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http://xmaths.free.fr 1re ES - L Probabilits Loi binomiale - chantillonnage page 1 / 9

PROBABILITS Loi binomiale - chantillonnage

I preuve de Bernoulli - Loi binomiale

Exemple

On lance deux fois une pice de monnaie parfaitement quilibre. Les deux lancers sont indpendants (c'est--dire que le rsultat du second lancer ne dpend pas du rsultat

du premier). chaque lancer, on a p(F) = p(P) = 12

On peut reprsenter la succession des deux lancers par un arbre et faire figurer les probabilits sur chaque branche de cet arbre. (On dit dans ce cas qu'il s'agit d'un arbre pondr)

La probabilit d'obtenir deux fois "Face" est p(F,F) = 12

x 12 = 1

4

La probabilit d'obtenir deux fois "Pile" est p(P,P) = 12

x 12

= 14

La probabilit d'obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F,P) = 12

x 12 = 1

4

La probabilit d'obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P,F) = 12

x 12 = 1

4

Exercice 01 (voir rponses et correction)

Une pice n'est pas parfaitement quilibre. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqu que "Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas.

On admet donc qu' chaque lancer, on a p(F) = 25 et p(P) = 3

5 .

On lance deux fois cette pice de monnaie. Les deux lancers sont indpendants. 1) Reprsenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilits sur chaque branche de cet arbre. 2) Dterminer p(P,P) et p(F,F). 3) Dterminer la probabilit de l'vnement E : obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" . 4) On considre la variable alatoire X qui chaque ventualit fait correspondre le nombre de fois que l'on

a obtenu "Face". Donner la loi de probabilit de X et calculer l'esprance mathmatique de X.


Un magasin organise un jeu. Chaque personne entrant dans le magasin reoit un billet portant l'un des trois numros : 0 ; 2 ou 5. Pour chaque personne entrant dans le magasin, la probabilit de recevoir un billet portant le numro 0 est p(0) = 0,5 et la probabilit de recevoir un billet portant le numro 2 est p(2) = 0,4.

Un billet numro 0 est un billet perdant. Un billet numro 2 est un billet gagnant un stylo. Un billet numro 5 est un billet gagnant une montre.

Un couple rentre dans un magasin et chacune des deux personnes du couple reoit un billet.

1) Reproduire et terminer l'arbre pondr ci-contre reprsentant la situation.

2) Calculer la probabilit des vnements suivants : a) Le couple ne gagne rien ; b) Le couple gagne deux montres ; c) Le couple gagne une montre et un stylo ; d) Le couple gagne uniquement un stylo.

F

P

F

P

F

P

12

12

12

12

12

12

0

2

5

0

2

5 0

0,5

0,4



On utilise une pice de monnaie dont on ne sait pas si elle est quilibre. Pour cette pice on suppose que la probabilit d'obtenir "Face" est un nombre rel p de l'intervalle [0 ; 1]. 1) Donner la valeur de la probabilit d'obtenir "Pile". 2) On lance deux fois cette pice de monnaie. Les deux lancers sont indpendants. a) Reprsenter la situation par un arbre pondr. b) On considre la variable alatoire X qui chaque ventualit fait correspondre le nombre de fois que

l'on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilit de X et calculer l'esprance mathmatique de X.


On jette un d cubique quilibr. Ce d comporte deux faces vertes, trois faces bleues et une face rouge. On note la couleur apparaissant sur la face suprieure. Si une face verte apparat, on gagne 10 ; si une face bleue apparat, on gagne 20 , si une face rouge apparat on gagne 50 . On jette deux fois de suite ce d, de faon indpendante. 1) Reprsenter la situation par un arbre pondr. 2) On note G la variable alatoire correspondant au gain obtenu la suite des deux lancers. a) Complter le tableau suivant donnant la loi de probabilit de G

Gain 20 30 Probabilit

b) Calculer l'esprance mathmatique de G c) Pour pouvoir faire les deux lancers, une personne doit miser 50 . Un joueur peut-il esprer gagner sur le long terme ?

