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Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Contenu
Motivation: conception en fatigue Caractrisation des matriaux sous chargement cyclique
Norme ASTM E-466 Dfinition de la courbe S - N
Calculs des facteurs de correction Caractristique du chargement externe
Critre de Goodman modifi Chargements combins contraintes de Von Mises
Cycles de chargement en fatigue (dommage cumulatif) Loi de Miner
445
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Motivation: conception en fatigue
Pour la majorit des applications, les contraintes dans la structure varient dans le temps: en intensit en direction
Rupture origine habituellement la surface de la pice Niveau de contrainte (S) qui cause la rupture en fatigue
est trs souvent infrieur SY (matriaux ductiles) Rupture se produit sur des pices aprs un certain temps
de fonctionnement N: nombre de cycle la rupture
446
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Mcanisme de rupture en fatigue
Sous leffet de contraintes cycliques, les dislocations glissent dans le rseau cristallin formation dintrusions et dextrusions en surface et de micro-fissures.
Initiation Propagation Rupture finale (~90%) (~10%) (1 cycle)
Facis de rupture
I
II
III
Glissement des dislocations
447
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Dtection des fissures
448
Ressuage: mthode de contrle non destructif qui va mettre en vidence les fissures par infiltration de liquide dans les mtaux, cramiques et composites
Autres mthodes: la radiographie, les ultrasons, les procds flux de fuite magntique, etc.
*: https://fr.wikipedia.org/wiki/Contr%C3%B4le_par_ressuage
Fissure sur un engrenage* Fissures sur un piston rvles par un pntrant fluorescent*
Mcanisme de rupture en fatigue
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Suspension dun vhicule Exemple: Conception en fatigue
Matriaux
Structures
Chargements
Proprits statiques (SY, Su) Fatigue (courbe S-N)
Suspension poutre dun vhicule (carbible.com)
Gomtrie Conditions dutilisation Composantes alternes et moyennes Analyse des contraintes
Analyse de dommage cumulatif Loi de Miner
Prdire la dure de vie en fatigue
449
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Suspension dun vhicule Exemple: Conception en fatigue
Suspension poutre dun vhicule (carbible.com)
Chargement en fonction du temps (mesur par un acclromtre ou jauge
de dformation)
Analyse de signaux (sparation en cycle de chargement) Dommage cumulatif
avec la loi de Miner
450
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Chargement dynamique (variable dans le temps)
max min
2a min
max
R max min
2m
Chargement compltement renvers* Chargement quelconque
*: Tir de Machine Design: An integrated Approach, 3rd edition, Pearson Eduction, 2006.
Contrainte moyenne Contrainte alterne Rapport des contraintes
1 cycle
451
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
452
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
453
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Introduction de la norme ASTM E-466
American Society for Testing and Materials (ASTM) Caractrisation des matriaux en fatigue
Obtenir la courbe S N du matriau (contrainte alterne pour un nombre de cycle la rupture donn)
Conditions normalises Chargement variable compltement renvers (m = 0) Contraintes normales seulement chantillon normalis (fini de surface, dimensions) Temprature ambiante (T = 25C) Aucune concentration de contraintes
454
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Montage de flexion rotative (essais haut cyclage)
Chargement variable compltement renvers de lchantillon Permet daccumuler un grand nombre de cycles rapidement Faire tourner jusqu rupture un point sur la courbe S - N
Introduction de la norme ASTM E-466
2/P
2/P P
t Temps,0a
a
Montage de flexion 4 points (V = 0 et M est constant au centre)
chantillon
'S
N
x
455
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Introduction de la norme ASTM E-466
Avantage de la flexion rotative: accumuler un grand nombre de cycles en relativement peu de temps En 24 heures, cette machine qui tourne 10 000 tours/min, accumule 14,4
millions de cycles compltement renverss sur lchantillon. Il lui faut 35 jours pour accumuler 500x106 cycles.
