ [1 ; e].
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EXERCICES Le jour du BAC (page 120)
121 1. a) B1 1e
; 02.b) 1 + ln x > 0 pour ln x > –1, c’est-à-dire pour x > 1
e.
2. a) Te : y = f ’(e)(x – e) + f(e)
y = 1e
(x – e) + 2
y = 1e
x + 1.
b) C(–e ; 0) car 1e
x + 1 = 0 pour x = –e.
c) E(e ; 0) et C(–e ; 0) sont symétriques par rapport à O(0 ; 0) car leurs abscisses sont opposées et leurs ordonnées nulles.
122 A. 1. A(e ; 0), D(0 ; –e).La droite (AD) a pour équation y = x – e.2. a) f(1) = –1 ; f ’(1) = 0.b)
x 0 e 5
f(x) – 0 +
c) x 0 1 5
f’(x) – 0 +
b. 1. a) f ’(x) = ln x – 1 + x × 1x
= ln x.b) f ’(x) > 0 pour x > 1.
x 0 1 e 5
f’(x) – 0 +
f(x)–1
0
2. On retrouve les résultats de la partie A. En effet f ’(1) = 0 ; f(1) = –1 ; f(e) = 0 ; et le tableau de signes de f.
x 0 e 5
f(x) – 0 +
123 1. f ’(x) = – (ln x + 1)(x ln x)2
.
f ’(x) = 0 pour x = 1e
; f ’(x) > 0 pour x < 1e
f ’(x) > 0 pour x < 1e
; f 1 1e 2 = –e.
2. a) T1e : y = –e.
b) Te : y = – 2
e2 (x – e) + 1
e
Te : y = – 2x
e2 + 3
e.
3. a) pour –e < k < 0, aucune solution.b) pour k = –e, une solution.c) pour k < –e, deux solutions distinctes.d) pour k > 0, une solution.
124 1. c)2. b)3. b)Justifications1. 2 ln 2 + 3 < e2 d’où f(x) = e2 pour deux valeurs de x ∈ ]0 ; + ∞[.2. Sur ]0 ; ln 2[, f est décroissante et f ’ négative, or ln 1,5 ≈ 0,4.
3. f(–ln 2) = –2 ln 2 + 1 +
12
12
– 1 = –2 ln 2 1car –ln 2 = 1
2 2.
10 Chapitre 4 ● Fonction logarithme népérien
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