46champs_vecteurs

Chap 46

Champs de vecteurs

1 Champs de vecteurs de R2

1.1 Definition

Definition. Soit U une partie de R2. On appelle champ de vecteur defini sur U une application ~V : U R2 :

@px, yq P U, ~V px, yq pP px, yq, Qpx, yqq

Representation graphique.

Propriete. Si cette application est de classe C1, alors elle posse`de en tout point une differentielle, qui est unendomorphisme de R2 represente dans la base canonique par la matrice jacobienne :

J

BPBxBPBy

BQBxBQBy

1.2 Champ de gradient

Cadre. On sinteresse au cas particulier suivant :

Si f P C2pU,Rq, alors sont gradient

gradf

BfBx ,BfBy

est un champ de vecteurs, dont la matrice jacobienne

est :

J

B

2fBx2B

2fByBx

B

2fBxByB

2fBy2

Remarque.Proble`me. Est-ce que reciproquement, tout champ de vecteurs dont la matrice jacobienne est symetrique est-ilun champ de gradient ?

Reponse.

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Chap 46 Champs de vecteurs

Definition. Soit U un ouvert de R2. On dit que U est etoile si et seulement si il existe A P U tel que@M P U, rAM s U .Interpretation graphique.Exemple. Les parties suivantes sont-elles etoilees ?

(a) Une partie convexe

(b) R2 r tp0, 0qu(c) R2, prive dune demi-droite.

Theore`me (de Poincare).

Soit ~V un champ de vecteurs de classe C1, ~V px, yq pP px, yq, Qpx, yqq.Si sa matrice jacobienne est symetrique (cest-a`-dire BPBy BQBx ) sur U un ouvert etoile, alors

~V est un

champ de gradient sur U , cest-a`-dire quil existe f P C2pU,Rq telle que ~V

gradpfq, soit :

@px, yq P U, P px, yq Bf

Bxet Qpx, yq Bf

By

Definition. On dit dans ce cas que f est un potentiel scalaire du champ ~V , et que le champ ~V derive dunpotentiel scalaire.Exemple. Le champ de vecteur defini sur R2 r tp0, 0qu par :

~V px, yq

y

x2 y2,

x

x2 y2

derive-t-il dun potentiel scalaire ?

1.3 Integrale curviligne, circulation dun champ de vecteurs

Definition. Soit ~V un champ de vecteurs de classe C1 sur U ouvert de R2. Soit une courbe de U parametreepar prt0, t1s, ~q. On appelle circulation du champ ~V sur lintegrale :

~V

t1

t0

A

~V p~ptqq

~1ptqE

dt

Remarque. Expression de

~V : Avec les notations usuelles ~V px, yq pP px, yq, Qpx, yqq et ptq pxptq, yptqq,

on a :

~V

t1

t0

P pxptq, yptqqx1ptq Qpxptq, yptqq y1ptq dt

Propriete. Cette integrale est independante du choix du parametrage de , au signe pre`s (sens de parcours)Notation. On etend les notations differentielles en posant dx x1ptqdt et dy y1ptqdt, ce qui conduit a`

lecriture :

~V

P px, yq dxQpx, yq dy

Remarque. Ce nest quune notation commode pour parler de circulation dun champ de vecteur sur . A` lavue de cette notation, on parame`tre immediatement et on revient a` la notation precedente.Exemple. Calculer la circulation

ydx xdy ou` est le cercle unite parcouru dans le sens direct.Exemple. On reprend lexemple precedent

~V px, yq

y

x2 y2,

x

x2 y2

On note :

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(a) 1 le cercle de centre O et de rayon r ;

(b) 2 le carre de centre O, de cotes paralle`les aux axes de longueur 2 ;

Determiner la circulation de ~V le long de i.

1.4 Circulation dun champ de gradient

Theore`me.

Soit f : U R. La circulation sur du champ de gradient de f ne depend que de la valeur de faux extremites de , et non de la courbe joignant ces deux points.