10 Hz, une machine de traction-compression mettrait 1,6 anne pour accumuler 500x106 cycles
'S
Nx
Selon ces conditions, il faut 35 jours pour obtenir un seul point sur le diagramme S N Rpter lessai diffrents niveaux de contrainte Flexion rotative
456
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Deux zones: (1) bas cyclage (< 103 cycles) et (2) haut cyclage (> 103 cycles) 1. La fatigue bas cyclage implique des dformations plastiques et dpasse
le cadre du cours
Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux
10 210 310 410 510 610 710 81010
'SuSuS9,0
'
eS
Bas cyclage Haut cyclage
N
500 x 106 pour matriaux non-ferreux
457
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Deux zones: (1) bas cyclage (< 103 cycles) et (2) haut cyclage (> 103 cycles) 2. La fatigue haut cyclage est distingue par la
- vie finie (Ferreux: 103 106 cycles / Non-ferreux: 103 5x108 cycles) - vine infinie (Ferreux: > 106 cycles / Non-ferreux: > 5x108 cycles)
Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux
10 210 310 410 510 610 710 81010
'SuSuS9,0
'
eS
Bas cyclage Haut cyclage
Vie finie Vie infinie
N
500 x 106 pour matriaux non-ferreux
Bien localis pour chantillons
normaliss
458
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Deux types de comportement en fatigue: matriaux ferreux (ex. acier, fonte) matriaux non-ferreux
(ex. aluminium, polymre) Sf: niveau de contrainte une vie finie N Se: limite dendurance
Contrainte compltement renverse en dessous de laquelle il y a peu de chances dobserver une rupture en fatigue
Proprits mcaniques de matriaux (ex. Su, SY) symbolise valeurs mesures sur chantillons normaliss
Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
S
Sf
N
459
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: limite dendurance Mesure lors dun lessai en fatigue sur un chantillon
normalis (ex. fini de surface lisse, temprature ambiante) Approche prcise mais lente et dispendieuse
Approxime par la mthode de compilation Valeur approximative mais rapide et conomique
Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux
Exemple de lapproche par compilation pour la fonte:
Les valeurs mesures de Se se situent entre 35 et 50% de la
valeur de Su (contrainte ultime)
460
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Rsum de lapproche par compilation Matriaux ferreux
Matriaux non-ferreux
Courbe S N: matriaux ferreux et non-ferreux
Acier au carbone et aciers allis
Alliages de cuivre
Fontes
Aluminium
ueu SSS 60,035,0'
MPaSSS eue 700 mais 5,0''
ueu SSS 50,035,0'
MPaSSS eue 165 mais 40,0 ''
ueu SSS 50,035,0'
usin lamin, forg, 40,0' ue SS coul 30,0' ue SS MPae 130S mais
' ueu SSS 50,035,0
' MPa 100 mais 40,0 '' eue SSS
461
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Rsum des diagrammes S- N Fatigue bas cyclage de fatigue vs. haut cyclage (>103 cycles) Matriaux ferreux
Vie finie < 106 cycles S = 0,9Su N = 103 cycles ; Se N = 106 cycles
Vie infinie > 106 cycles Matriaux non ferreux
Vie finie < 500x106 cycles S = 0,9Su N = 103 cycles ; Se N = 500x106 cycles
Vie infinie > 500x106 cycles
462
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Calculer
le niveau de contrainte lorsquon connait N
le nombre de cycle la rupture lorsquon connait Sf
Courbe S N: matriaux ferreux
3log3/1'
'
9,09,0loglog
N
u
euf S
SSS
u
e
u
f
SS
SS
N
9,0log
9,0log
13log'
'
310 410 510 610 710 8100
aS
cycles Vie,910N
0,9 uS
'
eS
'
fS
N
3log3/1'
'
9,09,0
N
u
euf S
SSS
ue SSu
fS
SN
9,0/log3
'
3'
9,010
Ces quations sont obtenues laide de la pente de la droite sur le graphique log-log dans le rgime de vie finie
463
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Calculer
le niveau de contrainte lorsquon connait N
le nombre de cycle la rupture lorsquon connait Sf
Courbe S N: matriaux non-ferreux
Ces quations obtenues laide de la pente de la droite sur le graphique log-log dans le rgime de vie finie
7,5
