2 Moyenne, Variance

8/9/2019 2 Moyenne, Variance

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X

Moyenne, variance, cart type

dune variable discrte

____________________

On considre une population deffectif totalNavec laquelle on a une variable statistique

discrteX, associe la une srie statistique simple :

Modalits deX x1 x2 xpEffectifs n1 n2 npFrquences f1 f2 fp

1.Un paramtre de position

,la moyenne de la srie statistiqueXest dfinie par

=

)(1

XN

X .

Aprs regroupement en modalits, on obtient :

=

=

=+++=

pi

i

iipp xnN

xnxnxnN

X1

2211

1)...(

1soit :

=

=

=+++=

pi

i

iipp xfxfxfxfX1

2211 )...

2. Paramtres de dispersion

V(X), la variance deX, est la moyenne des carrs des carts entre les valeurs de la variable

et la moyenne : V(X)= ))((1

XXN

.

V(X) est un rel positif ou nul (nul que siXest constante).

(X), lcart type est la racine carre de V(X) : (X)= )(XV . (X)est un rel positif ou nul

(nul que siXest une constante).

Par regroupement des valeurs prises parXen modalits, on obtient :

V(X)= )(1

1

=

p

i

iiXxn

N= )(

1

=

p

i

iiXxf et en dveloppant les carrs et aprs regroupement,

on a : V(X)= 11=

p

i

iiXxn

N=

1=

p

i

iiXxf .

Changement de variable affine

Avec a, b rels, on pose Y= aX+b ; cest--dire Yest une application de vers dfinie par :

Y()=aX()+b. On peut vrifier que : bXaY += , V(Y)=a2V(X) et (Y)=|a|(X).

Si une seule variable statistiqueXintervient on crit souvent Vet la place de V(X) et

(X). On note aussi VXet X la place de V(X) et (X).

X


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3. Prsentation des calculs

On peut construire le tableau de calcul :

X =S/N

V=T/NX2

= V

On peut aussi donner directement les trois valeursN= in , S= iixn et T= iixn ,alors : X =S/N, V=T/NX

2et = V .

Pour les rsultats intermdiaires on pourra indiquer des valeurs arrondies pourN, S et T, mais

pour trouver X , Vet on utilise les valeurs non arrondies stockes dans la calculatrice.

xi x1 x2 xp Total

ni n1 n2 np N

nixi n1x1 n2x2 npxp S

nixi2 n1x1

2 n2x2

2 npxp

2 T


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4. Exemple

Enonc

Un service municipal a relev sur une dure dun mois (25 jours ouvrables) le nombre de

dossiers ouverts chaque jour.

Nombrede dossiers 8 9 10 11 12 13 14 15

Nombre

de jours 2 3 4 5 7 2 1 1

1 Faire une reprsentation en btons

2 Calculer la moyenne, la variance et lcart type en prsentant les calculs intermdiaires

dans un tableau.

3 Dterminer le mode, la mdiane, les quartiles.

Rsolution

1 La reprsentation en btons de la srie statistique simple est donne ci-dessous :

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

modalits

effect

ifs

2 On peut prsenter le tableau de calcul vu au paragraphe 3 .

xi 8 9 10 11 12 13 14 15 Totalni 2 3 4 5 7 2 1 1 N=25

effectifs cumuls

croissants 2 5 9 14 21 23 24 25

nixi

16 27 40 55 84 26 14 15

S=

277

X=S/N=

11,08

nixi2

128 243 400 605 1008 338 196 225 T=3143 V=T/NX

2

=2,9536

V=

1,7186


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On a bien obtenu la moyenne, la variance et lcart type de la srie statistique :

X=11,08 ; V= 2,9536 ; 1,7186 .

3 En tenant compte des galits 25/4=6,25 ; 25/2=12,5 ; 325/4 = 18,75 et de la ligne des

effectifs cumuls dans le tableau prcdent on en tire que :

10 est le 1er

quartile, 11 est la mdiane et 12 est le 3me

quartile.


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b) Cas dune variable statistique continue

Pour le calcul de la moyenne, variance et cart type, on se ramne au cas dune srie

variable discrte en prenant pour modalits les centres des classes et pour effectifs

correspondants les effectifs des classes.

Exercices

Un laboratoire pharmaceutique commercialise des sachets de bicarbonate de soude.

Lensachage est fait par une machine automatique en trs grande srie. Les rsultats seront

donns au millime le plus proche.

On tire un chantillon de 50 sachets dont on mesure la masse exprime en grammes. On

rassemble les rsultats dans le tableau suivant :

masse en g effectif[9,82 ; 9,88[ 2

[9,88 ; 9,94[ 3

[9,94 ; 10,00[ 6

[10,00 ; 10,06[ 10

[10,06 ; 10,12[ 14

[10,12 ; 10,18[ 12

[10,18 ; 10,24[ 2

[10,24 ; 10,30[ 1

Proposer des valeurs approches de la moyenne et de lcart type de cette srie en prsentantles valeurs ncessaires au calcul.

______________________________________________

Lobjectif de cet exercice est danalyser la production dune entreprise fabriquant des

pices mtalliques. On prlve un chantillon de 40 pices dont on mesure la masse. On

obtient la srie statistique suivante :

Masse en gramme Nombre de pices[745 ; 755[ 2

[755 ; 765[ 8

[765 ; 775[ 10

[775 ; 785[ 11

[785 ; 795[ 6

[795 ; 805[ 3

Calculer la moyenne eX et lcart type e de cet chantillon (rsultats arrondis 10-1

prs)

en prsentant les calculs intermdiaires.


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Corrig de lexercice

On se ramne la srie statistique simple :

xi 9,85 9,91 9,97 10,03 10,09 10,15 10,21 10,27

ni 2 3 6 10 14 12 2 1

On obtientN=50, nixi = 503,3 et nixi2

= 5066,6282.

La moyenne m et lcart type sont donnes par :

m=50

1nixi et =

22

50

1mxn

ii do m=10,066 et 0,09060.

Corrig de lexercice

On se ramne la srie statistique simple :

xi 750 760 770 780 790 800

ni 2 8 10 11 6 3

On obtientN=40, nixi = 31000 et nixi2

= 24 031 800.

La moyenne eX et lcart type esont donnes par :

eX =40

1nixi et e=

22

40

1eii

Xxn do eX = 775 et 13,0 .

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