2020 03 MATH DOC4confin. Thème : AIRE (et PERIMETRE) page 1

2020 03 MATH DOC4confin. Thème : AIRE (et PERIMETRE) page 1

Attendus de fin de cinquième (extraits d’annexe du programme) :

Ce que l’élève doit apprendre à faire :

Il calcule le périmètre et l’aire des figures usuelles (rectangle, parallélogramme, triangle, disque). Il calcule le périmètre et l’aire d’un assemblage de figures. Il exprime les résultats dans l’unité adaptée. Il vérifie la cohérence des résultats du point de vue des unités pour les calculs de durées, de longueurs, d’aires

ou de volumes. Il effectue des conversions d’unités de longueurs, d’aires, de volumes et de durées.

Livre : Transmath 5ième (cycle 4, première année) nouveau programme 2016 NATHAN ISBN 978 209 171915 3

Le plan de travail : Cette leçon est en plusieurs parties Partie 1 : REVISIONS (déjà fait). Partie 2 : découvrir, comprendre et retenir comment calculer l’aire d’un parallélogramme. Partie 3 : LES EXERCICES pour s’entraîner et assimiler et retenir. Partie 4 : QCM de contrôle.

Ce qu’il faut faire : Partie 2 : AIRE DU PARALLELOGRAMME (2 heures environ).

Partie 3 : EXERCICES (1 heures environ).

Objectif : comprendre l’utilité et la dispositions des bases et hauteur dans le calcul de l’aire d’un parallélogramme.

Pour atteindre cet objectif, on reprend la démarche « historique » et « scientifique ». On utilise ce qu’on sait déjà

faire (le décompte de carreaux, l’utilisation des figures connues carré, rectangle et triangle) pour trouver une

nouvelle méthode de calcul.

1) pages 2 à 4 du document : vous retrouvez un formulaire sur les périmètres, un sur les aires ; une fiche résumé

sur les unités usuelles d’aire et convertir. Normalement, vous avez déjà étudié ses fiches et vous connaissez les

formules pour le carré, le rectangle, le triangle (rectangle ou pas).

2) pages 5 à 9 du document : faire les activités.

Les énoncés ne sont pas dans le livre : il faut avoir le texte et les dessins sous les yeux pendant qu’on travaille.

Répondre sur le cahier d’exercices.

Faire les activités dans l’ordre, avec soin. Si vous avez des difficultés à trouver, chercher au moins 10 minutes

avant d’étudier la correction.

A la fin de chaque activité, corriger avant de passer à l’activité suivante.

Les corrigés des activités se trouvent de la page 12 à la page 16.

3) A la fin des activités, apprendre la leçon « FORMULAIRE aire » en entier.

4) Pages 10 à 11 : Faire les exercices. Il y a un exercice dans ce document puis les autres énoncés sont aussi dans le

livre : n°37 page 144, n°45 et n°51 page 147, n°49 page 147.

Il faut travailler et faire les exercices dans son cahier d’exercices. La calculatrice est autorisée, mais, on utilise le

calcul mental au maximum de ses capacités.

En cas de difficulté : * chercher à utiliser les formulaires, les résumés.

* relire soigneusement les énoncés, observer les figures.

* poser des questions sur la discussion ouverte sur PRONOTE, mais la réponse ne pourra être immédiate.

Les corrections des exercices et le QCM viendront plus tard !

BON TRAVAIL !


FORMULAIRE : périmètre

Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Périmètre d’un polygone

C’est la somme des longueurs de ses côtés

𝑷 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 + 𝒆

Périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l


𝑷 = 𝑳 + 𝒍 + 𝑳 + 𝒍 = 𝟐 × (𝑳 + 𝒍) = 𝟐 × 𝑳 + 𝟐 × 𝒍

Périmètre d’un carré de côté c


𝑷 = 𝒄 + 𝒄 + 𝒄 + 𝒄 = 𝟒 × 𝒄

Périmètre d’un cercle

ou bien «longueur» ou «circonférence» d’un cercle.

𝑷 = 𝝅 × 𝒅 (𝑷é𝒓𝒊𝒎è𝒕𝒓𝒆 = 𝒑𝒊 × 𝒅𝒊𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆 ) 𝑷 = 𝟐 × 𝝅 × 𝒓 (𝑷é𝒓𝒊𝒎è𝒕𝒓𝒆 = 𝟐 × 𝒑𝒊 × 𝒓𝒂𝒚𝒐𝒏 )


FORMULAIRE : aire

L’aire d’une figure plane est la mesure de sa surface intérieure. (Les mots « aire » et « superficie » ont le même sens).

Aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l.

A rectangle = 𝑳 × 𝒍

Aire d’un carré de côté c

A carré= 𝒄 × 𝒄 = 𝒄²

Aire d’un triangle rectangle a et b désignent les longueurs des deux côtés de l’angle droit.

A triangle rectangle=𝒂×𝒃

𝟐

Aire d’un triangle c désigne la longueur d’un côté du triangle. h désigne la hauteur du triangle qui est perpendiculaire au côté choisi et qui passe par un sommet.

A triangle =𝒄×𝒉

𝟐

Aire d’un disque de rayon R

A disque= 𝝅 × 𝑹 × 𝑹

= 𝝅 × 𝑹𝟐

Aire d’un parallélogramme de base B et de hauteur H

A parallélogramme = 𝑩 × 𝑯

Lorsqu’on utilise une formule, les longueurs doivent être toutes exprimées dans la même unité.

Exercice résolu : « Calculer une aire » voir livre page 143 n°1.


UNITES USUELLES D’AIRE. CONVERTIR.

Attention ! Pour les unités d’aire, chaque unité est 100 fois plus grande (ou 100 fois plus petite) que l’unité qui la suit immédiatement. Dans un tableau de conversion, chaque unité d’aire se complète avec deux chiffres.

Remarque : Un hectomètre carré se nomme aussi un hectare, on écrit 1 hm²=1ha. Un décamètre carré se nomme aussi un are, on écrit 1dam²=1a.

km² hm²

ou ha (hectare)

dam² ou a (are)

m² dm² cm² mm²

1 2

2 5 7 8

Pour convertir12 m² en dam² : je peux faire un calcul :

𝟏𝟐 𝒎𝟐 = 𝟏𝟐 × 𝟏𝒎𝟐 = 𝟏𝟐 ×𝟏 𝒅𝒂𝒎²

𝟏𝟎𝟎= 𝟎, 𝟏𝟐 𝒅𝒂𝒎²

je peux lire dans le tableau : 12m², ou 1 200 dm² ou 0,12 dam² ou 0,12 are. On écrit : 12 m²= 0,12 dam².

Pour convertir 2,578 dam² en m² : je peux faire un calcul : 2,578 dam² = 2,578 × 1 dam² = 2,578 × 100 m² = 257,8 m² je peux lire dans le tableau : 2 dam² et 57 m² et 80 dm² ou bien 2,578 dam² ou 257,8 m² ou 25 780 dm² On écrit 2,578 dam² = 257,8 m² .


Activité 0 : objectif : Connaître et utiliser la définition de 1 cm² pour évaluer des aires. 1) Définition : Un centimètre-carré (1 cm²) est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.

Le quadrillage en trait continu est formé de carrés de 1 cm de côté. Les carrés en pointillés ont 0,5 cm de côté. Exprime en cm² l’aire de chaque figure colorée (en observant, en comptant mais sans utiliser des formules).

Répondre sur le cahier d’exercices.

Aire A = . . . . . . . . . Aire B = . . . . . . . . . Aire C = . . . . . . . . . Aire D = . . . . . . . . . Aire E = . . . . . . . .

Aire F = . . . . . . . . . Aire G = . . . . . . . . . Aire H = . . . . . . . . . Aire I = . . . . . . . . . Aire J = . . . . . . . .

2) Faire la correction de l’activité 0. (corrigé en page 12)

Activité 1 : objectif : évaluer des aires sur quadrillage sans utiliser de formules (en réutilisant les méthodes vues

dans la correction de l’activité 0).

Le quadrillage en « pointillés » est formé de carrés de 1cm de côté.

Trouver une valeur exacte de l’aire de chacun des quadrilatères, puis répondre sur le cahier d’exercices..

1) Quelle est la nature de chaque quadrilatère ?



Objectif : évaluer et comparer des aires sur quadrillage, évaluer et comparer des longueurs.

Activité 2 : Le quadrillage est formé de carrés de 1cm de côté.

Voici à nouveau les parallélogrammes de l’activité 1.

On a tracé trois rectangles : A’B’C’D’, E’H’G’F’ ET I’J’L’K’.

a) Compare deux par deux, les aires des rectangles et des parallélogrammes qui portent des noms

« semblables ». Ecrire ta réponse sur ton cahier.

b) L’aire d’un rectangle se calcule A rectangle = 𝐿 × 𝑙 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 × 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑢𝑟 .

