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Résistance des matériaux II Fatigue Préparé par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. Contenu Motivation: conception en fatigue Caractérisation des matériaux sous chargement cyclique Norme ASTM E-466 Définition de la courbe S’ - N Calculs des facteurs de correction Caractéristique du chargement externe Critère de Goodman modifié Chargements combinés contraintes de Von Mises Cycles de chargement en fatigue (dommage cumulatif) Loi de Miner 445 Résistance des matériaux II Fatigue Préparé par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. Motivation: conception en fatigue Pour la majorité des applications, les contraintes dans la structure varient dans le temps: en intensité en direction Rupture origine habituellement à la surface de la pièce Niveau de contrainte (S) qui cause la rupture en fatigue est très souvent inférieur à S Y (matériaux ductiles) Rupture se produit sur des pièces après un certain temps de fonctionnement N: nombre de cycle à la rupture 446

2015AUT MEC2405 Acetates 4 No Vids Fatigue

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  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Contenu

    Motivation: conception en fatigue Caractrisation des matriaux sous chargement cyclique

    Norme ASTM E-466 Dfinition de la courbe S - N

    Calculs des facteurs de correction Caractristique du chargement externe

    Critre de Goodman modifi Chargements combins contraintes de Von Mises

    Cycles de chargement en fatigue (dommage cumulatif) Loi de Miner

    445

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Motivation: conception en fatigue

    Pour la majorit des applications, les contraintes dans la structure varient dans le temps: en intensit en direction

    Rupture origine habituellement la surface de la pice Niveau de contrainte (S) qui cause la rupture en fatigue

    est trs souvent infrieur SY (matriaux ductiles) Rupture se produit sur des pices aprs un certain temps

    de fonctionnement N: nombre de cycle la rupture

    446

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Mcanisme de rupture en fatigue

    Sous leffet de contraintes cycliques, les dislocations glissent dans le rseau cristallin formation dintrusions et dextrusions en surface et de micro-fissures.

    Initiation Propagation Rupture finale (~90%) (~10%) (1 cycle)

    Facis de rupture

    I

    II

    III

    Glissement des dislocations

    447

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Dtection des fissures

    448

    Ressuage: mthode de contrle non destructif qui va mettre en vidence les fissures par infiltration de liquide dans les mtaux, cramiques et composites

    Autres mthodes: la radiographie, les ultrasons, les procds flux de fuite magntique, etc.

    *: https://fr.wikipedia.org/wiki/Contr%C3%B4le_par_ressuage

    Fissure sur un engrenage* Fissures sur un piston rvles par un pntrant fluorescent*

    Mcanisme de rupture en fatigue

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Suspension dun vhicule Exemple: Conception en fatigue

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Proprits statiques (SY, Su) Fatigue (courbe S-N)

    Suspension poutre dun vhicule (carbible.com)

    Gomtrie Conditions dutilisation Composantes alternes et moyennes Analyse des contraintes

    Analyse de dommage cumulatif Loi de Miner

    Prdire la dure de vie en fatigue

    449

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Suspension dun vhicule Exemple: Conception en fatigue

    Suspension poutre dun vhicule (carbible.com)

    Chargement en fonction du temps (mesur par un acclromtre ou jauge

    de dformation)

    Analyse de signaux (sparation en cycle de chargement) Dommage cumulatif

    avec la loi de Miner

    450

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Chargement dynamique (variable dans le temps)

    max min

    2a min

    max

    R max min

    2m

    Chargement compltement renvers* Chargement quelconque

    *: Tir de Machine Design: An integrated Approach, 3rd edition, Pearson Eduction, 2006.