3log'
'
9,09,0loglog
N
u
euf S
SSS
u
e
u
f
SS
SS
N
9,0log
9,0log
7,53log'
'
7,5
3log'
'
9,09,0
N
u
euf S
SSS
ue SSu
fS
SN
9,0/log7,5
'
3'
9,010
310 410 510 610 710 8100
aS
cycles Vie,910
N
0,9 uS
'
eS
'
fS
N5
464
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
La limite d endurance obtenue avec un chantillon normalis (Se) en dimensions et en fini de surface dans un essai amplitude de contrainte compltement renverse ne correspond pas ncessairement aux conditions de service de la structure analyser
En service : la pice na pas ncessairement le mme fini de surface la pice na pas les mmes dimensions la valeur de la limite dendurance varie autour dune moyenne la temprature peut diffrer de celle du laboratoire il peut y avoir des concentrations de contraintes dans la pice le milieu dans lequel se trouve la pice peut tre corrosif ou agressif
465
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
La limite dendurance corrige se calcule :
ka = pour le fini de surface kb = pour l effet de grosseur kc = pour la fiabilit, les limites de variation de Se kd = pour l effet de temprature ke = pour l effet des concentrations de contrainte kf = pour des effets divers
'
e a b c d e f eS k k k k k k S
Se: Facteurs de correction
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
S
Sf
N
466
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
ka: fini de surface Un matriau plus rsistant, moins ductile a plus de sensibilit
des dfauts laisss en surface par le procd de mise en forme.
467
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
kb: influence de la grosseur de la pice Statistiquement, un plus grand volume de matriau sous
contrainte contient un plus grand nombre dimperfections Ces imperfections peuvent engendrer une microfissure et initier
une rupture par fatigue Pour les sections non-circulaires, il faut calculer un diamtre
quivalent Pour les sections circulaires:
kb = 1 d 7,6 mm 0,85 7,6 < d 50 mm 0,75 d > 50 mm
Chargement axial
kb = 1,0
Flexion et /ou torsion
468
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
kb: influence de la grosseur de la pice Effet du type dessai pour mesurer Se
'
(MPa)eS
(Se) uniaxial = 0,7 ( Se)flexion
RF: R. L. Norton Machine Design 469
Rsistance des matriaux II Fatigue
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kc: fiabilit Modifier la valeur moyenne de Se pour ladapter la fiabilit que lon veut accorder au calcul de la pice
Contrainte applique et la rsistance du matriau varient selon une distribution Gaussienne
Se: Facteurs de correction
Valeur moyenne de la contrainte applique Valeur moyenne de la
rsistance du matriau
Zone de rupture possible
Variation statistique (Distribution Gaussienne)
470
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
kc: fiabilit Fiabilit = 50% lorsquon utilise valeur moyenne de Se (kc=1) On utilise une valeur plus petite de kc pour augmenter la
fiabilit en fatigue de la structure (voir tableau)
Se: Facteurs de correction
S
rupture deFrquence
50'
eSReS
'
ZR
Tableau pour facteur kc (Drouin et al.)
471
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
kd: effet de la temprature Effet de la temprature est trs complexe. Les consquences
des tempratures leves sont : fluage (ex. dplacement des dislocations dans le rseau cristallin,
amorce de micro fissures) perte de rigidit cause dune chute du module dYoung perte de duret par rarrangement du rseau cristallin perte de rsistance ultime Su ou dcoulement SY
Se: Facteurs de correction
dkCT
CTT
0
0
71 pour 0,1
71 pour 273
344
Formule suggre pour valuer leffet de la temprature
472
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
kf: effets divers Les effets divers comprennent :
les contraintes rsiduelles les milieux agressifs (ex. eau, acides, alcalins, radiations)
Ces effets doivent tre tudis cas par cas et ne seront pas traits ici (donc, kf = 1 pour notre cours).
