4.7 Les astres au service de la mesure - SMAC

Présentation | 4.7 Les astres au service de la mesure

4.7 Les astres au service de la mesure

Lors de Show Math, en racontant l’histoire d’Ératosthène, on montre que l’homme est parvenu à mesurer des choses qu’on aurait pu croire impossibles à mesurer sans les technologies d’aujourd’hui. Or, il existe de nombreux anciens instruments qui ont permis d’accom-plir de tels exploits. Par exemple, la construction et l’utilisation d’un astrolabe ou d’un clinomètre sont étonnamment simples. Les élèves pourront découvrir, à l’aide de ces instruments, une application de certains concepts de géométrie.

L’élève aura à concevoir et à utiliser un instrument pour mesurer des angles d’élévation.

Intentions de l’activité

• Faire voir aux élèves la portée de ce qu’ils apprennent

• Mettre les mathématiques en contexte

• Sensibiliser les élèves au développement de la pensée mathématique

Forme de la production attendue

• Construction d’un astrolabe ou d’un clinomètre

• Questions, réponses et justifications

Concepts utilisés

• Mesure d’angles

• Angles complémentaires

• Angles correspondants

• Preuve géométrique

Ressources matérielles

• Accès à Internet ou à un atlas indiquant les latitudes

• Construction de l’astrolabe• Rapporteurs 360°

• Pailles d’au moins 12 cm

• Fil métallique des attaches de sac de poubelle

• Fil à coudre

• Marteau

• Clou (1 mm de diamètre)

• Construction du clinomètre• Fil (à coudre, fil de pêche, etc.)

• Ruban adhésif

• Pailles

• Petits objets pouvant servir de poids

• Rapporteurs (180°)

Présentation | 4.7 Les astres au service de la mesure

Préparation

• Demander aux élèves s’ils connaissent certains instruments de mesure et leur fonctionnement. Si on a la possibilité de présen-ter et de faire manipuler un clinomètre commercial, c’est encore plus intéressant.

• Réactiver les connaissances antérieures liées aux caractéristiques des angles. Les élèves peuvent faire une feuille résumant les connaissances qu’ils ont des notions liées aux angles.

Réalisation

• Dans la première partie, les élèves pourront éprouver quelques dif-ficultés liées à la compréhension des concepts de latitude et de longitude. Ils pourraient se référer à un atlas ou un globe terrestre afin de mieux visualiser ces concepts.

• Dans la deuxième partie, l’élève construit un astrolabe ou un clino-mètre. Il serait intéressant que les élèves ne choisissent pas tous le même instrument afin de pouvoir comparer leur efficacité et leurs différences.

• C’est dans la troisième partie que les élèves pourront dé-velopper les composantes de la compétence 2. On peut leur donner la formule pour trouver la latitude et leur demander une preuve rigoureuse. On peut aussi leur demander de trouver cette formule. Cela développerait leur habileté à émettre des conjectures.

• Dans la quatrième partie, l’élève est amené à expliquer aux autres élèves de la classe comment fonctionne l’astrolabe ou le clinomètre ainsi que les notions mathématiques en jeu.

• Dans la cinquième partie, l’élève est amené à considérer un cas plus général, c’est-à-dire lorsqu’il faut tenir compte de l’incli-naison de la Terre. Pour avoir accès aux différentes inclinaisons de la Terre en fonction de la date, se référer à l’adresse Internet : http://navastro.free.fr/canevas.htm et cliquer sur le lien qui corres-pond à l’année en cours.

Intégration

• L’intégration pourrait très bien se faire en même temps que la 4e étape en demandant aux élèves les difficultés qu’ils ont éprouvées et en mettant en évidence la nécessité de l’apport mathématique.

Annexes

• Les astres au service de la mesure, Annexe 1 : Cette annexe explique le fonc-

tionnement d’un clinomètre commercial.

• Les astres au service de la mesure, Annexe 2 : Vous pouvez imprimer cette

annexe sur une feuille si vous n’avez pas de rapporteur ou si vous désirez

faciliter la construction de l’astrolabe.

Déroulement

Pistes de différenciation

• La cinquième partie pourrait être présentée uniquement à ceux qui ont plus de facilité.