    Contrainte moyenne Contrainte alterne Rapport des contraintes

    1 cycle

    451

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    452

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    453

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Introduction de la norme ASTM E-466

    American Society for Testing and Materials (ASTM) Caractrisation des matriaux en fatigue

    Obtenir la courbe S N du matriau (contrainte alterne pour un nombre de cycle la rupture donn)

    Conditions normalises Chargement variable compltement renvers (m = 0) Contraintes normales seulement chantillon normalis (fini de surface, dimensions) Temprature ambiante (T = 25C) Aucune concentration de contraintes

    454

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Montage de flexion rotative (essais haut cyclage)

    Chargement variable compltement renvers de lchantillon Permet daccumuler un grand nombre de cycles rapidement Faire tourner jusqu rupture un point sur la courbe S - N

    Introduction de la norme ASTM E-466

    2/P

    2/P P

    t Temps,0a

    a

    Montage de flexion 4 points (V = 0 et M est constant au centre)

    chantillon

    'S

    N

    x

    455

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Introduction de la norme ASTM E-466

    Avantage de la flexion rotative: accumuler un grand nombre de cycles en relativement peu de temps En 24 heures, cette machine qui tourne 10 000 tours/min, accumule 14,4

    millions de cycles compltement renverss sur lchantillon. Il lui faut 35 jours pour accumuler 500x106 cycles.

    10 Hz, une machine de traction-compression mettrait 1,6 anne pour accumuler 500x106 cycles

    'S

    Nx

    Selon ces conditions, il faut 35 jours pour obtenir un seul point sur le diagramme S N Rpter lessai diffrents niveaux de contrainte Flexion rotative

    456

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Deux zones: (1) bas cyclage (< 103 cycles) et (2) haut cyclage (> 103 cycles) 1. La fatigue bas cyclage implique des dformations plastiques et dpasse

    le cadre du cours

    Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux

    10 210 310 410 510 610 710 81010

    'SuSuS9,0

    '

    eS

    Bas cyclage Haut cyclage

    N

    500 x 106 pour matriaux non-ferreux

    457

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Deux zones: (1) bas cyclage (< 103 cycles) et (2) haut cyclage (> 103 cycles) 2. La fatigue haut cyclage est distingue par la

    - vie finie (Ferreux: 103 106 cycles / Non-ferreux: 103 5x108 cycles) - vine infinie (Ferreux: > 106 cycles / Non-ferreux: > 5x108 cycles)

    Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux

    10 210 310 410 510 610 710 81010

    'SuSuS9,0

    '

    eS

    Bas cyclage Haut cyclage

    Vie finie Vie infinie

    N

    500 x 106 pour matriaux non-ferreux

    Bien localis pour chantillons

    normaliss

    458

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Deux types de comportement en fatigue: matriaux ferreux (ex. acier, fonte) matriaux non-ferreux

    (ex. aluminium, polymre) Sf: niveau de contrainte une vie finie N Se: limite dendurance

    Contrainte compltement renverse en dessous de laquelle il y a peu de chances dobserver une rupture en fatigue

    Proprits mcaniques de matriaux (ex. Su, SY) symbolise valeurs mesures sur chantillons normaliss

    Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    S

    Sf

    N

    459

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: limite dendurance Mesure lors dun lessai en fatigue sur un chantillon

    normalis (ex. fini de surface lisse, temprature ambiante) Approche prcise mais lente et dispendieuse

    Approxime par la mthode de compilation Valeur approximative mais rapide et conomique

    Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux

    Exemple de lapproche par compilation pour la fonte:

    Les valeurs mesures de Se se situent entre 35 et 50% de la

    valeur de Su (contrainte ultime)

    460

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Rsum de lapproche par compilation Matriaux ferreux

    Matriaux non-ferreux

    Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux

    Acier au carbone et aciers allis

    Alliages de cuivre

    Fontes

    Aluminium

    ueu SSS 60,035,0'

    MPaSSS eue 700 mais 5,0''

    ueu SSS 50,035,0'

    MPaSSS eue 165 mais 40,0 ''

    ueu SSS 50,035,0'

    usin lamin, forg, 40,0' ue SS coul 30,0' ue SS MPae 130S mais

    ' ueu SSS 50,035,0

    ' MPa 100 mais 40,0 '' eue SSS

    461

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Rsum des diagrammes S- N Fatigue bas cyclage de fatigue vs. haut cyclage (>103 cycles) Matriaux ferreux

    Vie finie < 106 cycles S = 0,9Su N = 103 cycles ; Se N = 106 cycles

    Vie infinie > 106 cycles Matriaux non ferreux

    Vie finie < 500x106 cycles S = 0,9Su N = 103 cycles ; Se N = 500x106 cycles

    Vie infinie > 500x106 cycles

    462

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Calculer

    le niveau de contrainte lorsquon connait N

    le nombre de cycle la rupture lorsquon connait Sf

    Courbe S N: matriaux ferreux

    3log3/1'