Corollaire. La circulation dun champ de gradient sur une courbe fermee est nulle.Corollaire. Si ~V est un champ de vecteurs de classe C1 sur U ouvert etoile, dont la matrice jacobienne estsymetrique, alors la circulation de ~V entre deux points ne depend pas du chemin restant dans U pour relier cesdeux points.En particulier, la circulation de ~V sur toute courbe fermee incluse dans U est nulle.

Exemple. On reprend lexemple precedent

~V px, yq

y

x2 y2,

x

x2 y2

On note :

(a) 1 le cercle de centre O et de rayon r ;

(b) 3 le cercle de centre A p2, 0q et de rayon 1.

Que dire de la circulation de ~V le long de i.

2 Formule de Green-Riemann

2.1 La formule

Theore`me (Formule de Green-Riemann).

Soit U une partie bornee de R2 delimitee par une courbe simple, fermee, de classe C1, parcouruedans le sens direct.Soit ~V pP,Qq un champ de vecteur sur U . Alors :

P dxQdy

U

BQ

Bx

BP

By

dxdy

Remarque.

2.2 Application aux calculs daires

Propriete. Soit U une partie bornee de R2 delimitee par une courbe simple, fermee, de classe C1, parcouruedans le sens direct. Alors :

ApUq

y dx

x dy

1

2

y dx x dy

Exemple. Determiner laire de lellipse.



Propriete. En coordonnees polaires : Soit U une partie bornee de R2 delimitee par une courbe simple, fermee,de classe C1, parcourue dans le sens direct.On suppose parametree en coordonnees polaires par pq. Alors :

ApUq 1

2

2 d

Exemple. Aire de linterieur de la cardiode.

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Chap 46 Champs de vecteurs46.1

Cal

cule

rlin

tegr

ale

curv

ilig

ne

:

px

2yqdxpy

2xqdy

sur

diff

eren

tsar

cs

de

xtr

emit

esAp

1,

1qetBp1,1q.

champsvecteurs_1.tex

46.2

Mon

trer

que

les

inte

gral

escu

rvilig

nes

suiv

ante

sne

dep

enden

t

qu

edes

extr

emit

esd

elar

c

.L

esca

lcu

ler

enfo

nct

ions

des

coor

don

nee

sdes

extr

emit

es:

(a)

px

2y

2qdx

2xy

dy

(b)

2x y

dx

y2x2

y2

dy


46.3

Soi

tUtpx,yq

t.q.x

0,y

0,x2

a2

y2

b2

1u

et

I

U

xy

dx

dy

(a)

Cal

cule

rI

dir

ecte

men

t;

(b)

Cal

cule

rI

par

un

chan

gem

ent

de

vari

able

sad

apte

;

(c)

Cal

cule

rI

enuti

lisa

nt

lafo

rmule

de

Gre

en-R

iem

ann

.


46.4

Soi

tUtpx,yq

t.q.x

0,y

0,x

2y

2

1u

et

I

U

pxyqdx

dy

(a)

Cal

cule

rI

dir

ecte

men

t;

(b)

Cal

cule

rI

par

un

chan

gem

ent

de

vari

able

sadapte

;

(c)

Cal

cule

rI

enuti

lisa

nt

lafo

rmule

de

Gre

en-R

iem

ann

.


46.5

Cal

cule

rlin

tegra

lecu

rvilig

ne

suiv

ante

:

pxyq

x2y

2dx

pxyq

x2y

2dy

(a)

lors

qu

e

est

lece

rcle

de

centr

eO

,de

rayo

n1,

parc

ouru

dans

lese

ns

dir

ect;

(b)

lors

que

es

tle

carr

ed

edia

gon

aleAp1,

1q,Cp

1,1q

parc

ou

rudan

sle

sen

sd

irec

t.

(c)

Com

men

ter

lere

sult

at.



1 Champs de vecteurs de R21.1 Dfinition1.2 Champ de gradient1.3 Intgrale curviligne, circulation d'un champ de vecteurs1.4 Circulation d'un champ de gradient

2 Formule de Green-Riemann2.1 La formule2.2 Application aux calculs d'aires

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