• Réaliser cette activité de con-cert avec les autres activités portant sur les instruments de mesure (Ératosthène et le GPS, Le bâton du pape et le Sex-tant, un instrument surprenant) permettrait de comparer leur efficacité. Les élèves pou rront aussi démontrer leur compré-hension des notions ap prises en expliquant à des élèves qui ne connaissent pas leur instru-ment comment il fon ctionne, à quoi il sert, etc.

Cahier de l’élève | 4.7 Les astres au service de la mesure | 1

4.7 Les astres au service de la mesure

Comment peut-on mesurer la hauteur d’objets inatteignables comme celle des pyramides en Égypte ou de la Tour Eiffel ? Que ce soit pour des objectifs militaires ou architecturaux, l’homme a toujours voulu mesurer des grandeurs verticales. Malheureusement, celles-ci lui sont parfois inaccessibles. Afin de pallier ce problème, l’homme a inventé divers instruments.

Dans cette activité, nous vous proposons de découvrir deux de ces outils de mesure : l’astrolabe et le clinomètre. Vous aurez à trou-ver et à prouver comment ils fonctionnent. De plus, vous devrez en construire un et démontrer que vous pouvez vous en servir correc-tement pour mesurer une hauteur.

Partie 1 : L’astrolabe

Pour se positionner sur la Terre, on a besoin de deux mesures : la latitude et la longitude. La latitude est la distance en degrés qui vous sépare de l'équateur alors que la longitude est la distance en degrés qui vous sépare du méridien d'origine, le méridien de Greenwich.

L'astrolabe permet de déterminer la latitude, mais pas la longitude. Pour se déplacer, les capitaines naviguaient jusqu’à la latitude désirée, puis ils allaient vers l’est ou l’ouest selon le besoin.

Si tu te retrouvais seul à bord d’un bateau en pleine mer, avec pour seul outil un astrolabe, serais-tu capable de retrouver ton chemin ? C’est pourtant un des instruments que les capitaines de navire utilisaient il y a plus de 800 ans. Saurais-tu te servir d’un clinomètre pour mesurer rapidement la hauteur d’un arbre ? Cette activité te permettra de découvrir ces instruments et tu ver-ras que, là aussi, les mathématiques se cachent derrière leur fonctionnement.

Nom : _________________________________________________________

Latitude Longitude

Équateur

Méridiend’origine

Ouest(-)

Est(+)

90

60

30 30

0

30 30

30 300

60

60 60

90

90 90

180150150

120

90 90

120

60 60

Sud(-)

Nord(+)

L’astrolabe est un instrument qui a été inventé par Hipparque, as-tronome, géographe et mathé-maticien grec qui a vécu de 190 à 120 av. J-C. C’est ce même instru-ment qu’a utilisé Champlain pour se rendre à Québec.

2 | Cahier de l’élève | 4.7 Les astres au service de la mesure

Sur cette carte, tracez le chemin que prendrait un navigateur possédant un astrolabe pour aller du port Saint-Michel jusqu’au quai des Marchands.

Port Saint-Michel

Quai desmarchands

N

S

EO

Partie 2 : Construction d’un instrument pour calculer la latitudeDans cette section, il vous est proposé de construire un astrolabe ou un clinomètre. L'astrolabe est constitué de deux parties, l'alidade (le viseur qui pointe vers le sommet de ce que l’on veut mesurer) et un cercle gra-dué. Le clinomètre, quant à lui, sert à prendre les mêmes mesures, mais sa construction est quelque peu différente.

1.


Si vous n’avez pas de rapporteur 360°, vous pouvez en imprimer un sur une feuille, le dé-couper puis le coller sur un carton.

A – Construction d’un astrolabe à l’aide d’un rapporteur 360°

1. À l’aide du marteau et du clou, percer un trou à environ 1 cm du som-met du rapporteur, sur la ligne indiquant 90°. La position du trou doit être fait méthodiquement et bien alignée avec le 90° pour ne pas nuire à la précision de l’astrolabe.

2. Couper la paille pour que sa longueur soit d’environ 4 mm de moins que le diamètre du rapporteur. Conserver le bout de paille restant.

3. Faire passer le fil métallique dans le trou au centre du rapporteur. Pas-ser le fil autour de la paille et le repasser dans le trou. S’assurer que la paille est bien centrée sur le rapporteur.