    '

    9,09,0loglog

    N

    u

    euf S

    SSS

    u

    e

    u

    f

    SS

    SS

    N

    9,0log

    9,0log

    13log'

    '

    310 410 510 610 710 8100

    aS

    cycles Vie,910N

    0,9 uS

    '

    eS

    '

    fS

    N

    3log3/1'

    '

    9,09,0

    N

    u

    euf S

    SSS

    ue SSu

    fS

    SN

    9,0/log3

    '

    3'

    9,010

    Ces quations sont obtenues laide de la pente de la droite sur le graphique log-log dans le rgime de vie finie

    463

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Calculer

    le niveau de contrainte lorsquon connait N

    le nombre de cycle la rupture lorsquon connait Sf

    Courbe S N: matriaux non-ferreux

    Ces quations obtenues laide de la pente de la droite sur le graphique log-log dans le rgime de vie finie

    7,5

    3log'

    '

    9,09,0loglog

    N

    u

    euf S

    SSS

    u

    e

    u

    f

    SS

    SS

    N

    9,0log

    9,0log

    7,53log'

    '

    7,5

    3log'

    '

    9,09,0

    N

    u

    euf S

    SSS

    ue SSu

    fS

    SN

    9,0/log7,5

    '

    3'

    9,010

    310 410 510 610 710 8100

    aS

    cycles Vie,910

    N

    0,9 uS

    '

    eS

    '

    fS

    N5

    464

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    La limite d endurance obtenue avec un chantillon normalis (Se) en dimensions et en fini de surface dans un essai amplitude de contrainte compltement renverse ne correspond pas ncessairement aux conditions de service de la structure analyser

    En service : la pice na pas ncessairement le mme fini de surface la pice na pas les mmes dimensions la valeur de la limite dendurance varie autour dune moyenne la temprature peut diffrer de celle du laboratoire il peut y avoir des concentrations de contraintes dans la pice le milieu dans lequel se trouve la pice peut tre corrosif ou agressif

    465

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    La limite dendurance corrige se calcule :

    ka = pour le fini de surface kb = pour l effet de grosseur kc = pour la fiabilit, les limites de variation de Se kd = pour l effet de temprature ke = pour l effet des concentrations de contrainte kf = pour des effets divers

    '

    e a b c d e f eS k k k k k k S

    Se: Facteurs de correction

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    S

    Sf

    N

    466

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    ka: fini de surface Un matriau plus rsistant, moins ductile a plus de sensibilit

    des dfauts laisss en surface par le procd de mise en forme.

    467

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    kb: influence de la grosseur de la pice Statistiquement, un plus grand volume de matriau sous

    contrainte contient un plus grand nombre dimperfections Ces imperfections peuvent engendrer une microfissure et initier

    une rupture par fatigue Pour les sections non-circulaires, il faut calculer un diamtre

    quivalent Pour les sections circulaires:

    kb = 1 d 7,6 mm 0,85 7,6 < d 50 mm 0,75 d > 50 mm

    Chargement axial

    kb = 1,0

    Flexion et /ou torsion

    468

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    kb: influence de la grosseur de la pice Effet du type dessai pour mesurer Se

    '

    (MPa)eS

    (Se) uniaxial = 0,7 ( Se)flexion

    RF: R. L. Norton Machine Design 469

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    kc: fiabilit Modifier la valeur moyenne de Se pour ladapter la fiabilit que lon veut accorder au calcul de la pice

    Contrainte applique et la rsistance du matriau varient selon une distribution Gaussienne

    Se: Facteurs de correction

    Valeur moyenne de la contrainte applique Valeur moyenne de la

    rsistance du matriau

    Zone de rupture possible

    Variation statistique (Distribution Gaussienne)

    470

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    kc: fiabilit Fiabilit = 50% lorsquon utilise valeur moyenne de Se (kc=1) On utilise une valeur plus petite de kc pour augmenter la

    fiabilit en fatigue de la structure (voir tableau)

    Se: Facteurs de correction

    S

    rupture deFrquence

    50'

    eSReS

    '

    ZR

    Tableau pour facteur kc (Drouin et al.)