Se: Facteurs de correction
473
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?
Exemple: Arbre du moteur dune soufflante
mm40
BR
NP 85T
AB C
AR mm240
20 mm 16 mm
Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre
474
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution Se = 0,5 Su = 0,5 * 340 = 170 MPa (selon lapproche par compilation) ka = 0,88 (selon graphique p.22) kb = 0,85 (selon formule p.23, chargement flexion et torsion) kc = 0,90 (selon tableau p.26) kd = 344 / (273+80) = 0,975 (selon formule p.27) kf = 1 (selon p.28)
Exemple: Arbre du moteur de la soufflante
Par comparaison, SY = 190MPa
0,88 0,85 0,90 0,975 1,0 1,0 170 111,6 MPaeS
310 410 510 610 710 8100
aS
cycles Vie,910N
uS 0,9
MPa6,111Se
N
MPa170S'e
475
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
476
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
La rsistance en fatigue dun chantillon normalis est mesure laide dun essai amplitude de contrainte compltement renverse.
Il est possible que la structure tudier ne soit pas soumise une chargement compltement renvers
0t
m t
0
aa
ma
at0
ma ,
Contrainte moyenne Contrainte alterne Contrainte non-renverse
Suspension poutre dun vhicule
477
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
Deux cas extrmes Pour une contrainte statique, la rupture se produit un cycle (N
= 1) lors que la charge gale Su Pour une contrainte variable compltement renverse, la
rupture se produit N cycles en fonction de la charge applique Sf (vie finie) ou Se (vie infinie)
Que fait-on lorsque les deux composantes de la contrainte sont prsentes?
478
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Des essais exprimentaux ont dmontr que la prsence dune contrainte moyenne superpose une contrainte variable change la vie en fatigue du matriau
Si m > 0, la vie en fatigue diminue Si m < 0, la vie en fatigue augmente
Nous utiliserons lapproche conservatrice que le comportement en fatigue demeure le mme lorsque m < 0.
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
Par rapport m = 0
Se
N 103
0,9 Su
S
t0
479
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Approche pour obtenir le critre de Goodman
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
0mSe
0m
Courbes S N dun aluminium pour diffrentes valeurs de m
Courbes a en fonction de m une vie constante
a = 0; m = Su et m = 0; a = Sf ou Se
1ou
fe
a
SS
m
Normalisation de laxe a par rapport Sf ou Se
Les valeurs normalises se superposent quation de la droite = critre de Goodman
f
a
e
a
S
S
ou
m
a
uS uS
480
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Approche pour obtenir le critre de Goodman Pour m > 0 , lquation de la droite est
Vie finie
Vie infinie
Pour m < 0, on pose m = 0 et lquation du critre de rupture en fatigue devient
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
1ou
fe
a
SS
m
Normalisation de laxe a par rapport Sf ou Se
Les valeurs normalises se superposent quation de la droite = critre de Goodman
f
a
e
a
S
S
ou
uS
1u
m
e
a
SS
1u
m
f
a
SS
1e
a
S
ou 1f
a
S
481
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Rsum
t0
tension
am
t0
tension
ncompressio
aa
uS
uS9,0
fS
eS
1 310 610fNNlog
t
m m 0
uS
a
Essai normalis en fatigue (m = 0) plan
Dans les applications volume
