Licence 2-ieme annee, parcours PC

11 semaines de cours, 10 semaines de TD

CH 1. Fonctions de plusieurs variables (1,5 semaines)

• Une description tres sommaire sur le contenu et le but de notre cours: etendre le savoir-faireen matiere d’analyse d’une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3(espace); de la notion de proximite (continuıte, derivabilite) au calcul des masses (integrale).

• Notion d’une fonction de plusieurs variables: numerique, vectorielle; voisinage d’un pointdans l’espace ou le plan; normes euclidiennes; operations sur les fonctions: some, produit(?), composantes, composees.

• Le graphe d’une fonction de plusieurs variables: exemple de x2 − y2.

• La limite d’une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: (xy)/√

x2 + y2,(xy)/(x2 + y2) a l’origine du plan.

• La definition de la continuite, en un point et dans un domaine. Exemples: f(x, y) =y sin(x/y) si y = 0, f(x, 0) = 0.

• Des resultats sur la continuite: toute fonction rationnelle est continue sur sont domainede definition; la continuite d’une fonction a valeurs vectorielles et celle de ses fonctionscomposantes; thm de la composee de deux fonctions continues.

CH 2. Calcul differentiel (4,5 semaines)

• Rappel de la notion de fonction derivee dans le cas d’une variable: la notation f(t0 + δ) ≈f(t0) + f ′(t0)δ, la pente du graphe.

• Derivees partielles de premier ordre, dans le cas de deux variables, avec les exemples:x + 3xy2 au point (0, 1), y sin(x/y) au point (0, 0) ou la fonction est supposee nulle.

• Derivee directionnelle: j’ai donne la relation D~vf(x0, y0) = α∂f∂x (x0, y0)+β ∂f

∂y (x0, y0) pour~v = (α, β) (je suppose que tout vecteur directeur est unitaire), mais prudence: cette relationexige une condition tres forte...

• Matrice de Jacobi et composee de deux fonctions.(1) F (t) = f(x(t), y(t)) au cas particulier: x et y sont affines en t. (2) F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v))au cas particulier: coord. polaires (r, θ)− > (x, y).

• Le changement de coord.: definition et exemples (polaire, spherique, cylindrique, et leurreciproque, leur matrice jacobienne)

• La differentiabilite par analogie avec la derivee en cas d’une seule variable: le plan tangentremplace alors la droite tangente, dessin avec x2 + y2 + 1.

• Des proprietes concernant la somme, le produit de fonctions differentiables, la differentielled’une application lineaire ou affine, etc,

• La differentiabilite et la continuite, la derivabilite ”partielle”; la relation df = fxdx+ fydy(en cas de deux variable, a valeurs numeriques); la condition C1.

1

• Le plan tangent Z−f(x0, y0) = fx(x0, y0)(X−x0)+fy(x0, y0)(Y −y0); deux interpretationssur dx, dy: infinitesimale, projection lineaire sur R.

• TAF (Thm Accroisements Finis) pour le cas de 2 variables et a valeurs numeriques, al’aide de la version d’une variable et de la relation dF/dt = fxh + fyk ou F (t) = f(x0 +th, y0 + tk). Ainsi I(negalites)AF pour estimer la varaition, avec l’exemple de calcul del’erreur eventuellement commise dans la mesure de l’aire d’un rectangle.

• D.P. d’ordre deux, avec le thm de Schwarz: Si fxy et fyx sont continues alors elles sontegales.

• Operateurs classiques sur R3: gradient, divergence, Laplacien, rotationnel, etc...

.CH 3. Intgrales multiples (2,5 semaines)

• Rappel sur le calcul integral d’une variable: mesure de l’aire du domaine sous le graphed’une fonction, construction a la Riemann, lien avec les primitives.

• Integrale double: mesure du volume d’un ”cylindre” delimite verticalement par deuxsurfaces au dessus d’un compact (domaine ferme et borne: une abstraction de la finitude...); compacts elementaires par rapport a x ou y; theoreme de Fibini.

• Coordonnees polaires et changement de variables :∫

Kfdxdy =

∫Ω

f Φdet(JacΦ)dudv

pour φ : (u, v) → (x, y),K = Φ(Ω). Exemple de calcul : l’integrale de x−y1/2 sur le premierquart d’un ellipse modifie d’equation x1/2 + y1/4 < 1

• Integrale triple: definition, fubini, coordonnees spheriques et cylindriques.