Sur les figures, observe où se trouve la longueur de chaque rectangle, puis, cherche où se trouvent des

segments de mêmes dimensions sur les parallélogrammes.

De même, sur les figures, observe où se trouve la largeur de chaque rectangle, puis, cherche où se trouvent

des segments de mêmes dimensions sur les parallélogrammes.

c) Faire la correction de l’activité 2. (corrigé en page 13)

C’ D’

G’

F’

K’ L’


Objectif : trouver la formule qui permet de calculer l’aire du parallélogramme.

Activité 3 : Voici les étapes d’un raisonnement. Suivre les étapes et compléter les phrases sur le cahier d’exercices.

Etape n°1 :

MNPQ est un parallélogramme.

Le côté [MQ] et le côté . . . . sont de la même

longueur et sont parallèles.

De même, le côté [MN] et le côté . . . . sont de la

même longueur et sont parallèles.

Etape n°2 :

Je trace la perpendiculaire aux droites (MN) et (QP) passant par M, puis, je colorie de la même couleur les segments de la même longueur. MH et MQ ont-ils la même longueur ? . . . . . . . . . MQH a la forme d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De plus, longueur QH + longueur HP = longueur . . . ..

et aire QMH + aire MNPH = aire . . . . . . . . . . . . ..

Etape n°3 :

J’ai enlevé le triangle MQH à gauche, je l’ai déplacé vers

la droite en le nommant M’Q’H’.

La figure MNH’H a la forme d’un . . . . . . . . . . . . . .

De plus, longueur Q’H’ + longueur HP = longueur . . . .

et aire Q’M’H’ + aire MNPH = aire . . . . . . . . . . . .

J’en déduis que les quadrilatères MNH’H et MNPQ ont

la même aire.

Etape n°4 :

L’aire totale de la figure MNH’H se calcule Longueur × largeur = MN × MH = aire MNH’H. Es-tu d’accord ?

Etape n°5 :

Comme cette figure possède la même aire que celle de l’étape 5, je peux dire aussi que : MN × MH = aire MNH’H = aire MNPQ.

Etape n°6 : L’aire du parallélogramme MNPQ se calcule MN × MH.

La longueur MN sert à calculer l’aire, MN est la longueur d’un côté du parallélogramme, ce côté du parallélogramme est perpendiculaire à [MH]. C’est ce côté qu’on appelle base. La longueur MH est la longueur d’un segment perpendiculaire aux deux côtés opposés et parallèles [MN] et [QP]. MH s’appelle une hauteur. On dit alors que l’aire du parallélogramme MNPQ se calcule Base × Hauteur.

Faire la correction de l’activité 3. (corrigé en page 14)


Objectif : Calculer l’aire d’un parallélogramme en utilisant correctement un formulaire.



Remarques : Une base est un côté du parallélogramme, ce côté du parallélogramme est perpendiculaire à la hauteur. La hauteur est perpendiculaire à deux côtés opposés et parallèles qui sont les bases. Bref, base et hauteur forment un angle droit. Pour une hauteur, il n’y a que deux bases possibles, ces deux bases ont la même mesure.

Activité 4 : Toutes Les longueurs sont exprimées en centimètres. Les figures ne sont pas en dimensions réelles.

1) Observer et trouver les segments et les longueurs utiles puis utiliser le formulaire ci-dessus pour calculer l’aire

de chaque parallélogramme représenté. (Répondre sur le cahier d’exercices).


Activité 5 : Répondre sur le cahier d’exercices.

Toutes Les longueurs sont exprimées en centimètres. Les figures ne sont pas en dimensions réelles.

1) Utiliser le formulaire ci-dessus pour calculer de deux façons différentes l’aire du parallélogramme ABCD.

2) Que déduire des résultats obtenus sur la précision et l’exactitude des mesures indiquées ?


H

ABCD est un parallélogramme.


Objectif : Utiliser une aire pour calculer une longueur.




Activité 6 : Les figures ne sont pas en dimensions réelles. Répondre sur le cahier d’exercices.

1) Calculer l’aire du parallélogramme GRIS.

2) Calculer la longueur RI.

3) Faire la correction de l’activité 6. (corrigé en page )

GRIS est un parallélogramme.

GR=18 cm ;

ZI=3,6 cm

et

GQ=12cm.

Objectif : Savoir calculer l’aire des figures usuelles (rectangle, parallélogramme, triangle, disque).