Essai normalis en statique (a = 0) ligne
Goodman (vie finie) Goodman (vie infinie) 1
u
m
e
a
SS
1u
m
f
a
SS
Matriaux ferreux
m
482
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman: contrainte non-renverse
Application dun facteur de scurit sur le critre de dfaillance de Goodman
1a m
f u
FS
S S
Vie finie Vie infinie a
m
eS
uS
FSSS u
m
e
a 1
O
Selon le critre de Goodman, sur cette ligne, FS = 1,0
Zone scuritaire pour a et m en vie infinie
a
m
fS
uS
a
mO
1a m
e u
FS
S S
483
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman modifi
Lorsque la contrainte alterne est faible et que la contrainte moyenne est leve, le critre dcoulement doit tre vrifi
Illustration pour la vie infinie avec m > 0
a
m
eS
uSO
YS
YS
Yma S
ta
a m
t
a
m
Zone critique pour lcoulement
YS
t
484
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman modifi
Critre de dfaillance de Goodman modifi pour les diffrentes combinaisons de a et m possibles
maxYSFS
a
uSYS0m
on)(compressi0
m
fe SS ou
(tension)0
m
u
m
e
a
SS
FS 1
maxY
ma
Y SSFS
YS
a
eSFS
et pour escuritair Zone ma
Prendre le facteur de scurit le plus petit (fatigue vs. coulement)
485
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Critre de Goodman modifi En cisaillement, le diagramme de Goodman modifi est:
sYS
o45
0m
a
sf
se
S
Sou
escuritair zonema et pour
a
seSFS
max
sY
ma
sY SSFS
En cisaillement, la contrainte moyenne na pas deffet sur la rsistance en fatigue du matriau
Le facteur de scurit est le plus petit des deux calculs ci-dessus.
Vrifie lcoulement avec max un instant donn
486
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Problme : Le mcanisme suivant sert rgler les aubes directrices dans une turbine hydrolectrique. La force F sur la tige (fini de surface = poli) du mcanisme varie de -40 kN 100 kN dans le temps la frquence de 1Hz. On veut que le mcanisme fonctionne 24 heures/jour, pendant au moins 5 ans avant faillite. Tout le mcanisme est fabriqu en acier inoxydable S30400 pour lequel Su = 585 MPa et SY = 240 MPa.
a) Doit-on calculer ce mcanisme en vie finie ou infinie?
b) On demande le diamtre d de la tige verticale pour une fiabilit de 99,9% et FS = 2,5.
F
t0
kN70
kN70
kN30
FkN100
kN40
487
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Problme: diamtre de la tige
Solution 1 Hz, les cycles en 5 ans = 157x106 cycles (vie infinie) Facteurs de correction
ka = 1,0 fini poli miroir kb = 1 (chargement axial) kc = 0,753 kd = ke = kf = 1,0 Se = 0,5 Su = 0,5*585 = 292,5 MPa Se = 220,2 MPa (diminution de 25% de la limite dendurance)
Chargement (en fonction de d en mm)
kNFFFm 30240100
2minmax
kNFFFa 702)40(100
2minmax MPad
x
dxx
dFa
a 2
3
2
3
21089107044
MPad
x
dxx
dFm
m 2
3
2
3
2102,38103044
488
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Problme: diamtre de la tige
Solution (suite) Critre de Goodman
Vrifier lcoulement (en statique)
3 3
2 2
1 12,589 10 38,2 10
220,2 585a m
e u
FSx x
S S d d
34,25d mm
2
3102,38892405,2
dx
SFSma
Y
mmd 4,36Lcoulement dicte le design de la tige
489
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Problme : Si L1 = L2 sur le levier, la force sur la goupille au centre du levier vaut 2F = -80 200 kN. Calculer le diamtre de la goupille au centre du levier.