Dfinition

On appelle preuve de Bernoulli une preuve ayant deux ventualits : S (succs) et S

(chec).

La loi de Bernoulli de paramtre p associe l'vnement S la probabilit p et S

la probabilit 1 - p .

Exemple

On considre une preuve de Bernoulli, les deux ventualits sont S : "Succs" et E = S

: "chec".

Notons p(S) = p et p(E) = 1 - p. On rpte trois fois cette preuve, de manire indpendante, et on s'intresse au nombre de Succs que l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilits :

S 3 Succs S E 2 Succs S S 2 Succs E E 1 Succs S 2 Succs S E 1 Succs E S 1 Succs E E 0 Succs

D'aprs l'arbre, la probabilit d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p x p x (1 - p) = p2(1 - p) De mme la probabilit de (S ; E ; S) est p2(1 - p) et la probabilit de (E ; S ; S) est aussi p2(1 - p) La probabilit d'obtenir exactement deux Succs sur les trois essais est la probabilit de l'vnement : {(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc gale 3 x p2(1 - p) . En notant xi le nombre de Succs obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'obtient la loi de probabilit ci-dessous :

xi 0 1 2 3 pi (1 - p)3 3p(1 - p)2 3p2(1 - p) p3

p

1-p

p

1-p

p

1-p

p

1-p

p

1-p

p

1-p

p

1-p



73 % d'une population dtermine, possde un ordinateur. Lorsqu'on interroge une personne dans cette population, on note : O l'vnement : la personne possde un ordinateur

et O

: la personne ne possde pas d'ordinateur .

1) Quelle est la probabilit de O

?

2) On interroge successivement, au hasard et de faon indpendante trois personnes dans cette population.

a) Terminer et complter l'arbre ci-contre. b) Quelle est la probabilit que les trois personnes

interroges aient un ordinateur. c) Quelle est la probabilit qu'aucune des trois

personnes interroges n'ait un ordinateur. d) Quelle est la probabilit qu'une exactement des trois

personnes interroges ait un ordinateur (et que les deux autres n'en aient pas).


La socit qui imprime des tickets pour un jeu de grattage a reu la consigne d'imprimer 5 % de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mlangs avec les autres tickets qui eux sont perdants. Lorsqu'une personne achte un ticket, on note : G l'vnement : le ticket est gagnant ; P l'vnement : le ticket est perdant . Une personne achte trois tickets. 1) Terminer et complter l'arbre ci-contre. (On indiquera les probabilits sur les branches) 2) Quelle est la probabilit que les trois tickets achets

soient gagnants. 3) Justifier que la probabilit qu'un seul des trois tickets

soit gagnant est gale 0,135375. 4) On appelle X la variable alatoire gale au nombre de

tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achets).

Donner la loi de probabilit de X. Calculer l'esprance mathmatique de X.


Dans les mmes conditions que pour l'exercice 06 on suppose maintenant que la personne achte quatre tickets. On appelle X la variable alatoire gale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les quatre tickets achets). Donner la loi de probabilit de X. Calculer l'esprance mathmatique de X.

Dfinition

On appelle schma de Bernoulli, la rptition n fois, de manire indpendante, d'une preuve de Bernoulli. Si X est la variable alatoire correspondant au nombre de succs l'issue du schma de Bernoulli, on appelle loi binomiale la loi de probabilit de la variable alatoire X.

Exemples

Dans les exercices 06 et 07, on a dtermin la loi binomiale correspondant un schma de Bernoulli, avec 3 rptitions et 4 rptitions.

Dfinition

On rpte n fois, de manire indpendante, une preuve de Bernoulli et on considre l'arbre correspondant

cette rptition. On appelle coefficient binomial

nk le nombre de chemins de l'arbre ralisant k succs.

