4 Topographie Et Topométrie Modernes - Tome 1

Tlcharger par : HAMAMA Mohamed

,TABLE DES MATIRES

AVANT-PROPOS .................................................................................. 1

INTRODUCTION .................................................................................... 3 FINALIT DE LA TOPOGRAPHIE ............................................................... 3

COMMENT ATTEINDRE CES OBJECTIFS .................................................. 32.1 tablissement de cartes petite chelle ................................................32.2 Cartographie grande chelle ..............................................................6

GODSIE, CARTOGRAPHIE ........................................................ 9 GNRALITS ET DFINITIONS ............................................................... 9

FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERRE ................................................ 102.1 Gode .................................................................................................102.2 Ellipsode de rvolution ......................................................................122.3 Calculs sur lellipsode .......................................................................162.4 Conclusion ..........................................................................................20

REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODE .......................................... 203.1 Introduction ........................................................................................203.2 Dformations des figures ....................................................................213.3 Classification des reprsentations .......................................................223.4 Reprsentation conique, directe, tangente

et conforme : reprsentation de lambert .............................................24

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3.5 Reprsentation cylindrique transverse conforme de lellipsode universal tranverse mercator utm ..........................42

LECTURE DE CARTES ............................................................................ 484.1 Carte de base .......................................................................................484.2 Dfinition du nord ..............................................................................494.3 Renseignements ports en marge de la carte ......................................50

RSEAUX GODSIQUES ....................................................................... 535.1 Historique de la triangulation ............................................................555.2 La nouvelle triangulation franaise (ntf) ............................................555.3 Le nouveau rseau godsique franais ..............................................61

RSEAU ALTIMTRIQUE ........................................................................ 676.1 Surfaces de rfrence et altimtrie ......................................................686.2 Choix dun systme daltitude ............................................................726.3 Dfinition du zro du NPF ign 69 ......................................................736.4 Constitution du rseau actuel (ign 69) ................................................746.5 Le rseau altimtrique national ..........................................................756.6 Passer des observations aux altitudes normales ..................................786.7 Les repres de nivellement .................................................................806.8 Rpertoires de nivellement .................................................................806.9 Prcision .............................................................................................81

MESURES ANGULAIRES ................................................................ 83 LE THODOLITE OPTICO-MCANIQUE ................................................... 83

1.1 Terminologie .......................................................................................831.2 Principe de fonctionnement ................................................................841.3 Caractristiques des thodolites optico-mcaniques ..........................85

MISE EN STATION DUN THODOLITE : RGLAGES, LECTURES ............. 872.1 Mise en station ....................................................................................872.2 Caractristiques des nivelles ...............................................................912.3 Rglages dun thodolite ....................................................................932.4 Lectures angulaires .............................................................................96

PRCISION DES MESURES ANGULAIRES ............................................... 983.1 Erreurs systmatiques dues un dfaut de lappareil .........................983.2 Erreurs systmatiques dues une cause extrieure ..........................1013.3 Erreurs accidentelles .........................................................................101

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LES ANGLES HORIZONTAUX ................................................................ 1034.1 Le cercle horizontal ..........................................................................1034.2 Le double retournement ....................................................................1044.3 Terminologie des mesures dangles horizontaux...............................1054.4 Applications ......................................................................................108

CALCUL DE GISEMENT ........................................................................ 1135.1 Dfinition ..........................................................................................1135.2 Calcul d'un gisement partir des coordonnes cartsiennes ............1135.3 Utilisation du gisement pour les calculs de coordonnes .................117

DTERMINATION DU G0MOYEN DE STATION ...................................... 1186.1 Prsentation ......................................................................................1186.2 calcul DU G0 DE STATION ............................................................1196.3 dfinition du G0moyen DE STATION .............................................1196.4 Dtermination des carts et tolrances .............................................1206.5 utilisation du G0moyen pour le calcul de points nouveaux ..............1226.6 Tableau de calcul gostat.xls ..............................................................1226.7 Programmation en basic standard .....................................................1226.8 Exemple de calcul .............................................................................124

LE CERCLE VERTICAL : LECTURE DANGLES VERTICAUX ................... 1297.1 Conventions, notations .....................................................................1297.2 Valeur moyenne dun angle vertical par double retournement .........1317.3 Erreur dindex vertical ......................................................................1327.4 Application .......................................................................................134

MESURES DE DISTANCE ............................................................ 137 HISTORIQUE ........................................................................................ 137

MESURES DE DISTANCES LAIDE DUNE CHANE ............................. 1382.1 Mesures en terrain rgulier ...............................................................1392.2 Mesures en terrain irrgulier ou en forte pente ................................1412.3 Mesurage de prcision : talonnage dun ruban ...............................142

MESURES PARALLACTIQUES .............................................................. 1513.1 Mesure avec une stadia .....................................................................1513.2 Mesure avec une base auxiliaire .......................................................153

MESURES STADIMTRIQUES .............................................................. 1554.1 Stadimtrie angle constant .............................................................1554.2 Stadimtrie angle variable .............................................................157

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MESURE PAR VARIATION DE PENTE ................................................... 1575.1 Variation de pente base variable ....................................................1585.2 Variation de pente base fixe ...........................................................159

MESURE AU MOYEN DUN IMEL .......................................................... 1606.1 Principe de la mesure dune distance laide dun imel ..................1616.2 Phnomnes parasites .......................................................................1656.3 Prcision des imel .............................................................................170

RDUCTION LA PROJECTION DES DISTANCES MESURES ............... 1727.1 Dtermination de la distance rduite partir

de la distance mesure sur le terrain .................................................1727.2 Distance dduite des coordonnes ....................................................1827.3 Exemples de calcul ...........................................................................1827.4 Correction globale pour un chantier .................................................184

MESURE ASSISTE PAR SATELLITE (GPS) .......................................... 185

NIVELLEMENT DIRECT ................................................................ 187 NIVELLEMENT DIRECT ORDINAIRE ..................................................... 187

1.1 Principe .............................................................................................1871.2 Le niveau ..........................................................................................1881.3 Prcision et tolrance des lectures ....................................................2041.4 Caractristiques des niveaux .............................................................2061.5 Cheminements simples .....................................................................2071.6 Cheminement mixte ..........................................................................2111.7 Cas particuliers de cheminements ....................................................2141.8 Applications ......................................................................................216

NIVELLEMENT DIRECT DE PRCISION ............................................... 2192.1 Niveaux de prcision ........................................................................2192.2 Mires .................................................................................................2202.3 Cheminement double ........................................................................2202.4 Prcision et tolrances dun nivellement par cheminement .............223

NIVELLEMENT DIRECT DE HAUTE PRCISION ..................................... 2233.1 Niveaux de haute prcision ...............................................................2233.2 Mires de prcision ............................................................................2243.3 Lectures sur mire avec micromtre optique ......................................2253.4 Les cheminements de haute precision ..............................................2263.5 Erreurs prendre en compte .............................................................227

93.6 Classement des niveaux en fonction de lordre du nivellement .......230

LES NIVEAUX NUMRIQUES ................................................................ 2304.1 Principe .............................................................................................2314.2 Limites demploi ..............................................................................2324.3 Caractristiques des niveaux numriques .........................................233

NIVELLEMENT INDIRECT ........................................................... 235 PRINCIPE DU NIVELLEMENT INDIRECT TRIGONOMTRIQUE ............... 235

NIVELLEMENT INDIRECT GODSIQUE ............................................... 236

COMPARAISON AVEC LE NIVELLEMENT DIRECT ................................. 237

NIVELLEMENT INDIRECT SUR COURTE PORTE .................................. 2384.1 Nivellement indirect avec un thodolite optico-mcanique .............2384.2 Nivellement indirect avec un thodolite muni dun IMEL ...............243

NIVELLEMENT INDIRECT SUR DES PORTES MOYENNES ................... 2435.1 Sphricit terrestre ............................................................................2445.2 Rfraction atmosphrique .................................................................2475.3 Correction de niveau apparent ..........................................................250

NIVELLEMENT INDIRECT SUR DE LONGUES PORTES ......................... 255

CHEMINEMENTS EN NIVELLEMENT INDIRECT .................................... 257

EXEMPLES DE NIVELLEMENT INDIRECT ............................................. 2588.1 Exemple de nivellement indirect trigonomtrique ...........................2598.2 Exemple de nivellement indirect godsique ...................................260

TOLRANCES RGLEMENTAIRES EN NIVELLEMENT INDIRECT ........... 2619.1 Dnivele calcule partir de la distance horizontale ......................2629.2 Dnivele calcule

partir d'une mesure de distance incline ........................................2629.3 Tableaux rcapitulatifs ......................................................................262

TECHNOLOGIES MODERNES .................................................... 265 GLOBAL POSITIONNING SYSTEM (GPS) ............................................... 265

1.1 Quest-ce que le GPS ? .....................................................................2651.2 Le mode naturel ou positionnement absolu ......................................2711.3 Le mode diffrentiel ou positionnement relatif ................................2751.4 Passage du systme international au systme national .....................281

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1.5 Diffrentes techniques de mesure en mode diffrentiel ...................2841.6 Planification dune campagne de mesures GPS ...............................291

NIVEAUX NUMRIQUES ....................................................................... 297 LES STATIONS TOTALES ..................................................................... 298 LES APPAREILS LASER ....................................................................... 301

4.1 Les lasers de nivellement ..................................................................3034.2 Les lasers dalignement ....................................................................3054.3 Les lasers de canalisations ................................................................3064.4 Les lasers de positionnement ............................................................3084.5 Tlmtrie laser ................................................................................309

PHOTOGRAMMTRIE .......................................................................... 3105.1 Principe de la prise de vue photogrammtrique ...............................3105.2 Orthophotographie numrique ..........................................................3235.3 Photogrammtrie par satellite ...........................................................3255.4 Photogrammtrie terrestre ................................................................3305.5 Les SIG .............................................................................................333