• Exemples d’applications en physique: pression d’un barrage; densite de masse et inertie;centre de gravite; champ d’attraction ...

.CH 4. Theoremes de Green, Stokes, Gauss... (2,5 semaines)

• Forme differentielle de degre un et son integrabilite: s’il existe F avec dF = w : lesfonctions coefficients de dx, dy, dz verifient des edp du premier ordre.

• Integrales curvilignes de premiere espece et de seconde espece, probleme de la dependancedu chemin ou les points d’extremite. Exemples de calculs

• Formule de Green. Application au probleme de l’integrabilite: si une forme est integralbleet le domaine est simplement connexe, alors la primitive existe et peut etre calculee parintegration (curviligne). Contre exemple: (xdy − ydx)/(x2 + y2) le long le cercle unite.

• Integrales sur les surfaces sans orientation: elements de l’aire pour une surface parametree,independance du parametrage; Exemples.

• Integrales sur les surfaces munies d’une orientation (seconde espece): vecteur normal aune surface, flux a traverse une surface. Exemples.

• Formule de Stokes et Gauss.

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Ch. 1 – Fonctions de plusieurs variables : Limites et continuite

1.1) Generalites sur Rn – a) Introduction (Reperes, les coordonnees d’un point; sous-ensembles de R2 ou R3 : droite, disque, sphere, plan...). b) Exemples de fonctions deplusieurs variables: representation de z = f(x, y) := x2 + y2, z = f(x, y) := x2 − y2 et deleurs courbes de niveau. c) Norme et distance euclidiennes, produit scalaire; definition d’unenorme de Rn.1.2) Limite d’une application en un point – a) Voisinage d’un point, approximitede deux points, “boules” de Rn. b) limite d’une application en un point: definition, enterme de suites, exemples de calcul. c) proprietes (convergence par composantes, operationselementaires, unicite, “sous-limites”).1.3) Continuite – a) Definition et exemples. b) Proprietes (continuite par composantes,operations elementaires, composee de deux fonctions continues, toute application rationnelleest continue dans son domaine de definition, etc...).

Exercice 1Tracer le domaine de definition pour chacune des fonctions suivantes.

a. f(x, y) =√

x + y. b. f(x, y) =√

2x + y2.

c. f(x, y) =1√

x + y. d. f(x, y) = log(x + 5y).

e. f(x, y) =√

x sin y. f. f(x, y, z) =1

x + y + |z|.

g. f(x, y, z) =√

4− x2 − y2 − z2.

Exercice 2Illustrer par un dessin dans R3 la surface definie par z = −xy et indiquer les courbes deniveau correspondant respectivement a z = 1 et z = −1.

Exercice 3Pour tout ~v = (x, y) ∈ R2, on pose ‖~v‖1 = |x|+ |y|, ‖~v‖2 =

√x2 + y2 ; on rappelle que ‖~v‖2

est la norme euclidienne de ~v.

a. Verifier que ‖ ‖1 est une norme sur R2.

b. Representer dans R2 les ensembles suivants :

~v ∈ R2 : ‖~v‖1 < 1, ~v ∈ R2 : ‖~v‖1 ≤ 1, ~v ∈ R2 : ‖~v‖1 = 1.

c. Verifier que

~v ∈ R2 : ‖~v‖2 <√

2/2 ⊂ ~v ∈ R2 : ‖~v‖1 < 1 ⊂ ~v ∈ R2 : ‖~v‖2 < 1.

Exercice 4Determiner si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0, 0) et donner sa valeur sielle existe.

a.x2 − y2

x2 + y2. b.

x2 − 2xy + y2

x2 + y2.

3

c.xy + y2

x2 + 4xy + y2. d.

|x− y|x2 − 2xy + y2

.

e. e−|x−y|

x2−2xy+y2 . f. |x|y.

g. |x|1/y. h.sinx

cos y − chx.

i.x2 + y2

x4 + y4. j.

x3 − y3

x2 + y2.

Exercice 5Etudier la continuite des fonctions suivantes.

a. f(x, y) =

(x + 2y)3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 sinon.

b. f(x, y) =

sin(xy)

ysi y 6= 0,

x sinon.

c. f(x, y) =

e−

x2|y| si y 6= 0,

0 sinon.

d. f(x, y) =

exy − 1x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 sinon.