O

O

O

O

O

O

O

0,73

0,73

0,73

G

P

G

G


Exemple

En considrant l'arbre ci-contre correspondant 3 rptitions, on peut tablir les 8 chemins suivants : SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES ; EEE

Un seul chemin ralise 3 succs : c'est SSS

On a donc

33 = 1

Trois chemins ralisent 2 succs : ce sont SSE ; SES ; ESS

On a donc

32 = 3

Trois chemins ralisent 1 succs : ce sont SEE ; ESE ; EES

On a donc

31 = 3

Un seul chemin ralise 0 succs : c'est EEE

On a donc

30 = 1


Faire un arbre correspondant un schma de Bernoulli 4 rptitions.

Vrifier que

44 = 1 ;

43 = 4 ;

42 = 6 ;

41 = 4 ;

40 = 1

Remarque

Les coefficients binomiaux peuvent tre donns par une calculatrice ou un ordinateur.

Pour dterminer le coefficient

42

Calculatrice TI : 4 math PRB Combinaison 2 entrer ou 4 MATH PRB nCr 2 ENTER

Calculatrice Casio : 4 OPTN PROB nCr 2

Tableur : =COMBIN(4;2) Algobox : ALGOBOX_COEFF_BINOMIAL(4,2)


En utilisant AlgoBox, crire un algorithme permettant de trouver les coefficients binomiaux

nk .

L'algorithme devra fonctionner au moins pour 2 n 10 . On l'utilisera pour complter le tableau suivant :

k n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 1 2 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

3 1 3 3 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx

4 1 4 6 4 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx

5 xxx xxx xxx xxx xxx

6 xxx xxx xxx xxx

7 xxx xxx xxx

8 xxx xxx

9 xxx

10

Proprit

Dans un schma de Bernoulli comportant n rptitions, si p est la probabilit du succs de l'preuve de

Bernoulli, la probabilit d'obtenir k succs (avec 0 k n) est : p(X = k) =

nk pk (1 - p)n-k

On dit que la loi binomiale a pour paramtres n et p. On la note B(n ; p).

S

E

S

S

E

E

S

S

S

S

E

E

E

E


Exemple

Une pice de monnaie n'est pas quilibre et la probabilit d'obtenir "Pile" est gale 0,6. On jette 10 fois cette pice.

La probabilit d'obtenir 7 fois "Pile" est : p(X = 7) =

107 x 0,6

7 x (1 - 0,6)10-7 =

107 x 0,6

7 x 0,43

Une calculatrice ou un ordinateur donne

107 = 120.

Donc p(X = 7) = 120 x 0,67 x 0,43 on trouve alors p(X = 7) 0,21499 .


Dans un schma de Bernoulli comportant 9 rptitions la probabilit du succs est 0,65. On appelle X le nombre de succs obtenus. Dterminer p(X = 0) ; p(X = 3) ; p(X = 8) ; p(X 2). On donnera dans chaque cas la valeur exacte puis une valeur approche 10-6 prs.

Remarque

Dans une feuille de tableur,

on pourra obtenir la valeur de p(X = k) =

nk pk (1 - p)n-k avec la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;0)

Par exemple =LOI.BINOMIALE(8;9;0,65;0) donnera la valeur 0,100373 (voir exercice 10)

on pourra obtenir la valeur de p(X k) en utilisant la formule =LOI.BINOMIALE(k;n;p;1) Par exemple =LOI.BINOMIALE(2;9;0,65;1) donnera la valeur 0,011182 (voir exercice 10)


On jette 10 fois de suite une pice parfaitement quilibre. On appelle X le nombre de "Pile" obtenus. 1) Donner la probabilit d'obtenir exactement 4 fois "Pile". 2) a) Donner dans le tableau ci-dessous la loi de probabilit de X.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X = xi)

b) Reprsenter cette loi de probabilit par un diagramme en btons. c) Calculer l'esprance mathmatique de X.