    471

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    kd: effet de la temprature Effet de la temprature est trs complexe. Les consquences

    des tempratures leves sont : fluage (ex. dplacement des dislocations dans le rseau cristallin,

    amorce de micro fissures) perte de rigidit cause dune chute du module dYoung perte de duret par rarrangement du rseau cristallin perte de rsistance ultime Su ou dcoulement SY

    Se: Facteurs de correction

    dkCT

    CTT

    0

    0

    71 pour 0,1

    71 pour 273

    344

    Formule suggre pour valuer leffet de la temprature

    472

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    kf: effets divers Les effets divers comprennent :

    les contraintes rsiduelles les milieux agressifs (ex. eau, acides, alcalins, radiations)

    Ces effets doivent tre tudis cas par cas et ne seront pas traits ici (donc, kf = 1 pour notre cours).

    Se: Facteurs de correction

    473

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?

    Exemple: Arbre du moteur dune soufflante

    mm40

    BR

    NP 85T

    AB C

    AR mm240

    20 mm 16 mm

    Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre

    474

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution Se = 0,5 Su = 0,5 * 340 = 170 MPa (selon lapproche par compilation) ka = 0,88 (selon graphique p.22) kb = 0,85 (selon formule p.23, chargement flexion et torsion) kc = 0,90 (selon tableau p.26) kd = 344 / (273+80) = 0,975 (selon formule p.27) kf = 1 (selon p.28)

    Exemple: Arbre du moteur de la soufflante

    Par comparaison, SY = 190MPa

    0,88 0,85 0,90 0,975 1,0 1,0 170 111,6 MPaeS

    310 410 510 610 710 8100

    aS

    cycles Vie,910N

    uS 0,9

    MPa6,111Se

    N

    MPa170S'e

    475

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    476

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    La rsistance en fatigue dun chantillon normalis est mesure laide dun essai amplitude de contrainte compltement renverse.

    Il est possible que la structure tudier ne soit pas soumise une chargement compltement renvers

    0t

    m t

    0

    aa

    ma

    at0

    ma ,

    Contrainte moyenne Contrainte alterne Contrainte non-renverse

    Suspension poutre dun vhicule

    477

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    Deux cas extrmes Pour une contrainte statique, la rupture se produit un cycle (N

    = 1) lors que la charge gale Su Pour une contrainte variable compltement renverse, la

    rupture se produit N cycles en fonction de la charge applique Sf (vie finie) ou Se (vie infinie)

    Que fait-on lorsque les deux composantes de la contrainte sont prsentes?

    478

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Des essais exprimentaux ont dmontr que la prsence dune contrainte moyenne superpose une contrainte variable change la vie en fatigue du matriau

    Si m > 0, la vie en fatigue diminue Si m < 0, la vie en fatigue augmente

    Nous utiliserons lapproche conservatrice que le comportement en fatigue demeure le mme lorsque m < 0.

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    Par rapport m = 0

    Se

    N 103

    0,9 Su

    S

    t0

    479

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Approche pour obtenir le critre de Goodman

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    0mSe

    0m

    Courbes S N dun aluminium pour diffrentes valeurs de m

    Courbes a en fonction de m une vie constante

    a = 0; m = Su et m = 0; a = Sf ou Se

    1ou

    fe

    a

    SS

    m

    Normalisation de laxe a par rapport Sf ou Se

    Les valeurs normalises se superposent quation de la droite = critre de Goodman

    f

    a

    e

    a

    S

    S

    ou

    m

    a

    uS uS

    480

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Approche pour obtenir le critre de Goodman Pour m > 0 , lquation de la droite est

    Vie finie

    Vie infinie

    Pour m < 0, on pose m = 0 et lquation du critre de rupture en fatigue devient

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    1ou

    fe

    a

    SS

    m

    Normalisation de laxe a par rapport Sf ou Se

    Les valeurs normalises se superposent quation de la droite = critre de Goodman

    f

    a

    e

    a

    S

    S

    ou

    uS

    1u

    m

    e

    a

    SS

    1u

    m

    f

    a

    SS

    1e

    a

    S

    ou 1f

    a

    S

    481

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Rsum

    t0

    tension

    am

    t0

    tension

    ncompressio

    aa

    uS

    uS9,0

    fS

    eS

    1 310 610fNNlog

    t

    m m 0

    uS

    a

    Essai normalis en fatigue (m = 0) plan

    Dans les applications volume

    Essai normalis en statique (a = 0) ligne

    Goodman (vie finie) Goodman (vie infinie) 1

    u

    m

    e

    a

    SS

    1u

    m

    f

    a

    SS

    Matriaux ferreux

    m

    482

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman: contrainte non-renverse