4. Au dos du rapporteur, coincer le bout de paille restant avec le fil. Bien serrer le fil métallique puis le torsader pour fixer le tout. Attention de ne pas écraser la paille la plus longue, car elle sert de viseur.

5. Faire passer le fil à coudre dans le trou percé à l’étape 1. L’attacher pour qu’il forme une sorte de poignée pour tenir l’astrolabe.

Matériel nécessaire

• Un rapporteur 360°

• Marteau

• Clou (1 millimètre de diamètre)

• Une paille d’au moins 12 cm

• Le fil métallique d’une attache de sac de poubelle

• Environ 30 centimètres de fil (du fil à coudre est l’idéal)

Vue de profil

Paille(viseur)

Astrolabe

Filmétallique

Reste depaille

Étape 1

Étape 3


Anglemesuré

Angle à mesurer

Visée

Horizon

90°

B – Construction d’un clinomètre à partir d’un rapporteur 180°

1. Attacher le poids à l’extrémité du fil.

2. Attacher le fil au rapporteur de façon à ce qu’il se trouve à l’intersection de la ligne des 90° et de celle joignant le 0° et le 180°.

3. Couper la paille de façon à ce qu’elle soit de la même longueur que le diamètre du rapporteur. La fixer à l’aide du ruban adhésif sur le bord rectiligne du rapporteur.

Matériel nécessaire

• Du fil (fil à coudre, fil de pêche, etc.)

• Un petit objet pouvant servir de poids

• Un rapporteur (180°)

• Une paille

• Du ruban adhésif

Poids

Paille Point de fixation du fil


Partie 3 : Comment calculer la latitude à partir des mesures obtenues ?Pour connaître la latitude d'un bateau lors de l’équinoxe1, le capitaine du navire doit attendre le moment du jour où le Soleil est à son zénith (le moment où le Soleil est le plus haut dans le ciel). Une façon approximative de trouver ce moment est de prendre différentes mesures vers l’heure du midi et la mesure la plus élevée sera la bonne. À ce moment précis, le capitaine regarde le Soleil au travers de l'alidade et il note l'angle. Il peut aussi utiliser un clinomètre. Il doit ensuite effectuer le calcul suivant, où A est l’altitude mesurée, soit l’altitude du Soleil :

Latitude (L) = 90° - A

À partir de ce dessin, trouvez pourquoi ce calcul permet de trouver la lati-tude d'un lieu si on admet que les rayons provenant du Soleil sont parallèles.

Votrezénith

A

L

Votrehorizon

Rayons du soleil

ÉquateurRayons du soleil

1 L’équinoxe est un des deux jours de l’année où les rayons du Soleil arrivent perpendicu-lairement à l’équateur de la Terre ; en consé-quence, le jour et la nuit ont la même durée. Il y a deux équinoxes par année, soit les 21 mars et 21 septembre.

2.


Partie 4 : Expérimentez votre astrolabe ou votre clinomètreMaintenant que vous comprenez le fonctionnement de votre instrument et que vous en avez fabriqué un, trouvez la latitude de votre ville à l’aide de votre astrolabe ou de votre clinomètre. Comparez le résultat obtenu à celui que vous trouvez dans un ouvrage de référence ou sur Internet.

Ces deux résultats sont-ils semblables ou différents ? Expliquez ce qui a pu influencer cette différence ou cette similitude.

Comparez votre résultat avec celui d’un élève qui a construit un instru-ment différent du vôtre. Y a-t-il une différence ? Qu’est-ce qui peut avoir causé cette différence ?

Le clinomètre, contrairement à l’astrolabe, est encore utilisé de nos jours. Expliquez pour quelles raisons on a pu préférer le clinomètre à l’astrolabe ?

3.

4.

5.


Curieux ?Lorsqu’on n’est pas un jour d’équinoxe, le calcul à effectuer est un peu différent. En effet, en dehors du 21 mars et du 21 septembre, les marins devaient tout de même connaître leur position. Ils devaient faire le calcul suivant :

Latitude = 90° - l’altitude mesurée (A) + déclinaison (D)

La valeur de la déclinaison doit être trouvée dans un almanach ou sur Inter-net. Un almanach est un calendrier qui donne des informations relatives à des observations astronomiques, dont la déclinaison de certains astres. La déclinaison est l’angle, en degrés, entre le lieu où le Soleil est perpendiculaire à l'axe de la Terre et l'équateur. Cette valeur est nulle lors de l’équinoxe d’hiver (21 septembre) et de celui d’été (21 juin). De plus, elle est différente selon le jour de l'année et elle est négative si elle est accompagnée d'un S (pour sud) et positive si elle est accompagnée d'un N (pour nord).