MTROLOGIE ...................................................................................... 3366.1 Mtrologie industrielle .....................................................................3366.2 Auscultation douvrages ...................................................................339

LEVER DE DTAILS ET REPORT ............................................ 347 INTRODUCTION ................................................................................... 347

LEVER DE DTAILS ............................................................................. 3472.1 Principes de base ..............................................................................3472.2 Mthodes et moyens .........................................................................3502.3 Mthodes traditionnelles ..................................................................3502.4 Mthodes actuelles ...........................................................................357

REPORT .............................................................................................. 3673.1 Cartes et plans ...................................................................................3683.2 Report traditionnel ............................................................................3713.3 Techniques informatises de report ..................................................3733.4 Le matriel du report informatique ...................................................381

LES BASES DE DONNES GOGRAPHIQUES ......................................... 3844.1 La base de donns topographique .....................................................3854.2 Les bases de donnes spatiales - SIG

(Systme dInformation Gographique) ...........................................386

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TECHNIQUES DIMPLANTATION ............................................ 397 IMPLANTATIONS DALIGNEMENTS ...................................................... 397

1.1 Tracer une perpendiculaire un alignement existant .......................3971.2 Tracer une parallle un alignement existant ..................................4011.3 Alignement scant un alignement existant ....................................4021.4 Pan coup rgulier ............................................................................4031.5 Jalonnement sans obstacles ..............................................................4031.6 Jalonnement avec obstacle ................................................................4041.7 Prolongement dun alignement .........................................................407

IMPLANTATION DE POINTS EN PLANIMTRIE ..................................... 4082.1 Par abscisses et ordonnes ................................................................4082.2 Par rayonnement ...............................................................................4082.3 Intersection de deux alignements .....................................................4102.4 Contrle dune implantation .............................................................4112.5 Exercice ............................................................................................412

IMPLANTATION DE REPRES ALTIMTRIQUES ................................... 4163.1 Pose dun trait de niveau ...................................................................4163.2 Nivellement de chaises dimplantation ou de piquets ......................4173.3 Utilisation des appareils laser ...........................................................417

IMPLANTATION DUN BTIMENT ........................................................ 4184.1 Btiments courants ...........................................................................4184.2 Btiments sur fondations spciales, ouvrages dart ..........................4214.3 Btiments de grande hauteur ............................................................4214.4 Piquetage de pentes ..........................................................................423

RACCORDEMENTS CIRCULAIRES ........................................................ 4255.1 Raccordements circulaires simples ...................................................4255.2 Raccordements circulaires composs ...............................................4275.3 Raccordements circulaires inflexion ..............................................4315.4 Piquetage des raccordements circulaires ..........................................4345.5 Contrle des implantations ...............................................................442

RACCORDEMENTS ROUTIERS ............................................................. 4446.1 Caractristiques gnrales des raccordements routiers ....................4446.2 Raccordements progressifs ...............................................................4486.3 Raccordement en profil en long ........................................................467

TERRASSEMENTS DUN PROJET ROUTIER .......................................... 4747.1 Lever du terrain naturel ....................................................................474

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7.2 Implantation des terrassements .........................................................475

PROFILS, CUBATURES ................................................................ 479 COURBES DE NIVEAU .......................................................................... 479

1.1 Dfinitions ........................................................................................4791.2 Principe de linterpolation ................................................................4811.3 Lever de courbes de niveau ..............................................................4821.4 Report de courbes de niveau .............................................................4821.5 Applications au trac de profils en long et en travers .......................4851.6 Digitalisation de courbes de niveau ..................................................487

PROFILS EN LONG ET EN TRAVERS ..................................................... 4892.1 Dfinitions ........................................................................................4892.2 Le profil en long ...............................................................................4902.3 Le profil en travers ............................................................................4922.4 Application .......................................................................................4942.5 Calcul de cubatures ...........................................................................502

ANNEXES ....................................................................................................515 OUTIL INFORMATIQUE ..............................................................................515

1.1 Utilisation du cdrom ......................................................................5151.2 Tableur ...............................................................................................5161.3 Dessin assist par ordinateur .............................................................5181.4 Programmes en basic standard .........................................................5211.5 Calculatrice programmable ...............................................................522

BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................523

NOTATIONS USUELLES DE LOUVRAGE ...................................................524

AVANT-PROPOS

AVANT-PROPOS

Les auteurs de cet ouvrage sont enseignants dans une section de techniciens suprieursgomtres-topographes. Louvrage est laboutissement logique de notre travail quotidiendenseignants qui est de rassembler des informations provenant de diverses sources(livres, revues, articles, publications de lIGN, publications des constructeurs de mat-riel, etc. ), de recouper ces informations, de les assimiler dans leur globalit de manire acqurir la connaissance et le recul ncessaires lenseignement puis enfin de lesrestituer nos tudiants. Rien dexceptionnel, nous dira-t-on, cest en effet le lot quoti-dien de nos collgues enseignants. Ce que nous y avons ajout, cest lutilisation deloutil informatique et cela depuis le dbut de la conception de nos documents de cours.La puissance et la convivialit des programmes et des machines actuelles permettent eneffet dobtenir rapidement des prsentations irrprochables alliant schmas et formules ;elles permettent surtout de pouvoir faire voluer facilement les documents crs. Cetouvrage entirement informatis devrait ainsi tre le point de dpart dune version mul-timdia dite sur disque compact et, rvons un peu, aboutir une gigantesque base dedonnes sur la topographie par le biais dun site internet sur lequel serait mis en communle travail de tous les collgues (cours, exercices corrigs, etc.).

Louvrage est donc conu comme un cours allant du niveau dbutant jusqu celui duprofessionnel de la topographie. Lenseignement propos ne reste pas thorique maissappuie sur plus de 600 schmas, des exemples issus de sujets dexamen mais aussi decas rels et de nombreux exercices corrigs. Vous ny trouverez que peu de photographiesde matriel qui seront bien mieux reproduites (en couleurs) et documentes dans uncatalogue de revendeur de matriel topographique. Aux photographies, nous avons tou-jours prfr le schma, bien plus didactique. Ce livre devrait tre aussi utile unenseignant qu un lve ou un professionnel en situation dapprentissage. Louvragecouvre la plus grande partie des programmes denseignement des classes de brevetdtudes professionnelles (BEP) jusquau niveau des techniciens suprieurs gomtrestopographes (BTS) ainsi que les formations de niveau ingnieur. Nous esprons que lapublication de nos cours rendra service aux collgues ; en effet les ouvrages dans le

AVANT-PROPOS

domaine de la topographie et de la topomtrie sont rares et les derniers, datant dau moinsune dizaine dannes, ne sont plus dits.

Loutil informatique dj cit se retrouve dans tout louvrage. La profession a t, cesdernires annes, aussi largement bouleverse par les apports de linformatique que parcelui des nouvelles technologies de mesure et de communication. Nous avons doncessay de faire dcouvrir au lecteur les multiples facettes de ce nouvel outil de dessin etde calcul sous la forme dexercices rsolus graphiquement sur le logiciel de DAO1AutoCAD LT2 ou rsolus numriquement grce la puissance du tableur Excel3. Laprogrammation est aussi aborde sous forme dexemples de programme en BASIC stan-dard. Laccent est aussi mis sur lutilisation des calculatrices programmables ou non : cesoutils sont devenus trs puissants et rares sont les tudiants qui les utilisentcompltement ; notre rle de formateur est donc aussi de les pousser dans cette voie.Nous esprons intresser tous ceux qui hsitent encore se lancer dans cet apprentissagebeaucoup plus facile quon a coutume de le prsenter.

Toutefois, il ne faut pas perdre de vue que linformatique nest quun outil et non une finen soi. Pour que linformatique reste un outil, il faut parfaitement le dominer mais aussisavoir sen passer de manire garder une certaine indpendance. Il faut aussi garder enpermanence un esprit critique et ne jamais faire aveuglment confiance un automate, sisophistiqu soit-il. Cette indpendance passe par une matrise en profondeur de loutilinformatique et cest notre rle dducateur que de ne pas se contenter dapprendre nostudiants sur quels boutons ils doivent appuyer. Nous devons leur dvoiler tout ce quil ya derrire chaque bouton mme si cela peut parfois paratre superflu ; il en resteratoujours quelque chose que lon pourrait qualifier de culture gnrale qui permettra, face une difficult donne, dadopter la bonne dmarche. Il en va de mme avec les nou-velles technologies : on peut trs bien manipuler des systmes sophistiqus avec unsimple mode demploi rduit (on dit aussi faire du presse-boutons ), mais face aumoindre problme sortant du cadre du mode demploi, plus aucune initiative nest pos-sible. Cest la porte ouverte de grossires fautes qui, et cest l le plus grave, nappara-tront mme pas loprateur. Dans cet esprit, nous avons essay de justifier et dclairertout ce qui a t crit et nous avons essay de laisser aux mathmatiques en particulier et lanalyse en gnral la part quelles mritent de garder, au moins lcole, pour leuraspect formateur universel incontestable. En dautres termes, nous avons essay dviterles recettes de cuisine en tentant de justifier tout ce que nous avons crit.Votre avis sur notre travail et sur la manire de lamliorer et de le complter nousintresse, nhsitez pas nous crire par lintermdiaire des ditions Eyrolles.Merci de nous signaler toute erreur ou faute que vous pourriez relever dans ces deuxouvrages ainsi que sur le cdrom qui leur est associ.

1 Dessin Assist par Ordinateur.

2 AutoCAD LT est dit par Autodesk.

3 Excel est un logiciel de la socit Microsoft.

INTRODUCTION

INTRODUCTION

Cette introduction a pour but de justifier lordre des diffrentes parties abordes dans cetouvrage ainsi que leurs liens logiques dans lensemble complexe quest la topographie.