    Application dun facteur de scurit sur le critre de dfaillance de Goodman

    1a m

    f u

    FS

    S S

    Vie finie Vie infinie a

    m

    eS

    uS

    FSSS u

    m

    e

    a 1

    O

    Selon le critre de Goodman, sur cette ligne, FS = 1,0

    Zone scuritaire pour a et m en vie infinie

    a

    m

    fS

    uS

    a

    mO

    1a m

    e u

    FS

    S S

    483

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman modifi

    Lorsque la contrainte alterne est faible et que la contrainte moyenne est leve, le critre dcoulement doit tre vrifi

    Illustration pour la vie infinie avec m > 0

    a

    m

    eS

    uSO

    YS

    YS

    Yma S

    ta

    a m

    t

    a

    m

    Zone critique pour lcoulement

    YS

    t

    484

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman modifi

    Critre de dfaillance de Goodman modifi pour les diffrentes combinaisons de a et m possibles

    maxYSFS

    a

    uSYS0m

    on)(compressi0

    m

    fe SS ou

    (tension)0

    m

    u

    m

    e

    a

    SS

    FS 1

    maxY

    ma

    Y SSFS

    YS

    a

    eSFS

    et pour escuritair Zone ma

    Prendre le facteur de scurit le plus petit (fatigue vs. coulement)

    485

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Critre de Goodman modifi En cisaillement, le diagramme de Goodman modifi est:

    sYS

    o45

    0m

    a

    sf

    se

    S

    Sou

    escuritair zonema et pour

    a

    seSFS

    max

    sY

    ma

    sY SSFS

    En cisaillement, la contrainte moyenne na pas deffet sur la rsistance en fatigue du matriau

    Le facteur de scurit est le plus petit des deux calculs ci-dessus.

    Vrifie lcoulement avec max un instant donn

    486

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Problme : Le mcanisme suivant sert rgler les aubes directrices dans une turbine hydrolectrique. La force F sur la tige (fini de surface = poli) du mcanisme varie de -40 kN 100 kN dans le temps la frquence de 1Hz. On veut que le mcanisme fonctionne 24 heures/jour, pendant au moins 5 ans avant faillite. Tout le mcanisme est fabriqu en acier inoxydable S30400 pour lequel Su = 585 MPa et SY = 240 MPa.

    a) Doit-on calculer ce mcanisme en vie finie ou infinie?

    b) On demande le diamtre d de la tige verticale pour une fiabilit de 99,9% et FS = 2,5.

    F

    t0

    kN70

    kN70

    kN30

    FkN100

    kN40

    487

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Problme: diamtre de la tige

    Solution 1 Hz, les cycles en 5 ans = 157x106 cycles (vie infinie) Facteurs de correction

    ka = 1,0 fini poli miroir kb = 1 (chargement axial) kc = 0,753 kd = ke = kf = 1,0 Se = 0,5 Su = 0,5*585 = 292,5 MPa Se = 220,2 MPa (diminution de 25% de la limite dendurance)

    Chargement (en fonction de d en mm)

    kNFFFm 30240100

    2minmax

    kNFFFa 702)40(100

    2minmax MPad

    x

    dxx

    dFa

    a 2

    3

    2

    3

    21089107044

    MPad

    x

    dxx

    dFm

    m 2

    3

    2

    3

    2102,38103044

    488

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Problme: diamtre de la tige

    Solution (suite) Critre de Goodman

    Vrifier lcoulement (en statique)

    3 3

    2 2

    1 12,589 10 38,2 10

    220,2 585a m

    e u

    FSx x

    S S d d

    34,25d mm

    2

    3102,38892405,2

    dx

    SFSma

    Y

    mmd 4,36Lcoulement dicte le design de la tige

    489

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Problme : Si L1 = L2 sur le levier, la force sur la goupille au centre du levier vaut 2F = -80 200 kN. Calculer le diamtre de la goupille au centre du levier.

