Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFourierDcomposition dun signal en srie de FourierObjectifs: Les tudes menes en classe de 1re anne sur les signaux analogiques (majoritairementlectriques) ont toujours t prsentes en fonction du temps, et souvent obtenues par rsolution dunequation direntielle rgissant le systme. Lobjectif de ce cours est de prsenter une analyse des signauxanalogiquesentermedefrquence, etdedgagerlanotiondespectre de frquence dun signal. Cetteapproche permettra la comprhension du principe de fonctionnement des ltres analogiques, dont lusageest extrmement rpandu en lectronique.NB: Ce cours ne prtend pas une prsentation exhaustive du dveloppement en srie de Fourier,mais une approche pragmatique, permettant lutilisation de ce concept en physique. On se reportera aucours de mathmatiques pour un large approfondissement de ces notions.1 Elments de thorie1.1 PrincipeOn montre dans le cadre du cours de mathmatiques que toute fonction priodiquef(t) de priodeT=2peut, sous certaines conditions de continuit et de drivabilit, scrire comme la superpositionde fonctions sinusodales:1reforme:f(t) =+

n=0[an cos(nt) + bn sin(nt)] = a0 ++

n=1[an cos(nt) + bn sin(nt)] (1)= a0 + a1 cos(t) + b1 sin[t) + a2 cos(2t) + b2 sin(2t) + ..........2nde forme: on peut galement crire la dcomposition de Fourier de f(t) sous la forme suivante:f(t) = a0 ++

n=1[cn cos(nt + n)] (2)= a0 + c1 cos(t + 1) + c2 cos[2t + 2) + ..........GRAYE Jean-Laurent Page 1 sur 6 Anne 2003-2004Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFourierVocabulaire:Les coecientsan etbn, oucn etn sont appels coecients de Fourier de la fonctionf.Les coecients cn, correspondant la seconde formulation de la dcomposition en srie de Fourier,sont appels amplitude des harmoniques dordre n.Les termes de pulsation sont appels composantes fondamentales du signal.Les termes de pulsationn avecn 2 sont appels composantes harmoniques du signal.Exercicedecours1.1.1Montrer quecn, amplitude de lharmonique dordre n, et le dphasagende cette harmonique sont donns par: cn = _(A2n +B2n) et n = arctanBnAn.1.2 Recherche des coecients de FourierLanalysedeFourierdunsignal consisteenfaitdterminerlescoecients a0, an, et bn. Onsepropose ici, connaissant la fonction f(t), dtablir les relations permettant leur calcul.Soit la fonctionf(t) dcomposable en srie de Fourier:f(t) = a0 ++

n=1[an cos(nt) + bn sin(nt)]IntgronslesdeuxmembresdecettequationsurunepriodedelafonctionT(lesconditionsdecontinuit assures le permettant!):T_0f(t) dt =T_0a0 dt +T_0_+

n=1[an cos(nt) + bn sin(nt)]_ dt. .=0 (intgration sur n priodes des fonctions sin et cos)On a donc:a0 T=T_0f(t) dtsoit nalement:a0 =1TT_0f(t) dt (3)Remarque:a0 reprsente simplement la valeur moyenne du signal f(t)La recherche des coecientsan etbn est un peu plus dlicate:GRAYE Jean-Laurent Page 2 sur 6 Anne 2003-2004Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFouriermultiplionslquation(1)gaucheetdroitepar cos(mt)omestunevaleurparticulireden(comprise entre 1 et +), puis intgrons lquation ainsi obtenue sur une priode:T_0f(t) cos(mt) dt =T_0a0 cos(mt) +T_0_+

n=1[an cos(nt)cos(mt) + bn sin(nt)cos(mt)]_ dtsoit en glissant lintgrale dans la sommation:T_0f(t) cos(mt) dt =T_0a0 cos(mt). .=0++

n=1__T_0an cos(nt)cos(mt) dt +T_0bn sin(nt)cos(mt) dt__Les formules trigonomtriques de changement de produits en sommes permettent ensuite de transfor-mer les intgrales. On trouve sans peine:cos(nt)cos(mt) =12 cos [(n + m)t)] + 12 cos [(n m)t)]sin(nt)cos(mt) =12 sin [(n + m)t)] + 12 sin [(n m)t)]Lquation prcdente devient alors:T_0f(t) cos(mt) dt =+