Solution: Mme matriau que la tige (Se = 165,2 MPa) Limite dendurance en cisaillement (selon Von Mises)
Sse = 0,577 Se = 95,3 MPa et SsY = 0,577 SY = 0,577*240 = 138,5 MPa
FF
F2
t
F
d
levier
goupille
F
F2
490
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Problme: Calcul de la goupille
2
3
22109,118704
344
34
dx
ddFa
a
2
3
22109,50304
344
34
dx
ddFa
m
Solution (suite) Effort tranchant dans la goupille)
AV
bIQV
34
max
kNVVVa 702)40(100
2minmax
kNVVVm 30240100
2minmax
Au centre de la goupille
FF
dt
F2
F mmdx
dSFSa
se 8,55109,118
3,955,2 32
mmdxx
dSFSma
sY
4,55109,50109,118
5,1385,2 332
sYS
o45
0m
a seS
escuritair zonema et pour
coulement
Fatigue (dicte le design)
491
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
492
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Chargements combins
Que fait-on lorsque des contraintes normales et de cisaillement sont prsentes en mme temps au mme point? (ex. flexion et torsion dans un arbre)
Il faut calculer les contraintes quivalentes de Von Mises (base sur lnergie de distorsion) partir des composantes alternes et moyennes des contraintes.
1. Regrouper toutes les contraintes alternes et moyennes ensemble 2. Calculer les contraintes Von Mises alternes (a) et moyennes (m)
xaya
za
xyaxza
yza
xmym
zm
xymxzm
yzm 'm'a
493
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Chargements combins
Contraintes quivalentes de Von Mises partir des composantes alternes et moyennes des contraintes. Contrainte alterne de Von Mises (a)
222222' 321
zxayzaxyaxazazayayaxaa
222222' 3 zxayzaxyaxazazayayaxazayaxaa Si on dveloppe, on obtient
Pour un tat plan de contrainte (surface z), on obtient 222' 3 xyayaxayaxaa
494
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Chargements combins
Contraintes quivalentes de Von Mises partir des composantes alternes et moyennes des contraintes. Contrainte moyenne de Von Mises (m)
' 2 2 2 2 2 23m xm ym zm xm ym ym zm zm xm xym yzm zxm Si on dveloppe, on obtient
Pour un tat plan de contrainte (surface z), on obtient
222222' 321
zxmyzmxymxmzmzmymymxmm
222' 3 xymymxmymxmm
495
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Chargements combins
Puisque les contraintes quivalentes de Von Mises sont toujours positives, le diagramme du critre de Goodman modifi devient alors (exemple pour vie infinie)
u
m
e
a
SS
FS''
1
'
m
'
a
uSYS
o450
eS
'' et pour
escuritair Zone
ma
496
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
497
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
ke: Effet de concentration de contrainte En fatigue, on dfinit le facteur de concentration de contrainte
Contrairement au facteur de concentration de contrainte statique (Kt)
Kf divise la rsistance alors que Kt multiplie la contrainte Kf est corrig par un facteur supplmentaire q appel sensibilit lentaille ce qui le rend fonction du matriau en plus de la gomtrie et
du mode de chargement Pour les calculs en fatigue, on utilise ke
ionconcentrat avec enduranced' limiteionconcentrat sans enduranced' limitefK
1111
tfe KqKko q est la sensibilit dun matriau leffet
dune concentration de contrainte 498
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Sensibilit lentaille q pour les contraintes normales
de M, figure 5.14, page 62
Se: Facteurs de correction
499
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Sensibilit lentaille q pour les contraintes de cisaillement
de M, figure 5.13, page 62
Se: Facteurs de correction
500
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?
Exemple: Retour sur problme de larbre du moteur
mm40
BR
NP 85T
AB C
AR mm240
20 mm 16 mm
Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre
501
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution: Effet de concentration de contrainte Chargement de flexion et torsion
Exemple: Arbre du moteur de la soufflante
Au changement de section
16 mm 20 mm
mmr 0,2ekmmDmmdmmr 20160,2
25,11620
125,016
0,2
dDdr
55,1ftK flexion 30,1tsK torsion
Rappel des abaques de Kt la page suivante
70,0fqPour r = 2 mm, HB = 111 et flexion 90,0sqPour r = 2 mm, HB = 111 et torsion
502
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution:
Exemple: Arbre du moteur de la soufflante
1 1 0,722
0,7 1,55 1 11 1e f f tfk
q K
Flexion Torsion
787,01130,19,01
111 tsses Kq
k
Quelle valeur de ke faut-il utiliser? Il y a deux approches 503
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Se: Facteurs de correction
Utilisation de ke dans les calculs de fatigue: 2 approches 1. Celle du manuel LMENTS DE MACHINES:
On applique la valeur la plus svre de ke au calcul de Se. Les contraintes alternes et moyennes sont calcules sans prendre en
compte le facteur de concentration de contrainte.