Un QCM (questionnaire choix multiples) est compos de 8 questions indpendantes. Pour chaque question quatre rponses sont proposes et une seule de ces quatre rponses est juste. Un candidat rpond au hasard aux 8 questions de ce QCM. On appelle N le nombre de rponses justes qu'il obtient. 1) Montrer que la loi de probabilit de N est une loi binomiale dont on donnera les paramtres. 2) Calculer p(N = 8) et p(N = 4) puis en donner des valeurs approches 10-6 prs. 3) Donner la loi de probabilit de N. 4) Reprsenter cette loi de probabilit par un diagramme en btons. 5) Calculer l'esprance mathmatique de N. 6) Comment doit-on noter ce QCM pour qu'un candidat qui rpond au hasard ait en moyenne 0.

Proprit

L'esprance mathmatique de la loi binomiale B(n ; p) de paramtres n et p est : E = n x p

Exemple

Si on rpte 10 fois une preuve de Bernoulli dans laquelle la probabilit du succs est 0,5 l'esprance mathmatique du nombre de succs est : 10 x 0,5 = 5. (Rsultat obtenu dans l'exercice 11) Si on rpte 8 fois une preuve de Bernoulli dans laquelle la probabilit du succs est 0,25 l'esprance mathmatique du nombre de succs est : 8 x 0,25 = 2. (Rsultat obtenu dans l'exercice 12)

Remarque

On pourra aussi vrifier la formule de l'esprance sur les rsultats des exercices 01 ; 03 ; 06 et 07.



On appelle "exprience" le fait de jeter 15 fois un d cubique parfaitement quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6. On s'intresse au nombre d'obtentions de la face n6. 1) Justifier que la probabilit d'obtenir 3 fois la face n6 est peu prs gale 0,236 2) Crer un algorithme permettant de simuler cette exprience. 3) Modifier l'algorithme prcdent pour rpter 1 000 fois l'exprience et vrifier le rsultat de la question 1.

Exercice 14 (voir rponses et correction) ( avec un tableur )

On appelle "exprience" le fait de jeter 15 fois un d cubique parfaitement quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6. On s'intresse au nombre d'obtentions de la face n6. En utilisant une feuille de tableur 1) Entrer dans la plage A1:A16 les nombres entiers de 0 15.

2) Dans la cellule B1 entrer la formule =COMBIN(15;A1) donnant le coefficient

150 .

Recopier cette formule sur la plage B2:B15 pour obtenir tous les coefficients

15k avec 0 k 15.

3) Dans la cellule C1 entre la formule =B1*(1/6)^A1*(5/6)^(15-A1) donnant la probabilit d'obtenir 0 fois la

face n6. Recopier cette formule vers le bas pour obtenir dans la colonne C la loi binomiale B

15 ; 1

6.

Vrifier que la somme des probabilits est bien gale 1. 4) Dans la cellule D1 entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1;15;1/6;0) et vrifier que le rsultat est identique

celui obtenu dans la cellule C1. Recopier cette formule vers le bas et vrifier que les rsultats sont identiques ceux de la colonne C.

5) Reprsenter graphiquement la loi binomiale B

15 ; 1

6 par un diagramme barres.

II chantillonnage

Proprit

On considre un caractre ayant une proportion p dans une population donne. On considre des chantillons de taille n dans cette population. Si 0,2 p 0,8 et si n 25 alors 95% au moins des chantillons sont tels que la frquence du caractre

dans l'chantillon appartient l'intervalle

p - 1

n ; p + 1

n .

Cet intervalle est appel intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Remarque

Plus la taille n de l'chantillon est grande et plus la frquence observe dans l'chantillon est proche de la frquence existant dans la population.

