5 Etude Fonctions

7/25/2019 5 Etude Fonctions

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

ETUDES DE FONCTIONS

I. Fonctions polynmes de degr 2

1. Dfinition

Une fonction polynme de degr 2 fest dfinie sur !

parf(x) = ax2+ bx + c , o a, bet csont des nombres rels donns et a !0.

Exemples :

- 2( ) 5 4 9f x x x= !

+ . On a : a= 5, b= -4 et c= 9.- 2( ) 4g x x x= ! + . On a : a= -1, b= 4 et c= 0.

- La fonction carr est une fonction polynme particulire telle que :a= 1, b= 0 et c= 0.

- ( )( )( ) 3 1 2h x x x= + ! .

En effet : 2 2( ) 3 6 2 3 5 2h x x x x x x= ! + ! = ! ! .

On a : a= 3, b= -5 et c= -2.

On peut tracer la courbe reprsentative d'une fonction polynme l'aide de la

calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.

Jesus dit ses disciples y2 = 2px. Ils ne comprirent pas, ctait une parabole.Citation apocrypheLe mot vient du grec parabol qui signifiait laction de jeter ct : para pour ct et bolein pour jeter.


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2. Variations

Proprits :

Soitfune fonction polynme de degr 2, telle que 2( )f x ax bx c= + + .

- Si aest positif,fest dabord dcroissante, puis croissante.- Si aest ngatif,fest dabord croissante, puis dcroissante.

a> 0 a< 0

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir

Ex 1 3(page7)

p117 n1, 3p120 n31Ex 4 11 (page7et 8)p117 n12, 14,13* ;p118 n18*p121 n40*

Tableaux de var. defonctions du seconddegr donnes.

Ex 1 3(page7)

p134 n1 3p136 n32Ex 4 11 (page7et 8)p138 n42, 44,43*p138 n48*p140 n63*

Tableaux de var.de fonctions dusecond degrdonnes.

ODYSSE 2de HATIER Edition2010 ODYSSE 2de HATIER Edition2014

3. Extremum

La courbe reprsentative defest une parabole qui admet un axe de symtrieparallle laxe des ordonnes.

Dfinition :Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelle sommet de la parabole.

Exemple :

La fonctionfdfinie sur !par2

( ) 4f x x x=!

+ admet un maximum.


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En effet, le coefficient devantx2est ngatif,fest dabord croissante, puisdcroissante.

Proprit :

Soitfune fonction polynme de degr 2, telle que 2( )f x ax bx c= + + .

Alorsfadmet un extremum pour x =!b

2a.

Mthode : Dterminer les coordonnes de lextremum dune fonctionpolynme de degr 2

Soit la fonctionfdfinie sur !par 2( ) 2 12 23f x x x= ! + .

a) Quelle est la nature de lextremum de la fonctionf ?b) Dterminer les coordonnes de cet extremum.c) Construire le tableau de variations def, puis vrifier en traant sa courbe

reprsentative l'aide de la calculatrice.

a) Le coefficient devantx2est positif,fadmet donc un minimum.

b) Le minimum est atteint en12

32 2 2

bx

a

!= ! = ! =

"

Or 2(3) 2 3 12 3 23 5f = ! " ! + = doncfadmet un minimum gal 5 pour

3x =

. Les coordonnes du minimum sont (3 ; 5).c)

On pourra tracer la parabole laide dune calculatrice

graphique pour vrifier.


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Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirEx 12 18(page8)p117 n5*

Ex 19 et 20 (page9) Ex 12 18(page8)p136 n33p138 n39*

Ex 19 et 20(page9)


TP conseill TP conseillTP Tice1 p110 : Diffrentesparaboles

p129 TP1 : Diffrentes paraboles


II. Fonctions homographiques

1. Dfinition

Une fonction homographique fest dfinie par ( ) ax b

f xcx d

+=

+

, o a, b, c etd

sont des nombres rels donns et c !0.

Exemples :

-2 3

( )1

xf x

x

!

=

!

-

3

( ) 1

x

g x x

!

=

!

- La fonction inverse est une fonction homographique telle que :a= 0, b= 1, c= 1 et d= 0.

On peut tracer la courbe reprsentative d'une fonction homographique l'aidede la calculatrice graphique. Il s'agit d'une hyperbole.


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2. Ensemble de dfinition

Lensemble de dfinition dune fonction est lensemble des nombres rels quiont une image parf.