FINALIT DE LA TOPOGRAPHIEComme souvent, il est pratique de partir de la finalit pour remonter aux techniquesmises en uvre et les justifier ainsi.En schmatisant, on peut dire que la topographie a pour objectifs principaux de permettreltablissement de cartes et de plans graphiques sur lesquels sont reprsentes, sousforme symbolique, toutes les informations ayant trait la topologie du terrain et sesdtails naturels et artificiels. Cette cartographie de donnes existantes permettra parexemple de sorienter sur le terrain ou bien dtudier un projet de construction.

COMMENT ATTEINDRE CES OBJECTIFS

tablissement de cartes petite chelle

La premire ide qui vient lesprit est deffectuer des prises de vue ariennes par avionou par satellite puis de transcrire ces informations sur papier. Dveloppons cet exemple.

Perspective conique

Une photographie est une perspective conique et non une reprsentation plane. De plus,le relief napparat pas sur une photographie...

INTRODUCTION

La photogrammtrie permet de remdier ces problmes (chap. 7 5) : on obtient unevision du relief et une restitution plane de plusieurs photographies grce lobservationde couples de clichs dans des appareils spcifiques (appareils de restitution photogram-mtrique). Le trac des courbes de niveau (chap. 10 1) sur la carte permet davoir uneide prcise de son relief.

chelle et orientation des clichs

Une photographie ne permet pas dobtenir une chelle constante et prcise sur toute sasurface. De plus, les diffrents clichs devront pouvoir tre juxtaposs afin dobtenir descartes plus tendues ; ils doivent donc tre orients les uns par rapport aux autres enrespectant exactement la mme chelle.

Ces problmes introduisent la ncessit de disposer dun systme de coordonnesgnral dans lequel des points dappui sont connus dans les trois dimensions (X, Y et Z).On se sert de quelques points reprs sur un clich et connus dans le systme de coordon-nes gnral pour effectuer un calage et une mise lchelle des clichs. Ceci impliquedonc de disposer sur le terrain dun moyen de matrialisation du repre gnral, parexemple des points dappui connus. Les rseaux godsiques de points connus en plani-mtrie (coordonnes X, Y) et/ou en altimtrie (coordonne Z) permettent de rpondre cet objectif en mettant la disposition de chacun un canevas de points dtermins demanire absolue et avec la plus grande prcision possible dans le systme gnral (chap.2 4 et 5). Une des missions de lIGN (Institut Gographique National) est de mesureret de tenir jour ce canevas. Il est vident que plus il est dense et plus les oprations depositionnement sur le terrain sont facilites. Les techniques dtablissement et de densi-fication de canevas sont dtailles au chapitre 11. Il faut y ajouter la densification parmesures assistes par satellites (GPS ; chap. 7 1).

Visibilit des dtails

Tous les dtails du terrain ne sont pas visibles sur un clich, certains tant cachs par desconstructions ou de la vgtation, etc.

Il faut donc complter les manques dinformation dun clich par des mesures sur leterrain. Par exemple, pour ajouter le trac dun chemin forestier, il faut dterminer sespoints daxe dans le repre gnral et mesurer sa largeur ; donc tre capable de mesurerdes coordonnes relatives sur le terrain dans les trois dimensions X, Y et Z. Ceci introduitla ncessit de disposer dappareils de mesure de distances et dangles : le thodolitepermet daccder aux informations angulaires (chap. 3), les mesures de distances sontralises avec de nombreux instruments, les plus courants tant le ruban et linstrumentde mesure lectronique des longueurs (IMEL ; chap. 4). Pour effectuer des mesuresrelatives en altimtrie, on utilise la technique du nivellement indirect avec un thodolitecoupl un IMEL (chap. 6) ou bien, pour plus de prcision, le nivellement direct avecdes appareils appels niveaux (chap. 5). La technologie GPS permet le calcul direct decoordonnes dun point dans un systme gocentrique sans mesure dangles ni de

INTRODUCTION

distances. Elle donne ainsi un accs direct un systme gnral en tout point du territoireavec une grande prcision (de lordre de quelques millimtres au km). Il faut tout demme disposer dau moins un point dappui car la dtermination prcise est relative etnon pas absolue.

Reprsentation plane

Pour juxtaposer plusieurs clichs et obtenir une carte petite chelle (par exemple, lacarte de base au 1/25 000 dite par lIGN), on se heurte au problme de la reprsentationplane de la sphre terrestre.

Il est physiquement impossible de reprsenter une surface sphrique plat sur une carte,sans dformations. De plus, la terre nest pas une sphre : elle est plus proche dun ellipsode de rvolution. Pour obtenir des cartes cohrentes petite chelle, il fautdonc tudier la forme de la terre cest une des finalits de la godsie qui devra enparticulier dfinir les axes de rfrence du systme de coordonnes gnral ou encoredfinir la surface de rfrence des altitudes et mettre au point des systmes de projec-tion qui minimisent les dformations (chap. 2 3). Il faut galement sintresser laformation et lvolution du relief terrestre au travers de la topologie.

La juxtaposition des cartes lchelle de plusieurs nations ncessite une harmonisationdes systmes de projection et de coordonnes adopts dans chaque pays (par exemple lerseau europen EUREF).

Interprtation des clichs

Les dtails visibles sur un clich ne sont pas toujours faciles identifier pour des non-spcialistes : nous ne sommes pas habitus la vision cartographique de notreenvironnement.

La reprsentation finale devra donc interprter et rendre lisibles les trs nombreusesinformations dune photographie.

Systmes dinformations gographiques

La cartographie moderne ne se satisfait plus des seules informations gomtriques duterrain : on cherche de plus en plus leur associer des informations thmatiques. Parexemple, associer une parcelle de terrain le nom de son propritaire, la surface cons-tructible ou construite, etc.

Ceci ouvre la voie des systmes de traitement numrique des clichs en association avecdes banques de donnes gographiques (SIG ou Systmes dInformation Gographiques,chap. 7 5.5 et chap. 8 4).

INTRODUCTION

Cartographie grande chelle

Raisonnons maintenant partir dun autre exemple : la prparation, lexcution et le suividun chantier de construction.

Lever de dtails

Pour un chantier, il faut disposer de plans et de cartes moyenne et grande chelle quela photogrammtrie ne peut pas toujours fournir, pour des questions de prcision et decot.

Il faut donc tablir cartes et plans en allant lever sur le terrain la position et la nature desobjets naturels et artificiels (chap. 8 2) : cette opration peut tre faite par des mesuresdangles, de distances et de diffrences daltitudes ou par des mesures GPS qui fournirontdes coordonnes dans le systme gnral. Pour certaines constructions de petite tendue,trs isoles ou ne disposant pas proximit de points dappui matrialisant le systmegnral de coordonnes, on peut simplement travailler dans un repre local associ laconstruction.

Loutil idal pour ce type dopration est la station totale (chap. 7 3) ou le niveaunumrique (chap. 5 4 et chap. 7 2) en raison de leur facilit demploi et de leurspossibilits de stockage des informations rcupres ensuite par un logiciel informatique( chap. 7 2 et 3).

Informations altimtriques sur cartes et plans

Avant la ralisation dun projet de construction, une phase dtude permet den prvoirle cot, la faisabilit, limpact sur lenvironnement, etc. Les informations sur laltimtriedu terrain naturel sont souvent primordiales : elles permettent, par exemple, partir descalculs de profils en long et en travers (chap. 10), de chiffrer les projets routiers, lescourbes de niveau tant la principale information altimtrique sur les cartes et les plans.

Remarque

Un logiciel de topographie performant est capable de rcuprer les informations levessur le terrain et de tracer partir dun semi de points (ensemble de points rgulirementrpartis sur le terrain et connus en coordonnes tridimensionnelles) une modlisationdu terrain (modle numrique de terrain ou MNT), puis den dduire les courbes deniveau. Les calculs se poursuivent ensuite par des tracs et calculs automatiques deprofils en long, profils en travers, cubatures, etc.

Canevas de points

Enfin, un projet de construction ncessite le positionnement sur le terrain des axes destravaux raliser ainsi que leur contrle en cours dexcution. La construction ralisersinsrant gnralement dans un ensemble existant, il faut sappuyer sur un canevas de

INTRODUCTION

points connus en systme gnral ou local. Lune des premires tches accomplir endbut de chantier consiste donc disposer proximit des repres planimtriques etaltimtriques durables et accessibles.

Les diffrentes techniques dimplantation (chap. 9) ncessitent de nombreux calculs(tome 2 chap. 3 et 4) fonds sur des connaissances mathmatiques (tome 2 chap. 5).Parmi les techniques modernes employes sur les chantiers pour le guidage et le position-nement, le laser est de plus en plus rpandu (chap. 7 4).

Lorganigramme ci-dessous rsume cette introduction.

Lordre choisi pour les chapitres est thoriquement celui de lapprentissage (bien que lesrecoupements soient invitables).

Organigramme des oprations topographiques

INTRODUCTION

Bien quils constituent un prliminaire indispensable, les outils mathmatiques sontrepousss en fin douvrage pour insister sur le fait que, comme linformatique, lesmathmatiques ne sont quun outil.

GODSIE, CARTOGRAPHIE

GODSIE,

CARTOGRAPHIE

GNRALITS ET DFINITIONSLa godsie est une des sciences de base ncessaires au topographe. Sa matrise nest pasindispensable : elle relve du domaine du spcialiste mais un aperu centr sur lesincidences de la forme et des caractristiques de la terre sur la topographie est indispen-sable. Ceci permet dintroduire et de justifier les problmes de projection plane et leursincidences sur la carte de base, les choix de points et de surfaces de rfrence pour unsystme de coordonnes gnral, etc. Mais, dfinissons dans un premier temps, levocabulaire de base.

Topomtrie : du grec topos signifiant le lieu et mtrie signifiant lopration de mesurer.Cest donc lensemble des techniques permettant dobtenir les lments mtriquesindispensables la ralisation d'un plan grande ou trs grande chelle (voir Lever dedtail, chap. 8).Ces lments ncessitent diffrentes mesures sur le terrain suivies de nombreux calculs,schmas et croquis. Cest un domaine vaste qui demande de nombreuses comptencesauxquelles loutil informatique est aujourdhui indispensable.Topographie : association de topos et de graphein qui, en grec, signifie dcrire. Cestdonc la science qui donne les moyens de reprsentation graphique ou numrique dunesurface terrestre.