2. Celle de VON MISES: La valeur de ke = 1 est utilise pour le calcul de Se. Le facteur de concentration de contrainte est appliqu sur la contrainte
plutt quau calcul de Se. Chaque composante de contrainte alterne et moyenne est alors calcule en tenant compte du facteur de concentration de contrainte appropri (on divise par le ke appropri).
504
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Larbre du moteur dune soufflante est usin dans un acier au carbone G10150, duret HB = 111 et pour lequel SY = 190 MPa et Su = 340 MPa. Pour cette application, lingnieur juge quune fiabilit de 90% est adquate. En opration, larbre peut atteindre une temprature de 80C. Quelle est la valeur de Se?
Exemple: Retour sur problme de larbre du moteur
mm40
BR
NP 85T
AB C
AR mm240
20 mm 16 mm
Image de la soufflante Arbre et chargement externe Dimensions de larbre
505
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution: Approche lments de machines AR A
mm40mm240
BR
NP 85
T
AB
C
N515N8,85
N8,600
mm40mm240
mm12
N515mN 4,14
mN 6,20
V
M x
x
1B2B
T= 5,5 N.m
T
P Ra
Rb
Diagrammes V et M de larbre
Chargement en flexion et torsion
(1) ke le plus svre
kef = 0,722 kes = 0,787
Appliqu ke sur Se 0,88x0,85x0,9x0,975
x0,722x1,0x170 80,6eS
MPa
Diminue la rsistance du matriau
Moment de flexion au point dintrt
506
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution: Approche lments de machines Chargement en flexion et torsion
(2) Calculs des contraintes Von Mises (aucun effet de concentration de contrainte) - T = 5,5 Nm (constant), M = 14,4 Nm (flexion rotative), - le diamtre est d = 16 mm
Appliquer le critre de Goodman
08,35
6416
8104,144
3
axa MPaxI
Mc MPa
x
JTr
mx 8,6
3216
8105,54
3
MPaaxxaa 8,3508,353222'
Pamxxmm 8,118,6303222'
Contraintes quivalentes
1,2
3408,11
6,808,35
11''
u
m
e
a
SS
FS
Utiliser ke ici
507
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution: Approche Von Mises Chargement en flexion et torsion
(1) ke =1 pour calculer Se
(2) Utiliser le ke appropri pour amplifier les contraintes
Utiliser ke ici
0,88 0,85 0,9 0,975 1,0 1,0 170 111,6eS MPa
06,49
6416722,0
8104,144
3* a
fexa MPa
xx
xx
IkMc
MPaxx
xx
JkTr
es
mx 6,8
3216787,0
8105,54
3*
MPaaxxaa 6,4906,49322*2*'
Paxmxxmm 9,146,830322*2*'
Appliquer le critre de Goodman Contraintes quivalentes
0,2
3409,14
6,1116,49
11''
u
m
e
a
SS
FS
508
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution: Conclusion
Facteur de scurit avec les deux approches lments de machines FS = 2,1 Von Mises FS = 2,0 Le FS est essentiellement le mme et gal 2 dans les deux
cas. En gnral, lapproche lments de machines est toujours moins svre que celle de Von Mises.