Une fonction homographique fde la forme ( )

ax b

f x cx d

+

=+ est donc dfinie

lorsque : cx +d"0 cest--dire lorsqued

xc

! " .

Lensemble de dfinition def est ; ;d d

c c

! " ! "#$ # % # +$& ' & '( ) ( )

.

Mthode : Dterminer lensemble de dfinition dune fonction homographique.

Soit la fonctionfdfinie par ( )3 6

xf xx

=

!

.

Dterminer lensemble de dfinition def.

Le dnominateur ne peut pas sannuler.

3 6 0x! = est quivalent 2x = .

La fonctionfnest donc pas dfinie pourxgal 2.

Lensemble de dfinition defest ]-!; 2[!] 2 ; +![ qui peut aussi scrire! \{2}.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirEx 21 25(page9)p120 n36Ex 26 27(page9)p119 n27*

Solutionsgraphiquesdquationsdonnes.

p121 act 2Ex 21 25(page9)p136 n35Ex 26 27(page9)p139 n52, 55*

Solutionsgraphiquesdquationsdonnes.


3. Reprsentation graphique

Toutes les fonctions homographiques sont dfinies sur lensemble desnombres rels priv dune valeur.Pour cette valeur, la fonction homographique na pas dimage.Les reprsentations graphiques des fonctions homographiques sont doncconstitues de deux parties distinctes.


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Mthode : Etude graphique dune fonction homographique

Soit gla fonction dfinie sur ]-!; 2[ U ]2 ; !+[ par3

( )2

xg x

x=

!

.

a) Tracer la courbe reprsentative de g laide dune calculatrice graphique.b) Par lecture graphique, donner les variations de g.

a)

b) Il est galement possible dafficher un tableau de valeurs de la fonction.

La fonction gest croissante sur lintervalle ]-!; 2[ et croissante sur lintervalle]2 ; !+[.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp118 n23

Ex 28 30(page9 et 10)p119 n24p120 n38p121 n39*

p119 n26 p135 n26

Ex 28 30 (page9et 10)p135 n27p136 n36

p139 n54


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Exercice 1Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degr ?

f(x) = 3x2! 3x + 2 g(x) =!4x

2+1 h(x) =!3x + 9 i(x) = x! 3( ) x+ 2( )

j(x) =5x !x2!8 k(x) =9x

2 l(x) =

1

x2! 3x + 2

m(x) = x 3x! 6( )

Exercice 2Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction du second degr :

f(x) = 2x!1( ) 5! x( ) g(x) = 3x x! 5( )+ 3

h(x) = 1! x( ) 3+ x( ) i(x) = 2 ! x( )2

Exercice 3A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repre chaque fonction de l'exercice 2.

Exercice 4Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont dabord croissantes puis dcroissantes ?

f(x) = x2! 2x+ 4 g(x) =!x

2! 7x+ 2 h(x) =5x

2! 3x+ 9

i(x) = 3x! x

2+1

j(x) =!9x2 + 2 k(x) = x+ 3( ) !x+ 2( ) l(x) =!2x 1! 2x( ) m(x) = !x+1( )

2

Exercice 5

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) =2x2! 4x + 5 .

1) laide de la calculatrice, tracer dans un repre la reprsentation graphique de la fonction f.2) En dduire le tableau de variations de f.

Exercice 6

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) =!3x2!12x +1 .

1) laide de la calculatrice, tracer dans un repre la reprsentation graphique de la fonction f.2) En dduire le tableau de variations de f.

Exercice 7Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau devariations ci-contre :

f(x) =!x2 + 2x + 2 g(x) = x2 ! 3x + 5

h(x) =!2x2+ x + 2 i(x) =!2x2 + 4x +1

j(x) = 1!x( ) 2 ! x( ) k(x) = 2x !1( ) 4 +x( )

Exercice 8Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau devariations suivant :

f(x) =x2+ 2x ! 2 g(x) =!x2 + 5x ! 3

h(x) = x2!2x + 5 i(x) = x

2!8x +17

j(x) = x ! 4( )2+1 k(x) = 2x ! 7( ) x + 3( )

Exercice 9

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) = 3x2! 3x ! 2 .

1) laide de la calculatrice, tracer dans un repre la reprsentation graphique de la fonction f.

2) Conjecturer le nombre de solutions de lquation 3x2! 3x! 2 =0 et une valeur approche des

solutions ventuelles.


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Exercice 10

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) =!2x2+ 3x + 4 .