Apprendre et mémoriser le contenu de la fiche « FORMULAIRE : aire » qui se trouve au début de ce document.


EXERCICES (1 heure environ).

CALCUL RAPIDE (essayez le plus possible sans calculatrice !):

Calculer l’aire :

a. du triangle ABC

b. du triangle ACD

c. du parallélogramme ADEG

d. du demi-disque de

diamètre [DE]

e. du triangle EGF.

n°37 page 146

n°45 page 147


n°51 page 147

n°49 page 147


Correction de l’activité 0 : objectif : Connaître et utiliser la définition de 1 cm² pour évaluer des aires.

1) Définition : Un centimètre-carré (1 cm²) est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.

Le quadrillage en trait continu est formé de carrés de 1 cm de côté. Les carrés en pointillés ont 0,5 cm de côté.

Exprime en cm² l’aire de chaque figure colorée (en observant, en comptant mais sans utiliser des formules).

Méthode : J’observe et je reconnais que l’aire du carré A mesure 1 cm² puisque son côté mesure 1cm.

Ensuite, j’utilise trois sortes de raisonnement :

partage en parts égales. Par exemple, le carré A est partagé en quatre parts égales pour obtenir le carré C

donc l’aire C mesure un quart de 1 cm².

Déplacement d’une partie de la figure. Par exemple, pour la figure H, si je déplace les deux triangles du bas

et que je les place en haut sur les emplacements orange, je peux conclure que l’aire H vaut 1 cm².

Décomposition de la figure en plusieurs parties. La figure J est composée d’un grand carré et d’un petit

carré. Le grand carré a une aire de 1 cm². Le petit carré a une aire de 0,25 cm². Par addition, l’aire de la

figure J est de 1,25 cm².

Aire A = 1 cm² Aire B = 𝟏

𝟐𝒄𝒎² = 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎² Aire C =

𝟏

𝟒𝒄𝒎² = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒄𝒎².

Aire D =1 cm² . Aire E = 𝟏

𝟐𝒄𝒎² = 𝟎, 𝟓 𝒄𝒎² Aire F = .2 cm² Aire G = 1 cm².

Aire H = 1 cm² . Aire I = 2 cm² . Aire J = 1,25 cm²

Remarque : On observe que des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire (ex : figures A, D, G et H).


Correction de l’activité 1 : objectif : évaluer des aires sur quadrillage sans utiliser de formules (en réutilisant les

méthodes vues dans la correction de l’activité 0).

Le quadrillage en « pointillés » est formé de carrés de 1cm de côté.

Trouver une valeur exacte de l’aire de chacun des quadrilatères

Quelle est la nature de chaque quadrilatère ? Chaque quadrilatère est un parallélogramme.

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur.

Correction de l’activité 2 : Le quadrillage est formé de carrés de 1cm de côté.

Voici à nouveau les parallélogrammes de l’activité 1.

On a tracé trois rectangles : A’B’C’D’, E’H’G’F’ ET I’J’L’K’.

a) Aire A’B’C’D’ = 15 cm² Aire E’F’G’H’ = 8 cm² Aire I’J’L’K’=16 cm²

Deux par deux, les aires des rectangles sont égales aux aires des parallélogrammes.

b) Sur chaque rectangle, je dessine une longueur en rouge et une largeur en jaune. Je trace de la même couleur

des longueurs égales sur les parallélogrammes.

Sur les parallélogrammes, il faut bien observer qu’un seul des deux segments colorés correspond à un côté du

parallélogramme. L’autre segment (en jaune) n’est pas un côté, cela s’appelle une hauteur du

parallélogramme.

9 cm² Moitié

de 6

cm²

15 cm²

Moitié

de 6 cm²

8 cm² 16 cm²

C’ D’

G’

F’

K’ L’


Objectif : trouver la formule qui permet de calculer l’aire du parallélogramme.

Correction de l’activité 3 : Suivre les étapes et compléter les phrases.

Etape n°1 :

MNPQ est un parallélogramme.

Le côté [MQ] et le côté [PN] sont de la même longueur

et sont parallèles.

De même, le côté [MN] et le côté [PQ] sont de la

même longueur et sont parallèles.

Etape n°2 :

Je trace la perpendiculaire aux droites (MN) et (QP) passant par M, puis, je colorie de la même couleur les segments de la même longueur. MH et MQ ont-ils la même longueur ? Ils n’ont pas la

même longueur, MQ est plus long que MH.

MQH a la forme d’un triangle rectangle.