D’après le dessin suivant, expliquez pourquoi cette méthode fonctionne ?

Si l'angle de déclinaison est de 21° sud et que l'angle mesuré est de 40°, quelle est la latitude du lieu où vous vous trouvez ?

Calculer la latitude de votre ville avec cette méthode. Est-ce différent de celle trouvée lors de la quatrième partie de l’activité ?

Quelle est la différence entre la latitude et l’altitude ?

Votrezénith

A

D

L

Votrehorizon

Rayons du soleil

Rayons du soleil

Équateur

7.

8.

9.

6.

Corrigé | 4.7 Les astres au service de la mesure | 1

Partie 1 : L’astrolabeSur cette carte, tracez le chemin que prendrait un navigateur possédant un astrolabe pour aller du port Saint-Michel jusqu’au quai des Marchands.

4.7 Les astres au service de la mesureCorrigé

Port Saint-Michel

Quai desmarchands

N

S

EO

Partie 3 : Comment calculer la latitude à partir des mesures obtenues ?À partir de ce dessin, trouvez pourquoi ce calcul permet de trouver la latitude d'un lieu si on admet que les rayons provenant du Soleil sont parallèles.

Votrezénith

A

L

L

Votrehorizon

Rayons du soleil

Rayons du soleil

2.

L’angle au centre de la Terre (L) correspond à l’angle formé par le zé-nith et le Soleil (une sécante qui coupe deux parallèles). Cet angle vaut 90° - A, soit la latitude du lieu.

1. (Page 2)

(Page 5)

2 | Corrigé | 4.7 Les astres au service de la mesure

Partie 4 : Expérimentez votre astrolabe ou votre clinomètreMaintenant que vous comprenez le fonctionnement de votre instrument et que vous en avez fabriqué un, trouvez la latitude de votre ville à l’aide de votre astrolabe ou de votre clinomètre. Comparez le résultat obtenu à celui que vous trouvez dans un ouvrage de référence ou sur Internet.

Ces deux résultats sont-ils semblables ou différents ? Expliquez ce qui a pu influencer cette différence ou cette similitude.

3.

4.

5.

Il est très probable que les deux résultats soient différents. Cela est dû entre autres au fait qu’il faut tenir compte de la déclinaison de la Terre. En fait, cette expérience n’est valable que l’un des deux jours d’équinoxe (soit les 21 mars et 21 septembre). Si les résultats sont semblables, alors l’expé-rience a probablement été faite dans les jours avant ou après un équinoxe.

Comparez votre résultat avec celui d’un élève qui a construit un instru-ment différent du vôtre. Y a-t-il une différence ? Qu’est-ce qui peut avoir causé cette différence ?

Même si les méthodes sont différentes, les résultats devraient être sem-blables. S’ils ne le sont pas, cela est probablement dû au fait que la prise de données n’était pas optimale (vent, nuages dans le ciel, heure de la prise des données, etc.).

Les 360 degrés de l’astrolabe ne sont pas nécessaires. Bien souvent, seuls les 90 premiers degrés sont utilisés. Cette constatation a permis de sim-plifier et d’alléger l’outil. De plus, la technologie a permis d’en fabriquer de plus précis et de plus faciles à utiliser.

Le clinomètre, contrairement à l’astrolabe, est encore utilisé de nos jours. Expliquez pour quelles raisons on a pu préférer le clinomètre à l’astrolabe ?