2) Conjecturer le nombre de solutions de lquation !2x2+ 3x+ 4 =0 et une valeur approche des

solutions ventuelles.Exercice 11

Conjecturer le nombre de solutions de lquation !2x2+ x! 5 =0 et une valeur approche des

solutions ventuelles.

Exercice 12Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un minimum ?

f(x) =!2x2+x + 2 g(x) =!x2 ! 4x +1 h(x) =!x2 + 7x + 9

i(x) = 3x2! 2x + 6 j(x) = 5!x( ) 4 ! x( ) k(x) = 3x ! 5

Exercice 13Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un maximum ?

f(x) =!x2+ 6x g(x) =5x2 ! 2x + 9 h(x) =!4x

2+x +1

i(x) = x2+ 7 j(x) = x !1( ) 8! 4x( ) k(x) =!x ! 2

Exercice 14 laide de la calculatrice, donner une valeur approche de lextremum de chaque fonction enprcisant sil sagit dun minimum ou dun maximum.

f(x) =x2+ 2x +1 g(x) =!2x2 +8x ! 2 h(x) = x2 ! 2x + 3

i(x) =!x2+ 6x + 5 j(x) = 3x2 + 3x k(x) =!x

2! 3x ! 2

Exercice 15 laide de la calculatrice, donner une valeur approche de lextremum de chaque fonction en

prcisant sil sagit dun minimum ou dun maximum.f(x) =10x

2+ 3x +1 g(x) =!8x2 + x ! 5 h(x) =50x2 ! 6

Exercice 16

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) =x 2 ! 2x + 4 .

1) Quelle est la nature de lextremum de f (minimum ou maximum) ? Justifier.2) Pour quelle valeur dexest-il atteint ? Calculer cet extremum.3) Construire le tableau de variations de f, puis vrifier en traant sa courbe reprsentative l'aide dela calculatrice.4) Reproduire la courbe dans un repre.

Exercice 17

Mme exercice avec la fonctionf dfinie sur !par f(x) =x 2!4x

!1 .

Exercice 18

Mme exercice avec la fonctionf dfinie sur !par f(x) =!x2+ 6x ! 8 .

Exercice 19

Mme exercice avec la fonctionf dfinie sur !par f(x) =!4x2 + 4x ! 4 .

Exercice 20

Mme exercice avec la fonctionf dfinie sur !par f(x) =9x2 ! 36x + 32 .


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Exercice 21Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques ?

f(x) =2x !1

3x + 2 g(x) =

!x ! 5

7x +1 h(x) =

!1+ x

3x i(x) =

x2!1

x + 5 j(x) =

1

x

k(x) =

!2 +x

7 l(x) =!7x

x +1 m(x) =3 x+ 3

x+ 2 n(x)=

3x!4 p(x)

=

x !1

x

Exercice 22Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction homographique :

f(x) =1+x

x +1 g(x) =2 +

3x

2x !1 h(x) =

1

x+1

2 k(x) =2 !

3! x

1! x

Exercice 23Dterminer lensemble de dfinition de chacune des fonctions suivantes :

f(x) =3x !1

x ! 2 g(x) =

x ! 6

2x + 4 h(x) =

!2 +x

5x i(x) =

4x !1

3x + 2 j(x) =

3x !1

2 ! 5x

Exercice 241) Donner lexpression dune fonction homographique qui nest pas dfinie pour x = 7 .

2) Mme question pour x =!5 puis pour x =!2

3.

Exercice 25A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repre chaque fonction de l'exercice 23.

Exercice 26

Soitfla fonction dfinie sur !par f(x) =2x !1

x + 2.


2) Lire graphiquement la solution ventuelle de lquation2x

!1

x+ 2=0 .

Exercice 271) laide de la calculatrice, donner une valeur approche de la solution ventuelle de lquation

4x! 2

3! x= 4 .

2) Mme question pour lquationx

1! 3x=!3 .

Exercice 28Donner lexpression dune fonction homographique pouvant avoir le

tableau de variations ci-contre.On pourra saider de la calculatrice.

Exercice 29Donner lexpression dune fonction homographique dcroissante et dfinie sur les intervalles

!";!3] [ et !3;+"] [ .

Exercice 30Construire le tableau de variations de chaque fonction.

f(x) =x !1

x ! 3 g(x) =

!4x !1

x +1 h(x) =

2 +x

x i(x) =

x !1

3x + 4

Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de

la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.

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