3 Estimation SDL 3 [Mode de Compatibilité]

1

Commande Adaptative Ksouri Mekki 1

Estimation des paramètres dans les systèmes dynamiques linéaires


Plan

Références bibliographiquesEstimation des paramètres dans un modèle statiqueModèles dynamiquesEstimation des paramètres dans un modèle dynamiqueRelation E/S dans le cas d’une équation bruitéeMéthode de la matrice instrumentaleMéthode des moindres carrés généralisés


Références bibliographiquesde base

1. K. J. Aström; « Lectures on the identification problem: The least squares method ». Report 6806 Sept 68 Lund Institute of Technology.

2. D. W. Clarke « Generalized least squares estimation of the parameters of a dynamic model ». Paper 3-17 Preprints IFAC Symposium on Identification Prague 1967.

3. R. Hastings-James, M. W. Sage « recursive generalized least squares procedure for in line identification of process parameters ». Proc. IEE 116 pp.2057-2062, 1969

4. G. Banon « Etude d’algorithme d’estimation des paramètres pour l’identification adaptative en temps réel des processus linéaires perturbés par un bruit corrélé ». Thèse de Docteur Ingénieur, Toulouse 1971.

5. P. C. Young « An instrumental variable method for real time identification of a noisy process ». Automatica 6 pp.271-287 1970.


Y = H + e

avec Y : vecteur observations (N, 1)

: vecteur paramètres (p, 1)

e : vecteur aléatoire permettant de prendre en compte les erreurs d’observations observations (N, 1)

H: matrice de transformation connue (N,p)

1. Estimation des paramètres dans un modèle statique

Le modèle

2



e est un vecteur aléatoire gaussien de moyenne nulle et dont les éléments ont même variance et ne sont pas corrélés

entre eux : E[e]=0, E[eeT]=²IN.

peut être soit un vecteur déterministe connu, soit un vecteur aléatoire et dans ce

cas il est supposé indépendant de e.

Les hypothèses de calcul



Méthode du maximum de vraisemblance:

On définit la densité de probabilité conditionnelle p(Y/) comme étant la fonction de vraisemblance: c’est une fonction de dont le maximum indique la valeur la plus probable de l’ensemble d’observation Y que l’on obtiendrait à partir du paramètre supposé connu.

Calcul de

Propriétés statistiques de la variable Y/

•E[Y/] = H (Moyenne)

•E[(YH (Y-H)T /] = E[eeT /]= E[eeT]=²IN

=

HYIHYKYp

T 12

2

1exp/


Méthode du maximum de vraisemblance (suite)

=

HYIHYKYp

T 12

2

1exp/Max

0=

/YpLog 0

1=

HY

²HY

T

YHHHˆ TT 1=

Remarque : avec les hypothèses précédentes, l’estimateur du MV est confondu avec celui des MC.


Propriétés de l’estimateur des MC

EMC est un estimateur sans biais si E[e]=0,

déterministe, H et e indépendants:

=+==

eEHHHYHHHEˆE TTTT 11

La variance de l’erreur de l’estimation est donnée par :

1211 == HHHHHeeHHHEˆˆE TTTTTT

Pb : valeur de ²

3


Estimation de la variance du bruit

Si n’est pas connu, il faut l’estimer.

Pour cela il suffit d’étudier la statistique du terme résiduel

eHHHHHeHˆHY TT ++=

1

eHHHHIˆHY TT 1=

Matrice symétrique, idempotente

21 2

1

p-NN

==

=

eHHHHetraceE

eHHHHeEeeEˆHYˆHYE

TTT

TTTTT

ˆˆ1ˆ 2 HYHY

pN

T

=


AR

Autoregressive

X (eXogenous)

C (Control)

MA

Moving Average

Modèles dynamiquesmodèles entrée/sortie (suite)

Modèle ARMAX ou CARMA

)k(e)q(C)k(u)q(Bq)k(y)q(A d 111 +=

u(k)

e(k)

++

A

C

A

Bq d

y(k)

===

++=CBA n

ii

n

ii

n

ii )ik(ec)dik(ub)ik(ya)k(y

001


AR

Autoregressive

X ou C

Modèles dynamiquesmodèles entrée/sortie

Modèle ARIMAX ou CARIMA

1

111

1

+=

q

)k(e)q(C)k(u)q(Bq)k(y)q(A d

MA

===

++=CBA n

ii

n

ii

n


001Commande Adaptative

Ksouri Mekki 12

Application de la méthode des MC à l’estimation des paramètres d’un modèle dynamique

)1()1()1()1(01

+++++=+ ==

keidkubikyakyBn

i

i

An

i

i

=

=

+

+

+

=

+

+

Nk

k

N

n

n

N

e

e

e

b

b

a

a

)Nk(y

)k(y

)k(y

Y

B

A

1

1

; 0

;2

1

: poseOn

eNYn

Hn

1

1

0

( 1) ( ) ( 1) ( 1 ) ( 1 )

( ) ( 1) ( ) ( 1 1) ( 1 1 )

A B k

nA

A B k N

nB

a

y k y k y k n u k d u k d n ea

by k N y k N y k N n u k d N u k d N n e

b

+

+

+ + + + = + + + + + + + + + +

4


Relation entrée-sortie dans le cas d’une équation dynamique bruitée

On considère le modèle d’état suivant dans lequel ek est un bruit blanc et pour simplifier on n’a pas représenté la commande uk

=

+F=+

kk

kkk

Hxy

exx 1

On écrit les sorties successives :

2123

33

12

22

11

++++

+++

++

+F+F+F==

+F+F==

+F==

kkkkkk

kkkkk

kkkk

eHeHeHxHHxy

eHeHxHHxy

eHxHHxy


ek+3

Relation entrée-sortie dans le cas d’une équation dynamique bruitée

(suite)