Exercice 6

a. Verifier que la fonction definie pour (x, y) 6= (0, 0) par f(x, y) =x2y2

x2y2 + (x− y)2possede

la propriete suivante : les limites iterees

limx→0

limy→0

f(x, y), limy→0

limx→0

f(x, y)

existent et sont egales mais f n’a pas de limite en (0, 0).

b. Verifier que la fonction definie pour xy 6= 0 par f(x, y) = (x + y) sin1x

sin1y

possede la

propriete suivante : aucune des limites iterees

limx→0

limy→0

f(x, y), limy→0

limx→0

f(x, y)

n’existe mais f a bien la limite nulle en (0, 0).

4

Ch. 2 – Calcul differentiel dans Rn

2.1) Derivees partielles de premier ordre et derivees directionnelles – a) Definition,notations, representation graphique. b) Exemples de calcul. c) Lien avec la continuite (siles d.p. de 1er ordre existent et sont bornees alors la fonction est continue.) d) Deriveesdirectionnelles : Definition, expression en termes des derivees partielles.2.2) Differentielle et matrice Jacobienne – a) Interpretation geometrique de la diffe-rentiabilite, plan tangent. b) La differentielle en un point, lien avec la continuite. c) Ladifferentielle exprimee en termes de derivees partielles, matrice Jacobienne. d) C1 et ladifferentiabilite. e) La differentielle totale, inegalite des accroissements finis, et applicationau calcul des erreurs.2.3) Changements de coordonnees – a) Derivees partielles de fonctions composees. b)Changement de coordonnees, definition et exemples (cas linaires ou affine: coord. carte-siennes). c) Coordonnees polaires, cylindriques et spheriques. d) (Complements) Deriveesdu secondre.2.4) Operateurs classiques sur R3 – a) Grandient d’un champs scalaire: definition,exemple, linearite; produit; champ de gradients. b) Divergence d’un champ vectoriel: item(exple: ~V = r/r) ... c) Rotationnel d’un champ vectoriel: item, champ de rotationnels. d)Laplacien, Operateur Nabla, avec des produits vectoriels.

Exercice 1Calculer, en chaque point de leur domaine de definition, les derivees partielles de premierordre pour les fonctions suivantes.

a. 3x/y. b. cos(x2 + y).

c. arctany

x2. d.

1√1 + x + y2 + z2

.

e. y sin(xz). f. tan(arctanx + arctan y).

Exercice 2Etudier la continuite, ainsi que l’existence et la continuite des derivees partielles, des fonc-tions definies par :

a. f(x, y) =x|y|√x2 + y2

, si (x, y) 6= 0, f(0, 0) = 0.

b. f(x, y) = y2 sinx

y, si y 6= 0, f(x, 0) = 0.

Exercice 3Calculer pour chacune des fonctions suivantes la derivees directionnelle dans la directiondonnee.

a. sinx + cos y en (0, 0) dans la direction dirigee par (cos θ, sin θ) avec θ = 0, π/6 ou π/3.

b. z2 − x2 − y2 en (1, 0, 1) dans la direction dirigee par (4, 3, 0).

c. xyz − xy − yz − zx + x + y + z en (2, 2, 1) dans la direction de (2, 2, 0).

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d. xz2 + y2 + z3 en (1, 0,−1) dans la direction de (2, 1, 0).

Exercice 4Verifier que la fonction f(x, y) = (xy)1/3 est continue, que ses derivees partielles ∂xf , ∂yfexistent a l’origine mais que la derivee directionnelle n’existe dans aucune autre direction.

Exercice 5Verifier que

√|xy| n’est pas differentiable en (0, 0).

Exercice 6Trouver l’equation du plan tangent a la surface definie par z = f(x, y) au point P = (x0, y0)dans chacun des cas suivants.

a. f(x, y) = 3x2 + 4y2, P = (0, 1).

b. f(x, y) = 2 cos(x− y) + 3 sinx, P = (π, π/2).

c. f(x, y) =√

x2 + y2, P = (1, 2).

Exercice 7Verifier que le plan tangent a la surface quadratique ax2 + by2 + cz2 = 1 au point (x0, y0, z0)admet pour equation ax0X + by0Y + cz0Z = 1.

Exercice 8

Considerons la fonction f definie sur R2 par f(x, y) =x2y2

(x2 + y2)αsi (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) =

0, ou α est un nombre reel. Pour quelles valeurs de α, la fonction f est-elle continue sur R2

differentiable sur R2 ? de classe C1 sur R2 ?