La nuance entre ces deux techniques rside dans le fait quen topographie le terrain estreprsent in situ alors quen topomtrie les calculs et reports sont des phases ultrieuresau travail sur le site.

Topologie : cest la science qui analyse les lois gnrales de la formation du relief par lesdformations lentes des aires continentales appeles mouvements pirogniques,


attnus ultrieurement par les actions externes : rosion due la mer, au vent, la glace, leau et la neige.

Godsie : cest la science qui tudie la forme de la terre. Par extension, elle regroupelensemble des techniques ayant pour but de dterminer les positions planimtriques etaltimtriques dun certain nombre de points godsiques et repres de nivellement.

Cartographie : cest lensemble des tudes et oprations scientifiques, artistiques ettechniques intervenant partir dobservations directes ou de lexploitation dun docu-ment en vue dlaborer des cartes, plans et autres moyens dexpression. Ci-aprs, estdonne une classification des cartes en fonction de leur chelle et de leur finalit :

Canevas : cest lensemble des points connus en planimtrie et/ou en altimtrie avec uneprcision absolue homogne.

FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERRE

Gode

En apparence la Terre a la forme dune sphre. En fait, elle est lgrement dforme parla force centrifuge induite par sa rotation autour de laxe des ples : la Terre nest pas uncorps rigide. Cette dformation est relativement faible : tassement de 11 km au niveaudes ples par rapport un rayon moyen de 6 367 km et renflement de 11 km au niveaude lquateur. Elle a donc laspect dun ellipsode de rvolution dont le petit axe est laxede rotation : laxe des ples (fig. 2.2.).

chelles Finalit

1/1 000 000 1/500 000 Cartes gographiques

1/250 000 1/100 000 Cartes topographiques petite chelle

1/50 000, 1/25 000 (base), 1/20 000 Cartes topographiques moyenne chelle (IGN)

1/10 000 Cartes topographiques grande chelle

1/5 000Plans topographiques dtude, plans durbanisme

1/2 000Plans doccupation des sols (POS), descriptifs parcellaires

1/1 000, 1/500 Plans parcellaires, cadastraux urbains

1/200Plans de voirie, dimplantation, de lotissement

1/100 Plans de proprit, plans de masse

1/50 Plans darchitecture, de coffrage, etc.


La Terre est une surface en quilibre. La surface du niveau moyen des mers et ocansau repos na pourtant pas une forme rgulire et ne concide ainsi pas avec un ellipsodede rvolution : elle nest pas rgulire mais ondule, prsente des creux et des bosses(fig. 2.1.). Par exemple, la surface de la mer se bombe au-dessus dun volcan et se creuseau-dessus des grandes fosses ocaniques parce que les reliefs crent des excs ou desdficits de matire produisant ainsi des variations locales du champ de pesanteur. Or lasurface dun fluide en quilibre est en tout point normale aux forces de pesanteur : on ditquelle est quipotentielle du champ de pesanteur. La Terre, non rigide, peut treconsidre comme un fluide ; la direction des forces de pesanteur varie dun endroit unautre en raison de la rpartition htrogne de la matire composant la Terre ; sa surfacenest donc pas rgulire.

La surface des mers et ocans au repos recouvrant toute la Terre est appele gode(fig. 2.1.) ; voir aussi le paragraphe 6.1.

Le gode, niveau des mers prolong sous les continents, est donc une surface gauche laquelle on ne saurait appliquer des relations mathmatiques de transformation. Il est lasurface de rfrence pour la dtermination des altitudes, autrement dit la surface deniveau zro. En ralit, la rfrence en altitude dpend du choix du repre fondamentalet du systme daltitude. Il sensuit que la surface de niveau zro est lgrement diff-rente du gode ; lcart est constant et reprsente laltitude du point fondamental au-dessus du gode (se reporter au paragraphe 6.3.).

Remarque

Lorsque le topographe (ou le maon) cale la bulle de son niveau, il matrialise un plantangent au gode qui correspond la surface dquilibre des eaux (pente dcoulementdes eaux nulle). On obtient ainsi partout lorientation de la verticale physique dunlieu. Il est intressant de noter quaucune autre rfrence noffre de telles facilits.

Fig. 2.1. : Ellipsode et gode


Ellipsode de rvolution

Dfinitions

La surface la plus proche du gode est un ellipsode de rvolution, cest--dire unvolume engendr par la rotation dune ellipse autour dun de ses deux axes. La terretournant autour de laxe des ples (de demi-longueur b, fig. 2.2.), cette rotation engendreun cercle quatorial de rayon a.

Les dimensions de lellipsode sont dtermines en comparant la distance par mesuresgodsiques et la diffrence de latitude par mesures astronomiques entre deux pointsdun mme mridien.

Un mridien est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan contenant laxe des ples :cest donc une ellipse.

Un parallle est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan perpendiculaire laxe desples : cest donc un cercle.

Tous les mridiens sont gauxentre eux ( quelques carts prs).Leur rayon de courbure diminuedes ples vers lquateur, doncleur courbure (inverse du rayon)augmente.

Il nexiste pas un ellipsode global unique mais plusieurs ellipsodes locaux dfinis pourchaque pays, chacun adoptant un ellipsode le plus proche possible du gode local. Ceciexplique que les ellipsodes diffrent dun pays lautre. Pour la godsie franaise, onutilise lellipsode dfini en 1880 par Clarke et dont les caractristiques, trs lgrementmodifies par lIGN par rapport lellipsode initial, sont les suivantes :

l Demi-grand axe : a = 6 378 249,20 ml Demi-petit axe : b = 6 356 515,00 m

l Aplatissement : 1

l Excentricit e :

1 f vient de flattening en anglais.

Fig. 2.2. : Ellipsode de rvolution

f a ba

------------

1293 466 021 3,-----------------------------------= =

e2 a

2 b2a

2---------------- 0 006 803 487 646,= =


Cest lellipsode de rfrence actuellement utilis comme surface de projection pourltablissement de cartes et plans assez tendus.

Il a t choisi le plus proche possible du gode, cest pourquoi :

l il est tangent au gode au Panthon, Paris ;l les carts entre gode et ellipsode ne dpassent pas 14 m en France (voir 6.1).

Ces caractristiques sont en cours de modification afin de mettre en place un systmeinternational, de plus en plus ncessaire. Le dveloppement du GPS et des travaux degodsie raliss au niveau europen imposent ces modifications (voir 5.3).

Autres ellipsodes

Comme nous lavons dit au paragraphe prcdent, dautres ellipsodes ont t ou sontutiliss. Leurs caractristiques sont les suivantes :

Lellipsode Clarke 1880 (IGN) est associ au systme national appel Nouvelle Trian-gulation Franaise utilisant la projection Lambert (voir 3.4).Le systme WGS 84 (World Gnral System 1984) sert de base au systme gocentriquede rfrence utilis en GPS (chap. 7 1). Son ellipsode IAGRS 80 est trs proche deGRS 80 (Geodetic Reference System 1980).Le systme European Datum 1950 utilise la projection Universal Transverse Mercator(voir 3.5).

Le tableau suivant donne les dcalages dorigine tx, ty et tz connus quelques mtres prsdans un repre gocentrique dfini au paragraphe 2.2.3.1. pour les couples IAGRS 80 -Clarke 80 et Hayford 09 - Clarke 80. Pour le premier couple, sont galement donns lefacteur dhomothtie k et les rotations daxes rx, ry, et rz.

Ellipsode grand axe a (m)

petit axe b (m)

Excentricit e1/aplat. 1/f

Syst. godsiquePoint fondamental

ProjectionMridien origine

Clarke 1880

6 378 249,200

6 356 515,000

0,082 483 256 763

293,466 021 3

NTF

Panthon

Lambert

Paris

Hayford 1909

6 378 388,000

6 356 911,946

0,081 991 890 22

297,000 000 0

ED 50

Potsdam

UTM

Greenwich

GRS 19806 378 137,000

6 356 752,300

0,081 819 218 06

298,257 025International

IAGRS 1980

6 378 137,000

6 356 752,314

0,081 819 191 31

298,257 222 101WGS 84


Ces paramtres permettent detransformer les coordonnes depoints dun systme un autre parune similitude euclidienne (adap-tation du type Helmert dfinie autome 2, chapitre 1, 10.3) troisou sept paramtres selon la pr-cision cherche (voir aussi tome 2chap. 5 8.2.8). Pour la cartogra-phie petite chelle, la prcisionde quelques mtres est suffisanteet on peut ainsi se contenter decette similitude trois paramtres.Pour plus de prcision (dcimtri-que), on utilise une similitude sept paramtres dtermins localement par observationde points connus dans deux systmes diffrents. Par exemple, dans les prochaines di-tions de ses fiches de points godsiques, lIGN proposera les paramtres de la transfor-mation trois ou sept paramtres la mieux adapte chaque lieu pour passer du systmeWGS 84 (ellipsode IAGRS 80) au systme NTF (ellipsode Clarke 80) puis au systmeRGF 93 (voir 5.3).

Systmes de coordonnes

Systme gocentrique

Un systme de rfrence gocen-trique est un repre (O, X, Y, Z)(fig. 2.3-a.) tel que :l O est proche du centre des

masses de la terre (au mieux quelques dizaines de mtresprs pour les systmes ralisspar godsie spatiale) ;

l laxe OZ est proche de laxe derotation terrestre ;

l le plan OXZ est proche du plandu mridien origine.

Dans un systme de rfrence godsique, un point de la crote terrestre est considrfixe bien quil soit soumis de faibles mouvements, dus aux mares terrestres, duneamplitude infrieure 30 cm et aux mouvements tectoniques, provoquant des dplace-ments infrieurs 10 cm par an.