De plus, longueur QH + longueur HP = longueur MN

et aire QMH + aire MNPH = aire MNPQ.

Etape n°3 :

J’ai enlevé le triangle MQH à gauche, je l’ai déplacé vers

la droite en le nommant M’Q’H’.

La figure MNH’H a la forme d’un rectangle .

De plus, longueur Q’H’ + longueur HP = longueur MN.

et aire Q’M’H’ + aire MNPH = aire MNH’H

J’en déduis que les quadrilatères MNH’H et MNPQ ont

la même aire.

Etape n°4 :

L’aire totale de la figure MNH’H se calcule Longueur × largeur = MN × MH = aire MNH’H. C’est vrai, car la figure est un rectangle.

Etape n°5 :

Comme cette figure possède la même aire que celle de l’étape 5, je peux dire aussi que : MN × MH = aire MNH’H = aire MNPQ.

Etape n°6 : L’aire du parallélogramme MNPQ se calcule MN × MH.

La longueur MN sert à calculer l’aire, MN est la longueur d’un côté du parallélogramme, ce côté du parallélogramme est perpendiculaire à [MH]. C’est ce côté qu’on appelle base. La longueur MH est la longueur d’un segment perpendiculaire aux deux côtés opposés et parallèles [MN] et [QP]. MH s’appelle une hauteur. On dit alors que l’aire du parallélogramme MNPQ se calcule Base × Hauteur.


Objectif : Calculer l’aire d’un parallélogramme en utilisant correctement un formulaire.




Correction de l’activité 4 : Toutes Les longueurs sont exprimées en centimètres. Les figures ne sont pas en

dimensions réelles.

1) Base et hauteur forment un angle droit.

Dans le cas n°2, la base est HG, et, la hauteur est FS.

Aire EFGH = base × hauteur = HG × FS = 5,2 cm × 3,8 cm = 19,76 cm².

Correction de l’activité 5 : Répondre sur le cahier d’exercices.

1) Je peux calculer l’aire de deux manières car je connais les mesures de deux hauteurs et de tous les côtés du parallélogramme.

Aire ABCD = base1 × hauteur1= DC × AH

= 5 cm × 2,5 cm = 12,5 cm².

Aire ABCD = base2 × hauteur2 = BC × A0 (ou = AD × AO)

= 2,7 cm × 4,6 cm = 12,42 cm².

ABCD est un parallélogramme.

2) Que déduire des résultats obtenus sur la précision et l’exactitude des mesures indiquées ?

On a calculé l’aire du même parallélogramme de deux façons différentes, on devrait trouver le même résultat. On

a trouvé des valeurs de l’aire qui sont proches mais qui sont différentes (12,5 cm² ≠12,42 cm²).

Conclusion : Les mesures ne sont pas des valeurs exactes (mais des valeurs approchées).

Dans ce cas n°1, la base est CD qui mesure

7 cm comme AB.

Aire ABCD = base × hauteur

= CD × AR = 7 cm × 4 cm = 28 cm².

Dans ce cas n°3, la base est LK(ou IJ),

et, la hauteur est IV.

Aire IJKL = base × hauteur

= LK × IV = 4 cm × 1,9 cm = 7,6 cm².

H


Correction de l’activité 6 : Les figures ne sont pas en dimensions réelles. Répondre sur le cahier d’exercices.

1) Calculer l’aire du parallélogramme GRIS.

2) Calculer la longueur RI.

1. Je ne connais que la longueur du

côté [GR], ce côtéi est perpendiculaire à

la hauteur [IZ]. Je calcule :

Aire GRIS = base × hauteur

= GR × ZI = 18cm × 3,6cm = 64,8 cm².

GRIS est un parallélogramme.

GR=18 cm ; ZI=3,6 cm et GQ=12cm.

1. Calculer l’aire du parallélogramme GRIS.

2. Calculer la longueur RI.

2. Le segment [GQ] et la droite (IR) sont perpendiculaires. Le segment [IR] est un côté du parallélogramme.

Par conséquent, GQ est la hauteur du parallélogramme relative à la base IR, je peux calculer l’aire du

parallélogramme d’une deuxième manière pour trouver le même résultat :

Aire GRIS = base2 × hauteur2

= IR × QG = IR × 12 cm =64,8 cm².

Je sais donc que si je multiplie la longueur IR par 12, je dois trouver 64.8.

Je vais trouver IR en divisant 64,8 par 12. Conclusion : IR = 64,8 cm²÷ 12 cm = 5,4 cm.

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