n=1T_012an cos [(n + m)t)] dt+T_012an cos [(n m)t)] dt+T_012bn sin [(n + m)t)] dt+T_012bn sin [(n m)t)] dtDans la sommation, deux situations sont considrer:Si m =n: touslesintgralessontnullespuisquelonralisedesintgrationssurdesintervallesmultiples de la priode.Si m = n: seul le second terme est non nul, les autres ltant pour la mme raison que prcdemment(priodicit des fonctions sin et cos).Aprs simplication il reste donc:T_0f(t) cos(mt) dt =T_012an dt =12an TGRAYE Jean-Laurent Page 3 sur 6 Anne 2003-2004Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFouriersoit:an =2TT_0f(t)cos(nt) dt (4)On montre par une mthode similaire (en multipliant les intgrants parsin(mt)), que:bn =2TT_0f(t)sin(nt) dt (5)1.3 Spectre de frquence - reprsentation spectrale des harmoniquesOnappellereprsentationspectraledusi-gnal, ousimplement spectre dusignal, legra-phique obtenu en portant en ordonnes lamplitudedes dirents harmoniques et en abscisse les pulsa-tions de celles-ci.Spectre dun signal1.4 Proprits utiles1.4.1 ParitSi la fonction f(t) est paire: f(t) =f(t) conduit bn = 0 n = Pourunsignal pair,touslescoecientsbnsont nuls.Si la fonction f(t) est impaire: f(t) = f(t) conduit an = 0 n = Pour un signal impair, tousles coecientsansont nuls.GRAYE Jean-Laurent Page 4 sur 6 Anne 2003-2004Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFourier1.4.2 Valeur moyenneOn remarque que le coecient a0 dni par la relation (3) est simplement la valeur moyenne du signalf(t):f=< f(t) >=1TT_0f(t) dt = a0(6)1.4.3 Valeur ecaceSoit un signalf(t) dont la dcomposition spectrale scrit:f(t) = a0 ++

n=1[cn cos(nt + n)]Le carr de la valeur ecace de ce signal est par dnition la valeur moyenne def2(t):f2eff=1TT_0f2(t) dtCalculonsf2(t):f2eff(t) =T_0_a20 +

n=1c2ncos2(nt + n)+ 2a0

n=1cncos(nt + n)+

n=1

k=1k=ncnckcos(nt + n)cos(kt + k)_ dtLintgration de ces termes est immdiate car seuls les deux premiers sont non nuls; ils valent respec-tivementa20 et12

n=1c2n. On obtient donc:f2eff= a20 + 12

i=1c2n = a20 + 12

i=1_a2n + b2n_(7)GRAYE Jean-Laurent Page 5 sur 6 Anne 2003-2004Lyce Polyvalent Pointe des NgresMathmatiques spciales TSI2Novembre 2003Cours de physique: Dcompositiondunsignal ensriedeFourier2 Dcompositionensrie de Fourier de quelques signauxcourants2.1 Signal carr (impair)Exercicedecours2.1.1Un gnrateur bassefrquence dlivre le signal crneaux reprsent ci-contre:1. Quelle est la valeur moyenne de ce signal?2. Dterminer le spectre de ce signal.1Signal en crneaux impair2.2 Signal triangulaire (pair)Exercicedecours2.2.1Mmes questionsquedans lexerciceprcdent aveccettefois lesi-gnal triangulaire impair reprsent ci-contre:1. Quelle est la valeur moyenne de ce signal?2. Dterminer le spectre de ce signal.2Signal triangulaire pair3 Exemples dapplications3.1 Casdtuden1: Eet dunltrepasse-bassurunsignal carr-ltrage pour un onduleurExercicedecours3.1.1On souhaite crer un signal quasi-sinusodals(t) partir dun signal cr-neauxe(t)depulsationmidentiquecelui tudienexercice2.1.1. Pourcelaondisposedunltrepasse-bas du premier ordre de type RC.1. Rappeler le schma dun tel ltre, et tracer lallure de la rponse en gain.2. Comment choisir R et C pour assurer que le signal de sortie soit assez proche dun signal sinusodalde pulsationm?3. Quelle amlioration proposeriez-vous pour que le signal de sortie soit encore plus proche dun signalsinusodal pur?3.2 Cas dtude n2: Principe dun analyseur de spectreExercicedecours3.2.1Proposerleprincipedunmontageanalogiquepermettantdedterminerlamplitude des harmoniques dun signalf(t). Pour cela, on dispose du matriel suivant: multiplieur ana-logique de signaux, gnrateur basse frquence avec wobulateur(signal auxiliaire proportionnel la frquencedu signal dlivr), ltre passe-bas (second ordre), oscilloscope cathodique XY.1. a0 = 0,an = 0,bn =2U0n[1 cos(n)]2. a0 = 0,bn = 0 et par intgration du signal crneaux impair, on obtientan =8U

02(2n+1)2GRAYE Jean-Laurent Page 6 sur 6 Anne 2003-2004