De :Vers :

IAGRS 80 Clarke 80

Hayford 09 Clarke 80

tx (m) 168 84

ty (m) 60 37

tz (m) 320 437

rx (gon) 0

ry (gon) 0

rz (gon) 0,554

k = 1 + d 1 21,98 . 108

Fig. 2.3-a. : Coordonnes gocentriques


Systme Gographique

Laxe de rotation de la terre estlaxe des ples PP. Le cercle per-pendiculaire laxe des ples estlquateur. La demi-ellipse mri-dienne passant par les ples et parun point A est la mridienne de A(fig. 2.3-b.).Un point sur lellipsode estrepr par sa longitude et sa lati-tude (rapportes la normale (na) lellipsode en A).Elles sont dfinies ci-aprs.

l Longitude () : la longitude dun lieu A est langle didreform par le mridien du lieuavec le mridien origine. Elleest comprise entre 0 et 180 Est ou Ouest. Le mridien origine international est celuide Greenwich (observatoire de la banlieue de Londres).

l Latitude () : la latitude de A est langle que fait la verticale (na) de A avec le plande lquateur. Elle est comprise entre 0 90 Nord ou Sud. Les cercles perpendicu-laires la ligne des ples PP sont appels parallles : ils sont parallles au plan delquateur.

Hauteur ellipsodale (h) : un point A situ sur la surface de la terre et sur la mmeverticale que A, on associera une troisime coordonne correspondant la hauteur au-dessus de lellipsode, note h, mesure suivant la normale (na).

RemarquePar la suite, nous parlerons plus volontiers de coordonnes godsiques puisquellessont associes un ellipsode donc un systme godsique donn.

Systmes godsiques

Un systme godsique est dfini par :

l un ellipsode, choisi le plus proche possible du gode local ;l un systme de reprsentation plane ;l un point fondamental (sauf dans le cas dun systme gocentrique o il ny a pas de

point fondamental) dont les coordonnes sont dtermines par des mesuresastronomiques ; en ce point, la normale lellipsode est confondue avec la verticalecest--dire la normale au gode.

Fig. 2.3-b. : Coordonnes gographiques


La ralisation dun systme godsique est concrtise sur le terrain par un rseau depoints connus en coordonnes dans ce systme. Cette ralisation tant fonction destechniques de mesure, de calcul et de leurs volutions, il peut exister plusieurs ralisa-tions dun mme systme godsiques.

Calculs sur lellipsode

Courbes sur une surface

Normale, plan tangent et courbure

Toutes les tangentes (Mt, Mt) aux courbes tracesau point M sur une surface () sont dans un mmeplan appel plan tangent au point M ().La perpendiculaire au point M au plan tangent estappele normale la surface.

La courbure est linverse du rayon .

Section normale

Un plan contenant la normale( ) coupe la surface () selonune courbe plane appele sectionnormale. Quand le plan normal(P) pivote autour de la normale( ), la courbure de la sectionvarie entre deux valeurs extrmes et (fig. 2.5.).Ces deux valeurs correspondent deux sections normales perpen-diculaires (S) et (S) appelessections normales principales.

La courbure totale de la surface en M est le produit .. On note que cette courburetotale, produit de deux courbures, nest pas homogne une courbure.

Appliquons ces proprits lellipsode de rvolution.

Fig. 2.4. : Normale une surface ( )

n

1R---=

Fig. 2.5. : Section normale

n

n


Les sections normales principales en M(fig 2.6.) sont les suivantes :l lellipse mridienne, qui est la trace de

lellipsode de rvolution autour de laxedes ples sur le plan de cet axe ; son rayonde courbure est CM ; on le note ;

l la section normale perpendiculaire derayon de courbure JM not ; ce rayon estappel grande normale et parfois not ( ).J est lintersection de la normale et du petitaxe.

La courbure totale est : .

Si le point M est sur lquateur, la sectionnormale lellipse mridienne est lquateur etle rayon de courbure est : JM = a ; J est situ au point O.

Si le point M est aux ples, la section perpendiculaire lellipse mridienne est aussi uneellipse mridienne : alors = .

En dfinissant lexcentricit e telle que : ; on dmontre que :

dune part avec ;

dautre part (e2 = 6,803 487 646 . 103, ellipsode de Clarke).

On retrouve alors que :

l pour un angle , tel que = 0 gon lquateur, on obtient : = a 6 378,25 km :cest le rayon du cercle correspondant lquateur ; le point J se situe au point O ; = b2/a 6 334,85 km : cest le rayon de courbure lquateur de lellipse mri-dienne.

l pour un angle tel que = 100 gon au ple, J et C sont confondus ; = = a2/b 6 400,06 km : cest le rayon de courbure des ellipses mridiennes aux ples.

ExempleSur le parallle = 49 gon, on a :

l le rayon de courbure de lellipse mridienne 6 366,29 km.l le rayon de courbure de lellipse normale principale 6 388,78 km.

Fig. 2.6. : Section normale de lellipsode

N

1 ----------=

e2 a

2 b2a

2----------------=

a 1 e2

( )w

3----------------------= w 1 e2 sin2=

aw----=


Courbe quelconque sur une surface

Considrons une courbe gauche sur laquelle est dfinie en M une tangente Mt. Le planlimite P de deux tangentes infiniment voisines est appel plan osculateur et la perpendi-culaire la courbe situe dans ce plan est la normale principale ( ).En gnral, la normale principale est diffrente de la normale la surface ( ).

Les courbes telles que ( ) confondue avec ( ) sont appeles godsiques ; elles ont desproprits intressantes puisque :

l entre deux points, la godsique est la ligne de longueur minimale ;l la courbure dune godsique est la courbure de la section normale qui lui est

tangente.

Godsiques

Godsiques de la sphre

Les godsiques de la sphre sont des grands cercles. En tous points de ces cercles, lanormale principale passe par le centre de la sphre ; elle est donc confondue avec lanormale la sphre. Les angles compris entre une godsique et les mridiens sont tousdiffrents.

Pour aller du point M au point M, le plus court chemin est la godsique ; ces grandscercles, trajectoires de longueur minimale, sont appels orthodromie (fig. 2.9.).

N

n

Fig. 2.7. : (P) plan osculateur Fig. 2.8. : Godsique

N n


On dfinit la loxodromie comme une courbe qui coupe tous les mridiens sous un azimutconstant Z (voir la dfinition dun azimut au 4.2) ; entre les deux points A et B, lechemin le plus court est la godsique ; la loxodromie, plus facile suivre, oblige parcourir un trajet plus long (fig. 2.10.).

Godsiques de lellipsode

Entre deux points A et B de lellipsode passe une godsique (G) qui reprsente latrajectoire la plus courte de A B. (G) est une courbe gauche, trs voisine des sectionsnormales (naB) et (nbA).Les angles mesurs depuis les points A et Bsont les angles didres entre les plans verticauxcontenant chacun des points viss A et B,larte tant la verticale de chaque station ; onassimile les verticales de chaque station auxnormales la surface et les traces des plansverticaux aux godsiques joignant les points.Le point B est repr depuis le point A parlazimut Az (fig. 2.11.). Langle est comptpositif en sens horaire depuis le mridien de Avers la vise AB, et la distance AB est la lon-gueur de la godsique.

Fig. 2.9. : Orthodromie Fig. 2.10. : Loxodromie

Fig. 2.11. : Godsique de lellipsode


Conclusion

Il nexiste pas de calculs trigonomtriques sur lellipsode. On est donc amen utiliserla trigonomtrie sphrique (tome 2 chap. 5 4.4) et adopter la sphre se rapprochantle plus de lellipsode dans la rgion considre.

Son rayon RN est gal :

Au voisinage du parallle 49 gon pour lellipsode Clarke 1880, on a RN = 6 377,53 km.

En reprenant les expressions de et , rayons de courbure dessections normales principales, ( 2.3.1.2), on obtient :

avec : a, longueur du demi grand axe de lellipsode en mtre;e, excentricit ( 2.2.2) ;, latitude de la rgion considre.

a) Calculez le rayon RN de la sphre au voisinage des parallles 52 gon et 55 gon.b) Calculez le rayon de la sphre RN aux latitudes extrmes de la France mtropolitaine(environ 47 et 57 gon).

a) 6 379,58 et 6 381,62 km.b) 6 376,16 et 6 382,96 km. On peut donc prendre comme valeur moyenne de RN enFrance : RN 6 380 km. On trouve aussi comme valeur moyenne du rayon terrestre

.

REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODE

Introduction

Tous les systmes de projection de la surface dun ellipsode sur un plan dformentles longueurs.

RN =

RNa 1 e2

1 e2 sin2-------------------------------=

Application

Rponse

R a b+2

------------= 6 367 km


Par suite, la reprsentation plane de lellipsode nest quune correspondance ponc-tuelle entre points de lellipsode M (, ) et points du plan m (E, N), E pour coordonneEst (ou x) et N pour Nord (ou y) (fig. 2.12.).Les figures traces sur lellipsode seront donc dformes quelle que soit la reprsenta-tion adopte.

Dformations des figures

Calcul du module linaire

Soit un arc de courbe sur lellipsodeauquel correspond un arc de courbe sur le plan (fig. 2.13.). On appelle modulelinaire m le rapport :

On remarque que le module linaire mvarie avec la position de I et la direction deIJ.

m est aussi appel module de rduction la projection : cest le rapport de la longueurde limage sur un plan de projection dune courbe la longueur de la courbe sur lellip-sode.

Fig. 2.12. : Reprsentation plane

Fig. 2.13. : Dformation dun arc

IJ

)

ij)

mijIJ------

dsdS------= =

))


Indicatrice de tissot

En un point I, llment darc de longueur dS a pour image de longueur m . dS= ds. Lorsque J dcrit le cercle de centre I de rayon dS, j dcrit autour de i une ellipse derayon vecteur ds = m . dS. Limage du cercle de rayon dS = 1 est une ellipse de demi-axesa et b, appele indicatrice de Tissot (fig. 2.14.). Lindicatrice de Tissot reprsente localement les variations de m ; elle change de dimen-sions en tout point.