    Solution: Mme matriau que la tige (Se = 165,2 MPa) Limite dendurance en cisaillement (selon Von Mises)

    Sse = 0,577 Se = 95,3 MPa et SsY = 0,577 SY = 0,577*240 = 138,5 MPa

    FF

    F2

    t

    F

    d

    levier

    goupille

    F

    F2

    490

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Problme: Calcul de la goupille

    2

    3

    22109,118704

    344

    34

    dx

    ddFa

    a

    2

    3

    22109,50304

    344

    34

    dx

    ddFa

    m

    Solution (suite) Effort tranchant dans la goupille)

    AV

    bIQV

    34

    max

    kNVVVa 702)40(100

    2minmax

    kNVVVm 30240100

    2minmax

    Au centre de la goupille

    FF

    dt

    F2

    F mmdx

    dSFSa

    se 8,55109,118

    3,955,2 32

    mmdxx

    dSFSma

    sY

    4,55109,50109,118

    5,1385,2 332

    sYS

    o45

    0m

    a seS

    escuritair zonema et pour

    coulement

    Fatigue (dicte le design)

    491

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    492

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Chargements combins

    Que fait-on lorsque des contraintes normales et de cisaillement sont prsentes en mme temps au mme point? (ex. flexion et torsion dans un arbre)

    Il faut calculer les contraintes quivalentes de Von Mises (base sur lnergie de distorsion) partir des composantes alternes et moyennes des contraintes.

    1. Regrouper toutes les contraintes alternes et moyennes ensemble 2. Calculer les contraintes Von Mises alternes (a) et moyennes (m)

    xaya

    za

    xyaxza

    yza

    xmym

    zm

    xymxzm

    yzm 'm'a

    493

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Chargements combins

    Contraintes quivalentes de Von Mises partir des composantes alternes et moyennes des contraintes. Contrainte alterne de Von Mises (a)

    222222' 321

    zxayzaxyaxazazayayaxaa

    222222' 3 zxayzaxyaxazazayayaxazayaxaa Si on dveloppe, on obtient

    Pour un tat plan de contrainte (surface z), on obtient 222' 3 xyayaxayaxaa

    494

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Chargements combins

    Contraintes quivalentes de Von Mises partir des composantes alternes et moyennes des contraintes. Contrainte moyenne de Von Mises (m)

    ' 2 2 2 2 2 23m xm ym zm xm ym ym zm zm xm xym yzm zxm Si on dveloppe, on obtient

    Pour un tat plan de contrainte (surface z), on obtient

    222222' 321

    zxmyzmxymxmzmzmymymxmm

    222' 3 xymymxmymxmm

    495

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Chargements combins

    Puisque les contraintes quivalentes de Von Mises sont toujours positives, le diagramme du critre de Goodman modifi devient alors (exemple pour vie infinie)

    u

    m

    e

    a

    SS

    FS''

    1

    '

    m

    '

    a

    uSYS

    o450

    eS

    '' et pour

    escuritair Zone

    ma

    496

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    497

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    ke: Effet de concentration de contrainte En fatigue, on dfinit le facteur de concentration de contrainte

    Contrairement au facteur de concentration de contrainte statique (Kt)

    Kf divise la rsistance alors que Kt multiplie la contrainte Kf est corrig par un facteur supplmentaire q appel sensibilit lentaille ce qui le rend fonction du matriau en plus de la gomtrie et

    du mode de chargement Pour les calculs en fatigue, on utilise ke

    ionconcentrat avec enduranced' limiteionconcentrat sans enduranced' limitefK

    1111

    tfe KqKko q est la sensibilit dun matriau leffet

    dune concentration de contrainte 498

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Sensibilit lentaille q pour les contraintes normales

    de M, figure 5.14, page 62

    Se: Facteurs de correction

    499

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Sensibilit lentaille q pour les contraintes de cisaillement

    de M, figure 5.13, page 62

    Se: Facteurs de correction

    500

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?