509
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
MEC2405: Rsistance des matriaux II Diagramme de lanalyse en fatigue Par D. Therriault (Avril 2005)
Matriaux
Structures
Chargements
Ferreux
Non ferreux
Norme ASTM
Courbe S-N (m = 0)
Se (vie infinie) Sf (vie finie) N (nbre cycles rupture)
Se Se
N 106 ou 500 x 106
103
0,9 Su
Sf
Facteurs de correction Se = ka.kb.kc.kd.ke.kf.Se
S
Courbe S-N (formules)
Unique ( ou )
Combins ( et )
m = 0
m 0
Goodman
u
m
f
a
SS
FS 1
Se ou
Sf (vie finie) Se (vie infinie)
N
Contraintes quivalentes (Von Mises)
a et m
Sf
N
(Approche deM ou Von Mises)
Dommage cumulatif (Loi de Miner)
n
i i
i
Nn
10,1 Rupture en fatigue?
510
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Loi de Miner
Cumul de dommage Concerne uniquement la vie finie (entre 103 et 106 cycles pour
ferreux et 103 et 5 108 pour non-ferreux En vie finie, une pice soumise une contrainte compltement
renverse Sfi peut supporter Ni cycles avant de briser. Si seulement ni cycles sont appliqus, la pice aura puis une
fraction de sa vie gale ni / Ni.
310 410 510 610 710
a
Nombre de cycles la rupture, N
uS9,0
eS
fiS
in iN
Vie finie pour matriaux ferreux 511
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Loi de Miner
Cumul de dommage (suite) Si la pice est soumise une succession Sf1, Sf2...Sfi...Sfn de
contraintes compltement renverses pour des cycles n1, n2...ni...nn, cette pice se rupturera lorsque
310 410 510 610 710
a
Nrupture, la cycles de Nombre
uS9,0
eS
fiS
in iN
Vie finie pour matriaux ferreux
n
i i
i
Nn
10,1
Loi de Miner efiu SSS 9,0
512
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Exemple : Une structure fabrique dun acier G1035 pour lequel Su = 555 MPa, SY = 460 MPa et Se = 75 MPa subit des chargements qui se rptent par blocs et qui induisent des contraintes non compltement renverses de : 1- a1 = 150 MPa et m1 = 140 MPa durant n1 = 2000 cycles 2- a2 = 85 MPa et m2 = 220 MPa durant n2 = 5000 cycles
Combien de blocs de chargements la pice pourra-t-elle supporter avant de se rupturer?
Un bloc
t
2a2m
0
1a1m 0
513
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Solution : On calcule :
MPa
S
S
u
m
af 200
5551401
150
1 11
1
meS
uS
1u
mi
fiai
SS
ai
miO
fiS
cyclesxS
SN
ue SS
u
f 3500/75log3
39,0/log3
131 101,28500
200109,0
10
071,0281002000
1
1 Nn
MPa
S
S
u
m
af 141
5552201
85
1 22
2
Au niveau 2
cyclesx
SS
Nue SS
u
f 3500/75log3
39,0/log3
232 104,100500
141109,0
10
05,0100400
50002
2 Nn 826,8
05,0071,011blocs N0
i
iNn
514
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing.
Formulaire type lexamen Fatigue Critre de Goodman
1a me uS S
1a mf uS S
1a m
e u
FS
S S
1a m
f u
FS
S S
Facteur de correction 1
1 1e tk
q K
Matriaux ferreux
3
log0,91000
0,9e
u
SfS
u
SN
S
log 33
0,9 0,9
N
f e
u u
S SS S
Matriaux non ferreux
5,7
log0,91000
0,9e
u
SfS
u
SN
S
log 35,7
0,9 0,9
N
f e
u u
S SS S
Contraintes quivalentes
2 2 2 2 2 21 32a xa ya ya za za xa xya yza zxa
2 2 2 2 2 21 32m xm ym ym zm zm xm xym yzm zxm
Loi de Miner
11
ji
i i
n
N
11
ji
r r
i i
nn N
N
515
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. 516
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. 517
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. 518
Rsistance des matriaux II Fatigue
Prpar par Daniel Therriault, ing. et Marie Bernard, ing. 519