Altrations linaire et angulaire

Le coefficient daltration linaire est dfini par :

Laltration angulaire est la diffrence des angles entre les arcs lmentaires correspon-dants, soit .

Classification des reprsentations

Toutes les reprsentations dforment les distances. Il est toutefois possible de calculerdes correspondances.

l Si les angles entre courbes correspondantes sont gaux, on dit que la reprsenta-tion est conforme. m est uniquement fonction du point I et indpendant de la directionIJ ; lindicatrice de Tissot est un cercle (fig. 2.15.).

On utilise principalement deux types de reprsentation :

l le systme de projection conique o lellipsode est projet sur le cne tangent un parallle ; donc seule la rgion proche de celui-ci est correctement reprsente ;

IJ

)

ij)Fig. 2.14. : Indicatrice de Tissot

k ds dSdS

------------------ m 1= =

ij , ik( ) IJ , IK( )


le systme de projection cylindrique o lellipsode est projet sur un cylindre circons-crit le long de lquateur ou dun mridien ; dans ce dernier cas, la reprsentation est ditecylindrique transverse (fig. 2.16.) ; le dveloppement du cylindre permet de ne repr-senter correctement que les seules rgions voisines du mridien de tangence.

l Si les surfaces des figures lmentaires sont gales, on dit alors que la reprsenta-tion est quivalente.

Par exemple, la projection de Bonne, utilise par F. Bonne au XVIIIe sicle pour tablir lacarte dtat-major au 1/80 000, est dduite de la projection conique dont le parallleorigine et le mridien origine sont conservs. On trace les parallles concentriques auparallle origine aprs avoir report leurs espacements le long du mridien origine. Ontrace ensuite les mridiens aprs avoir report leurs espacements sur chaque parallle ;on obtient alors des quadrilatres dont les dimensions (espacements des parallles et desmridiens) sont conserves, donc la superficie lest galement. Mais les angles et lesdistances tant dforms, ces altrations sont aujourdhui inacceptables pour dresser lesnouvelles cartes de base au 1/20 000.

Fig. 2.15. : Reprsentation conforme

Fig. 2.16. : Diffrentes projections planes


Reprsentation conique, directe, tangente et conforme : reprsentation de lambert

Gnralits sur les reprsentations planes conformes

Module linaire m

Le module linaire m garde une valeur constante le long de lignes appeles isomtres ;il est toujours positif, jamais nul. La ligne sur laquelle m est son minimum sappellelisomtre centrale.

Lisomtre sur laquelle m = 1 (sansdformation), est le parallle de tan-gence du cne.

m est fonction de la distance d (dansle plan, fig. 2.17.) entre le point i etlisomtre centrale ; cette fonctionest du type m = 1 + c d 2 o c estune constante, d en m ou km et c enm2 ou km2 (voir dmonstration auparagraphe 3.4.2.1.).

Aussi, le coefficient altration linaire est :

Image dune godsique (G) de lellipsode

Limage plane (g) de la godsique (G) nest pas une droite mais une courbe quelconque(g) (ab, fig. 2.18.). La courbure de (g) est nulle dans la direction perpendiculaire auxisomtres ainsi que sur lisomtre centrale. Limage dun arc lmentaire de (g) est unsegment de droite (ab ou ac, fig. 2.19.).

Fig. 2.17. : Distance dune isomtre lisomtre centrale

k m 1=

Fig. 2.18. : Image dune godsique


La concavit de limage plane (g) est tournevers lisomtre centrale. Exemple : arcs ab et cd,fig. 2.20-a. Lorsque la transforme (g) de la go-dsique (G) coupe lisomtre centrale, leur pointdintersection est pour limage plane (g) un pointdinflexion.

Reprsentation conique directe

Dans une telle reprsentation (fig. 2.20-b.) :l les mridiens ont pour image des droites

concourantes au point p, image du ple P ;

l les parallles ont pour image des cercles concentriques de centre p et de rayon 5.Lespacement irrgulier des parallles permet dassurer la conformit de laprojection ;

Fig. 2.19. : Image de deux godsiques particulires

Fig. 2.20-a. : Concavit dune godsique

Fig. 2.20-b. : Reprsentation conique directe


l le point A de lellipsode de coordonnes gographiques (, ) a pour image sur leplan le point a de coordonnes polaires (5, ) telles que : 5 = f () et = g(). Cesrelations sont indpendantes (fig. 2.21.).

Reprsentation conforme

Dans une reprsentation conforme, il y a galit du module linaire en un point danstoutes les directions autour de ce mme point, et en particulier en direction du parallleet du mridien. Donc, m = m (m est le module dans la direction du parallle de latitude et m le module dans la direction du mridien de longitude ). Ils sont dfinis par :

Fig. 2.21. : Reprsentation conique directe


et

o r est le rayon du parallle de latitude ,5 est le rayon du cercle image sur le plan du parallle de latitude , est le rayon de courbure de lellipse mridienne.

Do on dtermine la convergence des mridiens par intgration :

[1]

Ces deux drives sont indpendantes donc gales une constante K.

On en dduit [2], do

est la convergence des mridiens ;o est la longitude du mridien origine ; dans la reprsentation Lambert, le mri-dien origine est le mridien de Paris.

Par ailleurs, de [1] et [2] on dduit que : [3]

Par intgration de [3], on obtient la latitude isomtrique :

est exprim en radians ;e est lexcentricit dfinie au paragraphe 2.2.1.

En intgrant [3], on obtient : On remarque que C = 5 pour = 0. La constante C est donc gale au rayon du cercle-image de lquateur 5E.

Reprsentation tangente

Une reprsentation tangente admet pour isomtre centrale un parallle de latitude o

(fig. 2.22.). Sur lisomtre centrale, le module linaire est ;

donc ; or ; on en dduit :

maa1

AA1-----------=

5 dr d--------------- m

aa2AA2-----------

d5 d--------------=

dd------

d55

--------

r

d--------------=

dd------ K= K o( ).=

d55

-------- K dr

----------- K d cos-------------------- K d= = =

d cos-------------------- pi4--- 2---+ tanln e2--- . 1 e sin+1 e sin----------------------------ln= =

5 C K( )exp=

m5o

ro------- K 1==

Kro

5o

-------

o ocos5o

---------------------= = sin oro

5o

-------= K o o( )sin o5o o ocot=

=

sin=


partir de [3], par intgration entre lisomtre centrale o et un parallle , on obtient :

do

donc

et

Calculer le rayon 5

et la convergence des mri-diens pour le point ayant pour caractristiques = 54,273 618 gon, = 2,607 614 3 gon, origineGreenwich, ces coordonnes gographiques tantdonnes sur lellipsode Clarke 80. Le paralllede tangence est situ o = 55 gon. Le mridiende Paris est o = 2,596 921 296 gon (2 2014,024 999) lEst de Greenwich.

= 0,008 131024 gon ; = 0,974 594 822 rad, o = 0,991 996 665 rad, 5o = 5 458 286,187 m ;5 = 5 530 992,755 m.

Module linaire et altration linaire

Calcul de la valeur du module linaire ou module de rduction la projection

Dans une zone voisine de lisomtre centrale de latitude o , le module linaire m est

dfini par m = 1 + o R2 = . et d est la distance du point lisomtre centrale o.

Dmontrons ce rsultat en nous reportant la figure 2.21. du paragraphe 3.4.1.3. ci-avant.

Les points A et A2 tant trs proches, on assimile larc AA2 la tangente en A (ou en A2) ;ainsi, dans le triangle rectangle AHA2, AH = dr (dr ngatif), langle A2 est gal . Ona : dr = AA2 . sin ; or AA2 = . d ;

do .

Fig. 2.22. : Isomtre centrale

d55

--------

o

K do=

5 5olnln K o( )=5

5o

-------ln K o( )=

5 5o exp o( ) osin[ ]=

Application

Rponse

d2

2R2---------

drd------ sin=


En reprenant lquation [3] du paragraphe 3.4.1.4,on obtient : .

Le module linaire m = peut sexprimer en

fonction de , parallle voisin de lisomtre cen-trale o, et se dvelopper comme suit :m(o) = 1 le long de om() = m(o)

+ ;

or car m = 1 sur lisomtre centrale de

latitude o ;

do m() = 1 + .

Pour dterminer on sait que m =

donc :

en drivant nouveau par rapport , on obtient suivi

de trois termes dans lesquels (K sino) est en facteur ; or K = sino.

Nous savons que et ro = o coso donc

do avec et o en radian.

o ( o ) reprsente la longueur de larc sur lellipse mridienne entre les latitudes et ; cest donc la distance entre lisomtre centrale et le parallle . Soit d cettedistance, on obtient alors :

en assimilant o . o = R2.

Fig. 2.23-a. : Calcul du module linaire

d5d-------- K 5

r------------=

5

r----- K

dmd------- 0

o( ) d2m

d2---------

0

o( )22

---------------------- ( )+ +

dmd------- 0

0=

d2md2---------

0

o( )22

---------------------- ( )+

d2md2---------

5

r-----K

dmd------- K

rd5d-------- 5

drd------

r2

-------------------------------

Kr

2---- K 5 5 sin ( ) K 5

r2

--------------------- K sin( )= = =

d2md2---------

0

K 5o o ro

2------------------------- ocos=

5o o ocot=d2md2---------

0

oo-----=

m ( ) 1 o2o-------- o( )2 ( )+ +=

m ( ) 1 o2o-------- o( )2+ 1

o2o--------

do-----

21 d

2

2R2---------++=


Laltration linaire sexprime alors comme suit :

Afin de rduire la grandeur de cette altration, le module linaire est multipli par unfacteur mL appel module de rduction dchelle, choisi de manire obtenir un modulelinaire gal 1 sur deux parallles 1 et 2, distants de 1 grade de latitude (soit100 km environ) de lisomtre centrale o (fig. 2.23-b.). On ralise donc pour chaqueparallle une homothtie par rapport son centre, ce qui revient rendre le cne scant lellipsode. Le rapport dhomothtie est mL = 1/m(1) = 1/m(2). Cette homothtieest pratiquement quivalente une translation du cne de projection vers le bas (fig. 2.23-b.). En effet, le nouveau module a pour valeur :

mr = mL . m() = m() / m(1 ou 2) =

Or, les termes et sont trs petits devant 1, donc on

peut crire que mr .