    Exemple: Retour sur problme de larbre du moteur

    mm40

    BR

    NP 85T

    AB C

    AR mm240

    20 mm 16 mm

    Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre

    501

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution: Effet de concentration de contrainte Chargement de flexion et torsion

    Exemple: Arbre du moteur de la soufflante

    Au changement de section

    16 mm 20 mm

    mmr 0,2ekmmDmmdmmr 20160,2

    25,11620

    125,016

    0,2

    dDdr

    55,1ftK flexion 30,1tsK torsion

    Rappel des abaques de Kt la page suivante

    70,0fqPour r = 2 mm, HB = 111 et flexion 90,0sqPour r = 2 mm, HB = 111 et torsion

    502

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution:

    Exemple: Arbre du moteur de la soufflante

    1 1 0,722

    0,7 1,55 1 11 1e f f tfk

    q K

    Flexion Torsion

    787,01130,19,01

    111 tsses Kq

    k

    Quelle valeur de ke faut-il utiliser? Il y a deux approches 503

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Se: Facteurs de correction

    Utilisation de ke dans les calculs de fatigue: 2 approches 1. Celle du manuel LMENTS DE MACHINES:

    On applique la valeur la plus svre de ke au calcul de Se. Les contraintes alternes et moyennes sont calcules sans prendre en

    compte le facteur de concentration de contrainte.

    2. Celle de VON MISES: La valeur de ke = 1 est utilise pour le calcul de Se. Le facteur de concentration de contrainte est appliqu sur la contrainte

    plutt quau calcul de Se. Chaque composante de contrainte alterne et moyenne est alors calcule en tenant compte du facteur de concentration de contrainte appropri (on divise par le ke appropri).

    504

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?

    Exemple: Retour sur problme de larbre du moteur

    mm40

    BR

    NP 85T

    AB C

    AR mm240

    20 mm 16 mm

    Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre

    505

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution: Approche lments de machines AR A

    mm40mm240

    BR

    NP 85

    T

    AB

    C

    N515N8,85

    N8,600

    mm40mm240

    mm12

    N515mN 4,14

    mN 6,20

    V

    M x

    x

    1B2B

    T= 5,5 N.m

    T

    P Ra

    Rb

    Diagrammes V et M de larbre

    Chargement en flexion et torsion

    (1) ke le plus svre

    kef = 0,722 kes = 0,787

    Appliqu ke sur Se 0,88x0,85x0,9x0,975

    x0,722x1,0x170 80,6eS

    MPa

    Diminue la rsistance du matriau

    Moment de flexion au point dintrt

    506

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution: Approche lments de machines Chargement en flexion et torsion

    (2) Calculs des contraintes Von Mises (aucun effet de concentration de contrainte) - T = 5,5 Nm (constant), M = 14,4 Nm (flexion rotative), - le diamtre est d = 16 mm

    Appliquer le critre de Goodman

    08,35

    6416

    8104,144

    3

    axa MPaxI

    Mc MPa

    x

    JTr

    mx 8,6

    3216

    8105,54

    3

    MPaaxxaa 8,3508,353222'

    Pamxxmm 8,118,6303222'

    Contraintes quivalentes

    1,2

    3408,11

    6,808,35

    11''

    u

    m

    e

    a

    SS

    FS

    Utiliser ke ici

    507

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution: Approche Von Mises Chargement en flexion et torsion

    (1) ke =1 pour calculer Se

    (2) Utiliser le ke appropri pour amplifier les contraintes

    Utiliser ke ici

    0,88 0,85 0,9 0,975 1,0 1,0 170 111,6eS MPa

    06,49

    6416722,0

    8104,144

    3* a

    fexa MPa

    xx

    xx

    IkMc

    MPaxx

    xx

    JkTr

    es

    mx 6,8

    3216787,0

    8105,54

    3*

    MPaaxxaa 6,4906,49322*2*'

    Paxmxxmm 9,146,830322*2*'

    Appliquer le critre de Goodman Contraintes quivalentes

    0,2

    3409,14

    6,1116,49

    11''

    u

    m

    e

    a

    SS

    FS

    508

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution: Conclusion

    Facteur de scurit avec les deux approches lments de machines FS = 2,1 Von Mises FS = 2,0 Le FS est essentiellement le mme et gal 2 dans les deux

    cas. En gnral, lapproche lments de machines est toujours moins svre que celle de Von Mises.