Exercice 9

Etudier la differentiabilite en (0, 0) de la fonction definie par f(x, y) =x3y

x4 + y2si (x, y) 6=

(0, 0), f(0, 0) = 0.

Exercice 10

Considerons la fonction f definie sur R2 par f(x, y) =x3 − y3

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.

a. Etudier la continuite de f sur R2.

b. Determiner les derivees partielles premieres de f sur R2. La fonction f est-elle differen-tiable sur R2?

c. La fonction φ : R → R est definie par φ(t) = (u(t), v(t)), ou u(t) = t et v(t) = −t. PosonsF = f φ. Calculer F ′(0) et A = ∂f

∂x (0, 0)u′(0) + ∂f∂y (0, 0)v′(0).

Exercice 11

Considerons la fonction f definie sur E = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 par f(x, y) = (x2

2y,y2

2x).

a. Montrer que f est differentiable sur E.

b. Ecrire la matrice jacobienne de f sur E.

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c. Montrer que f est une bijection de E sur E.

d. On pose g = f−1. Determiner g et verifier que g est differentiable sur E.

e. Ecrire la matrice jacobienne de g sur E.

Exercice 12Calculer, en chaque point de leur domaine de definition, les derivees partielles de secondordre des fonctions suivantes.

a.x− y

x + y. b. y lnx.

c. e−x2+y2

4z . d.1√

x2 + y2 + z2.

Exercice 13Soit φ : R2 → R2 l’application definie par φ(x, y) = (x + y, x + my), ou m ∈ R est unparametre.

a. A quelle condition la matrice jacobienne de φ est-elle injective ?

b. A quelle condition φ est-il un changement de variables ?

Exercice 14

a. Verifier que f(x, y) = ln(x2 + y2) satisfait l’equation de Laplace∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2= 0.

b. Montrer que si g(x, y) est solution de l’equation de Laplace, alors la fonction composeeG(x, y) = g(

x

x2 + y2,

y

x2 + y2) l’est aussi.

Exercice 15L’expression “df = fxdx + fydy” permet d’estimer la variation de f lorsque les variablesvarient de x a x + dx et de y a y + dy avec dx, dy suffisamment petits.

a. Donner une valeur approximative a la variation de (x + y)/(x − y) lorsque x varie dex = 2 a x = 2, 5 et y de 4 a 4, 5.

b. Donner une valeur approchee de ln((1, 02)1/4 + (0, 96)1/6 − 1) et de e0,2/0, 9.

c. Les longueurs x et y des deux cotes de l’angle droit d’un triangle rectangle sont connuesavec une precision inferieure ou egale respectivement a h et k. Encadrer l’erreur avec laquellesera calculee l’aire du triangle.

Exercice 16La periode T d’un pendule, exprimee en secondes, est donnee par la formule T = 2π

√`/g

ou ` est sa longueur exprimee en metres et g l’acceleration de la pesanteur en metres passeconde au carre.

a. Calculer T pour ` = 2m, g = 9, 81m/s2 et π = 3, 14.

b. Estimer l’incertitude sur T sachant que ∆π = 10−2, ∆` = 10−3m et ∆g = 10−2m/s2.

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Exercice 17Deux resistances R1 et R2, respectivement de 30Ω et 40Ω sont connues a 0, 5%.

a. Le montage en series des resistances R1 et R2 fournit une resistance equivalente R =R1 + R2. Calculer R et estimer la precision du resultat.

b. Reprendre la question precedente, lorsque les resistances sont montees en parallele,sachant qu’alors 1/R = 1/R1 + 1/R2.

Exercice 18Calculer grad r, grad r2, grad 1/r, grad f(r), avec f : R → R et

r =√

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

Exercice 19Calculer div ~r ou ~r = x~i + y~j + z~k.

Exercice 20Calculer div (~r × ~c) ou ~r = x~i + y~j + z~k et ou ~c est un vecteur constant.

Exercice 21Exprimer rot (φ ~A) en termes de rot ~A.