Donc mr 1+ soit .

Le terme vaut environ 0,999 877 = 1 12,3 . 105 quelle que soit

la zone Lambert.

Si les infiniment petits dordre suprieurs () ne sont pas ngligs, on obtient exacte-ment (1 12,258 . 105) pour la zone Lambert II, (1 12,25 . 105) pour la zone LambertIII et (1 12,266 . 105) pour la zone Lambert I.Le coefficient daltration linaire ( 106 prs) devient kr = (1 + d 2 / 2 R2) . (1 12,3. 105) 1 soit kr d2 / 2R2 12,3 . 105 quelle que soit la zone Lambert.

Remarque

Lisomtre centrale, sur laquelle le module linaire est minimum, reste limage duparallle o bien que le module linaire y soit diffrent de 1 (voir les valeurs de 1 et2 au 3.4.4.2.).

Dans lhomothtie dfinie prcdemment, le rayon de limage dun parallle est :

k m 1 d2

2R2---------=

1 o2o-------- o( )2+ / 1

o2o-------- 1 o( )2+

o2o-------- o( )2

o2o-------- 1 o( )2

1 o2o-------- o( )2+ 1

o2o-------- 1 o( )2

o2o-------- o( )2

o2o-------- 1 o( )2 mr m ( )

o2o-------- 1 o( )2

1 o2o-------- 1 o( )2

5 mL .5o o( ) osin[ ]exp=


Calcul de laltration linaire

Il est possible de calculer le coefficient daltration linaire sur un parallle distant de dde lisomtre centrale.

Exemple

d = 50 km de o kr 12,3 . 105 (3,1 12,3) . 105 = 9,2 cm/km

d = 150 km kr (27,6 12,3) . 105 = + 15,3 cm/km, etc.Il suffit donc de connatre la latitude dun point pour en connatre laltration linaire.

Soit un point la latitude = 48,42 gon. Il se situe 0,58 gon au sud de lisomtrecentrale 49 gon. Donc d 0,58 100 = 58 km, 1 gon en latitude donnant environ 100km sur la surface de lellipsode. En ce point, kr = 12,3 + 582 / (2 6 380)2 = 12,3+ 4,1 = 8,2 cm/km.

Sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGN propose un moyengraphique de calcul de kr : par exemple, pour la feuille de Grasse, kr est dtermin sur ungraphique quivalent celui de la figure 2.23-c.

La feuille est limite par deux mridiens de 0,2 gon de diffrence de longitude et par deuxparallles de diffrence de latitude 0,2 gon. Pour un point A de latitude 48,42 gon(exemple prcdent), on retrouve une altration kr gale 82 mm/km.

Fig. 2.23-b. : Artifice du cne de projection scant lellipsode

d2

2R2---------


Si le point est donn en coordonnes planes Lambert (E, N), il faut calculer ses coordon-nes gographiques et, dans ce cas, la latitude suffit puisque laltration est fonction dela distance lisomtre centrale. On peut aussi utiliser des abaques donnant kr en fonc-tion des coordonnes (chap. 4 7.1.6).

Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de calculer lecoefficient daltration linaire kr pour un point donn en coordonnes gogra-phiques ou Lambert ; le tableau ALTERAT.XLS permet dobtenir divers aba-ques donnant le coefficient kr pour toutes les zones Lambert.

Limage dune godsique

Limage de la godsique de lellipsode

Fig. 2.23-c. : Calcul de laltration linaire daprs la feuille IGN

AB

)

Fig. 2.24. : Image dune godsique


Limage dune godsique est une courbe dont la concavit est toujours tournevers lisomtre centrale de latitude o.

Pour effectuer des calculs dans le plan (rsoudre des triangles par exemple) partir desmesures angulaires ralises sur le terrain, les rductions faire sur sont (fig. 2.24.) :l connaissant le module linaire m, la rduction de la distance sur lellipsode la

distance plane de la corde , trs peu diffrente de larc ;

l la rduction des observations angulaires de larc la corde .

Il y a conformit dans la reprsentation, cest--dire que les angles sont gaux :

(fig. 2.24.).Les calculs sont effectus sur les triangles plans abc ; les angles du triangle sont ceuxdfinis par les cordes alors que les angles observs sont ceux dfinis par les arcs. Il fautdonc les corriger de la quantit dv (fig. 2.24.).

Rduction de larc la corde

On appelle cette rduction la correction de dv.

Cette correction sapplique soit aux gisements observs, soit aux directions observesafin dobtenir les gisements rels introduire dans les calculs.

Cette correction est accompagne dun signe : pour le connatre, il suffit de savoir,comme indiqu au paragraphe 3.4.1.2., que la transforme dune ligne godsique tournesa concavit vers le parallle origine (isomtre centrale) sur le plan (fig. 2.25-a.).

AB

)

ab)

AB

)

AB

)

ab ab)

ab) ab

AB, AC( ) ab, ac( )=

Fig. 2.25-a. : Signe des corrections de dv


On dmontre que cette correction est gale :

1/3 tant la courbure de au tiers de ab compter de a.

Remarquel La transforme de la godsiquentant pas un arc de cercle, on a

; cest pourquoi la cor-rection fait intervenir un point T, situ autiers de la courbe, qui correspond lacourbure moyenne (fig. 2.25-b.).l dv est nulle pour une vise perpendi-culaire aux isomtres car est nul.l est trs faible, par consquent larduction de dv est de lordre de quel-ques dmgon au maximum ; elle est sou-vent ngligeable, en particulier pour desvises de porte infrieure au kilomtre.

Cette rduction est galement note rC , qui signifie rduction la corde .

Calcul pratique de dv

On peut dterminer la valeur de dv au moyen de trois mthodes.

l Premire mthode : sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGNpropose un moyen graphique de calcul de dv : par exemple, pour la feuille de Grasse,on dtermine dv gale K . dM (fig. 2.26.), o dv est note c, dM tant la valeur (enkilomtres 0,5 km prs) en projection de la vise ab sur la direction des paralllesgographiques et K un coefficient donn en seconde centsimale par kilomtre, cest--dire en dmgon par km (K peut aussi tre extrapol sur une carte des altrations au1/500 000).Par exemple, on obtient pour la vise AB (fig. 2.26.) :l station en A (982 165,63 ; 154 744,35)l vise sur B (985 198,63 ; 165 754,74)On place ces points sur la carte : leurs coordonnes gographiques sont proches de5,27 gon Est de Paris et 48,44 gon Nord pour A, et 5,31 gon Est de Paris et 48,55 gonNord pour B. Au point T, situ au tiers de AB partir de A, la valeur de K est 0,41dmgon/km (fig. 2.26.).

vd ab12--- 1/3 ab=

ab)

Fig. 2.25-b. : Correction de dv

dvab dvba


l Pour AB, dM = 3 km, (cest la diffrence XA XB) on a dv = 3 . 0,41 = 1,2dmgon alors que la vise a une porte de 11 km.

l Deuxime mthode : partir de lexpression : dv = 0,1. 1/3 . km dans laquelle 1/3est une expression complexe tabule par lIGN en fonction de la latitude et ladiffrence de longitude entre les deux points.

l Troisime mthode : par la formule simplifie,

E (km): diffrence dabscisse entre les deux points ;N1/3 (km): ordonne du point situ au tiers de ab ;s : signe de la correction de dv fonction de la position de ab par rapport lisomtrecentrale et au mridien de la station (fig. 2.25-a.).

Calculez au moyen de la dernire formule de la correction de dv pour la vise ABdonne prcdemment.

dv = 1. 3,03 / 128 . (158,4 200) = 1 dmgon (pour une vise de 11 km).Voir dautres exemples de calcul, chap. 3 4.4.2 et 6.8.2

Le tableau ALTERAT.XLS du cdrom permet de calculer dv pour une visedonne. La fonction dv (Xstation, Ystation, Xvise, Yvis) ajoute aux fonc-tions dExcel par le tableau MENUTOPO.XLS effectue un calcul automatiquede dv (le numro de zone Lambert doit figurer dans les ordonnes en milliers dekilomtre).

Fig. 2.26. : Dtermination du coefficient K sur une feuille IGN

dvab sE

128--------- N1/3 de ab 200( ) dmgon.=

Application

Rponse


Emploi en France de la reprsentation Lambert

La reprsentation plane de lellipsode de Clarke est utilise en godsie et cartographiesous forme de zones champ restreint ( 3.4.4.2) dans le but de limiter les dformationsde rduction la projection.

Mridien origine oLe mridien origine ( = o ) est le mridien de Paris situ lObservatoire de Paris. Ilest une longitude o = 2,596 921 296 gon lEst du mridien de Greenwich. En France,le mridien de Greenwich passe proximit des villes de Tarbes, Angoulme, Le Manset Le Havre et celui de Paris prs de Carcassonne, Bourges et Amiens.

Isomtres centrales o

La France mtropolitaine est divise en quatre zones tages du Nord au Sud dont lalatitude des isomtres centrales est : 55 gon pour la zone Nord dite Lambert I ;

52 gon pour la zone centre dite Lambert II ;49 gon pour la zone Sud dite Lambert III ;46,85 gon pour la Corse dite zone Lambert IV.

Pour rduire laltration linaire enlimite des zones, on limite ces der-nires o 1,5 gon, soit 150 km depart et dautre de lisomtre centraleet on multiplie lellipsode modlepar un module de rduction dchellemL dont la valeur par zone est donnedans le tableau ci-contre.

Le coefficient daltration linairedevient alors kr 12 cm/kmsur lisomtre centrale o et lecoefficient daltration devient kr + 16 cm/km en limite de zone.