Exemple

D'aprs l'Insee, la proportion de femmes dans la population franaise est d'environ 51,6 %. Si on observe des chantillons de 100 personnes reprsentatifs de cette population, alors 95 % d'entre

eux doivent correspondre une frquence se trouvant dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. On a p = 0,516 et n = 100. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors :

p - 1

n ; p + 1

n =

0,516 - 1

100 ; 0,516 + 1

100 = [0,416 ; 0,616]

Si on observe des chantillons de 1000 personnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors :

p - 1

n ; p + 1

n =

0,516 - 1

1000 ; 0,516 + 1

1000 soit environ [0,484 ; 0,548]

Si on observe des chantillons de 10000 personnes l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est alors :

p - 1

n ; p + 1

n =

0,516 - 1

10000 ; 0,516 + 1

10000 = [0,506 ; 0,526]

Imaginons que l'on observe des chantillons de 10000 personnes atteints d'une certaine maladie M. Si l'on trouve que, pour seulement 80% des chantillons la proportion de femmes est dans l'intervalle [0,506 ; 0,526], alors on pourra penser que la rpartions hommes/femmes pour les personnes atteintes de la maladie M n'est pas la mme que la rpartition hommes/femmes dans la population gnrale.



D'aprs l'Insee, la proportion de femmes dans la population franaise est d'environ 51,6 %. Un observateur se place la sortie d'une gare et note le sexe des personnes qui passent. On admettra que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique la proportion de femmes dans la population franaise. On peut assimiler le passage des personnes un schma de Bernoulli. 1) Dterminer la probabilit que les quatre premires personnes qui sortent soient toutes des hommes. 2) Dterminer la probabilit que, sur les dix premires personnes qui sortent, il y ait exactement cinq

femmes. 3) a) Complter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant correspondant la loi de

probabilit du nombre N de femmes parmi les dix premires personnes qui sortent. (On donnera les rsultats 10-4 prs)

ni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p(N=ni)

b) Justifier que p(N [2 ; 8]) 95 % .


Une estimation donne 30 % des intentions de vote une personne politique que l'on appellera A. On interroge un chantillon de 50 personnes et on admet que les rponses successives correspondent un schma de Bernoulli. On note N le nombre de personnes interroges qui dclarent vouloir voter pour A. 1) Quels sont les paramtres de la loi binomiale associe N. 2) Calculer la probabilit que 4 personnes exactement sur les 50 dclarent vouloir voter pour A et en donner

une valeur approche. 3) Calculer la probabilit que 45 personnes exactement sur les 50 dclarent vouloir voter pour A et en

donner une valeur approche. Dans toute la suite on utilisera une feuille de tableur. 4) Entrer dans la plage A1:A51 les nombres entiers de 0 50. Dans la cellule B1 entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1;50;0,3;0) donnant la probabilit de l'vnement

(N = 0). (0 correspond la valeur contenue dans la cellule A1) Recopier cette formule sur la plage B2:B51 pour obtenir p(N = k) pour tout entier k avec 0 k 50 . On vrifiera les valeurs obtenues dans les questions 2 et 3. 5) Dans la cellule C1 entrer la formule =B1 Dans la cellule C2 entrer la formule =C1+B2 Recopier cette formule vers le bas jusqu'en C51. quoi correspondent les valeurs contenues dans la colonne C ? 6) Dterminer le plus petit entier a tel que p(N a) > 2,5 % . 7) Dterminer le plus petit entier b tel que p(N b) 97,5 % . 8) Justifier que p(N [a ; b] ) 95 % . 9) Donner l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% lorsqu'on interroge 50 personnes propos de leur vote

pour A. Comparer avec les valeurs prcdentes.

Proprit

Soit X le nombre de succs dans la rptition d'une preuve soumise une loi binomiale B(n ; p). Soit a le plus petit entier tel que p(X a) > 2,5 % . Soit b le plus petit entier tel que p(X b) 97,5 % .

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la frquence de ralisation du succs est l'intervalle

a

n ; b

n .

Remarques

Les valeurs de a et b dfinies ci-dessus sont telles que p(X [a ; b] ) 95 % . L'intervalle est dtermin en supprimant les valeurs les plus petites correspondant une probabilit de

2,5 % et les valeurs les plus grandes correspondant une probabilit de 2,5 %. Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est peu prs le mme que celui donn par

p - 1

n ; p + 1

n mais il n'est pas centr en p.