(Page 6)

(Page 6)

(Page 6)

Corrigé | 4.7 Les astres au service de la mesure | 3

Curieux ?Lorsqu’on n’est pas un jour d’équinoxe, le calcul à effectuer est un peu différent. En effet, en dehors du 21 mars et du 21 septembre, les marins devaient tout de même connaître leur position. Ils devaient faire le calcul suivant :

Latitude = 90° - l’altitude mesurée (A) + déclinaison (D)

La valeur de la déclinaison doit être trouvé dans un almanach ou sur Inter-net. Un almanach est un calendrier qui donne des informations relatives à des observations astronomiques, dont la déclinaison de certains astres. La déclinaison est l’angle, en degrés, entre le lieu où le Soleil est perpen-diculaire à l’axe de la Terre et de l’équateur. Cette valeur est nulle lors de l’équinoxe d’hiver (21 septembre) et de celui d’été (21 juin). De plus, elle est différente selon le jour de l’année et elle est négative si elle est ac-compagnée d’un S (pour sud) et positive si elle est accompagnée d’un N (pour nord).

D’après le dessin suivant, expliquez pourquoi cette méthode fonctionne ?

Votrezénith

A

D

L

Votrehorizon

Rayons du soleil

Rayons du soleil

Équateur

6.

7.

8.

9.

Comme dans le dessin précédent, vous devez vous rendre compte que l’angle au centre de la Terre (L) correspond à l’angle formé par le zénith et le soleil. Cet angle vaut 90° - A. Ensuite, si on ajoute à cet angle celui de la déclinaison, on obtient la latitude du lieu.

Si l'angle de déclinaison est de 21° sud et que l'angle mesuré est de 40°, quelle est la latitude du lieu où vous vous trouvez ?

Calculer la latitude de votre ville avec cette méthode. Est-ce différent de celle trouvée lors de la quatrième partie de l’activité ?

90° – 40° – 21° = 29°

Dépendamment du jour de l’expérience, c’est-à-dire si l’expérience est faite un jour voisin de l’équinoxe, il est possible que la réponse soit la même.

Quelle est la différence entre la latitude et l’altitude ?

La latitude est la distance en degrés qui nous sépare de l'équateur alors que l’altitude est la distance qui nous sépare du niveau de la mer. Par exemple, lorsqu’on est au sommet du mont Everest, on est au 27° 59’ nord, c'est-à-dire qu’on forme un angle de 27° 59’ avec le centre de la terre et l’équateur. C’est la latitude. À cet endroit, on est aussi à une dis-tance de 8 844,43 mètres au dessus du niveau de la mer. C’est l’altitude.

(Page 7)

(Page 7)

(Page 7)

(Page 7)

Annexe 1 | 4.7 Les astres au service de la mesure | 1

4.7 Les astres au service de la mesureAnnexe 1

Comment utiliser un clinomètre commercial

Haga

Premièrement, il faut se placer à 20 ou à 25 mètres exactement de l’objet, par exemple un arbre, selon l’échelle choisie. Pour s’assurer une meilleure précision, il est préférable d’être à une distance de 20 mètres de l’arbre s’il mesure moins de 20 mètres et à 25 mètres s’il mesure plus de 20 mètres.

Il faut choisir une échelle avec la roulette selon la distance à laquelle on se trouve de l’arbre. Ensuite, il faut viser la cime de l’arbre, comme au fusil, ti-rer et noter le résultat. Répéter cette opération en visant le bas de l’arbre. La différence entre les deux résultats donne la hauteur de l’arbre.

Exemple : Je suis à 25 m Je prends l'échelle de 25 m Première visée 20 Deuxième visée 2 20 - 2 = 18 m L’arbre mesure 18 m

Suunto

Pour le Suunto, la méthode est semblable, sauf que l’échelle est dans l’ap-pareil. Il faut regarder au bout de l’échelle pour voir les unités. Comme cette dernière est difficile à trouver, il est conseillé de prendre les pour-centages (%). Se placer à une distance de l’arbre qui est au moins équiva-lente à la hauteur de l’arbre. Viser la cime de l’arbre, en gardant les deux yeux ouvert, pour voir la cime et l’échelle, et noter le résultat. Répéter cette opération en visant le bas de l’arbre. La différence entre les deux donne la hauteur de l’arbre selon la distance à laquelle la mesure a été prise. Si la différence est supérieure à 100%, il faut reculer de 5 mètres et recommencer.

Exemple : Je suis à 20 m Première visée 80% Deuxième visée -4% 80 - -4 = 84% 20 m X 0,84 = 16,8 m L’arbre mesure 16,8 m

Annexe 2 | 4.7 Les astres au service de la mesure | 1

4.7 Les astres au service de la mesureAnnexe 2

Rapporteur d’angle 360° imprimable

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