Considérons, pour se fixer les idées, que le système est d’ordre 3, on a alors d’après le Théorème de Cayley-

Hamilton : f3 = 3 f2 2 f 1I

d’où :

213

223112233

++

+++

+F+

+F++F+=

kk

kkkkk

eHeHH

eHHHyyyy

3112233 ++++ += kkkkk yyyy e

e est un bruit corrélé, la méthode des MC ne convient

plus dans ce cas car le vecteur estimé serait biaisé.


ek+3

Relation entrée-sortie dans le cas d’une équation d’observation bruitée

On considère le modèle d’état suivant dans lequel ek est un bruit blanc et pour simplifier on n’a pas représenté la commande uk

+=

F=+

kkk

kk

eHxy

xx 1

On écrit les sorties successives et tire (dans l’hypothèse de l’ordre 3 pour simplifier):

311223112233 ++++++ ++++= kkkkkkkk eeeeyyyy

Même conclusion que précédemment, la méthode des MC ne convient pour estimer les paramètres du système car elle est biaisée dans ces 2 cas. Commande Adaptative

Ksouri Mekki 16

Que peut-on faire?

Comme nous l’avons montré précédemment, si la bruit est coloré la méthode des moindres carrés et biaisée. Il s’agit de présenter maintenant quelques méthodes qui permettent de contourner ce problème.

Rappelons d’abord que les modèles du type AR, ARMA, ARMAX, ARIMAX font tous intervenir un polynôme C(q-1)devant le terme de bruit, ce qui lui donne une coloration et par suite la perte des propriétés importantes pour l’élimination du bais.

Nous allons dans la suite présenter deux méthodes:1. La méthode de la variable instrumentale2. La méthode des moindres carrés généralisés

5


Hypothèses de travail

)k(e)q(C)k(u)q(B)k(y)q(A 111 +=

On travaillera dans la suite sur un modèle ARMAX, avec les hypothèses :

e(k) sont de v. a. gaussiennes indépendantes de moyennes nulle E[e]=0 et de matrice de covariance unité E[eeT]=I, le coefficient permet de représenter le cas d’une variance non unitaire.

Le système est supposé stable ( A stable).

Les 3 polynôme A, B et C n’ont pas de zéro commun.

Le système est supposé observable et commandable.


Méthode de la matrice instrumentale

===

++=CBA n

ii

n

ii

n


001

w(k)Si on effectue N mesures, on a l’équation : wHYN += avec w le vecteur de composantes wi(k)

Soit f une matrice de même dimension que H, appelée

matrice instrumentale,

1F HT

wHYH TTN

TT FFFF= 11

wΦHθΦYΦ TTN

T +=

on obtient :

Si existe


Méthode de la Matrice Instrumentale(suite)

On montre que si:

FTw/N tend en probabilité vers 0

FTH/N tend en probabilité vers une matrice non singulière

Alors l’estimateur suivant converge en probabilité vers .

NTT

N YHˆ FF=1

wHYH TTN

TT FFFF= 11


Méthode de la Matrice InstrumentaleExemple

+=

+=+

kkk

kkk

exy

buaxx 1

Pb. Estimer a et b

111 ++= kkkkk aeebuayy

=

kk

kk

uy

uy

H11

=F

kk

kk

uy

uy

1

12

On choisit :

6


Méthode des moindres carrés généralisés

)k(e)q(C)k(u)q(B)k(y)q(A 111 += )k(e)k(u

)q(C)q(B)k(y

)q(C)q(A +=

1

1

1

1 11

yF(k) uF(k)

)k(e)k(u)q(B)k(y)q(A FF += 11

On peut maintenant utiliser la MMC à condition d’estimer 1/C. C’est justement ce que permet l’algorithme de la MC

u(k)

A

B

e(k)

++

A

1

yF(k)

C

1C

y(k)uF(k)


1. Prendre un filtre a priori

2. Calculer les valeurs filtrées uF et yF

3. Estimer les paramètres par MMC

4. Calculer les résiduels w

5. Estimer les coefficients du filtre par MMC

6. Reprendre à l’étape 2

Méthode des moindres carrés généralisésAlgorithme

ninii qfqf)q(F +++= 1

11 1

)k(y)q(F)k(y

)k(u)q(F)k(u

iFi

iFi

1

1

=

=

i

)k(u)q(B)k(y)q(A)k(w iii11 =

)k(e)k(w)q(F ii =1


Cas des paramètres variablesLe gain d’adaptation (et par suite la norme de la matrice P) décroît en fonction du nombre d’itérations. Ceci a pour conséquence une ignorance progressive des nouvelles observations.

Il en résulte que les approches préconisées ne conviennent pas dans le cas de paramètres non stationnaires.

On présentera dans la suite deux solutions: la méthode du facteur d’oubli et la méthode de la trace constante.

Les 2 méthodes reposent sur l’écriture suivante :

Tkkkk hh)k(P)k(P 2

111

1 +=


Si la dynamique du procédé est lente:, on prend 1(k) = 1 (entre 0.95 et 0.99) et 2(k) = 1.

Si on veut ignorer les premières observations et accélérer la convergence, on prend 1(k) = 0 1(k-1) + (1- 0) et 2(k) = 1, avec 1(0) et 0 tous deux compris entre 0.95 et 0.99.

Si le procédé est non stationnaire, on choisit 1et 2 de façon à maintenir la trace de la matrice P constante.

Cas des paramètres variables (suite)Tkkkk hh)k(P)k(P 2

111

1 +=

+=

kkTk

kTkkk

kk

hPh)k(

)k(

PhhPP

)k(P

1

2

1

111

1

1

Documents

3 Estimation SDL 3 [Mode de Compatibilité]