    509

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)

    Matriaux

    Structures

    Chargements

    Ferreux

    Non ferreux

    Norme ASTM

    Courbe S-N (m = 0)

    Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)

    Se Se

    N 106 ou 500 x 106

    103

    0,9 Su

    Sf

    Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se

    S

    Courbe S-N (formules)

    Unique ( ou )

    Combins ( et )

    m = 0

    m 0

    Goodman

    u

    m

    f

    a

    SS

    FS 1

    Se ou

    Sf (vie finie) Se (vie infinie)

    N

    Contraintes quivalentes (Von Mises)

    a et m

    Sf

    N

    (Approche deM ou Von Mises)

    Dommage cumulatif (Loi de Miner)

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1 Rupture en fatigue?

    510

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Loi de Miner

    Cumul de dommage Concerne uniquement la vie finie (entre 103 et 106 cycles pour

    ferreux et 103 et 5 108 pour non-ferreux En vie finie, une pice soumise une contrainte compltement

    renverse Sfi peut supporter Ni cycles avant de briser. Si seulement ni cycles sont appliqus, la pice aura puis une

    fraction de sa vie gale ni / Ni.

    310 410 510 610 710

    a

    Nombre de cycles la rupture, N

    uS9,0

    eS

    fiS

    in iN

    Vie finie pour matriaux ferreux 511

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Loi de Miner

    Cumul de dommage (suite) Si la pice est soumise une succession Sf1, Sf2...Sfi...Sfn de

    contraintes compltement renverses pour des cycles n1, n2...ni...nn, cette pice se rupturera lorsque

    310 410 510 610 710

    a

    Nrupture, la cycles de Nombre

    uS9,0

    eS

    fiS

    in iN

    Vie finie pour matriaux ferreux

    n

    i i

    i

    Nn

    10,1

    Loi de Miner efiu SSS 9,0

    512

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Exemple : Une structure fabrique dun acier G1035 pour lequel Su = 555 MPa, SY = 460 MPa et Se = 75 MPa subit des chargements qui se rptent par blocs et qui induisent des contraintes non compltement renverses de : 1- a1 = 150 MPa et m1 = 140 MPa durant n1 = 2000 cycles 2- a2 = 85 MPa et m2 = 220 MPa durant n2 = 5000 cycles

    Combien de blocs de chargements la pice pourra-t-elle supporter avant de se rupturer?

    Un bloc

    t

    2a2m

    0

    1a1m 0

    513

    Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Solution : On calcule :

    MPa

    S

    S

    u

    m

    af 200

    5551401

    150

    1 11

    1

    meS

    uS

    1u

    mi

    fiai

    SS

    ai

    miO

    fiS

    cyclesxS

    SN

    ue SS

    u

    f 3500/75log3

    39,0/log3

    131 101,28500

    200109,0

    10

    071,0281002000

    1

    1 Nn

    MPa

    S

    S

    u

    m

    af 141

    5552201

    85

    1 22

    2

    Au niveau 2

    cyclesx

    SS

    Nue SS

    u

    f 3500/75log3

    39,0/log3

    232 104,100500

    141109,0

    10

    05,0100400

    50002

    2 Nn 826,8

    05,0071,011blocs N0

    i

    iNn

    514

  • Rsistance des matriaux II Fatigue

    Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.

    Formulaire type lexamen Fatigue Critre de Goodman

    1a me uS S

    1a mf uS S

    1a m

    e u

    FS

    S S

    1a m

    f u

    FS

    S S

    Facteur de correction 1

    1 1e tk

    q K

    Matriaux ferreux

    3

    log0,91000

    0,9e

    u

    SfS

    u

    SN

    S

    log 33

    0,9 0,9

    N

    f e

    u u

    S SS S

    Matriaux non ferreux

    5,7

    log0,91000

    0,9e

    u

    SfS

    u

    SN

    S

    log 35,7

    0,9 0,9

    N

    f e

    u u

    S SS S

    Contraintes quivalentes

    2 2 2 2 2 21 32a xa ya ya za za xa xya yza zxa

    2 2 2 2 2 21 32m xm ym ym zm zm xm xym yzm zxm

    Loi de Miner

    11

    ji

    i i

    n

    N

    11

    ji

    r r

    i i

    nn N

    N

    515

    Rsistance des matriaux II Fatigue

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