Si on voulait un intervalle de fluctuation au seuil de 90 %, on considrerait : a' le plus petit entier tel que p(X a') > 5 % . b' le plus petit entier tel que p(X b') 95 % .


Exemple

On met l'hypothse qu'un caractre se prsente dans une population avec une proportion de 0,516. On observe, sur un chantillon de taille 50, la frquence de ce caractre et on trouve f = 0,4. On se pose la question de savoir si cette frquence est "compatible" avec l'hypothse mise. On considre le diagramme barres ci-dessous reprsentant la loi binomiale B(50 ; 0,516). On peut justifier (en utilisant un fichier de tableur par exemple) que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

est obtenu avec a = 19 et b = 33, c'est donc l'intervalle

19

50 ; 33

50 = [0,38 ; 0,66].

Cet intervalle est obtenu en "rejetant" les valeurs infrieures a (et correspondant une probabilit de 2,5 %) et les valeurs suprieures b (et correspondant une probabilit de 2,5 %). La frquence observe f = 0,4 se trouve dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, l'hypothse selon laquelle le caractre se prsente avec une proportion de 0,516 n'est pas rejete.

Proprit

On considre l'hypothse qu'un caractre se prsente dans une population avec une proportion p. On observe, sur un chantillon de taille n, la frquence f de ce caractre.

On dtermine l'intervalle

a

n ; b

n de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(n ; p).

Si la frquence observe f ne se trouve pas dans

a

n ; b

n, on rejette l'hypothse (au risque de 5 %).

(c'est--dire que l'on considre que le caractre ne se prsente pas avec une proportion p)

Si la frquence observe f se trouve dans

a

n ; b

n, on ne rejette pas l'hypothse.

(c'est--dire que l'on considre que le caractre peut se prsenter avec une proportion p)

Remarque

Plus la taille de l'chantillon sera grande, plus l'intervalle de fluctuation sera restreint. Avec l'exemple ci-dessus, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est : [0,38 ; 0,66] pour un chantillon de taille 50 ; [0,42 ; 0,61] pour un chantillon de taille 100 ; [0,485 ; 0,55] pour un chantillon de taille 1000.

a b

rejet rejet

accept



En utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50 ; 0,516). Justifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est l'intervalle [0,38 ; 0,66].

Comparer avec l'intervalle

p - 1

n ; p + 1

n .


Un constructeur affirme que la probabilit qu'un de ses tlviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son achat est gale 0,12. 1) Dterminer, en utilisant un tableur, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la frquence de panne

pour un chantillon de 100 tlviseurs. 2) Une association de consommateurs effectue un test sur 100 personnes ayant ce modle de tlviseur. Dans cet chantillon, 17 personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Que peut-on

penser de l'affirmation du constructeur ? 3) L'association pense maintenant effectuer un test sur 500 personnes. Dterminer, en utilisant un tableur

ou un algorithme, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la frquence de panne pour un chantillon de 500 tlviseurs. Interprter.


1) Crer un algorithme permettant de trouver les entiers a et b correspondant l'intervalle de fluctuation 95 % pour une loi binomiale de paramtres n et p. (On prendra n < 70)

2) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(50 ; 0,516) est l'intervalle [0,38 ; 0,66].

3) En utilisant cet algorithme montrer que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la loi binomiale B(60 ; 0,18) est l'intervalle [0,08 ; 0,29].


Une socit fabrique des botes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues. La fabrication est automatise et la machine est rgle un niveau de 42 % de botes vertes et 58 % de botes bleues, correspondant la demande du march. Un test est fait sur un chantillon de 180 botes prleves au hasard. 1) L'chantillon comporte autant de botes bleues que de botes vertes. La machine est-elle drgle ? 2) partir de combien de botes bleues et de botes vertes obtenues sur un chantillon de 180 botes doit-

on penser que la machine s'est drgle ?

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