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Ch. 3 – Integrales multiples

3.1) Integrale double – a) Revisiter∫ b

aF ′

x(x)dx = F (b)−F (a) et∫ b

af φ φ′dt =

∫ φ(b)

φ(a)fdx;

somme de Riemann et aire d’un domaine dans le plan. b) Integrale double vue comme vol-ume; construction analytique generale (somme de Riemann en 2D). c) Ordre d’integration; Fubini. d) En coordonnees polaires.3.2) Integrale triple – a) Definition ; exemples de calculs. b) Coordonnees spheriques etcylindriques.3.3) Applications en geometrie et en physique – le volume, la masse, le momentd’inertie, le champ d’attraction ...

Exercice 1Calculer

∫∫D

(x2 + y2)dx dy, ou D est le triangle de sommets A(0, 0), B(1, 0) et C(1, 1).

Exercice 2Calculer

∫∫D

xy2dx dy, ou D est le losange de sommets A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2) et D(−1, 1).

Exercice 3On pose

D = (x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ x + y ≤ 4, f(x, y) =1

(x + y)(x2 + 1).

a. Dessiner le domaine D.

b. Donner les deux ecritures du theoreme de Fubini pour I =∫∫

D

f(x, y)dx dy.

c. Calculer I.

Exercice 4Calculer l’ integrale double

∫∫D

f(x, y)dx dy.

a. f(x, y) = 1(x2+1)(y2+1) , D = (x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x.

b. f(x, y) = cos(xy), D = (x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π2x.

c. f(x, y) = ey2, D = (x, y)|0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

d. f(x, y) = (x+y)2

x2+y2+1 , D = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1.

e. f(x, y) = x−yx2+y2 , D = (x, y)|y ≥ 0, x2 + y2 − x ≥ 0, x2 + y2 − 2x ≤ 0.

Exercice 5Calculer le volume de la partie de 3 delimitee par les surfaces definies par les equationsy2 = 4− 3x, y2 = x, z = 1 et z = −2.

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Exercice 6Soit E la partie de 3 delimitee superieurement par la sphere x2+y2+z2 = a2 et inferieurementpar le cone d’equation x2 + y2 = z2 tanα, avec 0 ≤ α ≤ π et z ≥ 0. Calculer le volume deE.

Exercice 7Soit D1 = (x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1.

a. Calculer I1 =∫∫∫

D1

(x2 + y2 + z2)dx dy dz.

En deduire la valeur de I2 =∫∫∫

D1

x2dx dy dz.

b. Soit D2 = (x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 ≤ 1. Calculer I3 =∫∫∫

D2

(x2 +

y2 + z2)dx dy dz.

Exercice 8Soit Γ = (0, z2 +1, z)|1 ≤ z ≤ 2 une courbe contenue dans le plan Oyz, et soit D la solidede revolution obtenue en faisant tourner Γ autour de l’axe Oz. Calculer le volume de D.

Exercice 9Soient a > 0, R > 0 et soit D le disque de centre (0, a, 0) et de rayon R dans le plan Oyz.Calculer le volume du tore plein T obtenu en faisant tourner D autour de l’axe Oz.

Exercice 10Calculer le moment d’inertie d’un solide homogene compris entre les cylindres x2 + y2 = Ret x2 + y2 = R′ (R > R′) et les plans z = h et z = −h, par rapport a

a. l’axe Oz,

b. l’axe Ox.

Exercice 11Determiner la masse et le moment d’inertie relatif a un diametre d’une sphere dont la densitecroıt lineairement avec la distance au centre, partant de la valeur µ0 au centre jusqu’a lavaleur µ1 a la surface.

Exercice 12Supposons que la terre est une sphere de rayon R pour laquelle la densite a une distance rdu centre est de la forme ρ = A − Br2 et la densite a la surface est 2 1

2 fois la densite del’eau, la densite moyenne etant 5 1

2 fois celle de l’eau. Montrer que l’attraction a un pointinterieur est egale a 1

11g rR (20− 9 r2

R2 ), ou g est la valeur de la gravite a la surface.

Exercice 13Determiner le centre de gravite du huitieme de la sphere, supposee homogene : x2+y2+z2 ≤1 et limite par : x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0.

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Ch. 4 – Theoremes de Green, Gauss, Stokes

3.1) Integrale curviligne – a) Calculs symboliques sur dx, dy, dz; differentielle totaleet 1-forme. b) Integrale curviligne

∫Γ

ω d’une 1-forme ω le long un chemin Γ; exemples decalculs. c) Integrale curviligne de seconde espece; exemples. d) D’une integrale curviligne aune integrale double dans le plan: formule de Green.3.2) Integrale sur une surface – a) Element unite de l’aire d’une surface parametrisee.b) Integrale sur une surface sans orientation. c) Vecteur normal, le flux d’un champs etintegrale sur une surface orientee. d) D’une integrale double a une integrale triple : Formulede Gauss. e) D’une integrale curviligne a une integrale double sur une surface : Formule deStokes.