Les valeurs exactes du module derduction linaire mL = 1 + kr parzone sont donnes au paragraphe3.4.2.1. Nous les rappelons ci-contre.

A la limite de deux zones Lambert, sur une bande de recouvrement de 20 km de large,les coordonnes des points sont calcules dans les deux zones. En effet, les coordonneset la valeur de kr sont diffrentes pour le mme point exprim dans deux zones adjacentesdu fait de la diffrence des cnes de projection.

Latitude (gon) Module mL kr mL 1

o + 1,5 1,00016 + 16 cm/km

1 1 0

o 112.10

5 12 cm/km

2 1 0

o 1,5 1,00016 + 16 cm/km

Zone mL

I 0,999877 34 = 1 12,266.105

II 0,99987742 = 1 12,258.105

III 0,99987750 = 1 12,25.105

IV 0,999 944 71 = 1 5,529.105


Cest pourquoi une zone appele Lambert II tendue a t cre de manire obtenirun systme de projection valable sur tout le territoire ; elle consiste tendre le qua-drillage Lambert de la zone II (centrale) toute la France.Un chiffre prcdant directement lordonne prcise la zone dans laquelle se situe lepoint : 1 dans la zone I, 2 dans la zone II et 3 dans la zone III. Par exemple, le point decoordonnes 982 152,25 m et 3 154 989,65 m est un point de la zone Lambert III ; sonordonne dans cette zone est 154 989,65 m.

Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de transformerdes coordonnes exprimes en Lambert I, III ou IV en Lambert II tendu (voiraussi lexemple de calcul au paragraphe 3.4.5.2.).

Pour viter des coordonnes ngatives louest du mridien de Paris et au sud desisomtres centrales, on dcale les coordonnes du point origine de chaque zone (E0 ,N0) :

l E0 = Constante Est = 600 km louest ;l N0 = Constante Nord = 200 km au sud.

Ces constantes sont diffrentes pour la zone IV (Corse) ; elles sont donnes dans letableau ci-aprs.

La dernire ligne du tableau (IIt.) reprsente la zone Lambert II tendue tout leterritoire.

La carte (fig. 2.28.) montre le quadrillage Lam-bert par rapport aux mridiens et parallles.Chaque mridien devrait tre constitu en projec-tion de quatre lignes brises correspondant auxquatre zones Lambert, invisible cette chelle.En effet, les mridiens sont perpendiculaires auximages des parallles origines (isomtres cen-trales) et ces parallles ne sont pas rigoureuse-ment concentriques (fig. 2.27.).Reportez-vous au paragraphe 4. pour observerles rpercussions sur la carte de base au 1/25 000.

Zoneo

(gon)C ste Est(km)

Cste Nord(km)

5o

(m)m

L.5

o

(m)1

(gon)2

(gon)

I 55 600 200 5 458 286,187 5 457 616,674 53,998 358 72 55,995 457 37

II 52 600 200 6 000 431,301 5 999 695,768 50,998 798 84 52,995 571 67

III 49 600 200 6 592 712,692 6 591 905,085 47,999 212 53 49,995 659 79

IV 46,85 234,358 185,861 369 7 053 690,172 7 053 300,173 46,178 208 71 47,519 626 08

IIt. 52 600 2 200 6 000 431,301 5 999 695,768 50,998 798 84 52,995 571 67

Fig. 2.27. : Trois cnes de projection


Transformation de coordonnes

Les formules suivantes transforment des coordonnes gographiques en coordonnesLambert sur lellipsode Clarke 80. Les rsultats des paragraphes 3.4.1. et 3.4.2. sontutiliss pour calculer les coordonnes polaires (5, ) en fonction de (, ).

Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes lambert (E, N)

l Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes polaires (5, )On a : = ( o) sino

aprs avoir calcul 5o , et o.l Transformation des coordonnes polaires (5 , ) en coordonnes gographiques

(E , N)

Fig. 2.28. : Quadrillage du systme Lambert national

5 mL 5o o( ) osin[ ]exp =


On voit sur la figure 2.29-a. quepour un point A du plan de coor-donnes polaires (5 , ), lescoordonnes cartsiennes Lam-bert sont les suivantes :

Transformation des coordonnes lambert (E, N) en coordonnes gographiques (, )

On a (fig. 2.29-a.) : tan = do : = o + .

On calcule 5o et o et on en dduit ;

Ensuite, on calcule = exprim en radian.

l Enfin, est calcul par approximations successives laide de :

Exprimez en Lambert II tendu le point suivant donn en Lambert III :(EIII = 982 058,965 m ; NIII = 3 155 944,160 m), situ au LTGC dAntibes.

1) Transformation en coordonnes gographiques sur lellipsode Clarke 80 :0 = 0,854 591 098 rad = 0,842 641 708 rad 5 = 6 646 950,161 m = 3,661 234 312 gon = 7,857 974 592 gon = 48,449 472 529 gonkr = 8,5 cm/km2) Transformation en Lambert II :5 = 6 354 961,193 m = 3,835 142 8 gon.(EII = 982 605,846 m ; NII = 1 856 262,586 m) kr = 140 cm/km.

Fig. 2.29-a. : Transformation des coordonnespolaires en coordonnes cartsiennes

EA E0 5 NA

sin+N0 mL 50 5 cos+

=

=

EA EoNo mL 5o NA+--------------------------------------------

osin

-------------

5mL 5o NA No+

cos--------------------------------------------=

o1osin

-------------

mL 5o

5------------------ ln+

pi4---

2---+ tanln e2---

1 e sin+1 e sin( )--------------------------------ln=

Application

Rponse


RemarqueOn remarque, partir de lexemple prcdent, que la valeur du coefficient daltrationlinaire kr serait trs importante sil nexistait en France quune seule zone (1,40 m aukm Antibes en Lambert II tendu) et quen raison du fait des diffrents cnes deprojection, les projections des mridiens ne sont pas parallles (environ 0,17 gondcart sur la convergence des mridiens Antibes).Pour trouver la correspondance entre lordonne 1 856 km en Lambert II tendu et3 156 km en Lambert III, on doit considrer une translation de repre de 1 300 km enordonne (1 000 km pour le changement de zone et 300 km entre les deux axes desabscisses).

Changement dellipsode

Si les coordonnes godsiques de dpartsont exprimes sur un ellipsode autre queClarke 80 (par exemple IAGRS 80 pour lesdonnes brutes GPS, chap. 7 1.), il fautles convertir en coordonnes godsiquessur Clarke 80 avant deffectuer les calculsdtaills au paragraphe 3.4.5. prcdent.Pour cela, on doit dabord exprimer cescoordonnes dans un repre gocentrique(fig. 2.29-b.) dfini au paragraphe 2.2.3.1Le point O est alors le centre de lellipsodeutilis. Les coordonnes dun point sont (,, h), h tant la hauteur exprime en mtresdu point au-dessus de lellipsode.

Pour la suite, reportez-vous la figure2.29-c.

Transformation des Coordonnes godsiques en coordonnes gocentriques sur lellipsode 1

Pour transformer des coordonnes godsiques(1, 1, h1) en coordonnes gocentriques (X1, Y1 ,Z1), on applique les formules suivantes : e et sont respectivement dfinis aux paragraphes2.2.1. et 2.3.1.2.

Fig. 2.29-b. : Coordonnes gocentriques sur la sphre

X1 v1 h1+( ) 1 1Y1

coscos

v1 h1+( ) 1 1Z1

sincosv1 1 e1

2( ) h1+( ) 1sin

=

=

=


Changement dellipsode : ellipsode 1 vers ellipsode 2

Pour changer dellipsode, il suffit defaire intervenir les dcalages dorigine(tx, ty et tz) entre les deux ellipsodesainsi quun ventuel angle entre lesaxes des X dans les deux repres (dca-lage de lorigine des longitudes,fig. 2.29-c.).Ce changement de repre peut aussi treeffectu par transformation trois ousept paramtres. Dans ce dernier cas,on introduit trois translations, trois rota-tions et une homothtie ou mise lchelle. Ces paramtres sont calculspour une zone donne partir de plu-sieurs points dtermins sur les deuxellipsodes (voir tome 2 chap. 1 10.3).Par exemple, pour passer de lellipsode IAGRS 80 (systme WGS 84) lellipsodeClarke 80, on effectue un dcalage dorigine de (tx = 168 m, ty = 60 m, tz = 320 m),mais pas de rotation autour de Z ( = 0) puisque les origines des longitudes (Greenwich)sont identiques. Donc :

RemarqueCes dcalages dorigine sont ajouter aux coordonnes dans le premier systme. Ilsreprsentent donc les coordonnes de lancienne origine dans le nouveau repre ouencore les opposes des composantes du vecteur de translation.

Transformation des Coordonnes gocentriques en coordonnes godsiques sur lellipsode 2

On effectue le calcul inverse du calcul prsent au paragraphe 3.4.6.1. ; 2, 2 et h2 sontdonns par :

avec

Fig. 2.29-c. : Changement dellipsode

X2 X1 cos Y1 sin txY2

++

X1 sin Y1 cos tyZ2

++

Z1 tz+

=

=

=

2tanY2X2-----

Re 2tan Z2 v2 e 22 2

h2

sin+Re

2cos-------------- v2

=

=

=

Re X22 Y2

2+ v2 h2+( ) 2cos= =


La latitude 2 sobtient par approximations successives (2 est aussi fonction de 2).

Dterminez les coordonnes Lambert du point A de coordonnes godsiques surlellipsode IAGRS 80 : ( = 74 23,472 12; = 43 36 17,141 70; h = 157,450 m).

X1 = 4 590 781,336 ; Y1 = 569 630,443 ; Z1 = 4 376 505,933X2 = 4 590 949,336 ; Y2 = 569 690,443 ; Z2 = 4 376 185,9332 = 7,073 667 94 (7 4 2

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4 Topographie Et Topométrie Modernes - Tome 1