Exercice 1Evaluer l’integrale curviligne I =

∫x2dx − xydy prise entre l’origine et le point (1, 1) le

long de

a. la droite y = x (parametree par y = x = t, t ∈ [0, 1]),

b. la parabole y2 = x (parametree par x = t2, y = t, t ∈ [0, 1]),

c. le segment (0, 1) de l’axe des x et la droite x = 1.

Exercice 2Calculer l’integrale curviligne I =

∫AB

√xdy − [

√x ln(x + 1)]dx, A et B etant les points

d’abscisses 0 et 1 sur la courbe y = (x− 1) ln(x + 1).

Exercice 3Soit Γ = x2 + y2 + z2 = 1 ∩ x2 + y2 = x, z ≥ 0 qui est, vu du point (1/2, 0, 0), orienedans le sens des aiguilles d’une montre. Calculer le travail effectue par le champ de force~F = (y2, z2, x2) suivant Γ.

Exercice 4Appliquer la formule de Green a l’integrale curviligne

∫C

Adu + Bdv pour les fonctions

suivantes, chaque chemin C etant pris dans le sens positif le long le domaine D donne(C = ∂+D).

a. A = au + bv, B = 0; D : u ≥ 0, v ≥ 0, α2u + β2v ≤ 1.

b. A = u2 − v2, B = 2uv; D : |u| ≤ 1, |v| ≤ 1.

c. A = vn, B = un; D : u2 + v2 ≤ r2.

Exercice 5Etablir la formule de Green en coordonnees polaires :∫

∂+D

f(r, θ)dr + g(r, θ)dθ =∫∫

R

1r(gr − fθ)dS,

11

ou dS reste a preciser.

Exercice 6Calculer l’aire de la partie de la sphere unite x2 + y2 + z2 = 1 qui est a l’interieure ducylindre d’equation x2 + y2 = x (−∞ < z < ∞).

Exercice 7Calculer l’aire de la surface parametrisee par x = r cos θ, y = r sin θ, z = hθ, ou r ∈]0, R[,θ ∈ [0, 2π] et ou h est une constante > 0.

Exercice 8Soit Σ(t) la partie du plan x+y+z = t obtenue par intersection avec la sphere x2+y2+z2 ≤ 1.

Soit F (x, y, z) = 1− (x2 + y2 + z2). Calculer∫

Σ(t)

F (x, y, z)dσ en fonction de t.

Exercice 9Determiner le champ newtonnien engendre par la presence uniforme d’une matiere de massetotale m sur une sphere de rayon R.

Exercice 10Calculer

∫Σ

x4dydz+y4dzdx+z4dxdy, ou Σ est le cote interieur de la sphere x2+y2+z2 = R2.

Exercice 11Soit ~F = (y, z, x) et soit Σ la surface, fermee, du cylindre x2 +y2 = 1, z = 0, z = 1. Calculerle flux de ~F a travers Σ vers l’exterieur.

Exercice 12Utiliser la formule de Gauss pour calculer les integrales suivantes.

a.∫

Σ

x2dydz+y2dzdx+z2dxdy, ou Σ est la sphere x2+y2+z2 = R2 dirigee vers l’exterieur.

b.∫

Σ

xydydz + yzdzdx + zxdxdy, ou Σ est la surface fermee, dirigee vers l’exterieur,

constituee de parties des quatres plans suivants: x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.

c.∫

Σ

x − y)dydz + (y − z)dzdx + (z − x)dxdy, ou Σ est la surface fermee, orientee vers

l’exterieur, obtenue en coupant le parabole z = x2 + y2 par le plan z = 1.

Exercice 13Utiliser la formule de Stokes pour calculer les integrales suivantes.

a.∫

Γ

ydx + zdy + xdz, ou Γ est le cercle x2 + y2 + z2 = R2 ∩ x + y + z = 0 qui est, vu

du point (1, 0, 0), dans le sens des aiguilles d’une montre.

b.∫

Γ

(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, ou Γ = x2 + y2 = 2y ∩ y = z suit, vu du point

(0, 1, 0) le sens positif des aiguilles d’une montre.

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